Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α: α : 3x+ y z+ = A α : 1 6+ = = 1 3x+ y z+ 1 =. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = 1+ 4 s, y = 17 s, z = 9, s R. Řešení: β : 4x y+ = A β : 8+ + = = 33 4x y 33 = 3. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou p: x = 1 + t, y = 3 3 t, z = t, t R a je kolmá k rovině ρ : x+ y+ z 3=. Řešení: Vyjáříme si obecnou rovnici hleané roviny a sestavíme soustavu 3 rovnic. První vychází z kolmosti k ρ a alší získáme osazením vou boů přímky p (pro t = a t = 1). V rovnici vystupuje proměnná, kterou chápeme jako parametr a můžeme si za ni vhoně zvolit (v našem přípaě volíme honotu 4, abychom se zbavili zlomků). α : ax + by + cz + = α ρ: a+ b+ c= A ρ : a 3b+ c= B ρ : a 6b = ( 1;1; 1) 4b= b = 4 3 1 1 a = + a = c= = 4 4 4 n = x+ y z+ 4=
4. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou p: x =, y = s, z = + s, s R a je kolmá k rovině ρ : x+ y+ z 3=. Řešení: Vyjáříme si obecnou rovnici hleané roviny a sestavíme soustavu 3 rovnic. První vychází z kolmosti k ρ a alší získáme osazením vou boů přímky p (pro t = a t = 1). V rovnici vystupuje proměnná, kterou chápeme jako parametr a můžeme si za ni vhoně zvolit (v našem přípaě volíme honotu ). α : ax + by + cz + = α ρ: a+ b+ c= A ρ : a + c= B ρ : a + b+ 3c= a+ c= = a = c a = c b= c c= 1; a= 1 ; b= 1 x+ y z = a+ c=. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem M [ 3; 1; 6] a je kolmá k přímce AB ( A[ 3; ; 1 ]; B[ ; 1; 3] ). Řešení: p: u = ( ; 3; ) ρ : n = ; 3; x 3y z+ = M ρ :6+ 3 1+ = = 3 ρ :x 3y z+ 3= 6. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem M [ ; 7; 11] a je kolmá k přímce AB ( A[ 4; 3; ]; B[ 1; ; 3] ). Řešení: p: u = 3;; 1 ρ : n = 3;; 1 3x+ y z+ = M ρ :1 3+ 11+ = ρ :3x+ y z+ 9= = 9
7. Je ána přímka p AB, A[ 4; 4;1 ], B[ 1; 3;] KLM K [ ] L[ ] M [ ] = a rovina ρ = ( ; ; 6, 1;;3, 3; 3; ). Najěte obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou p a je kolmá k rovině ρ. Řešení: v rovině leží vektory: u = ( 3;;9 ), v= ( 1; ;8) u v= ;33; 11 n = ;3; 1 a+ 3b c= 4a 4b + c= a 3b+ c= a b = 3a+ 3b = 3a = 4 b= a 3 8 b= 3 b= 3 c= a+ 3b 7 c= 3 = 3 4 a = 3 4x y 7z+ 3= 8. Je ána přímka p: x 3 t, y 4 t, z 1 3 t, t R ρ = = = + a bo [ 4; ;] rovnici roviny, která prochází boem E a je kolmá k přímce p. Řešení: p: x= 3 t y = 4t z = 1+ 3 t, t R u = n = ( 1; 4;3) ( 1; 4; 3) x+ 4y 3z+ = 4 8 1+ = = 19 x+ 4y 3z+ 19= E. Napište obecnou
9. Je ána přímka p: K[ 8;8; 1 ], L[ ;;] a bo [ 4; ;] roviny, která prochází boem E a je kolmá k přímce p. Řešení: u = 13; 3;1 n = 13;3; 1 13x+ 3y z+ = 6 + = = 41 13x+ 3y z 41 = E. Napište obecnou rovnici 1. Je ána přímka, která je určená vojicí rovin p: x 3y+ z 4; x+ y z+ 1= a bo E[ 4; ;]. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem E a je kolmá k přímce p. Přímka je ána vojicí rovin. Její směrový vektor je án vektorovým součinem normálových vektorů rovin. u = n n = 1 ; 4 + ; 1+ 6 u = 13; 9; 7 α β Nebo můžeme určit boy z průsečnice. V tomto přípaě si jenu souřanici libovolně zvolíme. V našem přípaě volíme postupně z = a y =. Dostaneme se tak ke stejnému vektoru u. A ten je zároveň normálovým vektorem hleané roviny. z = x 3y = 4 /. x + y = 1 7y = 9 9 1 1 9 y = x= A ; ; 7 7 7 7 y = x+ z = 4 /. x z = 1 9z = 9 [ ] z = 1 x= B ;;1 13 9 u = ; ;1 n= ( 13;9;7 ) 7 7 13x+ 9y+ 7z 69 =
