MODELOVÁNÍ SHALLOW WATER

Podobné dokumenty
Skalární a vektorový popis silového pole

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Základní rovnice. - laminární tok -

terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy

VLASTNOSTI KAPALIN. Část 2. Literatura : Otakar Maštovský; HYDROMECHANIKA Jaromír Noskijevič; MECHANIKA TEKUTIN František Šob; HYDROMECHANIKA

Matematika pro chemické inženýry

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

15 MECHANIKA IDEÁLNÍCH TEKUTIN. Hydrostatika ideální kapaliny Hydrodynamika ideální tekutiny

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

CFD simulace vícefázového proudění na nakloněné desce: porovnání smáčivosti různých kapalin. Martin Šourek

CVIČENÍ č. 10 VĚTA O ZMĚNĚ TOKU HYBNOSTI

Dynamika soustav hmotných bodů

Parametrické rovnice křivky

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

Propojení matematiky, fyziky a počítačů

Příspěvek do konference STČ 2008: Numerické modelování obtékání profilu NACA 0012 dvěma nemísitelnými tekutinami

7 Gaussova věta 7 GAUSSOVA VĚTA. Použitím Gaussovy věty odvod te velikost vektorů elektrické indukce a elektrické intenzity pro

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

Numerické řešení 2D stlačitelného proudění s kondenzací. Michal Seifert

termodynamický zákon František SEIFRT 9. března 2006

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

Potenciální proudění

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

13. cvičení z Matematické analýzy 2

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

MATEMATIKA V MEDICÍNĚ

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Mechanika kapalin a plynů

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

1. Obyčejné diferenciální rovnice

Základy hydrauliky vodních toků

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012

Proč funguje Clemův motor

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

VI. Nestacionární vedení tepla

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

Cvičení Na těleso působí napětí v rovině xy a jeho napěťový stav je popsán tenzorem napětí (

1141 HYA (Hydraulika)

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Záření KZ. Význam. Typy netermálního záření. studium zdrojů a vlastností KZ. energetické ztráty KZ. synchrotronní. brzdné.

Pružnost a plasticita II CD03

1141 HYA (Hydraulika)

f x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

ČÁST V F Y Z I K Á L N Í P O L E. 18. Gravitační pole 19. Elektrostatické pole 20. Elektrický proud 21. Magnetické pole 22. Elektromagnetické pole

Rozumíme dobře Archimedovu zákonu?

Převedení okrajové úlohy na sled

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

U218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze

Matematika III. Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík. Ústav matematiky

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Fyzika kapalin. Hydrostatický tlak. ρ. (6.1) Kapaliny zachovávají stálý objem, nemají stálý tvar, jsou velmi málo stlačitelné.

Počítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic. - metoda konečných objemů -

1 Ohyb desek - mindlinovské řešení

Řetězovka (catenary)

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání

Kontraktantní/dilatantní

6. Mechanika kapalin a plynů

12. Křivkové integrály

Elektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r

VEKTOROVÁ POLE Otázky

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Hydrostatika

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

trubku o délce l. Prut (nebo trubka) bude namáhán kroutícím momentem M K [Nm]. Obrázek 1: Prut namáhaný kroutícím momentem.

Numerické metody. Numerické modelování v aplikované geologii. David Mašín. Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.


Výsledný tvar obecné B rce je ve žlutém rámečku

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE

Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

Matematika 1 pro PEF PaE

Termomechanika 6. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Matematická analýza III.

