FUZZY ANALÝZA SLOŽITÝCH NEURČIÝCH SOUSTAV - II FUZZY ANALYSIS OF COMPLEX VAGUE SYSTEMS - II Miroslav Poorný Moravsá vysoá šola Olomouc, o.p.s., Ústav informatiy, miroslav.poorny@mvso.cz Abstrat:. Příspěve uvádí fuzzy analýzu jao metodu řešení analyticých (fundamentálních) funcí - abstratních modelů soustav, jejichž proměnné a/nebo parametry jao ostrá (obyčejná) čísla jsou znejistěny (fuzzifiovány) do tvaru fuzzy čísel. Instrutážní příspěve uvádí přístup vybudování fuzzy aritmetiy s využitím -disretizace fuzzy množin a procedury -optimalizace. Je uveden numericý přílad Abstract: The paper presents a fuzzy analysis as a method of analytical (fundamental) functions solution as an abstract models of systems whose variables and/or parameters as sharp (ordinary) numbers are insecure (fuzzification) in the form of fuzzy numbers. This tutorial contribution presents an access to build fuzzy arithmetic using approaches of fuzzy sets theory, procedures of -discretization and - optimization. The numeric example is presented. Klíčová slova: náhodný systém, neurčitý systém, fuzzy číslo, fuzzy aritmetia, fuzzy analýza, fuzzy-stochasticá analýza, princip rozšíření, disretizace fuzzy množiny, -optimalizace Keywords: stochastic system, indeterminate system, fuzzy number, fuzzy arithmetic, fuzzy analysis, fuzzy - stochastic analysis, the extension principle, -discretization, -optimization 1 Úvod Zadehův princip rozšíření, terý je záladem procedur fuzzy aritmetiy 1, je obtížně apliovatelný v případech složitých fundamentálních funcí, vyžaduje disretizaci nosičů fuzzy množin vstupních proměnných a parametrů funce a může vést výpočtovým problémům použitých numericých metod. Pro fuzzy analýzu je proto výhodnější použít metodu tzv. -optimalizace, využívající -řezů fuzzy množin (ALOP). Protože -řezy funcí příslušnosti taových fuzzy množin fuzzy čísel jsou spojité intervaly, je totiž možno aritmeticé operace s fuzzy čísly převést na operace s jejich řezy. Tento oncept je apliovatelný na libovolnou fundamentální nelineární funci bez jaýcholiv podmíne. Koncept ALOP je praticy efetivnější než princip rozšíření. Cílem příspěvu je prohloubení znalostí studentů a odborníů v oblasti efetivního využití vágnosti ve společensých vědách, 3. 1 NOVÁK,V. Fuzzy množiny a jejich apliace. SNTL Praha, 1990, ISBN 80-03-0035-3 NOVÁK,V. Zálady fuzzy modelování. BEN Praha, 000, ISBN 80-7300-009-1 3 POKORNÝ,M. Umělá inteligence v modelování a řízení.. BEN Praha, 1996, ISBN 80-901984-4-9 1
Procedury -řezů a -disretizace fuzzy množiny Procedura -disretizace 4 představuje variantní formalizaci fuzzy množiny pomocí množiny jejích -řezů. Množina -řezů A fuzzy množiny A ~ je obyčejná množina A = x X ~ x A ( ), 0, 1 (1) Přílad -disretizace fuzzy množiny A ~ pomocí deseti -řezů, 1,..., 10, je uveden na Obrázu 1. Obráze 1: -disretizace fuzzy množiny A Všechny - řezy jsou obyčejnými podmnožinami nosiče fuzzy množiny A ~ ~, označeného S (A). Proto platí A a A a i ; 0,1, i i () Poud je v jednorozměrném případě - množina A ~ onvexní, všechny -řezy A a spojité intervaly x, de x, l,, r jsou uzavřené x l min x X, x A ~ ( ) (3) x, r max x X x A ~ ( ) (4) Pro dostatečně vysoou hodnotu může pa být fuzzy množina A ~ formalizována množinou svých - řezů ~ A ( A ) 0, 1 (5) 4 MÖLLER,B.,BEER,M. Fuzzy Randomness Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics. Springer-Verlag Berlin. 004. ISBN 3-540-4094-
