1 Komplexní analýza 1 Ladislav Mišík
2
Obsah 1 Komplexní čísla 5 1.1 Rozšíření tělesa reálných čísel.................. 5 1.2 Operace s komplexními čísly................... 8 1.3 Geometrie komplexních čísel................... 9 1.4 Umocňování a odmocňování komplexních čísel......... 13 1.5 Limita posloupnosti komplexních čísel.............. 16 1.6 Řady komplexních čísel...................... 18 1.7 Nekonečno a stereografická projekce*.............. 21 1.8 Některé typy množin v rovině.................. 22 1.9 Krátké shrnutí........................... 23 2 Komplexní funkce komplexní proměnné 25 2.1 Definice a základní vlastnosti.................. 25 2.2 Limita funkce........................... 28 2.3 Spojitá křivka........................... 29 2.4 Krátké shrnutí........................... 32 3 Diferenciální počet komplexních funkcí 33 3.1 Derivace a diferenciál....................... 33 3.2 Pravidla pro počítání derivací.................. 35 3.3 Nutná a postačující podmínka pro diferencovatelnost komplexní funkce........................... 38 3.4 Analytičnost komplexní funkce.................. 43 3.5 Reálná a imaginární složka analytické funkce.......... 44 3.6 Konformní zobrazení*...................... 47 3.7 Krátké shrnutí........................... 49 3
4 OBSAH 4 Elementární funkce 51 4.1 Úvod................................ 51 4.2 Lineární lomená funkce...................... 52 4.3 Mocninná funkce s přirozeným exponentem........... 53 4.4 Polynomická funkce (polynom).................. 56 4.5 Racionální funkce......................... 56 4.6 Odmocnina s přirozeným stupněm................ 56 4.7 Exponenciální funkce....................... 59 4.8 Logaritmická funkce....................... 62 4.9 Trigonometrické funkce...................... 64 4.10 Hyperbolické funkce....................... 67 4.11 Inverzní trigonometrické funkce................. 67 4.12 Obecné exponenciální a mocninné funkce*........... 69 4.13 Obecná mocninná funkce*.................... 71 4.14 Obecná exponenciální funkce*.................. 72 4.15 Krátké shrnutí........................... 73
Kapitola 1 Komplexní čísla V této kapitole se naučíte zejména provádět algebraické operace s komplexními čísly; určit modul a argument komplexního čísla; zapsat komplexní číslo v geometrickém tvaru; počítat mocniny a odmocniny komplexních čísel. Klíčová slova: Komplexní číslo, algebraický tvar, goniometrický tvar, komplexně sdružené číslo, absolutní hodnota (modul), argument komplexního čísla, Moivreova věta. 1.1 Rozšíření tělesa reálných čísel Je známo, že v oboru reálných čísel není možné řešit některé algebraické rovnice. Nejjednodušším příkladem rovnice, která nemá reálné řešení, je rovnice x 2 = 1, (1.1) což mźa následek, že v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina z čísla 1. Abychom tento nedostatek odstranili, je nutno rozšířit těleso komplexních čísel tak, že přidáme fiktivní (imaginární) řešení rovnice (1.1). Toto řešení budeme dále značit symbolem i a nazývat imaginární jednotkou. To znamená, že i je takové číslo, pro které platí i 2 = 1. (1.2) 5
