MATEMATIKA O paradoxeh spojenýh s losováním oulí PAVEL TLUSTÝ IRENEUSZ KRECH Eonomiá faulta JU, Česé Budějovie Uniwersytet Pedagogizny, Kraów Matematia popisuje a zoumá různé situae reálného světa. Je přirozené, že nědy řešíme případ, terý se ez hlušího rozoru jeví jao paradoxní. Speiálně teorie pravděpodonosti je na paradoxy velmi ohatá. To svědčí o tom, že naše stohastié intuie nejsou vždy utvářené správně. Jedním taovým paradoxem se zaývá i tento článe. Začneme jednoduhým příladem. Přílad 1 V pytlíu je ílýh a černýh oulí. Jaá je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná oule ude černá? Jaá je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná oule ve druhém tahu ude černá, poud první vylosovanou ouli vrátíme zpět do pytlíu? Snadno si rozmyslíme, že oě otázy řeší stejnou situai, a tedy je zřejmé, že v oou případeh je hledaná pravděpodonost rovna /( + ). Nyní situai změníme. Přílad 2 V pytlíu je ílýh a černýh oulí. Jaá je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná oule ve druhém tahu ude černá, poud první vylosovanou ouli nevrátíme zpět do pytlíu? V tomto případě vidíme, že stav oulí v pytlíu před druhým losováním závisí na výsledu prvního tahu. Jiná situae nastane, poud v prvním tahu vylosujeme ílou ouli, a jiná, poud je v prvním tahu tažena oule Matematia fyzia informatia 24 2015 1
černá. Ovyle se taovýh případeh zavádí pojem podmíněná pravděpodonost a řešení příladu 2 se užije věty o elové pravděpodonosti (viz [1, str. 193]). Tímto postupem dostaneme následujíí řešení: První řešení. Označme P (C n )... pravděpodonost vylosování černé oule v n-tém tahu (n N), P (B 1 )... pravděpodonost vylosování ílé oule v 1. tahu, P (C 2 B 1 )... pravděpodonost vylosování černé oule v 2. tahu, ude-li v prvním tahu vylosována ílá oule, P (C 2 C 1 )... pravděpodonost vylosování černé oule v 2. tahu, ude-li v prvním tahu yla vylosována černá oule. Pa dle věty o elové pravděpodonosti dostaneme rovnost Víme, že P (C 1 ) P (C 2 C 1 ) + P (B 1 ) P (C 2 B 1 ). P (C 1 ) = Podoně vypočítáme, že +, P (B 1) = +. P (C 2 C 1 ) = 1 1 +, P (C 2 B 1 ) = + 1. Po dosazení dostaneme + 1 1 + + + + 1 = +. Uvedený výslede uazuje, že pravděpodonost vylosování černé oule ve druhém tahu nezáleží na tom, zdali ouli vylosovanou v prvním tahu vrátíme do pytlíu či nioli, a je též rovna pravděpodonosti vylosování černé oule v prvním tahu. Tato sutečnost se zdá paradoxní. Užití podmíněné pravděpodonosti znamená, že taové úlohy yhom mohli řešit až se studenty vyššíh ročníů střední šoly. Další nevýhodou taovéhoto formalizovaného řešení je jeho malá názornost. Zvolíme-li jiný přístup s užitím tzv. stohastiého stromu (podroně je tato tehnia popsána např. v [1]), můžeme se pojmu podmíněné pravděpodonosti vyhnout, ja uazuje následujíí řešení: 2 Matematia fyzia informatia 24 2015