V případě n-rozměrné fuzzy množiny je -řez reprezentován n-rozměrným obyčejným podprostorem. 5,6,7 Na Obrázu je pro případ dvojrozměrné vstupní fuzzy množiny (n = ) podprostor řezu reprezentován obdélníem X Obráze : Dvojrozměrný podprostor -řezu X 3 Procedura -optimalizace (ALOP) Uvažujme obyčejný fundamentální vícerozměrný model M soustavy typu MIMO (Multi-Imput-Multi-Output) M : y f ( x) f x,..., x ) (6) ( 1 n Proveďme znejistění modelu do tvaru ~ ~ y f ( ~ x ) (7) 5 D. DUBOIS, H. PRADE: Fuzzy Numbers: An Overview. in: Analysis of Fuzzy Information (Bezde, J.C. Ed.), Vol., CRC Press, Boca Raton 1988, 3 39. 6 M. Mareš: Wea Arithmetics of Fuzzy Numbers. Fuzzy Sets and Systems 91 (1997),, str.143 154. 7 NOVÁK,V.,PERFILIEVA,I.,MOČKOŘ,J. Mathematical Principles of Fuzzy Logic. Kluwer, Boston. 1999. 3
fuzzifiací jeho vstupních proměnných x,..., x ). Pro stanovení funcí příslušnosti jeho ( 1 n vícerozměrné fuzzy výstupní veličiny y ~ použijeme -optimalizační proceduru. Fuzzy množiny všech vstupních proměnných (fuzzy čísel) ~ x jsou disretizovány toutéž úrovní, = 1,,..., n a je definován vstupní podprostor X Fundamentální analyticou funcí (6) transformujeme prvy x vstupního podprostoru X na prvy y j výstupního prostoru y = (y 1, y m ), j = 1,, m, teré představují prvy ~ obyčejné množiny -řezu fuzzy množiny výstupní fuzzy proměnné ~ y na úrovni jejího - řezu. Y j, Obráze 3: Nalezení hraničních bodů řezu výstupní fuzzy množiny V dalším rou je použita optimalizační procedura, pomocí níž jsou nalezeny největší y, r nejmenší y, l prvy množiny.-řezu jao jeho prvy marginální. Tyto prvy pa tvoří dva body funce příslušnosti ( y j ) ~ ( y ) (8) B j j a Na Obrázu 3 jsou tyto marginální prvy na -řezu výstupní funce příslušnosti Y ~ označeny černě. Při dostatečném počtu -řezů je těmito body určena celá výstupní fuzzy množina Y ~. Určování marginálních bodů y, r a y, l ta nahrazuje max-min operátor Zadehova principu 8,9,10 rozšíření Úloha nalezení největšího y, r a nejmenšího y, l prvu -řezu výstupní fuzzy množiny Y ~ pro aždý -řez představuje vlastní -optimalizační proceduru ALOP. Účelové funce této optimalizační procedury jsou 8 MOLLER,B.,GRAF,W.,BEER,M. Fuzzy Structural Analysis Using -level Optimization. Computational Mechanics, 6(6), 000 9 CELIKYILMAZ,A.,TURKSEN,I.B. Modelling Uncertainty with Fuzzy Logic. Springer, 009. ISBN 978-3-540-8993-5 4
y y l max f j ( x xn ) Max, 1,..., ( x1,..., xn ) X r min f j ( x xn ) Min, 1,..., ( x1,..., xn ) X (9) Požadavy Optimální hodnoty ( x1,..., xn ) X jsou omezovacími podmínami -optimalizační procedury. yoptodpovídají optimálním hodnotám vstupního podprostoru X jejichž transformacím tento bod odpovídá (Obráze 4). x opt, Obráze 4: Schématicý postup procedury ALOP 4 Numericý přílad použití procedury ALOP Programový systém procedury pro fuzzy analýzu ALOP je v současné době na pracovišti autora vyvíjen. Jao numericý přílad jejího použití je proto uvedeno řešení, převzaté i s obrázy z literatury 4. Toto řešení uvádí výpočet tvaru výstupní fuzzy množiny fuzzy funce ja pomocí Zadehova principu rozšíření, ta pomocí procedury ALOP a porovnává dosažené výsledy. 4 MÖLLER,B.,BEER,M. Fuzzy Randomness Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics. Springer-Verlag Berlin. 004. ISBN 3-540-4094-5
Uvažujme fundamentální funci 3 3 y f x, x ) 0.01x 0.17x 0,48x 0.01x 0.13x 0.03x 0.65 (10) ( 1 1 1 1 Vstupní proměnné x1, x jsou definovány jao fuzzy čísla (Obráze 5) Obráze 5: Fuzzy čísla x1, x Funce (10) není jednoznačným zobrazením, aždá hodnota y může být vypočtena z neonečného počtu různých ombinací hodnot argumentů x1, a x. Obráze 6: Tvar fundamentální funce y f x 1, x ) ( Obráze 7: Extrémy fundamentální funce y f x 1, x ) ( 6