6 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Samozřejmě i není reálné číslo, je to číslo imaginární. Příklad 1.1.1. Nyní už můžeme řešit také další rovnice neřešitelné v oboru reálných čísel. Například řešení rovnice x 2 = 4 je číslo 2i neboť (2i) 2 = (2 2 )(i 2 ) = 4( 1) = 4. Obecně, pro a > 0 je řešením rovnice x 2 = a číslo a i. Dokažte, že také číslo 2i je řešením naší rovnice. Před uvedením následujícího příkladu připomínáme, že řešení obecné kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, (1.3) kde x je neznámá a a, b, c dané konstanty, jsou obecně dvě čísla x 1,2 = b ± D, kde D = b 2 4ac. (1.4) 2a V případě D = 0 je řešením jediné reálné číslo x = b 2a a v případě D < 0 rovnice (1.4) nemá reálné řešení. Příklad 1.1.2. Kvadratická rovnice x 2 4x + 5 = 0 nemá v reálném oboru řešení neboť její diskriminant D = ( 4) 2 4. 1. 5 = 16 20 = 4 je záporný. V předchozím příkladu jsme ale viděli, že 4 = 2i. Dosazením do (1.4) dostáváme dvě (samozřejmě nikoliv reálná) řešení naší rovnice x 1,2 = 4 ± 2i 2 = 2 ± i Z předchozích příkladů plyne, že nyní už můžeme řešit libovolnou kvadratickou rovnici (1.3). Jestliže je diskriminant D rovnice záporný, je D > 0 a proto dostáváme dvojici (nikoli reálných) řešení x 1,2 = b ± D i. 2a Cvičení 1.1.1. Najděte všechna řešení kvadratických rovnic x 2 + x 6 = 0, x 2 + 2x + 5 = 0, 3x 2 12x + 12 = 0, 3x 2 x + 2x = 0. Abychom mohli akceptovat uvedené řešení, musíme za čísla považovat všechny smysluplné výrazy obsahující reálná čísla, číslo i a algebraické operace, například 2+3i, 8 i+π, i 5 16i 3 2i+5, 3+5i+4 2i+2i 4 +i 3 atd. Přitom
1.1. ROZŠÍŘENÍ TĚLESA REÁLNÝCH ČÍSEL 7 předpokládáme, že operace známé z reálného oboru si zachovávají pěkné vlastnosti jako komutativita, asociativita a distributivita i tehdy, když operují s výrazy obsahujícími nové číslo i. Proto, jelikož i 3 = (i 2 )i = ( 1)i = i a i 4 = (i 2 ) 2 = ( 1) 2 = 1, můžeme poslední dva předchozí výrazy zjednodušit a i 5 16i 3 2i + 5 = i + 16i 2i + 5 = 5 + 15i 3+5i+4 2i+2i 4 +i 3 = 3+5i+4 2i+2 i = ( 3+4+2)+(5i 2i i) = 3+2i. Cvičení 1.1.2. Zjednodušte následující výrazy do tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla. i 18, 5i + 4 + 3i 2 2 + i 3, i 10 + i 9 + + i 2 + i + 1, 1 i, 6 i. 3i Definice 1.1.1. Komplexní čísla jsou všechna čísla tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka. Reálné číslo a nazýváme reálnou složkou komplexního čísla z = a + bi a značíme Re z a reálné číslo b nazýváme imaginární složkou komplexního čísla z = a+bi a značíme Im z. Dvě komplexní čísla z 1 = a + bi a z 2 = c + di se rovnají právě tehdy, když se vzájemně rovnají jejich reálné a imaginární složky, t.j. z 1 = z 2 a = c a b = d. Všimněme si, že každé reální číslo je také číslo komplexní (s nulovou imaginární složkou). Komplexní čísla s nulovou reální složkou se nazývají ryze imaginární. Cvičení 1.1.3. Rozhodněte, která z daných komplexních čísel jsou reálná nebo ryze imaginární. 3i, (3i) 2, (2i) 3, 3 + i, (3 + i) 2, (3 + i)(3 i), Cvičení 1.1.4. Pro které hodnoty reálných konstant a, b jsou následující čísla reálná, resp. ryze imaginární? (a+bi), (a+bi) 2, (a+bi) 3, (a+bi)(a bi), a 2 +bi 2, ai bi 3, ai+b, i+ab, abi.