11. Najěte obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou p: x = 1+ 6 t, y = 3 3 t, z = + 3 t, t R a je kolmá k rovině ρ :6x y+ 4z+ 7=. n = 6; 1;4 A 1; 3;, B 7; 6;1 α : ax+ by+ cz+ = ρ [ ] [ ] α ρ:6a b+ 4c= A ρ : a 3b c= B ρ :7a 6b + c= 8a 7b= /.11 a+ 3b= 4 /.4 1b= 6 b= 7b= 8a+ 8a = 7b 4 8a = 3 4 a = c= = α :3x+ y 4z = 1. Najěte obecnou rovnici roviny, která prochází přímkou p: x = 6, t y = 7+ 4, t z = 1+, t t R a je kolmá k rovině ρ :x 4y z+ 19=. n = ; 4; A 6; 7;1, B 4; 11; 1 α : ax+ by+ cz+ = ρ [ ] [ ] α ρ: a 4b c= A ρ : 6a 7b + c= B ρ : 4a 11b c= 19b 14c= 19b 11c= c = 1 b= 19 a = = 19 19 α :x+ y+ 19=
13. Je án bo [ 1; ; 4] A a vě roviny ρ :x+ y 3z+ 7=, σ : x y z+ 4=. Najěte obecnou rovnici roviny, která prochází boem A a je kolmá k rovinám ρ, σ. a + b 3c= a b c= a b+ 4c= b= c b = a= b+ c c= c = 7 a= = = 7x+ y+ z = 14. Je án bo [ 3;1; 1] A a vě roviny ρ : x+ 3y z+ 16=, σ :x y+ z+ 9=. Najěte obecnou rovnici roviny, která prochází boem A a je kolmá k rovinám ρ, σ. a+ 3b c= a b + c= 3a + b c= c= 16a c= b= a+ c 8a = a = 8 16 11 b= + = = 8 8 8 8 x 11y 16z 8 =
1. Je án bo [ ;3;] H a přímka a: x = 1 + t, y = 3 3 t, z = t, t R. Určete souřanice paty kolmice veené z bou H k přímce. u = 1; 3; [ ; ; ] ( 1 ;6 3 ;3 ) P x y z n= H P= t + t + t t R un. = 1 t 18 9t 6 4t = 3 t = 14 9 7 74 P ; ; 14 14 14 16. Je án bo [ ;3;] H a přímka b: x =, y = s, z = + s, s R. Určete souřanice paty kolmice veené z bou H k přímce. u = ;1;1 [ ; ; ] P x y z n= H P= ( ;3 s;3 s) s R un. = 3 s+ 3 s= s = 3 P [ ;3;] 17. Je án bo [ ;3;] H a přímka c: x = v, y = 4 v, z = 3+ v, v R. Určete souřanice paty kolmice veené z bou H k přímce. u = 1; 1; [ ; ; ] P x y z n= H P= v; 1 + v; v ; v R un. = v+ 1 v+ 4 4v= 7 v = 6 7 17 3 P ; ; 6 6 6
18. Je án bo [ ;3;] H a přímka a: x = w+ 7, y = 3 + w, z = 1 w, w R. Určete souřanice paty kolmice veené z bou H k přímce. u = ;1; [ ; ; ] ( ; ;4 ) P x y z n= H P= w w + w w R un. = w w 8 4w= 11 w = 1 3 19 16 P ; ; 1 19. Jsou ány boy A[ ;;3 ], B[ ; ; 7 ], C[ 3; 1; ] a) Veďte boem A přímku rovnoběžnou s přímkou BC, b) najěte průsečík p s rovinou. a) BC : u = 1; 3; p: x= + t y = 3t z = 3+ t, t R b) 6 + 3t 3t 6 1t = 1t = 1 t = 3 3 1 3 3 1 x= y = z = P ; ; a rovina 3x+ y z =.. Jsou ány boy A[ 4; 3; ], B[ ;; 1]. Určete čísla m, n tak, aby bo C[ ; ; ] přímce AB. u = B A= ( 1; 3; 3) v= C A= ; m+ 3; n v= ku. = k.1 k = k = m+ 3 = k.3 m+ 3=.3 m= 9 n = k. 3 n =. 3 n= 8 m n ležel na