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK

y Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

České vysoké učení technické v Praze Fakulta biomedicínského inženýrství

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Petra Monhartová. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta. Katedra numerické matematiky

Okruhy, pojmy a průvodce přípravou na semestrální zkoušku v otázkách. Mechanika

Diferenciáln. lní geometrie ploch

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Teplo, práce a 1. věta termodynamiky

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

14. přednáška. Přímka

Derivace goniometrických funkcí

Transkript:

Západočeská univerzita Fakulta aplikovaných věd Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání MODELOÁNÍ SHLLOW WTER KRISTÝN HDŠOÁ ziraf@students.zcu.cz

1 ÚOD Dostala jsem za úkol namodelovat jak se chová mělká voda. Tento model je velice praktický a vyuzívá se při modelování záplav či přílivových vln(tsunami). Také se tento model používá jako tester pro numerické metody v 1D. 2 ZÁKON ZCHOÁNÍ HMOTNOSTI Zákon zachování hmotnosti může být vyjádřen v integrální formě [1]. Za předpokladu, že se žádná hmotnost nebude vytvářet (zanikat) v objemu musí platit, že změna hmotnosti odpovídá přítoku (odtoku) přes hranici objemu. Platí následující vztah ρ t d = n (ρ)d. (1) Jestliže je objem pevně dán a nezávisí na t, pak se dá levá strana přepsat jako ρ t d = d ρd. (2) dt v Pravá strana (1) je tedy změna hmotnosti přítoku oproti odtoku přes hranici v časovém úseku. Levá strana představuje změnu hmotnosti v objemu za absence zdrojů. Může být změněna jen činností toku přes hranici objemu. Což znamená d dt ρd = n (ρ)d. (3) Kde ρ je hmotnostní tokový vektor a n je vnější normálový vektor kolmý na hladinu, je vektor rychlosti. Pro výpočtovou matematiku je integrální podoba zákonu zachování hmotnosti užitečnější. plikujeme-li Gaussovu větu, můžeme napsat n (ρ)d = div(ρ)d, (4) což můžeme přepsat na [ ρ t + div(ρ) ] d = 0. (5) 2

Místo integrální formy můžeme použít diferenciální podobu zákona zachování hmotnosti ve tvaru ρ t + (ρu) x + (ρv) y + (ρw) z = 0. (6) 3 ZÁKON ZCHOÁNÍ HYBNOSTI Nyní odvodíme zákon zachování hybnosti v integrálním tvaru. Celková hybnost v objemu s hranicí je Ψ(t) = ρd, Ψ = (x, y, z, t). (7) Zákon zachování hybnosti vyplývá z použití Newtonova zákona: Časová změna hybnosti objemu je úměrná celkové působící síle na objem. Celková síla se dělí na povrchovou sílu f S a objemovou sílu f. f S = Sd, f = ρgd, (8) kde g je objemovo-silový vektor a může to být setrvačná síla, gravitační síla, elektromagnetická síla... S je vektor napětí, který je dán jako S = n S, kde S je tenzor napětí, S = pi + Π, Π je tenzor vazkých sil a p je objemový tlak [1]. Použitím Newtonova zákona a rovnice kontinuity [1] t (ρ)d = DΨ Dt = f S + f, (9) (n ρ)d + f S + f. (10) Je-li objem pevně dán nezávisle na čase, můžeme napsat d dt (ρ)d = (n ρ)d + f S + f. (11) Tedy, časová změna hybnosti s pevně daným objemem je úměrná hybnosti přítoku oproti odtoku spolu s povrchovými a objemovými silami. Když rozepíšeme všechny povrchové složky získáme 3

d dt (ρ)d = [(n ρ) + pn n Π]d (12) + (ρg)d Obecná formulace je platná až na případy nespojitých řešení. Diferenciální podoba zákona může být odvozena od (12) za předpokladu, že integrand v povrchovém integrálu je dostatečně hladký, aplikací Gaussovy věty. První člen integrandu povrchového integrálu v (12) je kde Což znamená (n ρ) = n ρ, (13) = u 2 uv uw uv v 2 vw uw vw w 2. (14) u (n ρ) = n [ρu 2, ρuv, ρuw] T, (15) v (n ρ) = n [ρuv, ρv 2, ρvw] T, (16) w (n ρ) = n [ρuw, ρvw, ρw 2 ] T. (17) plikací Gaussovy věty na každý povrchový člen získáme t (ρ)d = [div(ρ ) + grad p divπ]d (18) + (ρg)d. Toto platí pro jakýkoliv objem (ρ) + div[ρ + pi Π] = ρg. (19) t Diferenciální podoba zákona zachování hybnosti pro nevazké (Π = 0) případy a pro gravitaci působící jen v ose z je (ρu) t + (ρu 2 + p) x + (ρuv) y + (ρuw) z = 0 (20) (ρv) t + (ρuv) x + (ρv 2 + p) y + (ρvw) z = 0 (21) (ρw) t + (ρuw) x + (ρvw) y + (ρw 2 + p) z = gρ. (22) 4