8 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA 1.2 Operace s komplexními čísly Na příkladech jsme už viděli, že s komplexními čísly můžeme provádět některé operace, na které jsme zvyklí z reálných čísel. V této části podrobněji probereme operace sčítání, odčítání, násobení a dělení. Doporučujeme čtenáři aby prověřil, že uvedené definice jsou jediné možné, aby operace sčítání, odčítání, násobení a dělení splňovaly komutativní, asociativní a distributivní zákony tak, jak je tomu v oboru reálných čísel. Definice 1.2.1. Součet komplexních čísel z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i je komplexní číslo z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i. Definice 1.2.2. Součin komplexních čísel z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i je komplexní číslo z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + (x 1 y 2 + y 1 x 2 )i. Teď je zřejmé jak definovat rozdíl komplexních čísel z 1 z 2 = z 1 + ( 1)z 2 = (x 1 + y 1 i) + ( x 2 y 2 i) = (x 1 x 2 ) + (y 1 y 2 )i. Provedení operace podílu je ovšem o něco složitější. Nejdříve vypočteme následující příklad. Příklad 1.2.1. Vydělíme komplexní čísla 3+5i 4 2i : 3 + 5i 4 2i = 3 + 5i 4 2i 4 + 2i 4 + 2i 12 + 20i + 6i + 10i2 = = 2 + 26i 16 + 8i 8i 4i 2 20 = 1 10 + 13 10 i. Hlavní myšlenka výpočtu spočívá v rozšíření původního zlomku o zlomek rovný jedničce ve tvaru 4+2i. Výrazy v čitateli a jmenovateli rozšiřujícího 4+2i zlomku vzniknou z jmenovatele původního zlomku změnou znaménka před imaginární částí, t.j., 4 2i se změní na 4 + 2i. Tato unární operace na komplexních číslech je tak významná, že má svůj vlastní název, který je zaveden v následující definici. Definice 1.2.3. Číslem komplexně sdruženým k číslu z = a+bi je komplexní číslo z = a bi. Hlavní myšlenka užití čísla komplexně sdruženého k jmenovateli zlomku při úpravě podílu je skryta v následující jednoduché větě.
1.3. GEOMETRIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 9 Věta 1.2.1. Pro každé komplexní číslo z je součin zz nezáporné reálné číslo. Důkaz: Nechť z = a + bi. Potom máme zz = (a + bi)(a bi) = a 2 abi + abi b 2 i 2 = a 2 + b 2 [0, + ). Nyní popíšeme metodu, pomocí které můžeme provádět operaci podílu obecně. Nechť z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i. Potom podíl z 1 z 2 počítáme následovně (podrobnosti výpočtu skontrolujte sami) x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i = x 1 + y 1 i x 2 + y 2 i x 2 y 2 i x 2 y 2 i = x 1x 2 + y 1 y 2 + (y 1 x 2 x 1 y 2 )i x 2 2 + y2 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + y 1x 2 x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 Cvičení 1.2.1. Najděte součet, rozdíl, součin a podíl dvojic komplexních čísel z 1 a z 2. a) z 1 = 2 + 3i, z 2 = 1 + 2i, b) z 1 = 2i, z 2 = 4 3i, c) z 1 = 3 + i, z 2 = 5, d) z 1 = π, z 2 = 2i. Dříve než pojednáme o operacích umocnǒvání a odmocnǒvání komplexních čísel, podíváme se na geometrické vlastnosti komplexních čísel. 1.3 Geometrie komplexních čísel Geometrický model množiny reálných čísel je přímka reálná osa. Jelikož každé komplexní číslo je jednoznačně určené dvojicí reálných čísel, je přirozené, že geometrickým modelem množiny komplexních čísel je rovina komplexní rovina. Každému komplexnímu číslu z = a + bi odpovídá bod roviny se souřadnicemi (a, b). Opačně, každému bodu (a, b) v rovině odpovídá jednoznačně komplexní číslo a + bi. Tato korespondence mezi komplexními čísly a body roviny je vzájemně jednoznačná. Příklad 1.3.1. V popsané korespondenci odpovídá x-ová osa množině všech reálných čísel, říkáme jí reálná osa a je určena rovnicí Im z = 0. Analogicky odpovídá y-ová osa množině všech tzv. ryze imaginárních císel, říkáme jí imaginární osa a je určena rovnicí Re z = 0. i. =