1. Určete velikosti výšek v trojúhelníku ABC, ke [ ;, ] [ 7;, ] [ 4;] AB : u = ( 7;) n = ( ;7) C 7y+ c= 7y = [ 4;] [ 7;] [ ;] c = 3 v( C; AB) = = 49 AC : u = 4; n = B ( ; 4) x 4y+ c= x 4y = ( ; ) BC : u = 3; n = A ( ;3) c = v B AC x+ 3y+ c= c = 3 x+ 3y 3= ( ; ) v A BC 3 3 = = 41 41 3 3 = = 49 34 A B C.. Určete souřanice paty kolmice veené z bou K [ ; 7; ] k přímce p: x = 1 t, y = 4 + t, z = 7+ 3 t, t R. v= ( 4 t;3 + t;+ 3t) u = ( 1;1; 3) uv. = 4+ t+ 3+ t+ 1+ 9t= P [ 3; 6;1] 11t = t =
3. Určete souřanice paty kolmice veené z bou K [ ;3;] k přímce p: x = 3 t, y = 1 3 t, z = 1 + t, t R. v= ( 3 t ; 1 3t 3;1+ t ) v= ( t; 1 3 t;1+ t) u = ( ; 3;1) uv. = 1+ 4t+ 4+ 9t+ 1+ t= P [ ;; 3] 14t = 6 t = 4 4. Určete souřanice paty kolmice veené z bou K [ 4; 1;13 ] k přímce p: x = 3 4 t, y = 4+ 3 t, z = t, t R. v= ( 1 4 t; 3+ 3 t; 11 t) u = ( 4;3; ) uv. = 4 + 16t 9 + 9t+ + t = P [ 7; 7;7] t = t = 1. Jsou ány boy A[ 1; 1;3 ], B[ ; 13; ] a rovina ρ :x 3y+ 8z 6=. Najěte obecnou rovnici roviny, která prochází boy A, B a je kolmá k rovině ρ. π nρ = ( ; 3;8 ) nα = ( abc ; ; ) 3 a 3b+ 8c = a b+ 3c+ = a 13b+ c+ = 16b+ 1 c= /. 8 1 + 3 1b+ 8c= 3 /.1 + 3 b= b= 3 9 c= a= = 9x y 3z =
6. Jsou ány boy A[ ; 1;3 ], B[ 4;;7] a rovina ρ :3x 7y+ z+ 8=. Najěte obecnou rovnici roviny, která prochází boy A, B a je kolmá k rovině ρ. n = 3; 7; n = abc ; ; ρ 3a 7b+ c = a b+ 3c+ = 4a+ b+ 7c+ = () 11a 19c= 7 /.14 1 7 14a+ c= 6 /.11 + 3 4c= 3 4 c= 3 1 a= b= = 3 3 3 x+ y 4z+ 3= α 7. Zjistěte, za aná trojice boů A[ 3;, ] B[ 7; 4, ] C[ 1;] u = B A= ( 4; 6) v= C A= ( ;3) u = kv. u1 = kv. 1 u = kv. 4 = k. 6 = k.3 k = = leží na přímce leží na přímce. 8. Zjistěte, za aná trojice boů A[ 3; ; 4 ], B[ 7;; ], C[ 1; 3;7] u = ( 4; ; 6) v = ( ; 1;3 ) 4= t = t 6= 3t t = = 6= 6 leží na přímce leží na přímce.
9. Zjistěte, za aná trojice boů [ 7;1; 3 ], [ ; ; ], [ 1;8;1] u = ( ;1; 1) v = ( 6;7; ) A B C leží na přímce. Vektor v není násobkem vektoru u Boy neleží na přímce. 3. Jsou ány roviny ρ :x 3y+ z =, σ :x y z 1=, τ :4x 3y+ 7z 7=. a) Určete parametrické vyjáření průsečnice p rovin ρ a σ. b) Zjistěte vzájemnou polohu přímky p a roviny τ. a) x = 3y+ z = y z 1= /. z = y 1 ( ;9;1) () y = 7 1 + 7 7 z = 1 = z = n1 = ; 3; n = ; 1; 1 u = p: x= t y = 7 y = + 9 t z = + t, t R 1 14 b) t+ 7t+ + 7t 7=. t = p leží v rovině τ
31. Je ána přímka p: x = 1 + t, y = t, z = t, t R a roviny ρ :3y+ 8=, σ : x = k 3 l, y = 16+ k 3 l, z = 3+ 4k 3 l, k, l R. Vypočítejte ochylky: a) p a ρ b) p a σ c) ρ a σ a) 3 1 u = ( 1; 1;1) n= ( ;3; ) cos β = = 3 9 3 β = 4 44 ϕ = 9 β = 3 16 b) x y = 11 k z = 3+ 4k x y = 4k z = 3+ 4k x y+ z+ 19= n = ( ; ;1) + + 1 cos β = = 3 9 3 3 β = 1 48 ϕ = 74 1 c) 6 cosϕ = = 9 3 ϕ = 48 11 3. Vypočítejte ochylku vou rovin anými obecnými rovnicemi x+ y+ z = a x y z+ 3=. n = 1;1; n = 1; ; 1 1 1 3 1 cosϕ = = = 6 6 6 ϕ = 6 33. Vypočítejte ochylku vou rovin anými obecnými rovnicemi 3x 4y+ z 6= a x+ y z+ 1=. n = 3; 4;1 n = ;1; ( 1 6 4 cosϕ = = 6 9 ϕ = 9 )
34. Vypočítejte ochylku vou rovin anými obecnými rovnicemi 3x+ 4y z 6= a 4x y+ 3z+ =. n = 3; 4; n = 4; ;3 ( 1 1 1 3 cosϕ = = ϕ = 6 37 )