Lineární algebra : Úvod a opakování

Lineární algebra : Úvod a opakování (1. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 013/014 vytvořeno: 19. února 014, 13:15 1

0.1 Lineární prostory R a R 3 V této přednášce si na jednoduchém příkladu lineárního prostoru, který znáte ze střední školy, ukážeme základní pojmy lineární algebry. Cílem je studenty pomocí konkrétního a jednoduše představitelného příkladu připravit na obecnou (abstraktní) konstrukci lineárního prostoru. Prostory šipek R a R 3 budeme používat jako ilustrační příklady v celé přednášce a silně doporučujeme studentům, aby si všechny probrané pojmy snažili v těchto prostorech představit. I k tomu by měla napomoci tato úvodní přednáška. Vektor : n-tice čísel, šipka, bod Ústředním pojmem lineární algebry je vektor. Na střední škole jste se seznámili s vektory ve dvourozměrném R a třírozměrném prostoru R 3 a vektor jste si představovali jako šipku. Tato představa Vám často pomůže i při studiu tohoto předmětu, kde se ovšem bude pracovat s abstraktními (zobecněnými) pojmy. Tři pohledy na vektor v R : uvažujme vektor v = (, 1/). první souřadnice: v 1 = druhá souřadnice: v = 1 Vektor jako uspořádaná dvojice čísel: v = (v 1, v ) = (, 1/) Vektor jako bod: 3 1 [, 1/] 1 θ 1 3 1 Vektor jako šipka:

3 3 (, 1/) 1 (, 1/) 1 θ 1 3 1 Podobně by to dopadlo pro trojrozměrný vektor z R 3, jenom by přibyla ještě třetí souřadnice v 3, a také příslušná třetí osa. Formálně ovšem můžeme pokračovat a přidávat další souřadnice a dostaneme tak n- rozměrný vektor v = (v 1,..., v n ) jakožto prvek R n. Pro n > 3 už selhává lidská představivost, ale matematika to zvládá hravě. Pro zajímavost ještě doplňme, že i číslo lze chápat jako jednorozměrný vektor v = v 1. Operace s vektory v u Abychom odlišili sčítání vektorů od klasického sčítání, budeme jej značit značkou. Definice 1. Sčítání vektorů v R definujeme jako sčítání po složkách, tedy v u = (v 1, v ) (u 1, u ) := (v 1 + u 1, v + u ). Podobně bychom definovali sčítání v R 3. Všimněte si, že operace sčítání vektorů je definována pomocí notoricky známe operace sčítání čísel. Jak uvidíme, zdědí od ní i mnoho vlastností. Příklad. Součtem vektorů (, 1) a (, ) dostaneme vektor geometrická interpretace (, 1) (, ) = ( +, 1 ) = (4, 1)

4 1 (, 1) (, ) 1 θ 1 3 4 1 (4, 1) Geometrická interpretace v u: šipku v položím do počátku θ = (0, 0) a napojím na ni šipku u, součet je šipka mezi θ a koncem šipky u. komutativita Věta 3. Sčítání vektorů v R je komutativní, neboli pro libovolné v a u platí v u = u v. Důkaz (nemístně rozpitván). Chceme ukázat, že pro všechny v, u R platí v u = u v, neboli pro všechna reálná čísla v 1, v, u 1, u R (v 1 + u 1, v + u ) = (u 1 + v 1, u + v ). Dva vektory se rovnají, pokud se rovnají všechny jejich složky, neboli pokud v 1 +u 1 = u 1 +v 1 a v +u = u +v. A to platí, neboť sčítání reálných čísel komutativní je. Co komutativita znamená pro sčítání šipek : komutativita (na šipkách) Příklad 4 (ne důkaz!!!). Na pořadí při sčítání vektorů nezáleží: (, 1) (, ) = ( +, 1 ) = ( +, + 1) = (, ) (, 1) 1 (, 1) (, ) 1 θ 1 3 4 1 (, ) (4, 1) (, 1)