10 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Cvičení 1.3.1. Zobrazte komplexní čísla i, i, 1+i, 3 2i, 1+5i, 4 2i a čísla k nim komplexně sdružená. Který z těchto bodů je nejvzdálenější od bodu 0? Vzhledem k jednoznačnosti uvedené korespondence v dalším textu budeme často psát bod z místo bod odpovídající komplexnímu číslu z. Definice 1.3.1. Vzdálenost dvou komplexních čísel je délka úsečky spojující body odpovídající těmto číslům. Číselné vyjádření vzdálenosti komplexních čísel z 1 = x 1 + y 1 i a z 2 = x 2 + y 2 i je dáno vzorcem d(z 1, z 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. (1.5) Cvičení 1.3.2. Ověřte platnost předešlého vzorce. (Návod: nakreslete obrázek a použijte Pytagorovu větu.) Cvičení 1.3.3. Určte moduly všech čísel z Cvičení 1.3.1. Cvičení 1.3.4. Vypočtěte vzdálenost dvojic bodů a) d(4 + i, 2 + 2i), b) d( 1 3i, 5i), c) d( 1 + i, 2 3i). 2 Definice 1.3.2. Absolutní hodnota komplexního čísla je jeho vzdálenost od nuly. Číselné vyjádření absolutní hodnoty komplexního čísla z = x + yi je z = x 2 + y 2 = zz. (1.6) Komplexní čísla, jejichž absolutní hodnota je jedna, nazýváme komplexní jednotky. Pro absolutní hodnotu užíváme také název modul. Cvičení 1.3.5. Vypočtěte moduly (t.j. absolutní hodnoty) komplexních čísel 4, 6i, 2 + i, 3 4i, 4 i, 2 + 2 i. 2 2 Cvičení 1.3.6. a) Dokažte, že pro každé komplexní číslo z platí z = z. b) Dokažte že pro libovolná komplexní čísla z a w platí d(z, w) = z w. (1.7) c) Dokažte že množina všech komplexních jednotek tvoří jednotkovou kružnici se středem v bodě 0. Argument nenulového komplexního čísla je velikost úhlu mezi jeho spojnicí s počátkem a kladnou částí reálné osy. Číslo 0 nemá argument.
1.3. GEOMETRIE KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 11 Příklad 1.3.2. Argument kladného reálného čísla je roven nule, argument záporného reálného čísla je roven π. Argument čísla i je π, argument i je 2 π. Argument čísla 1 + i je π a argument 1 + 3i je 2π. 2 4 3 Pojem argumentu není tak jednoduchý, jak by se mohlo podle předchozího příkladu zdát. Vezměme si třeba argument čísla i. Úhel mezi spojnicí čísel i a 0 (záporná část imaginární osy) a kladnou částí reálné osy může být interpretován jednak jako π, jednak jako 3π, nebo taky 7π. Obecně platí: 2 2 2 Je-li číslo ϕ argumentem komplexního čísla z, pak jeho argumentem je také každé číslo tvaru ϕ + 2kπ, kde k Z je libovolné celé číslo. Definice 1.3.3. Argumentem komplexního čísla z rozumíme libovolný úhel mezi polohovým vektorem čísla z (t.j. vektorem s počátečním bodem 0 a koncovým bodem z) a vektorem kladné části reálné osy. Množinu všech argumentů komplexního čísla z značíme Arg z. Pro každé z existuje právě jeden úhel ϕ (Arg z) ( π, π]. Tento úhel nazýváme hlavní hodnota argumentu čísla z a značíme arg z. Cvičení 1.3.7. Najděte Arg z a arg z pro komplexní čísla z: a) 1 i, b) 6i, c) 12, d) 1 3i, e) 1 + 2i, f) 3 + 3i. Cvičení 1.3.8. Dokažte, že pro každé komplexní číslo z platí ϕ Arg z k Z : ϕ + 2kπ Arg z (1.8) Cvičení 1.3.9. Určte arg z, arg z 2 a arg z 3 pro z = 2 + 2i; z = 11; z = 3 i; z = 4i. Cvičení 1.3.10. Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí a) Pro každé komplexní číslo z je arg z ( π, π]. n b) Pro každé ϕ ( π, π] obsahuje množina {k Z; ϕ + k 2π n právě n po sobě jdoucích celých čísel včetně čísla 0. c) Pro každé ϕ ( π, π] a každé k Z je ( cos ϕ + k 2π ) ( = cos ϕ + (k + n) 2π ) n n ( π, π]} a ( sin ϕ + k 2π ) ( = sin ϕ + (k + n) 2π ). n n
