. Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete mocninu jako součin : a) b) 6 ab c) 0a - d) a b - Příklad : Vypočítejte : a),7 b) 900 c) 0, d) 0,007 e) 800 f) 0, g) h) (-, ) ch) -0, i) ( - ) j) ( ) k) ( - ) l) - { - [ (- ) ] } m) - n) 0, - o) p) r) s) 0 0 Příklad : Vyjádřete jako součin (podíl ) mocnin s co nejmenším přirozeným základem mocniny : 7 8.9 0 a) c)..0,8 6 8 7 0..8.. b). d) 8.0.6 Příklad : a) ( - ) b) ( - ) c) ( - ) d) ( - ) - Příklad 6 : Porovnejte : a) ( - ) - b) (- ) - c) - 7 -( ) 7 Příklad 7 : Vypočítejte : a),.0 +,. 0,. 0,. 0 +,8. 0 b),7. 0 9,7. 0 6 +. 0,. 0 +. 0 - Příklad 8 : Vypočtěte : a) 0, 0 b) 00 c) 9000000 d) 0, 06 e) 6, g) f) 600 0 h) 0, 0,6 ( ) ch) 900 Příklad 9 : Vypočtěte : a) - + 0, b) 0, - + 0, - + 0, c) 0 ( -,7 )
Příklad 0 : Vypočtěte : a) b) 8 c) 6 d). 6 e) f) 6 a a 8. ročník. Mocniny a odmocniny g) h) a a ch). Sčítání a odčítání mocnin Sčítáme a odčítáme pouze mocniny se stejným základem a exponentem a to tak, že základ a exponent opíšeme a číslo před mocninou sečteme nebo odečteme. Příklad :. + 6. 8. 8. 9. 6. 7a + a a 7a 8 a 8 a 8 a + a a + 6 8a + a a 7 -a + 9a -9a 7x y x y + x y 0x y x y 9x (x-) + (x-) x (x-) 7x (x-) +(x-) x - + x x - - 6x + x - x - x - správně je také -x - x x 0 Příklad : Vypočtěte : a) a a + 0a + 8a + + a + a b) - x x + 0x x + x -8x + c) 6,t -,8t +,7t,9t d) r ( r r ) - [ r ( r r ) ] e) a - [ 6a ( a a ) ] + ( a + a ).. Násobení mocnin Násobit spolu můžeme pouze ty mocniny, které mají společný základ. Mocniny násobíme tak, že základ opíšeme a exponenty sečteme. Příklad : a. a a 9.. - 6 x b. ( - x b ) -8x b 7 x 7. ( - x - ). x -x x 0 x (a+b). 0,x (a+b) - x.(a+b) - a -b x(a+b). (a-b) nemá řešení. x x x 0 x 0 x. 0 x a x+ b -x. -. a -x b x+. a 7-x b x+6 x x 0 Příklad : Vypočtěte : a) 6a. a b b) a b. - a b -
c) ab. a b c d) a - b. abc e) a b c -. a b - c -. 0,7a - b c f) a b - c -. 0,a - c -. 0,x - b cd g) 0,x. x. x -7 y - h) a a+ b. 0,a -x b x. a i) a b j) a b. 0,a 6 b. 0,a b. b Příklad : Řešte rovnice x a) k) a.. a l) 0, x.. x y m) 6. x.0,x n) 7. x. x.( -0, x. x ) o) x.. p). x. x x x x b) c) 0 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vypočítejte : a) (a+r). (a+r) b) (x-y) a. ( x-y) b c) (a-). (-a) 7 j) a - : a - k) a - : a -8 l) x : x -.. Dělení mocnin Dělit spolu můžeme pouze ty mocniny, které mají společný základ. Mocniny dělíme tak, že základ opíšeme a exponenty odečteme. POZOR : nesmíme dělit 0. Příklad : a : a a - a 0 : 8 x b : ( - x b ) -x - b a 0, b 0 ( - x - ) : x - x x 0 x (a+b) : 0,x (a+b) - x.