5 asociativita Věta 5. Sčítání vektorů v R je asociativní, neboli pro libovolné v, u a w platí ( v u) w = u ( v w). Důkaz. Výše uvedenou rovnost opět s použitím definice operace převedeme na rovnice (v 1 + u 1 ) + w 1 = v 1 + (u 1 + w 1 ) a (v + u ) + w = v + (u + w ) pro souřadnice z R a ty zjevně platí, neboť sčítání reálných čísel je asociativní. Příklad 6 (ne důkaz!!!). Sčítám-li tři vektory, je jedno jestli nejdříve sečtu první dva a přičtu ke třetímu, nebo sečtu druhý a třetí: asociativita (příklad) ((, 1) (, )) ( 1, 3) = (4, 1) ( 1, 3) = (3, ) (, 1) ((, ) ( 1, 3)) = (, 1) (1, 1) = (3, ) Lidsky řečeno (tj. v písemce nepoužitelné!): asociativní zákon říká, že při sčítání více vektorů mohu vynechat závorky, protože to při jakémkoli uzávorkování dopadne stejně. Přidáme-li k asociativitě ještě komutativitu, můžeme dokonce vektory libovolně propermutovat a výsledek sčítání se nezmění. Kdybychom operaci pro vektory definovali jako násobení po složkách v u = (v 1 u 1, v u ) bude se opět jednat o komutativní a asociativní operaci, neboť násobení čísel je komutativní a asociativní. Operace, pro kterou toto neplatí dobře známe: odčítání a dělení čísel 3 3 (8 4) 4 8 (4 4). asociativita a komutativita revisited

6 Sčítáme vektory asociativita a komutativita na šipkách (1, 1), (1, ), (3, 1/), ( 1, 5/). Díky asociativitě a komutativitě víme, že příslušné šipky můžeme vkládat za sebe libovolně a vždy skončíme ve stejném bodě [4, 1] (resp. součet bude vektor (4, 1)). 4 3 1 [4, 1] 1 θ 1 3 4 5 1 3 Násobení vektoru číslem Abychom odlišili násobení vektoru číslem od klasického násobení, budeme jej značit značkou. Definice 7. Násobení vektoru v z R číslem α z R definujeme jako α v = α (v 1, v ) := (αv 1, αv ). Podobně bychom definovali násobení vektoru z R 3. Všimněte si, že operace je definována opět pomocí notoricky známe operace násobení čísel. Jak uvidíme, opět od ní zdědí i mnoho vlastností. Příklad 8. Násobení vektoru (, 1) čísly a 3, : Násobení vektoru číslem: geometrická interpretace

7 1 (, 1) = (4, ) (, 1) 4 3 1 θ 1 3 4 1 3/ (, 1) = ( 3, 3/) Násobení číslem znamená změnu velikosti vektoru, v případě násobení záporným číslem i obrácení směru. Je-li vektor v rovnoběžný s u, pak existuje α R tak, že v = α u. Už jsme ukázali, že je komutativní a asociativní, podobně bychom mohli ukázat ještě mnoho dalších vlastností: 1. ( v, u R )( v u = u v ), komutativita. ( v, u, w R )( ( v u) w = v ( u w) ), asociativita 3. ( α, β R)( v R )( α (β v) = (αβ) v ), asociativita 4. ( α R)( v, u R )( α ( v u) = (α v) (α u) ),distributivita 5. ( α, β R)( v R )( (α + β) v = (α v) (β v) ),distributivita 6. ( v R )( 1 v = v ), neutralita jedničky 7. ( θ R )( v R )(0 v = θ). existence nulového vektoru Všechny tyto vlastnosti platí i v případě vektorů z R 3. ope- Vlastnosti rací a Všech sedm vlastností a bychom snadno dokázali s využitím definice a a vlastností operací sčítání a násobení reálných čísel. Vlastnosti operací a : axiomy lineárního prostoru Brzy si ukážeme další vlastnosti a tvrzení o množině vektorů s operacemi a.