12 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Cvičení 1.3.11. Dokažte, že následující podmínky pro nenulová komplexní čísla z = x + yi a w = u + vi jsou vzájemně ekvivalentní (a) arg z = arg w; (b) Arg z = Arg w; (c) z w = z w (0, + ); Nyní si položme otázku: Jak vyjádřit modul a argument komplexního čísla pomocí jeho reálné a imaginární části? A opačně: Známe-li modul a argument komplexního čísla z, jsme schopni určit jeho reálnou a imaginární část? Jinými slovy: Je svým modulem a argumentem komplexní číslo jednoznačně určeno? Řešení najdeme v následujícím příkladu. Příklad 1.3.3. Nejdřív hledáme modul a argument komplexního čísla z = x + yi. Už víme, že modul čísla z je určen vztahem (1.6): z = x 2 + y 2. Pro argument čísla z platí (načrtněte si obrázek): arctg y pro x > 0; x arg z = arctg y + π pro x > 0, y 0; (1.9) x arctg y π pro x < 0, y < 0. x Následně Arg z = {arg z + 2kπ; k Z}. Teď předpokládejme, že známe z i arg z a hledáme číslo z. Protože každá polopřímka začínající v bodě 0 protne jednotkovou kružnici se středem v 0 v právě jednom bodě, pro danou hodnotu arg z existuje jediná komplexní jednotka w, pro kterou platí arg w = arg z. Z definic funkcí sin a cos plynou pro složky čísla w = u + vi vztahy u = cos(arg z) a v = sin(arg z). Pro hledané číslo z zřejmě platí z = z w, proto pro jeho složky z = x + yi dostáváme x = z cos(arg z) a y = z sin(arg z). (1.10) Z rovnic (1.10) předešlého příkladu plyne, že komplexní číslo je jednoznačně určeno svým modulem a argumentem. Tento způsob určení komplexního čísla je popsán v následující definici.
1.4. UMOCŇOVÁNÍ A ODMOCŇOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 13 Definice 1.3.4. Zápis z = z cos(arg z) + i z sin(arg z) = z (cos(arg z) + i sin(arg z)) (1.11) nazýváme komplexní číslo v goniometrickém tvaru. Dodejme, že vzhledem k tomu, že funkce sin a cos jsou periodické s periodou 2π, ze vztahu (1.8) plyne z = z (cos(arg z) + i sin(arg z)) = z (cos(arg z) + i sin(arg z)). Příklad 1.3.4. Napišeme číslo z = 1 3 v goniometrickém tvaru. Máme z = 1 2 + ( 3) 2 = 2 a podle vztahu (2.2.1) platí arg z = arctg 3 1 π = arctg 3 π = π 3 π = 2π 3. 1.4 Umocňování a odmocňování komplexních čísel Násobení komplexních čísel v goniometrickém tvaru se řídí následující formulí. Jestliže a, z jsou komplexní čísla, pak a.z = a z (cos(arg a + Arg z) + i sin(arg a + Arg z)), (1.12) t.j. při násobení komplexích čísel platí: modul součinu je součin modul u; argument součinu je součet argument u. Uvedenou rovnost je třeba chápat tak, že za hodnoty Arg a a Arg z dosadíme libovolné hodnoty těchto množin, například arg a a arg z. (Dokažte, že výběr hodnot nemá vliv na výslednou hodnotu výrazu.) V dalším textu budeme často používat jednodušší arg místo Arg. Z uvedeného plyne následující důležitý fakt. V lineárním zobrazení w = az obraz w vznikne z bodu z jeho otočením kolem počátku o úhel arg a a následnou stejnolehlostí se středem v počátku a koeficientem a.
