předmětu MATEMATIKA B 1

Metodický list pro první soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Vektorový prostor Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to vektory a jak se tyto vektory mezi sebou sčítají a jak se násobí reálným číslem, a dále, co je to lineární kombinace vektorů. Porozumět lineární závislosti a nezávislosti vektorů a umět pracovat s pojmy báze a dimenze vektorového prostoru, najít lineární obal skupiny vektorů. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Lineární závislost a nezávislost vektorů 2. Báze a dimenze vektorového prostoru 3. Lineární obal skupiny vektorů 1. dílčí téma: Lineární závislost a nezávislost vektorů K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 1. kapitola, odst. 1.1., 1.2. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 1. kapitola Vektorový prostor a jeho definice Lineární kombinace vektorů rovná nulovému vektoru Vektorová rovnice pro určení lineární nezávislosti/závislosti Vektorový prostor, sčítání vektorů, násobení vektoru reálným číslem, nulový vektor, lineární kombinace vektorů Jak se definuje lineární kombinace vektorů? Kdy jsou vektory lineárně závislé (nezávislé)? Jaký tvar má vektorová rovnice pro určení lineární závislosti (nezávislosti) vektorů? 2. dílčí téma: Báze a dimenze vektorového prostoru K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 1. kapitola, odst. 1.3. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 1. kapitola 1

Definice báze vektorového prostoru Vyjádření libovolného vektoru jako lineární kombinace vektorů báze Určení dimenze vektorového prostoru Báze vektorového prostoru, kanonická báze, dimenze vektorového prostoru Jak se definuje báze vektorového prostoru? Jak lze vyjádřit libovolný vektor pomocí vektorů báze? Co je to dimenze vektorového prostoru? 3. dílčí téma: Lineární obal vektorů K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 1. kapitola, odst. 1.4. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 1. kapitola Lineární obal a jeho definice Lineární obal jako podprostor vektorového prostoru Dimenze lineárního obalu skupiny vektorů Lineární obal skupiny vektorů, podprostor vektorového prostoru Co je to lineární obal skupiny vektorů? Jak se vypočte dimenze lineárního obalu skupiny vektorů? Co je lineárním obalem báze vektorového prostoru? 2

Metodický list pro druhé soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Matice a determinanty Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to matice a jak se s nimi pracuje, dále pak základní operace s maticemi, především sčítání a násobení matic. Porozumět pojmu hodnost matice a naučit se vypočítat inverzní matici k regulární matici. Umět vypočítat determinant pomocí Sarussova pravidla i rozvojem podle řádku nebo sloupce. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Matice a její hodnost 2. Operace s maticemi 3. Determinanty a jejich výpočet 1. dílčí téma: Matice a její hodnost K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.1. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola Definice hodnosti matice Úpravy, které nemění hodnost matice Čtvercové regulární a singulární matice Matice, hlavní diagonála matice, horní a dolní lichoběžníková (trojúhelníková) matice, hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, čtvercová matice, regulární matice, singulární matice Co je to hodnost matice a jak se vypočte? Co je to Gaussova eliminační metoda? Co je to regulární (singulární) matice? 2. dílčí téma: Operace s maticemi K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.4. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola 3

Sčítání a násobení matic Existence inverzní matice Výpočet inverzní matice Součet matic, součin matic, jednotková matice, inverzní matice Jak se sčítají a násobí matice? Za jakých podmínek existuje ke čtvercové matici inverzní matice? Jak se vypočítá čtvercová matice? 3. dílčí téma: Determinanty a jejich výpočet K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 3. kapitola, odst. 3.1., 3.2., 3.3. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 3. kapitola Výpočet determinantu rozvojem podle řádku (sloupce) Výpočet determinantu pomocí dovolených úprav Výpočet inverzní matice pomocí determinantů Permutace, determinant, subdeterminant, doplněk prvku v matici, Sarussovo pravidlo, rozvoj determinantu podle řádku (sloupce), algebraický doplněk prvku v matici, adjungovaná matice Co je to determinant? Jaké jsou metody pro výpočet determinantu? Jak se vypočte inverzní matice ke čtvercové regulární matici pomocí determinantů? 4