Druhé řešení. Náhodný pous se sládá ze dvou tahů (etap). Na or. 1 je stohastiý strom taového pousu, čísla přiřazená jednotlivým větvím stromu představují odpovídajíí pravděpodonosti. + + -1-1+ -1-1 + -1 Or. 1 Při použití stohastiého stromu vidíme, že vylosovat černou ouli ve druhém tahu můžeme dvěma různými způsoy (strom má dvě větve). Podle ominatoriého pravidla součtu (viz např. [2]) je výsledná pravděpodonost rovna součtu pravděpodoností jednotlivýh větví. Podle ominatoriého pravidla součinu (viz např. [2]) je pravděpodonost aždé z větví dána součinem pravděpodoností jednotlivýh losování. Odtud plyne, že + 1 1 + + + + 1 = +. Záladní ominatorié prinipy využívá i následujíí řešení. Třetí řešení. Vzhledem tomu, že všehny možné výsledy vylosování dvou oulí z pytlíu jsou stejně pravděpodoné, je stohastiým modelem taového pousu lasiý pravděpodonostní prostor. V lasiém pravděpodonostním prostoru se pravděpodonost jevu vypočte jao podíl počtu výsledů příznivýh danému jevu a počtu všeh možnýh výsledů. Počet všeh možnýh výsledů losování: Před prvním tahem je v pytlíu ( + ) oulí, a tedy můžeme zísat ( + ) různýh výsledů losování. Před druhým tahem je v pytlíu ( + 1) oulí, a tedy můžeme zísat ( + 1) různýh výsledů losování. Podle ominatoriého pravidla součinu je tedy elem ( + ) ( + 1) různýh výsledů tažení dvou oulí. Počet losování, v nihž je ve druhém tahu vylosována černá oule: V pytlíu je černýh oulí, a tedy ve druhém tahu lze vylosovat černou ouli různými způsoy. V první tahu losujeme liovolnou Matematia fyzia informatia 24 2015 3
ouli ze zývajííh, ož lze udělat (+ 1) různými způsoy. Podle ominatoriého pravidla součinu je elem ( + 1) různýh výsledů. Odtud plyne, že ( + 1) ( + ) ( + 1) = +. Tento postup je univerzální, tj. lze ho použít i v situai, dy nás zajímá, jaá je pravděpodonost, že oule vylosovaná v n-tém tahu ude černá n = 1, 2,..., +. Pa dostáváme P (C n ) = ( + 1)... ( + (n 1)) ( + ) ( + 1)... ( + (n 1)) = +. Vidíme tedy převapujíí sutečnost, že při losování oulí (po jedné) je pravděpodonost vylosování černé oule ve všeh tazíh stejná! Čtvrté řešení. Do láhve dáme ílýh a černýh oulí. Zamíháme je a orátíme láhev dnem vzhůru. Koule začnou vypadávat z láhve (or. 2). Zajímá nás pořadí, v jaém oule vypadnou. Or. 2 Ze symetrie je zřejmé, že aždá z oulí může se stejnou pravděpodoností vypadnout na liovolném z + míst, proto P (C n ) = Situai lze ještě zoenit. + pro n {1, 2,..., + }. 4 Matematia fyzia informatia 24 2015
Přílad 3 V pytlíu je ílýh a černýh oulí. Jaá je pravděpodonost, že náhodně vylosovaná oule ve druhém tahu ude černá, poud ouli vylosovanou v prvním tahu vrátíme zpět do pytlíu a a) přidáme oulí téže arvy, ) uereme oulí téže arvy, de min(, )? Řešení. Označme elé číslo splňujíí zadání příladu a užijeme stejný postup jao ve 2. řešení příladu 2. Odpovídajíí stohastiý strom je na or. 3. + + + + + + + + + Z or. 3 plyne, že Or. 3 + + + + + + + + = +. Uvedené tři přílady pouazují na paradoxní situai. Pravděpodonost vylosování oule nezávisí na způsou losování, tj. zda vylosované oule vraíme do pytlíu či nioli, je stejná pro všehny tahy, tj. P (C 1 ) =... = P (C + ), nezávisí na přidání neo urání oulí (podle pevně stanovenýh pravidel). L i t e r a t u r a [1] P loi, A. Tlustý, P.: Pravděpodonost a statistia pro začátečníy a mírně poročilé. Prometheus, Praha, 2007. [2] P loi, A. Tlustý, P.: Kominatorya woó l nas, Novum, P lo, 2010. Matematia fyzia informatia 24 2015 5