4.1 Shrnutí zákadních poznatků V případech příčných deformací přímých prutů- nosníků se zabýváme deformací jejich střednice, tj. spojnice těžiště příčných průřezů. Tuto deformovanou křivku nazýváme průhybová čára. Posunutí těžiště průřezu nosníku ve směru komém k jeho ose pak nazýváme průhybnosníku vvdanémmístě.úhe,onějžsenatočíkaždýprůřezvůčisvépůvodní pooze v nezatíženém stavu, nazýváme úhe natočení průřezu ϕ. Níže popsané metody výpočtu zmíněných deformací jsou omezeny násedujícími předpokady: jednáseorovinnýohyb, průhyby jsou maé, patí Hookeův zákon, nosník je prizmatický a modu pružnosti v tahu je konstantní, není uvažován viv posouvajících si. Diferenciání rovnice průhybové čáry Pro uvedené kadné soustavy souřadnic, v(), včetně kadného smysu ohybových momentů, v souadu s obr. 1, má diferenciání rovnice průhybové čáry tvar v ()= M(), (1) kde M()jevnitřníohybovýmoment, EjemodupružnostivtahuaJ z jekvadratický moment průřezu stanovený k neutrání ose. Dáe uvažujeme v ()=tanϕ(). = ϕ() (2) za předpokadu maých deformací. Úhe ϕ() se přitom měří od kadné pooosy k tečně průhybovéčáryvuvažovanémboděatovestejnémsmysu,vněmžseoúhe ϕ= π 2 pootočí kadnýsměrosy dokadnéhosměruosy v(),vizobr.1. +M() (a) +ϕ() +ϕ() + + (b) +M() +M() + + +ϕ() +ϕ() +M() (c) Obr. 1: Voba os a v() soustavy souřadnic včetně kadného smysu ohybového momentu. (d) 1
Rovnice(1) popisující průhyb nosníku je obyčejná diferenciání rovnice 2. řádu. Jejím řešením tudíž obdržíme 2 integrační konstanty. Jak je ae vidět z(1), průhyb závisí na ohybovém momentu. Proto se průhybová čára bude skádat z toika částí, na koik intervaů (poí) by nosník rozděěn při vyšetřování průběhu vnitřního ohybového momentu. By-i tedy nosník rozděěn na n poí, vyskytuje se v řešení 2n integračních konstant. Ty určíme z odpovídajících okrajových podmínek, které musí spňovat podmínky předepsané v uožení, tj. např. nuový průhyb v tuhé podpoře, podmínkyvyjadřujícíspojitostprůhybovéčáryvbodech i,tj. v( i )=v( i +), podmínkyvyjadřujícíhadkostprůhybovéčáryvbodech i,tj. v ( i )=v ( i +), kde = i pro i=1,2,...,n 1jsouodpovídajícísouřadnicebodůnarozhraníjednotivých poí. Sestavením těchto okrajových podmínek dostáváme soustavu 2n ineárních agebraických rovnic pro neznámé integrační konstanty. Má-i potom nosník větší počet poí, stává se výpočet integračních konstant pracným. V těchto případech je výhodnější použít pro výpočet deformací jinou metodu. Metoda momentových poch Pomocí této metody ze nejen, obdobně jako při řešení diferenciání rovnice, určit úhe natočeníaprůhybvobecnémřezunosníku,aerovněžiúhenatočeníaprůhybpřímov řezu, který nás zajímá. Metoda momentových poch je zaožena na anaogii Schwederovy věty pro posouvající síu a ohybový moment dt() d = q() a d 2 M() d 2 = q() (3) a diferenciání rovnice, viz(1) a(2), popisující úhe natočení a průhyb dϕ() d = M() a d 2 v() d 2 = M(). (4) M() q() v() ϕ() Z matematického hediska se jedná o diferenciání rovnice naprosto stejného typu. Důežitým aspektem řešení jsou však okrajové podmínky odpovídající přísušným fyzikáním dějům. Proto si postupně ukážeme, jak je nutné postupovat při vyšetřování deformací nosníků různých typů. V závěru této části potom ukážeme daší možnost řešení, kdy upravíme okrajové podmínky pomocí tzv. fiktivních nosníků. Obr. 2: Nosník na dvou podporách. Rovnice(3)a(4)majívpřípaděnosníkůna dvou podporách, viz obr. 2, také shodné okrajové podmínky. Tyto skutečnosti jsou dostačující k tomu, abychom mohi využít matematického modeování, kdy jeden fyzikání děj 2