(a+b) 9 x 0, a -b x(a+b) : (a-b) nemá řešení a b a - b - : ( - a - b ) - a - b -6 a 0, b 0 x : x x 0 x 0 x 7 : x x 8 7 x 0 Příklad : Vypočtěte: a) 7 : 7 b) (- ) 7 : ( -) c) ( -) : ( -) d) a 8 : a Příklad 6 : Vypočtěte : a) a 6 : a b) -a : ( - a ) c) 00x 6 y : ( - 0x b ) e) ( -a) : ( -a) f) a : a g) a : a h) a - : a d) 0 : a e) - x : x - i) x : x - j) a - : a - k) a - : a -8 l) x : x - f) x : 0 x -7
8. ročník. Mocniny a odmocniny g) x 6 : x -7 h) 0,x - y : x y j) x y : x z a -7 Příklad 7 : Vypočtěte : a) a b c - : a b - c - b) a b - c - : 0,a - c - c) 0,x : x d) a a+ b : 0,a -x b x e) a b : 0,a 6 b Příklad 8 : Vypočtěte : a) (a+r) : (a+r) b) (x-y) a : ( x-y) b c) (a-) : (-a) 7 d) (-x) : ( x-) e) (a+) : (+a) i) x : x - f) a b : 0,a g) a :. a b h) 0, x :. x y i) 6. x : 0,x f) (d+) : (-d-) g) (x-) +a : (x-) a- h) ( 6a-) x-7 : ( 6a-) 7-x i) 8a 7 (v-b) : a (v-b) j) -0x 8 (x+) : xy j) 7. x : x k) x :. l). x : x x k) -0x 8 (x+) : 0,xy - (x+) l) : y (x-y).. Mocnina mocniny Mocninu umocníme tak, že základ opíšeme a exponenty vynásobíme. ( a x ) y a x.y Příklad : ( a ).a 8 8a 8 ( - 0,x y - ) - 0,00x 6 y -9 y 0 ( - 0x y - ) 0 000x 8 y - y 0 [ ( 0 ) ] 0 POZOR na mocninu, která má záporný základ. Příklad 9 : Vyjádřete jako mocninu : a) ( a- ). ( a-) b) ( m+a). (m+a) Příklad 0 : Vypočtěte : a) (. ) b) (-. ) c) (-. ) - d) (-x yz - ) e) (-x yz - ) f) (-x yz - ) - g) ( a ) h) ( - a ) i) ( - a ) j) ( - a ) - k) ( 0,a b - ) l) ( 0,a b - ) - m) ( ) x n) ( ) - a ( a ) o) [ ] ( a ) ( x y) p) [ ] ( x y) ( a ) r) [ ] - ( a ) ( x y) s) [ ] - ( x y).6. Zápis čísel v desítkové soustavě pomocí mocnin o základu deset
8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Napiteš čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin 0 n : 76; 6,789; 00 00 76. 000 + 7. 00 +. 0 + 6. 0 + 7. 0 +. 0 + 6 6, 789. 0 000 +. 000 +. 00 +. 0 + 6 + 7. 0, + 8. 0,0 + 9. 0,00. 0 +. 0 +. 0 +. 0 + 6 + 7. 0 - + 8. 0 - + 9. 0 - Vidíte zde sestupnost exponentů? 0 0 6 6. 0 0 00 00. 0 + Příklad : Napište čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin 0 n : a) 0 60 b) 00 00 666 00 c) 000 000,8 Příklad : Napište uvedená čísla klasickým způsobem : a) 7. 0 9 +. 0 +. 0 + 6. 0 - b). 0 + 7. 0 6 +. 0 - + 6. 0.7. Zápis čísel v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 Příklad : Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 : 6,789 0, 0,00,. 