8 Obecně řečeno postupujeme takto: 1. Vezmeme si konkrétní množinu vektorů (R resp. R 3 ) a na ní definujeme operace a.. O této množině a nově definovaných pojmech ukazujeme další tvrzení. V semestru budeme postupovat jinak: nebudeme zkoumat konkrétní množinu a konkrétní operace, ale obecnou konstrukci, kterou nazveme lineární prostor a která bude vymezena axiomy. Množina vektorů (šipek) z R bude pouze jeden z mnoha možných příkladů lineárního prostoru. Jak bude vypadat konstrukce abstraktního Lineárního prostoru V nad tělesem T : Obecná konstrukce lineárního prostoru (náznak) Těleso je množina T skalárů (obvykle čísel), na které jsou definované dvě binární operace, které z tradičních důvodů značíme + a. Formálně je tedy těleso trojice (T, +, ). Musí být navíc splněny tzv. axiomy tělesa: uzavřenost T vůči operacím + i, asociativita, distributivita, komutativita obou operací a existence jednotky a nuly. My se pro zjednodušení omezíme na číselná tělesa, kde operace + a budou klasické sčítání a násobení, a jako množinu T budeme uvažovat obvykle R nebo C. Lineární prostor pak bude množina V objektů, kterým budeme říkat vektory, vybavená binárními operacemi : V V V a : T V V, které splňují axiomy lineárního prostoru. Tyto axiomy se shodují se sedmi vlastnostmi R uvedenými dříve. Lineární prostor je tedy čtveřice (V, T,, ).

9 Lineární kombinace Od teď budeme namísto a psát normální + a (příp. nic). Z kontextu bude vždy jasné, jestli se jedná o klasické sčítání či násobení čísel, nebo o sčítání vektorů či násobení vektorů číslem. Dalším veledůležitým pojmem lineární algebry je lineární kombinace vektorů, která vznikne zřetězením operací násobení číslem a sčítání vektorů: Definice 9. Buďte v 1,..., v n vektory a α 1,..., α n reálná čísla (obecně prvky tělesa), n je přirozené. Potom vektor u = n α k v k = α 1 v 1 + + α n v n k=1 nazveme lineární kombinací vektorů v 1,..., v n s koeficienty α 1,..., α n. Lineární kombinace Lineární obal Příklad 10. Uvažujme dva vektory e 1 = (1, 0) a e = (0, 1) z R. Tvrdíme, že každý další vektor z R je lineární kombinací těchto dvou. A je tomu skutečně tak: vezměme vektor v = (v 1, v ). Potom zřejmě platí, že v = v 1 e 1 + v e a tedy v je lineární kombinací vektorů e 1 a e. Skutečně jsme ukázali, že lze nakombinovat libovolný vektor, neboť vektor v je vyjádřen pomocí dvou proměnných (tj. libovolných) souřadnic v 1 a v, pro které neplatí žádné omezení (kromě předpokladu, že se jedná o reálná čísla). Použití proměnných z uvedené úvahy dělá obecný důkaz. Pokud byste vzali 1 konkrétní čísla, ukázali byste přinejlepším mechanizmus, jak se důkaz zkonstruuje, ale rozhodně by se nejednalo o korektní a úplný důkaz. Jak za chvíli uvidíme, vektory e 1 a e tvoří tzv. bázi R, jednou z vlastností báze je právě to, že každý vektor je jejich lineární kombinací. Abychom mohli bázi řádně definovat, potřebujeme zavést dva další důležité pojmy. Definice 11. Množinu všech lineárních kombinací vektorů v 1,..., v n, kde n je přirozené číslo, nazýváme jejich lineární obal a značíme v 1,..., v n.