Funce (10) je spojitá, výstupní fuzzy proměnná ~ y bude proto taé spojité fuzzy číslo. Graficé znázornění tvaru dvojrozměrné funce (10) je uvedeno na Obrázu 6, poloha jejích extrémů je znázorněna na Obrázu 7.. Body sítě funce jsou vypočítány pro disrétní hodnoty nosičů ~ x 1 a ~ x. Funce má loální minimum ymin = 0,74 pro [x1 = -1.653, x = -0.117] a loální maximum ymax = 5.859 pro [ x1 = -9.681, x = -8,550]. V uvažovaném vstupním prostoru jsou tyto extrémy současně i extrémy globální. 4.1 Výpočet apliací Zadehova principu rozšíření Při použití principu rozšíření jsou hodnoty funce příslušnosti výstupní fuzzy proměnné ~ y vypočteny apliací max-min operátoru. Disretizace nosičů fuzzy čísel vstupních proměnných ~ x 1 a ~ x byla provedena s roem x = 1.0. Výpočet ta obsahuje celem 7 hodnot y (10). Určení jejich 7 hodnot funce příslušnosti (y) s využitím max-min operátoru dává výslede uvedený na Obrázu 8. Obráze 8: Disretizovaná funce příslušnosti vypočtená pomocí max-min operátoru z 7 ombinací Obráze 9: Disretizovaná funce příslušnosti vypočtená pomocí max-min operátoru z 103 ombinací 7
Zmenšením rou disretizace na x = 0.5 dostaneme 103 ombinací, jejich vyhodnocením max-min operátorem dostaneme výstupní funci příslušnosti ve tvaru Obrázu 9. Zvýšením počtu ombinací hodnot vstupních proměnných onverguje numericé řešení přesné hodnotě y ~. 4, Výpočet apliací optimalizační procedury ALOP Fuzzy čísla vstupních proměnných jsou onvexní a fundamentální funce je spojitá. Pro disretizaci funcí příslušnosti vstupních a výstupní fuzzy proměnné je interval <0,1> rozdělen evidistantně do 11 úrovní (-řezů). n- rozměrné -řezy X (Obráze 3) jsou disretizovány a na jejich n- rozměrné disrétní hodnoty je apliována transformační funce (10). Tím jsou zísány hodnoty -řezu funce příslušnosti ~ výstupní fuzzy veličiny (Obráze 4). Y ~ V aždém -řezu Y je řešena optimalizační úloha (9), pmocí níž jsou vhodnou optimalizační procedurou nalezeny maximální a minimální hodnoty y l, a y r, teré tvoři marginální prvy řezu ~ ~ Y a tedy body funce příslušnosti Y. Navíc lze zjistit i prvy podporostoru X, teré těmto extrémním výstupním hodnotám v daném řezu patří ( x1 opt, l, x, opt, r ). Výsledy jsou uvedeny v Tabulce 1. Body výsledné funce příslušnosti Y ~ jsou uvedeny v šedých polích. Pro řešení optimalizační úlohy (9) jsou důležité vlastnosti fundamentální funce f ( x 1,..., x n ) (6). Optimalizační metoda musí respetovat zejména její jednoznačnost, spojitost, monotónnost a 4,10 dimenzionalitu vstupního X a výstupního prostoru Y 4 MÖLLER,B.,BEER,M. Fuzzy Randomness Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics. Springer-Verlag Berlin. 004. ISBN 3-540-4094-10 OLEJ,V.,OBRŠÁLOVÁ,I.,KŘUPKA,J. Modelling of Selected Areas of Sustainable Development by Artificial Intelligence. University of PARDUBICE, 009. Isbn 978-80-47-3167-4. 8
Metoda pro řešení optimalizační úlohy (9) musí být nezávislá na tvaru účelové funce a spolehlivá v nalezení jejích globálních extrémů. Požadavy obvyle není schopna splnit metoda jediná a používají se proto jejich ombinací. Nejčastěji jsou ombinovány metody evolučních strategií, gradientní metody a metoda Monte Carlo. Softwarová realizace -optimalizační procedury ALOP a její využívání pro fuzzy analýzu systémů z oblasti podniové eonomiy a veřejné eonomie bude jedním z výsledů řešení projetu Vývoj neonvenčních metod manažersého rozhodování v oblasti podniové eonomiy a veřejné eonomie, terý je v současné době na MVŠO řešen 4,11,1. Tabula 1: Stanovení fuzzy množiny výstupní proměnné y ~ pomocí optimalizační procedury ALOP Na Obrázu 10 4 jsou porovnány výsledy, dosažené Zadehovou metodou rozšíření a procedurou - optimalizace ALOP. 4 MÖLLER,B.,BEER,M. Fuzzy Randomness Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics. Springer-Verlag Berlin. 