Metodický list pro třetí soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Řešení soustavy lineárních rovnic Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co jsou to homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic a jak se tyto soustavy řeší. Ukázat řešení pomocí Gaussovy eliminační metody a v případě, že je matice soustavy čtvercová regulární matice, najít řešení soustavy lineárních rovnic též pomocí inverzní matice a Cramerova pravidla. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic 2. Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou 3. Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice a Cramerovým pravidlem 1. dílčí téma: Homogenní a nehomogenní soustavy lineárních rovnic K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.2. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola Existence řešení homogenní soustavy lineárních rovnic Existence řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic Porovnání hodnosti matice soustavy a rozšířené matice soustavy Homogenní soustava lineárních rovnic, vektor pravých stran, triviální řešení, nehomogenní soustava lineárních rovnic, Frobeniova věta Existuje vždy alespoň jedno řešení homogenní soustavy lineárních rovnic? Kdy má nehomogenní soustava lineárních rovnic právě jedno řešení? Kdy má nehomogenní soustava lineárních rovnic nekonečně mnoho řešení? 2. dílčí téma: Řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2. kapitola, odst. 2.3 Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2. kapitola 5

Použití Gaussovy eliminační metody na rozšířenou matici soustavy Tvar řešení homogenní soustavy lineárních rovnic Tvar řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda, přidružená homogenní soustava lineárních rovnic, řešní závislé na zvolených parametrech Jak se řeší soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody? Jaký je tvar řešení homogenní soustavy lineárních rovnic? Jak spolu souvisí řešení nehomogenní soustavy a přidružené homogenní soustavy lineárních rovnic? 3. dílčí téma: Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice a Cramerovým pravidlem K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 2.,3. kapitola, odst. 2.4., 3.4. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 2.,3. kapitola Soustavy lineárních rovnic se čtvercovou regulární maticí Výpočet řešení soustavy lineárních rovnic pomocí inverzní matice Výpočet řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla Cramerovo pravidlo Jak vyřešíte soustavu lineárních rovnic s regulární maticí, znáte-li inverzní matici? Co je to Cramerovo pravidlo? Jak se řeší soustavy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla? 6

Metodický list pro čtvrté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Posloupnosti a funkce Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit, co je to posloupnost a jak se definuje limita posloupnosti. Dále umět pracovat s pojmem funkce a zvládnout vybrané funkce včetně jejich definičního oboru, oboru hodnot a nakreslení grafu. Umět vyšetřit, zda je funkce sudá, lichá, periodická a najít inverzní funkci k zadané funkci. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Posloupnost a její limita 2. Funkce a její vlastnosti 3. Elementární funkce a jejich grafy 1. dílčí téma: Posloupnost a její limita K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.1. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola Definice posloupnosti Existence limity posloupnosti Výpočet limity posloupnosti Posloupnost, monotónní posloupnost, vybraná posloupnost, aritmetická a geometrická posloupnost, limita posloupnosti, konvergentní a divergentní posloupnost, omezená posloupnost Jakým způsobem lze zadat posloupnost? Co je to konvergentní posloupnost a jak se definuje její limita? Limitou jaké posloupnosti je Eulerovo číslo e? 2. dílčí téma: Funkce a její vlastnosti K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.2. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola 7

Nalezení definičního oboru a oboru hodnot funkce, nakreslení grafu funkce Vyšetření, zda je funkce sudá, lichá, periodická Nalezení inverzní funkce k dané funkci Definiční obor funkce, obor hodnot funkce, graf funkce, lichá a sudá funkce, periodická funkce, prostá funkce, inverzní funkce, složená funkce Co je to definiční obor a obor hodnot dané funkce? Co je to funkce lichá, sudá, periodická? Co je to inverzní funkce k dané funkci a jak se vypočte? 3. dílčí téma: Elementární funkce a jejich grafy K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.2. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola Grafy mocninných funkcí, exponenciela a přirozený logaritmus Vlastnosti a grafy goniometrických funkcí Vlastnosti a grafy cyklometrických funkcí Elementární funkce, konstantní funkce, přímka a její graf, směrnice přímky, mocninná funkce, goniometrické funkce - sinus, kosinus, tangens, kotangens, cyklometrické funkce - arkussinus, arkuskosinus, arkustangens, arkuskotangens, exponenciela, přirozený logaritmus a nakreslit grafy všech níže uvedených funkcí Můžete uvést vlastnosti mocninných funkcí y = x n v závislosti na n? Můžete uvést vlastnosti goniometrických a k nim inverzních funkcí? Můžete uvést vlastnosti funkcí exponenciela a přirozený logaritmus? 8

