Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (15. - 16. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1.
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1. Řešení: 1 Definiční obor:
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 4 0
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 4 0 Nulové body:
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 4 0 Nulové body: x = ±2
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 4 0 Nulové body: x = ±2 2 2
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 4 0 Nulové body: x = ±2 2 2
Iracionální nerovnice Příklad 1 Příklad 1 Řešte v R nerovnici x2 4 x + 1. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 4 0 Nulové body: x = ±2 2 2 D = ( ; 2 2; )
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ]
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; )
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; ) x2 4 x + 1
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; ) x2 4 x + 1 obě strany nerovnice jsou nezáporné
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; ) x2 4 x + 1 obě strany nerovnice jsou nezáporné x 2 4 x 2 + 2x + 1
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; ) x2 4 x + 1 obě strany nerovnice jsou nezáporné x 2 4 x 2 + 2x + 1 5 2x
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; ) x2 4 x + 1 obě strany nerovnice jsou nezáporné x 2 4 x 2 + 2x + 1 5 2x x 5 2
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; ) x2 4 x + 1 obě strany nerovnice jsou nezáporné x 2 4 x 2 + 2x + 1 5 2x x 5 2 x 5 2 ; ) 2; )
Iracionální nerovnice Příklad 1 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 2 2; ) ] x 2; ) x2 4 x + 1 obě strany nerovnice jsou nezáporné x 2 4 x 2 + 2x + 1 5 2x x 5 2 x 5 2 ; ) 2; ) x 2; )
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 2 2; ) ]
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 2 2; ) ] x ( ; 2
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 2 2; ) ] x ( ; 2 x2 4 x + 1
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 2 2; ) ] x ( ; 2 x2 4 x + 1 0 L P < 0
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 2 2; ) ] x ( ; 2 x2 4 x + 1 0 L P < 0 L P nelze, protože P je nezáporné číslo a L je záporné číslo (nezáporné číslo nemůže být menší nebo rovno než číslo záporné)
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 2 2; ) ] x ( ; 2 x2 4 x + 1 0 L P < 0 L P nelze, protože P je nezáporné číslo a L je záporné číslo (nezáporné číslo nemůže být menší nebo rovno než číslo záporné) x
Iracionální nerovnice Příklad 1 x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 2 2; ) ] x ( ; 2 x2 4 x + 1 0 L P < 0 L P nelze, protože P je nezáporné číslo a L je záporné číslo (nezáporné číslo nemůže být menší nebo rovno než číslo záporné) x Závěr: x 2; )
Iracionální nerovnice Příklad 2 Příklad 2 Řešte v R nerovnici x2 1 < x + 2.
Iracionální nerovnice Příklad 2 Příklad 2 Řešte v R nerovnici x2 1 < x + 2. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 1 0 Nulové body: x = ±1 1 1 D = ( ; 1 1; )
Iracionální nerovnice Příklad 2 2 x + 2 0 x 2 x 2; ) [ ( ; 1 1; ) ] x 2; 1 1; ) x2 1 < x + 2 x 2 1 < x 2 + 4x + 4 4x > 5 x > 5 4 x ( 5 4 ; ) [ 2; 1 1; ) ] x ( 5 4 ; 1 1; )
Iracionální nerovnice Příklad 2 x + 2 < 0 x < 2 x ( ; 2) [ ( ; 1 1; ) ] x ( ; 2) x2 1 < x + 2 0 L < P < 0 L < P nelze, protože nezáporné číslo nemůže být menší než záporné x Závěr: x ( 5 4 ; 1 1; )
Iracionální nerovnice Příklad Příklad Řešte v R nerovnici x + 1 x 2 + x.
Iracionální nerovnice Příklad Příklad Řešte v R nerovnici x + 1 x 2 + x. Řešení: 1 Definiční obor: x 2 + x 0 x (x + ) 0 Nulové body: x = 0, x = 0 D = ( ; 0; )
Iracionální nerovnice Příklad 2 x + 1 0 x 1 x 1; ) [ ( ; 0; ) ] x 0; ) x + 1 x 2 + x x 2 + 2x + 1 x 2 + x 1 x x 1; ) 0; ) x 1; )
Iracionální nerovnice Příklad x + 1 < 0 x < 1 x ( ; 1) [ ( ; 0; ) ] x ( ; x + 1 < x 2 + x L < P vždy splněno, protože záporné číslo je vždy menší než nezáporné číslo x ( ; Závěr: x ( ; 1; )
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 Příklad 4 Řešte v R nerovnici x 2 x.