0 6,789,6789. 0 0,,. 0-0,00,. 0 - Příklad : Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 : a), b) 0, c), d), e), Příklad : Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 : a) 7. 0 9 +. 0 +. 0 + 6. 0 - b). 0 + 7. 0 6 +. 0 - + 6. 0 Souhrnná cvičení :. Vyjádřete jakou součin mocnin o základu, a :. a) ( ) 8.9. b) ( ) - 8.9.9 c) ( ) 8..,. 7.6.7 d) ( ).6 : ( 9 8 6..6..6 e) 8.9.0. ). Vypočtěte : a) a n+ b : a n- b n- b) a n+ b. 0, a n- b n- c) a n+ b + a n- b n- d) a -n- b. a n+ b n- ) Napište čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin 0 n a), b) 0, c), d), e),
8. ročník. Mocniny a odmocniny ) Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.0 n, kde a < 0 : a) 0 60 b) 00 00 666 00 c) 000 000,8 ) Vypočtěte : a) 0,0 b) 0 000 c) 0,9 d),8 e) 00 f) 0, g) 600 h) 0, 000 i) 00 j) 7 k) 0, l) 0,0 m) 0 n) 000 o) - p) 00 - r) 0, - s) 0, - t) (-) - 6) Vypočtěte : a) ( ) b) ( ) - c) ( - 7 6 ) d) -( - 7 6 ) e) -( - 7 6 ) - f) ( 9 ) g) - ( 9 ) h) - ( 9 ) - ch) (- 9 ) i) ( j) ( - k) ( l) ( ) ) 8 ) m) ( ) ( ) n) ( ) o) ( ) p) 0 r) 0 s) ( - ) - 7) Vypočtěte : a) 0, 000 b) 000000 c) 0, 000 d) 0, 0 e) 6 0,00 g) 900 0,6 f) 0 h) 00 i) 8) Vyjádři : a) b) c d 0 6 x y c) 0,. 00 z x y d) 0. x 00a e) 8a f) 6a g) ( 6a ) 9 h) ( ) 6 9 ch) ( ) 6 9) Vypočtěte : a) 7x x + x x - 0,x + + x x + x - 0,x + 9 b) 0,x - x x + 6 + 7x x + x x - 0,7x + c) x + 0,x 0,0x + 0,x +,6 + 0,7x + x,x +,07x,x + 0,x x - - 0,x + d),7x 6 0,x +,x x + 0,x + +,7x 0,x +,x,x - 0,x + + 0,07x - 6,x + 7,x 0,x - 0,x + +,7x 7 x 6 + x 0,x - 0,x + + e) ( x + y ) ( x y ) + ( x + y ) - 0,( x y ) + 0,6( x + y ) 0,( x y ) 0) Vypočtěte : a). b) (- ). ( -) 6
c) ( -). ( -) - d) a 8. a e) ( -a). ( -a) f) 0a. (-0)a g) a b c -. 0,a b - c -. 7a - b c h) b - c -. a - c -. xb - cd - ch) 0x. x -. y - i) 0,x a+ y. x -x y x. x 8. ročník. Mocniny a odmocniny j) 0,a b. ( - 0,a 6 b ) k) 0,h j. j h. h l). a.. 6 a m) x.. x y. x.0,x n) x. x.( -0, x. x ).. x. x ) Vypočtěte : a) (a+r). (a+r) 6 b) (y-x) a. ( x-y) c) (a-b). (a-b) - d) (x-) n. ( x-) n - e) (a+) n -. (+a) n+ f) (d+) x+. (d+) -x ) Vypočtěte : a) : b) (- ) : ( -) c) ( -) : ( -) - d) 0a 8 : a e) 6( -a) : ( -a) f) 0a : (-0)a g) a 6 : a +(- a ) : ( - a ) ) Vypočtěte : a) (a+r) : (a+r) 6 b) (y-x) a : ( x-y) c) (a-b) : (a-b) - h) ( x y : x z a -7 ) : (x - : x - ) ch) (6a b i) ( a b : 0,a 6 : 0,a b b ).