004. ISBN 3-540-4094-11. HÁJEK,P. Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer, Dordrecht 1998.. 1 KLIR,B.J.,YUAN,B. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Application. Prentice Hall, New Jersey, 1995. 9
Výsledy obou disretizačních roů Zadehovy metody (Obráze 8 plus Obráze 9) jsou spojeny a funce příslušnosti vstupní proměnné (y) je aproximována lomenou čárovanou čarou. Spojitou řivou je pa aproximována funce příslušnosti fuzzy množiny Y ~, zísaná procedurou ALOP. Obráze 10: Aproximace funce příslušnosti výstupní proměnné (y) 5 Disuze Záladním nástrojem fuzzy analýzy je fuzza aritmetia, využívající především Zadehova principu rozšíření. Vztahy podle tohoto principu jsou vša obtížně apliovatelné v případech složitých fundamentálních funcí, vyžadují disretizaci nosičů fuzzy množin vstupních proměnných i parametrů funce a mohou vést výpočtovým problémům použitých numericých metod. Pro fuzzy analýzu je proto výhodnější použít metodu tzv. -ptimalizace, využívající -řezů fuzzy množin (ALOP). Protože -řezy funcí příslušnosti taových fuzzy množin fuzzy čísel jsou spojité intervaly, je totiž možno aritmeticé operace s fuzzy čísly převést na operace s jejich řezy. Tento oncept je apliovatelný na libovolnou fundamentální nelineární funci bez jaýcholiv podmíne. Koncept ALOP je praticy efetivnější, než princip rozšíření. Numericý přílad výpočtu složitější nelineární fuzzy funce ilustruje přílad použití procedury -optimalizace a srovnává její výsledy s řešením využívajícím Zadehova principu rozšíření. Poděování Tento příspěve vznil s finanční podporou a v rámci řešení projetu GAČR P403/1/1811: Vývoj neonvenčních metod manažersého rozhodování v podniové eonomii a veřejné eonomice. Literatura [1] NOVÁK,V. Fuzzy množiny a jejich apliace. SNTL Praha, 1990, ISBN 80-03-0035-3 [] NOVÁK,V. Zálady fuzzy modelování. BEN Praha, 000, ISBN 80-7300-009-1 [3] POKORNÝ,M. Umělá inteligence v modelování a řízení.. BEN Praha, 1996, ISBN 80-901984-4-9 10
[4] MÖLLER,B.,BEER,M. Fuzzy Randomness Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics. Springer-Verlag Berlin. 004. ISBN 3-540-4094- [5] D. DUBOIS, H. PRADE: Fuzzy Numbers: An Overview. in: Analysis of Fuzzy Information (Bezde, J.C. Ed.), Vol., CRC Press, Boca Raton 1988, 3 39. [6] M. Mareš: Wea Arithmetics of Fuzzy Numbers. Fuzzy Sets and Systems 91 (1997),, str.43 154. [7] NOVÁK,V.,PERFILIEVA,I.,MOČKOŘ,J. Mathematical Principles of Fuzzy Logic. Kluwer, Boston. 1999. [8] MOLLER,B.,GRAF,W.,BEER,M. Fuzzy Structural Analysis Using -level Optimization. Computational Mechanics, 6(6), 000 [9] CELIKYILMAZ,A.,TURKSEN,I.B. Modelling Uncertainty with Fuzzy Logic. Springer, 009. ISBN 978-3-540-8993-5 [10] OLEJ,V.,OBRŠÁLOVÁ,I.,KŘUPKA,J. Modelling of Selected Areas of Sustainable Development by Artificial Intelligence. University of Pardubice, 009. ISBN 978-80-47-3167-4 [11] HÁJEK,P. Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer, Dordrecht 1998.. [1] KLIR,B.J.,YUAN,B. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Application. Prentice Hall, New Jersey, 1995. 11