14 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA O umocňování komplexních čísel říká Moivreova věta. z n = z n (cos(n arg z) + i sin(n arg z)). Příklad 1.4.1. Vypočteme hodnotu (1 i) 99. Nejprve napíšeme číslo 1 i v goniometrickém tvaru 1 i = 2(cos( π 4 ) + i sin( π 4 )). Podle Moivreovy věty pak platí (využíváme periodičnost funkcí cos a sin s periodou 2π): 2 49 ( ( 2 cos 3π 4 (1 i) 99 = ( ( ( 2) (cos 99 99 π )) ( ( + i sin 99 π ))) = 4 4 ) ( + i sin 3π 4 )) ( = 2 49 2 ) 2 2 2 2 i = 2 49 2 49 i. Pomocí Moivreovy věty můžeme počítat n-tou odmocninu z komplexního čísla. Na rozdíl od reálného oboru, kde například druhá odmocnina z jedné je jediné reálné číslo, v komplexním oboru definujeme n-tou odmocninu obecněji. Definice 1.4.1. n-tou odmocninou komplexního čísla z rozumíme každé komplexní číslo w, které je řešení rovnice w n = z. (1.13) Teď ukážeme, jak vyjádřit obecně n-tou odmocninu komplexního čísla z = z (cos(arg z) + i sin(arg z)), t.j. řešení rovnice (1.13). Dosaďme tohle řešení w = w (cos(arg w) + i sin(arg w)) a s užitím Moivreovy věty počítejme z (cos(arg z) + i sin(arg z)) = ( w (cos(arg w) + i sin(arg w))) n = = w n (cos(n Arg w) + i sin(n Arg w)). Srovnáním modulů a argumentů levé a pravé strany předchozí rovnice dostáváme z = w n z = w n a Arg z = n Arg w. (1.14)
1.4. UMOCŇOVÁNÍ A ODMOCŇOVÁNÍ KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 15 Z první rovnosti zřejmě plyne w = n z. (1.15) Interpretovat druhou rovnost je poněkud složitější. Jde o to, že v množině Arg w může být kterékoliv reálné číslo ϕ, pro které platí nϕ Arg z. Podle Cvičení 1.3.8, abychom určili Arg w, stačí určit arg w a pak platí Arg w = {arg w + 2kπ; k Z}. Máme tedy n arg w Arg z, t.j. n arg w = arg z + 2kπ pro nějaké vhodné celé číslo k. Proto arg w může být kterékoliv reálné číslo, pro které platí arg w = arg z + 2kπ n = arg z n + k 2π n ( π, π] pro nějaké vhodné číslo k Z (nezapomeňte na definici hodnoty arg!). Na základě Cvičení 1.3.10 platí, že n-tou odmocninou nenulového komplexního čísla je množina právě n komplexních čísel n z = { n z ( arg z + 2kπ cos + i sin n arg z + 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1}. Pomocí posledního vztahu můžeme definovat také mocninu s racionálním exponentem: ( q ) ( p ) ) p z = { q arg z + 2kπ arg z + 2kπ z (cos p + i sin p, k = 0, 1,..., q 1}. q q Cvičení 1.4.1. Dokažte, že všechny hodnoty ( q z) p jsou různé právě tehdy, jestliže čísla p a q jsou nesoudělná. ( Cvičení 1.4.2. 1. Vypočítejte (1 + i) 10 1, i ) 24 ( 3 2 2, 1 + i ) 19 3 2 2, ( 2 + i 2) 25. 2. Najděte všechny hodnoty 3 1, 4 1, 3 i, 4 i, 3 8, 1 + i, 3 2 + 2i, 2 2 + i 2 2. 3. Řešte rovnice z 2 2iz + 3 = 0, z 2 + 2iz + i 1 = 0, z 3 + 8i = 0. 4. Zobrazte graficky množiny bodů v komplexní rovině, které jsou určeny podmínkami z + 1 > 1; 1 < z i < 2; Im z 1 + i = 0; Re z i = 0;