( a ) d) (-x) n : ( -x) n - e) (a+) n - : (+a) n+ f) (d+) x+ : (d+) -x b : 0,a b ) ) Vypočtěte : a) { [( ) ] } b) { [( ) ] } - c) ( - x y a z - ) ( x ) d) [ ] ( y ) ) Zapište číselné výrazy a určete jejich hodnotu : a) číslo zmenšete o 7 b) číslo 6 zvětšete 8 krát c) podíl čísel 6 a znásobte jejich součtem d) od součtu čísel 86 a odečtěte podíl čísel 6 a 6. ( x ) e) ) [ ( y ) f) ( ) - x ] - 6) Zapište výrazy : a) číslo o menší než y b) pětina čísla x zvětšená o ½ c) polovina součinu čísel a p d) pětina dvojnásobku čísla a zmenšená o 7) Vypočítejte : a) ( x + ) + ( 7x + 9 ) + ( -8x ) b) ( x + x x ) ( x x 6x + x 6 ) + ( x x x + ) c) ( x 6 - x + x ) + ( x x x + x + ) + ( x 6 x + x - ) 7
8 ) Vypočítejte : a) ( y ) + ( y ) b) 9 ( r + r 6r + ) ( r r + r r ) 8. ročník. Mocniny a odmocniny 9) Vypočítejte : a) a. a. a Výsledky příkladů a) 0 ; b) ( - ) 6 ; c) a b ; d) 0ab; e) a -;... a. a ) a)..; b) 6.6.a.b.b.b.b.b; c) 0. ; d) ; a.a b. b. b a),89, b) 60 000, c) 0,06, d) 0,0000089, e) 60 000, f) 0,096, g), h),69 ch) -0,000 i) -6, 6 9 j), k) -, l) 096, m) 6, n) 6, o) 6, p), r) 8, s), 0 a) 6. -, b) -8. -8, c)., d) 9., a) -7, b) -6, c), d), 6 a) ( - ) > -, b) ) ( - ) -, c) - 7 -( ) 7 7 a) 69 7, b) 69 699 79, 8 a) 0,, b) 0, c) 000, d) 0,9, e),, f) 0,, g),, h), ch) nemá řešení, 6 9 a), b) 9, c),89, 00 0 a), b), c), d), e) a, f) a, g) a, h) nemá řešení, ch), a) 6a + 0a +, b) x 8x +, c),t, d) -r + r, e) -7a + a, a) 8a b ; b) a 9 b b 0; c) a b c ; d) a - b c a 0 ; e),a 7 bc -8 a 0 b 0 c 0, f) 0,6c -8 d x - a 0 b 0 c 0, g) 0,0x - y - x 0 y 0, h) 0,08a a+7-x b x+, i) 0,6a 6 b 0-0,7x a 0 b 0, j) ab 7 x 0, o) x 7 a) 7, b), c) 0, x 0, p), a 0 b 0, k) a a 0, l) 0,x y x 0, m) 0,6x a) ( a + r ) 8, b) ( x y ) a+b, c) - ( a ) 0 - ( a) 0, d) ( x ) 7 - ( x ) 7, e) ( a + ), f) ( d + ) 0, g) ( x ) a-, h), a) 7, b) ( - ), c) ( - ) -, d) a 6 a 0, e) a a 0, f) a - a 0, g) a - a 0, h) a -7 a 0, i) x 6 x 0, j) a - a 0, k) a a 0, l) x x 0, 6 a) 6a a 0, b) a a 0, c) xy b - x 0 b 0, d) 0 a 0, e) - x 8 x 0, f) x x 0, g) x x 0, h) x -6 x 0 y 0, i) 0, x 0 x 0, j),a 7 y z - a 0 x 0 z 0, 7 a) 0,a b 7 c a 0 b 0 c 0, b) 6 a 8 b - c a 0 b 0 c 0, c) 0, x x 0, x 0, n) d) 0a a+x b -x a 0 b 0, e) a 7 b 0 a > 0 b > 0, f) a b a > 0 b 0 8