10 Lineární obal: příklady (1 ze 3) Příklad 1 (pokračování). Uvažujme stále dva vektory e 1 = (1, 0) a e = (0, 1) z R. Fakt, že každý vektor z R je jejich lineární kombinací můžeme nyní přeformulovat takto: e 1, e = R, neboli že lineární obal e 1 a e je celý prostor R. Otázka: které další soubory vektorů mají tuto vlastnost? Příklad 13. Uvažujme vektory (, 1) a ( 4, ) a zkusme pomocí jejich lineární kombinace získat vektor (, ). Hledáme tedy čísla α a β tak, aby α(, 1) + β( 4, ) = (, ). Lineární obal: příklady ( ze 3) Příklad 14. Uvažujme vektory (, 1) a ( 4, ) a zkusme pomocí jejich lineární kombinace získat vektor (, ). Hledáme tedy čísla α a β tak, aby α(, 1) + β( 4, ) = (, ). To vede na soustavu dvou rovnic o dvou neznámých α 4β = α 4β = 1, která zjevně nemá řešení. Proto jistě neplatí, že (, 1), ( 4, ) = R. Lineární obal: příklady (3 ze 3) 1 Jistě to mnoho lidí v písemce či zkoušce udělá.

11 Příklad 15. Uvažujme nyní vektory (, 1) a (1, ) a zkusme napsat vektor (v 1, v ) jako jejich lineární kombinaci: hledáme opět α a β tak, aby platily násl. dvě rovnice: α + 1β = v 1 1α + β = v. Odečtením dvojnásobku druhé rovnice od první dostáváme 3β = v 1 v α + β = v. což vede na řešení β = v v 1 3 a α = v β = v 1 v 3. Ukázali jsme, že libovolný vektor umíme nakombinovat a tedy platí (, 1), (1, ) = R. Lineární nezávislost (1 z 3) Viděli jsme že (, 1), ( 4, ) R. Jakou množinu vektorů ale získáme: (, 1), ( 4, ) =??. Abychom si to ujasnili, reprezentujme si vektory jako šipky: 1 (, 1) 4 3 1 θ 1 3 1 ( 4, )

1 Vzpomeneme-li si na geometrickou interpretaci násobení vektoru číslem a sčítání vektorů, je vidět že lineární obal odpovídá přímce ve směru vektorů (, 1) a ( 4, ). Lineární nezávislost ( z 3) Důvod, proč z vektorů (, 1) a ( 4, ) nedostaneme celý prostor R je ten, že jsou tyto vektory rovnoběžné, neboli jeden je násobek druhého: (, 1) = 1 ( 4, ) a ( 4, ) = (, 1). Platí tedy (, 1), ( 4, ) = (, 1) = ( 4, ) a jeden z vektorů můžeme vyhodit, aniž bychom změnili výsledný lineární obal. Lineární nezávislost (3 ze 3) Definice 16. Soubor n > 0 vektorů v 1,..., v n nazveme lineárně nezávislý, jestliže žádný z vektorů není lineární kombinací ostatních. Kdybychom chtěli ověřit, zda daný soubor vektorů je lineárně nezávislý, nemusíme testovat všechny možnosti jak jeden vektor nakombinovat z ostatních, neboť platí následující. Věta 17. Soubor n > 0 vektorů v 1,..., v n je lineárně nezávislý právě když rovnice α 1 v 1 + + α n v n = θ má jediné řešení α 1 = α = = α n = 0.