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 Příklad 4 Řešte v R nerovnici x 2 x. Řešení: Nulové body:
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 Příklad 4 Řešte v R nerovnici x 2 x. Řešení: Nulové body: x 2 = 0 x = 2
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 Příklad 4 Řešte v R nerovnici x 2 x. Řešení: Nulové body: x 2 = 0 x = 2 2
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 Příklad 4 Řešte v R nerovnici x 2 x. Řešení: Nulové body: x 2 = 0 x = 2 + 2
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x + 2 x x
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0 x 2 2x + = 0... nulové body čitatele
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0 x 2 2x + = 0... nulové body čitatele x 1,2 = 2 ± 4 12 2
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0 x 2 2x + = 0... nulové body čitatele x 1,2 = 2 ± 4 12 D < 0 2 x čitatel je vždy kladný
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0 x 2 2x + = 0... nulové body čitatele x 1,2 = 2 ± 4 12 D < 0 2 x čitatel je vždy kladný x + 2 < 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0 x 2 2x + = 0... nulové body čitatele x 1,2 = 2 ± 4 12 D < 0 2 x čitatel je vždy kladný x + 2 < 0 x > 2
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0 x 2 2x + = 0... nulové body čitatele x 1,2 = 2 ± 4 12 D < 0 2 x čitatel je vždy kladný x + 2 < 0 x > 2 x (2; ) ( ; 2)
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 1 x ( ; 2) x 2 x x + 2 x x + 2 x 0 + x 2 2x x + 2 x 2 2x + x + 2 0 0 x 2 2x + = 0... nulové body čitatele x 1,2 = 2 ± 4 12 D < 0 2 x čitatel je vždy kladný x + 2 < 0 x > 2 x (2; ) ( ; 2) x
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x 2 x x
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x x 2 x x 2 x 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x x 2 x x 2 x 0 x 2 + 2x x 2 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x x 2 x x 2 x 0 x 2 + 2x x 2 x 2 + 2x + x 2 0 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x x 2 x x 2 x 0 x 2 + 2x x 2 x 2 + 2x + x 2 0 0 x 2 + 2x + = 0... nulové body čitatele
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x x 2 x x 2 x 0 x 2 + 2x x 2 x 2 + 2x + x 2 0 0 x 2 + 2x + = 0... nulové body čitatele x 1 =, x 2 = 1
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 x x 2 x x 2 x 0 x 2 + 2x x 2 x 2 + 2x + x 2 0 0 x 2 + 2x + = 0... nulové body čitatele x 1 =, x 2 = 1 x = 2... nulový bod jmenovatele
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 + 2x + x 2 0 1 2 x 2 + 2x + x 2 x 2 + 2x + x 2
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 + 2x + x 2 0 1 2 x 2 + 2x + 0 + + 0 x 2 x 2 + 2x + x 2
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 + 2x + x 2 0 1 2 x 2 + 2x + 0 + + 0 x 2 + 2x + x 2 x 2 N + +
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 + 2x + x 2 0 1 2 x 2 + 2x + 0 + + 0 x 2 N + + x 2 + 2x + x 2 + 0 N + 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 + 2x + x 2 0 1 2 x 2 + 2x + 0 + + 0 x 2 N + + x 2 + 2x + x 2 + 0 N + 0 x [ 1; 2) ; ) ] 2; )
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 + 2x + x 2 0 1 2 x 2 + 2x + 0 + + 0 x 2 N + + x 2 + 2x + x 2 + 0 N + 0 x [ 1; 2) ; ) ] 2; ) x ; )
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 4 2 x 2; ) x 2 + 2x + x 2 0 1 2 x 2 + 2x + 0 + + 0 x 2 N + + x 2 + 2x + x 2 + 0 N + 0 x [ 1; 2) ; ) ] 2; ) x ; ) Závěr: x ; )
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 5 Příklad 5 Řešte v R nerovnici x + x + 1 2.
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 5 Příklad 5 Řešte v R nerovnici x + x + 1 2. Řešení: Nulové body: x + = 0 x = + 1 x ( ; ) x x + 1 x 2(x + 1) x + 1 x 5 x + 1 2 0 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 5 2 5 1 x 5 + 0 x + 1 N + 0 + N x 5 ; 1) ( ; ) x x ; ) x + x + 1 x + 2(x + 1) x + 1 2 0
Nerovnice s absolutní hodnotou Příklad 5 x + 1 x + 1 0 1 1 x + 1 + + 0 x + 1 N + + x ( 1; 1 ; ) x ( 1; 1 Závěr: x ( 1; 1 N + 0
Cvičení Cvičení Řešte rovnice s neznámou x R: a) x + 1 < x 2 4 [ x ( ; 2 ( 5 2 ; )] b) 2x + 1 x x [x ( ; 2 1; )] c) x 2 + 4x 6 x [x 1; 2 ] d) x > 2 + 5 e) x 2 x + 1 x 0 [ ( x ; 2 4 ) ( 2 + 6 )] ; [ x 2 7; 2 + ] 7