Metodický list pro páté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Spojitost, limita a derivace funkce Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit vztah mezi spojitostí a limitou funkce a následně se naučit vypočítat limitu funkce v bodě nespojitosti funkce. Dále porozumět pojmu derivace a seznámit se s pojmy derivace v bodě a derivace funkce. Umět vypočítat derivaci funkce podle definice a znát derivace vybraných elementárních funkcí. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Spojitost a limita funkce 2. Výpočet limity funkce 3. Derivace funkce a její výpočet 1. dílčí téma: Spojitost a limita funkce K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.3. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola Definice spojitosti funkce Definice limity funkce ve vlastním i v nevlastním bodě Vztah mezi spojitostí a limitou funkce Okolí bodu, spojitost funkce, spojitost funkce zleva (zprava), limita funkce, jednostranná limita funkce Jak se definuje spojitost funkce v bodě? Jak se definuje limita funkce v bodě? Vyplývá z existence limity v bodě též spojitost funkce v bodě či nikoliv? 2. dílčí téma: Výpočet limity funkce K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 4. kapitola, odst. 4.4. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 4. kapitola 9

Limita funkce v bodě, v němž je funkce spojitá Výpočet limit ve vlastním i v nevlastním bodě Výpočet limit typu 0/0 Limita funkce ve vlastním a v nevlastním bodě, limita typu 0/0 Jak se vypočte limita funkce v bodě, v němž je funkce spojitá? Jak se vypočtou limity ve vlastním i v nevlastním bodě? Jak se vypočtou limity typu 0/0? 3. dílčí téma: Derivace funkce a její výpočet K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.1. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Definice a interpretace derivace v bodě Výpočet derivace funkce podle definice Derivace elementárních funkcí Derivace funkce v bodě, diferencovatelná funkce, derivace jako směrnice tečny grafu, derivace jako rychlost změny funkce, derivace funkce, derivace vyššího řádu Jak se definuje derivace pomocí limity? Jak se vypočte derivace podle definice v případě lineární či kvadratické funkce? Můžete uvést derivace elementárních funkcí? 10

Metodický list pro šesté soustředění kombinovaného studia předmětu MATEMATIKA B 1 Název tématického celku: Výpočet a použití derivací Cíl: Základním cílem tohoto tematického celku je pochopit a aplikovat pravidla pro výpočet derivací, hlavně pro výpočet derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí, a dále derivace složené a inverzní funkce. Umět vypočítat některé limity pomocí l Hospitalova pravidla. Tématický celek je rozdělen do těchto dílčích témat: 1. Základní vlastnosti derivace funkce 2. Výpočet derivace funkce 3. L Hospitalovo pravidlo 1. dílčí téma: Základní vlastnosti derivace K prvnímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.2. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí Derivace složené funkce Derivace inverzní funkce Derivace složené funkce, derivace inverzní funkce Jak se derivuje součet, rozdíl, součin a podíl funkcí? Jak se derivuje složená funkce? Jak se derivuje inverzní funkce? 2. dílčí téma: Výpočet derivace funkce K druhému dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.3. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Výpočet derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí Výpočet derivace složené funkce 11

Výpočet derivace inverzní funkce Derivace složené funkce, derivace inverzní funkce Jak se derivuje součet, rozdíl, součin a podíl funkcí? Jak se derivuje složená funkce? Jak se derivuje inverzní funkce? 3. dílčí téma: L Hospitalovo pravidlo K třetímu dílčímu tématu si pečlivě prostudujte: Budinský P., Havlíček I.: Matematika, VŠFS, 2005, 5. kapitola, odst. 5.4. Budinský P., Havlíček I.: Příklady k matematice, VŠFS, 2005, 5. kapitola Princip l Hospitalova pravidla Aplikovatelnost l Hospitalova pravidla Výpočet limit pomocí l Hospitalova pravidla l Hospitalovo pravidlo, Kdy lze aplikovat l Hospitalovo pravidlo? Jak se používá l Hospitalovo pravidlo? Můžete ukázat použití l Hospitalova pravidla na příkladě? 12