13 Důkaz. Předpokládejme nejdříve, že soubor je lineárně nezávislý a ukažme, že rovnice α 1 v 1 + + α n v n = θ má jediné řešení α 1 = α = = α n = 0. Ukážeme to sporem předpokládejme, že existuje řešení, kde α k 0 pro nějaké 1 k n. Potom platí α 1 v 1 + + α k 1 v k 1 + α k+1 v k+1 v n = α k v k. Jelikož je α k nenulové, můžeme rovnici tímto číslem vydělit, a tak zjistíme, že vektor v k je lineární kombinací vektorů ostatních a soubor tak není lineárně nezávislý, což je spor. Zbývá ukázat, druhou implikaci: má-li rovnice α 1 v 1 + + α n v n = θ (1) jediné řešení α 1 = α = = α n = 0, pak musí být soubor lineárně nezávislý. Opět tuto implikaci dokážeme sporem: předpokládejme, že soubor je lineárně závislý. Potom musí existovat vektor v k, kde 1 k n, takový, který je lineární kombinací ostatních. Dle definice lineární kombinace to znamená, že existují koeficienty α 1,..., α k 1, α k+1,..., α n tak, že α 1 v 1 + + α k 1 v k 1 + α k+1 v k+1 v n = v k. To ale znamená, že rovnice (1) má nenulové řešení α 1 v 1 + + α k 1 v k 1 1 v k α k+1 v k+1 v n = θ. Lineární nezávislost: příklady Příklad 18. Dříve jsme si vysvětlili, že vektory (, 1) a ( 4, ) jsou lineárně závislé. Skutečně tomu tak je, neb rovnice má řešení např. α = a β = 1. α(, 1) + β( 4, ) = θ

14 Příklad 19. Naopak vektory (, 1) a (1, ) jsou lineárně nezávislé, neb rovnice α(, 1) + β(1, ) = θ má jediné řešení α = β = 0, jak si snadno ověříte (Udělejte to!!!). Lineární obaly v R Lineární obal jednoho nenulového vektoru v z R je vždy přímka. Jak to je se dvěma vektory? Věta 0. Lineární obal dvou nenulových vektorů je přímka, jsou-li tyto dva vektory lineárně závislé (tj. rovnoběžné), celý prostor R, jsou-li lineárně nezávislé. Důkaz. Zatím intuitivně (s pomocí geometrické představy). Z předchozí věty plyne, že každý tří a vícečlenný soubor (nenulových) vektorů je lineárně závislý. Skutečně: máme-li tři vektory, je jejich lineární obal buď přímka, a pak jsou jistě lineárně závislé, neb musí být všechny rovnoběžné, anebo v souboru jsou dva lineárně nezávislé vektory a tedy jejich lineární obal je celé R. Z toho nutně plyne, že třetí vektor lze nakombinovat z těchto dvou a tedy celý soubor je lineárně závislý. Tento fakt lze formulovat takto: největší lineárně nezávislý soubor vektorů v R má dva členy. Číslu které vyjadřuje velikost největšího lineárně nezávislého souboru říkáme dimenze lineárního prostoru. Platí tedy, že dimenze R je dva. Nyní je jasné, že lineární obal lineárně nezávislého dvoučlenného souboru vektorů je celé R, takovému souboru budeme říkat báze. Obecně budeme definovat bázi jako lineárně nezávislý soubor n vektorů, kde n je dimenze daného lineárního prostoru (pokud je dimenze konečná). Dimenze a báze lineárního prostoru Báze lineárního prostoru R : příklady Dokazujeme-li implikaci A B sporem, ukážeme, že nemůže platit negace, tedy A B. Zde A = soubor vektorů je lineárně nezávislý a B = rovnice má jediné nulové řešení

15 Příklad 1. Viděli jsme, že vektory e 1 = (1, 0) a e = (0, 1) mají jako lineární obal R a tvoří tedy bázi. Těmto vektorům se říká standardní báze R a značíme je E = ((1, 0), (0, 1)). Příklad. Další bází, kterou jsme si ukázali, byl soubor X = ((, 1), (1, )). Lineární prostor R 3 Vše, co jsme si řekli o R, lze rozšířit i na R 3. Dimenze R 3 je rovna třem. Dva vektory jsou lin. nezávislé, nejsou-li rovnoběžné. Jejich lineární obal je pak rovina, která tyto dva vektory obsahuje. Tři vektory jsou lin. nezávislé, pokud neleží všechny v jedné rovině. Je-li tomu tak, je jejich lineárním obalem celé R 3 a tyto vektory tvoří bázi. Standardní bází R 3 jsou vektory E = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)).