4 SHLLOW WTER RONICE Budeme považovat hustotu kapaliny za konstantní. Jestliže přidáme podmínku, že je voda homogenní, neměnná v prostředí, tak řekneme, že ρ je neměnné v čase. Ze zákona zachování hybnosti můžeme napsat Du Dt u t + uu x + vu y + wu z = 1 ρ p x, (23) Dv Dt v t + uv x + vv y + wv z = 1 ρ p y, (24) Dw Dt w t + uw x + vw y + ww z = 1 ρ p z g. (25) Spolu s rovnicí zachováni hmotnosti (6) máme čtyři rovnice o čtyřech neznámých (u,v,w,p). principu po zadání okrajových podmínek budeme schopni řešit tyto rovnice pro u,v,w a p jako funkce prostoru x, y, z a času t. Shallow water rovnice jsou zjednodušením předchozího modelu za předpokladu, že svislá souřadnice rychlosti i zrychlení Dw/Dt je zanedbatelná. ložením Dw/Dt=0 do rovnice (25) získáme p = ρgh. (26) Toto se nazývá hydrostatický tlak. Derivováním p podle x a podle y získáme p x = ρgh x, (27) p y = ρgh y. (28) Obě proměnné p x a p y jsou nezávislé na z a tak x a y složky zrychlení Du/Dt a Dv/Dt jsou nezávislé na z. Také složky rychlosti u, v jsou nezávislé na z pro všechna t. Proto platí u t + uu x + vu y = gh x. (29) v t + uv x + vv y = gh y. (30) 5

Z rovnice (6) získáme úpravou (hmotnost závisí jen na výšce a složka rychlosti w je 0) rovnici pro zachování hmotnosti h t + (uh) x + (vh) y = 0. (31) Nyní máme dvě rovnice (29) a (31), první vynásobíme h a druhou rovnici u a získáme u t h + u x hu + hvu y + ghh x = 0, (32) uh t + u(hu) x + (hv) y u = 0. (33) tyto dvě rovnice sečteme (uh) t + (u 2 h) x + (uvh) y = ghh x. (34) Stejným způsobem získáme i rovnici (35) a to z rovnic (30) a (31) (vh) t + (uvh) x + (w 2 ) y = ghh y. (35) Pravá strana se dá přepsat jako ghh x = 1 2 gh2 x. (36) Což s přeznačením dá (φu) t + (φu 2 + 1 2 φ2 ) x + (φuv) y = 0, (37) (φv) t + (φuv) x + (φv 2 + 1 2 φ2 ) y = 0. (38) přičemž φ = gh (39) φ se nazývá geopotenciál. Dvoudimenzionální rovnice Shallow Water se dají přepsat do maticové formy U t + F (U) x + G(U) x = 0. (40) kde U = φ φu φv, F = uφ φu 2 + 1 2 φ2 φuv, G = vφ φuv φv 2 + 1 2 φ2. 6

kde U je zachovávaná proměnná, F (U) a G(U) jsou tokové funkce. S podobným zápisem se setkáváme i v [2, 3]. 5 NUMERICKÉ SIMULCE Je hotom program, který zpracovává 1D Shallow water. Na programu se i nadále pracuje a předpokládá se využití jeho výsledku v bakalářské práci. Také se uvažuje o rozšíření modelu i o model s neplochým dnem. Reference [1] Eleuterio F. Toro Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer-erlag Berlin Heidenberg, 1999 [2] Randall J. Leveque Finite volume methods for hypebolic problems, Cambridge university press, 2002 [3] Shallow water equations http://www.wikipedia.org/ 7