g) a a > 0, h) 0, x - y - x > 0 y 0, i) 60x 8. ročník. Mocniny a odmocniny x > 0, j) 7 x x > 0, k) 0, k k > 0, l) x x > 0, 8 a) ( a + r ) a -r, b) ( x y ) a-b x y, c) ( a ) - -( a ) - a, d) ( x ) - - ( x ) - x, e) ( a + ) - a -, f) - d -, g) ( x ) 7-a x, h) ( 6a- ) x- a 6, i) 9a.( v b ) a 0 v b, j) -x 7 y -.(x + ) x 0, y 0, k) -0x 7 y.( x + ) x 0, y 0, x -0,, l) 0,y -.( x y ) - y 0, x y, 9 a) ( a ) 6, b) ( m + a ) 7, 0 a) 00, b), c), d) x 6 y z - z 0, e) -8x 9 y z -6 z 0, f) 0,x -6 y - z x 0, y 0, z 0, g) a 6, h) - a 9 9 6 i) a, 6 6 j) - a -9 a 0, k) 0,6a 6 b - b 0, l) a -9 b 6 a 0 b, m) ( x ) - x, n) 0,.( a 6 8 ) 6 ( a ) a, o) ( a ) a -, p) ( x y ). ( x + y ) 8 x y, 8 ( a ) r) a - a, s) ( x y ) -6. ( x + y ) - x -y, x y, 6 ( a ) a).0 8 +.0 7 +.0 6 +.0 +.0 + 6.0 + b).0 +.0 6 + 6.0 + 6.0 + 6.0 + c).0 6 +.0 - +.0 - + 8.0 - a) 7 000 00 00,006, b) 7 00 600,00 a),. 0, b).0 -, c),.0, d),.0, e),, a) 7,0000000006.0 9, b) 7,0060000.0 6. Výsledky souhrnných cvičení a). -, b) 6. -, c). -, d) 9., e) 9. -7. - a) a n+6 b 7-n a 0 b 0, b) a n- b n+ a 0 b 0, c) nelze sčítat, d) a -n b n- a 0 b 0, a).0 +.0 +.0 + +.0 -, b).0 -, c).0 +.0 +.0 + +.0 -, d).0 +.0 + +.0 - +.0 - +.0 - +.0 - e) +.0 - a),060.0 8, b),000066600.0, c),0000008.0 6, a) 0,000, b) 9 600 000 000, c) 0,06, d), e) 6 0 000, f) 0,000, g) 60 000, h) 0,000000, i) 0 000, j) 8, k) 0,000, l) 0,00007, m) 00 000, n) 0, o), p) 6 6 7.0 r) 9, 6 78 s) 8, t), 8, 6 6 6 6 6 a), b), c), d) -, e) -, f), g) -, 9 9 6 8 8 6 h) -, ch), i), j), k), l) 9, m) -, 8 79 n), o) 7. -8, p) 0, r), s) -, 9
8. ročník. Mocniny a odmocniny 7 a) 0,0, b) 000, c) 0,. 0, d) 0,, e), f), g) 0,, h) nejde, i), 8 a) c d c 0 d 0, b) x y - x 0 y > 0, c) 0x y z x 0 y 0 z 0, d) 0 x 0, e) a a > 0, f) a 0 x 0, g) a 0 a 0, h) 0,7 ch), 9 a) x 6x + x x - 0,8x +, b) 7,x x x x 0,7x + 7, c),77x 7,x + 0,6x,0x + 6,6, d),7x 7,x 6 +,77x 7,x + 6,7x -,x 0,7x + 6, e) 8,6( x + y ),9( x y ) 0 a) 7, b) (-) 9, c) -0,, d) a 0, e) a 6, f) -00a 7, g),a b c - a 0 b 0 c 0, h) 6a - b -8 c -7 d - x a 0 b 0 c 0 d 0, ch) 6x y - x 0 y 0, i) 0,x a+7-x y x+ x 0, j) -0,08 6 a b 0 b a 0 b 0, k) h 0 l) a a 0, m) 0,x 6 y x x 0, n) -0,x x x > 0, a) ( a + r ), b) ( y x ) a+, c), d) ( x ) n-, e) ( a + ) n+, f) ( d + ) x+6, a), b) -, c) ( - ), d) a 6 a 0, e) a a 0, f) a - a 0, g) a a 0, h) a 7 y z - a 0 x 0 z 0, ch) 70 0 a j 0 h >0 j 0, b a >0 b >0, i) 6 a 6 b a >0 b >0, a) ( a + r ) - a -r, b) ( y x ) a- y x c) ( a b ) 6 b -a, d) ( x ) -n x, e) ( a + ) -n-7 a -, f) ( d + ) 9x- d -, a), b) -, c) 6x y a z -6 z 0, d) ( x ).( y ) y, e) ( x ) -.( y - ) 6 x y, f) 0,0( x + ) x -, a) 7, b) 6.8, c) ( 6 : ). ( 6 + ), d) ( 86 + ) ( 6 : 6 ), 6 a) y, b) ( x : ) + 0,, c) p :, d) a, 6 7 a) 0, b) x 7x x x 8, c) 7x x x x, 8a) y 8, b) r r r r, 9 a) 7 a a 0 0