OHYB(Deformace) může být popsán dějem jiným. Z uvedeného vypývá, že úhe natočení ze vyjádřit jako ϕ()= 1 [ ] posouvajícísíavmístěhedanéhoúhunatočeníodzatížení (5) nosníku fiktivním obtížením totožným s momentovou pochou a obdobně průhyb v()= 1 [ ohybovýmomentvmístěhedanéhoprůhybuodzatíženínosníku fiktivním obtížením totožným s momentovou pochou ]. (6) dξ dξ v() q(ξ) ξ ξ ξ Obr. 3: Nosník vetknutý. dϕ(ξ) ϕ() Způsob výpočtu deformací u nosníků na dvou podporáchuvedenýv(5)a(6)nezeovšemtakto použít u nosníků vetknutých, kde nejsou spněny odpovídající si okrajové podmínky. Pode obr.3jepro ξ = fiktivníohybovýmoment M f (),zatímcoproprůbyb v()=.podobnějeprofiktivníposouvajícísíu T f () aproúhenatočení ϕ()=. Sohedemnaobr.3tedymůžemepsát dϕ(ξ)=± dξ, (7) přičemž se zatím nezabývejme určením znaménka tétorovnice.zobr.3jedáevidět,že dv(ξ)=(ξ )dϕ(ξ)=± (ξ ) dξ. (8) Integrací předchozích dvou rovnic pro případ, že chceme určit úhe natočení a průhyb v místě, dostáváme ϕ()=± dξ a v()=± (ξ )dξ. (9) Odtudvypývá,žeúhenatočeníaprůhybsevezvoenémřezu, vypočítájako ϕ()=± 1 [ ] pochačástimomentovépochymezimístem, (1) výpočtu úhu natočení a místem vetknutí v()=± 1 [ ] ineárnímoment(počítanýkmístuprůhybu)částimomentové.(11) pochy mezi místem výpočtu průhybu a místem vetknutí Znaménko v těchto vztazích se určí pode zvoené soustavy souřadnic, viz obr. 4, pro,. Znaménko ohybového momentu se potom při dosazování do integráů uvažuje vždy kadné. 3
v> + v< ϕ< ϕ> Obr. 4: Určení znaménka deformací. Při výpočtu deformací na nosnících s převisým koncem využijeme postupu uvedeného u nosníků na dvou podporách a nosníků vetknutých, přičemž upatníme zákon superpozice. Jestiže se zabýváme výpočtem deformací na tomto typu nosníku pouze mezi podporami, provádíme výpočet shodně jako v případě nosníků mezi podporami, vztahy(5) a(6), přičemž do výpočtu zahrnujeme pouze viv momentové pochy mezi podporami. Jestiže se zabýváme výpočtem deformací na převisém konci nosníku, skádají se výsedné deformace ze dvou částí. Díky vivu momentové pochy mezi podporami dojde k natočení převisého konce nosníku o úhe ϕ 1 = 1 [ posouvajícísíavmístěpodporyodzatíženínosníkufiktivním obtížením totožným s momentovou pochou mezi podporami atakivznikuprůhybu v 1,kterýpromaéhodnotyúhunatočenívypočtemejako ] (12) v 1 = ϕ 1 [vzdáenostodpodporykmístuvýpočtuprůhybu]. (13) K těmto hodnotám se pak superponují deformace vastního převisého konce nosníku. Při tomto výpočtu si můžeme představit převisou část nosníku jako nosník vetknutý v místě podpory. Výpočet těchto deformací se pak řídí formáně vztahy(1) a(11). Znaménka díčích deformací záeží na vobě souřadnicových systémů. Obraťmenynínašipozornostzpětkevzahům(3)a(4).Jestižeoznačíme M() jako fiktivní spojité zatížení, je z anaogie mezi rovnicemi(3) a(4) zřejmé, že = q f () vyšetřeníúhunatočení ϕ()jetotožnésvyšetřenímfiktivníposouvajícísíy T f () v daném místě nosníku, vyšetřeníprůhybu v()jetotožnésvyšetřenímfiktivníhoohybovéhomomentu M f () v daném místě nosníku. Oba předchozí závěry jsou však obecně v patnosti bez ohedu na typ nosníku jen tehdy, jsou-iokrajovépodmínkypro T f,resp.pro M f,totožnésokrajovýmipodmínkamipro ϕ, resp. pro v. Proto nosník, jehož deformace vyšetřujeme, nazývejme nosníkem skutečným. Ke každému skutečnému nosníku potom přiřaďme takový nosník, jehož okrajové podmínky pro T f a M f seshodujísokrajovýmipodmínkamiskutečnéhonosníkupro ϕav.takový 4
nosník nazývejme nosníkem náhradním, nebo také fiktivním. Jejich přehed naezneme na obr. 5. Výpočet deformace metodou momentových poch s použitím fiktivního nosníku pak můžeme obecně formuovat takto: ϕ()= 1 v()= 1 [ ] fiktivníposouvajícísíavdanémmístěnanáhradnímnosníku, (14) od zatížení momentovou pochou skutečného nosníku [ ] fiktivníohybovýmomentvdanémmístěnanáhradnímnosníku.(15) od zatížení momentovou pochou skutečného nosníku Poznamanejme ještě, že s ohedem na znaménka vyskytující se ve Schwederově větě je výhodnédodržovatpřivyšetřování T f a M f stejnouznaménkovouúmuvujakovpřípadech vyšetřování Ta M,vizkapitoyOHYB(Napjatost).Vtakovémpřípaděsekadnésměry deformací nosníku řídí směry zobrazenými na obr. 1(c). ϕ= v= ϕ= v= M f = M f = ϕ= ϕ= v= v= M f = M f = ϕ= ϕ= ϕ= v= v= v= M f = M f = M f = ϕ= ϕ= ϕ= ϕ= v= v= v= v= M f = M f = (a) (b) M f = M f = Obr. 5: Skutečné nosníky ve soupci(a) a jim odpovídající nosníky náhradní(fiktivní) ve soupci(b). 5