VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1. Zjistěte vzájemnou polohu dvou přímek, budou-li rovnoběžné, určete jejich vzdálenost, u různoběžných přímek vypočítejte souřadnice jejich průsečíku a odchylku. p : x = 1 2t, y = 2 + t, q : x = 1 + s, y = 6s, t R s R Řešení: Směrové vektory přímek p, q jsou u r = ( -2 ; 1 ), = ( 1; -6 ). u r k v r přímky p, q jsou různoběžné Vypočítáme souřadnice jejich průsečíku 1 2t = 1 + s 2 + t = 6s 2 1 2t = 1 + s 4 + 2t = 12s 11 s = 6 6 s =, dosadíme do parametrického vyjádření přímky q : 11 Průsečík má souřadnice P = 17 36 ; 11 11. Pro výpočet odchylky dvou přímek dosadíme do vzorce směrové vektory: cos α = u 2 1 u v + u v 1 1 + u 2 2 2 v 2 2 1 + v 2 2
cos α = cos α = ( 2) 1+ 1 ( 6) ( 2) 2 + 1 2 1 2 + ( 6 ) 2 8 185 α = 53 58 Závěr : Přímky jsou různoběžné, průsečík má souřadnice P = α = 53 58. 17 36 ; 11 11 a odchylka Příklad 2. Zjistěte vzájemnou polohu dvou přímek, budou-li rovnoběžné, určete jejich vzdálenost, u různoběžných přímek vypočítejte souřadnice jejich průsečíku a odchylku. p : x + 2y 3 = 0 q : x = 7 2t, y = 1 + t, t R Řešení: Dosadíme parametrické vyjádření přímky q do obecné rovnice přímky p: (7 2t ) + 2( 1 + t ) 3 = 0 2 0 rovnice nemá řešení přímky nemají společný bod, jsou rovnoběžné různé Dosadíme do vzorce pro výpočet vzdálenosti bodu Q q od přímky p: v = axm + bym + c 2 2 a + b v = 1 7 + 2 (-1) 3 2 2 5 = = 2 2 1 + 2 5 5 Závěr : Přímky jsou rovnoběžné různé, vzdálenost přímek je 2 5 v =. 5 Příklad 3. Zjistěte vzájemnou polohu dvou přímek, budou-li rovnoběžné, určete jejich vzdálenost, u různoběžných přímek vypočítejte souřadnice jejich průsečíku a odchylku. p : 3x y + 4 = 0
q : 6x + 5 y 2 = 0 Řešení: Normálové vektory přímek mají souřadnice n r p = ( 3 ; -1 ), n r q = ( 6; 5 ). n r p k. n r q přímky p, q jsou různoběžné Vypočítáme souřadnice jejich průsečíku ( řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých ): 3x y + 4 = 0 (-2) 6x + 5 y 2 = 0-6x + 2 y 8 = 0 6x + 5 y 2 = 0 7y = 10 10 6 y =, x = P = 7 7 10 ; 7 6 7 Pro výpočet odchylky dvou přímek dosadíme do vzorce normálové vektory těchto přímek: cos α = u 2 1 u v + u v 1 1 + u 2 2 2 v 2 2 1 + v 2 2 cos α = 3 2 3 6 + + ( 1) 5 2 2 2 ( 1) 6 + 5 cos α = 13 610 α = 58 14 Závěr : Přímky jsou různoběžné, průsečík má souřadnice P = a odchylka α = 58 14. 10 ; 7 6 7