16 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA z = 2(cos t + i sin t), t [0, π]; z + i = z i ; z 1 + z + 1 = 4. Korespondenční úkol. Nechť a = 2 2i a b = 1 + 3i. Vyjádřete obě čísla v goniometrickém tvaru. Pak najděte všechna řešení rovnice z 3 = ab s neznámou z a z nich vyznačte to, jehož hlavní hodnota argumentu je záporná. 1.5 Limita posloupnosti komplexních čísel Vzdálenost komplexních čísel u a w je dána vztahem (1.7): d(z, w) = z w. Pro δ > 0 jsou δ-okolí a prstencové δ-okolí komplexního čísla z definovány U δ (z) = {w C; d(w, z) < δ} a U δ (z) = {w C; d(w, z) < δ} {z}. V oboru reálných čísel v některých úvahách pracujeme také s nevlastní body + a, t.j. jedno nekonečno v každém směru reálné osy. Zdálo by se tedy, že v komplexním oboru budeme pracovat s nekonečně mnoha nekonečny, s jedním v každém směru. Situace je ovšem jiná. V komplexním oboru se ukazuje výhodné mít pouze jedno nekonečno, to samé v každém směru. Pozice nekonečna mezi komplexními čísly je dána následující definicí. Pro r > 0 je r-okolí definováno U r ( ) = {w C; d(w, 0) > r}. Rozšířenou množinu komplexních čísel budeme rozumět množinu C { }, kterou budeme značit C. Definice vlastní a nevlastní limity posloupnosti komplexních čísel jsou obdobné jako v reálném oboru. Definice 1.5.1. ( Limita posloupnosti komplexních čísel.) Posloupnost komplexních čísel (z n ) konverguje k číslu z 0, když ke každému ε > 0 existuje takové n 0 N, že pro každé přirozené n > n 0 platí z n U ε (z 0 ) (ekvivalentně z n z 0 < ε). Tuto skutečnost značíme lim n + z n = z 0. Definice 1.5.2. (Nevlastní limita posloupnosti komplexních čísel.) Posloupnost komplexních čísel (z n ) konverguje k bodu, když pro každé r > 0 existuje takové n 0 N, že pro každé přirozené n > n 0 platí z n U r ( ). Tuto skutečnost značíme lim z n =. n + Poznámka 1.5.1. Podmínka lim z n = +. n + lim n + z n = je ekvivalentní s podmínkou
1.5. LIMITA POSLOUPNOSTI KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 17 Věta 1.5.1. ( Věta o limitě posloupnosti komplexních čísel.) Číslo a + ib je limitou posloupnosti komplexních čísel (z n = x n + iy n ) práve tehdy, když lim x n = a a lim y n = b. n + n + Důkaz: Nechť pro každé n N je z n = x n + iy n. Předpokládejme, že platí lim z n = L = a + ib. Potom pro každé ε > 0 existuje takové n 0 N, že pro n + všechna n > n 0 je z n L = (x n a) 2 + (y n b) 2 < ε. Pak ale rovněž pro všechny n > n 0 platí a také x n a = (x n a) 2 (x n a) 2 + (y n b) 2 < ε (1.16) y n b = (y n a) 2 (x n a) 2 + (y n b) 2 < ε, (1.17) a proto lim x n = a a lim y n = b. Na druhou stranu, jestliže pro každé n + n + ε > 0 existují taková n 1 N a n 2 N, že platí nerovnice (1.16) a (1.17), pak z trojúhelníkové nerovnosti plyne také z n L = (x n a) 2 + (y n b) 2 x n a + y n b < 2ε, z čehož dostáváme lim z n = a + ib. n + Cvičení 1.5.1. Analogická věta platí i pro dvojici modul argument. Zformulujte ji, ale buďte opatrní! Následující příklad ukazuje zajímavé užití Moivreovy věty. Příklad 1.5.1. Nechť α R a ρ (0, 1). Pro přirozené číslo n definujme Chceme vypočítat a u n = 1 + ρ cos α + ρ 2 cos 2α + + ρ n cos nα. lim u n. Položme n + v n = ρ sin α + ρ 2 sin 2α + + ρ n sin nα w n = u n + iv n = 1 + ρ(cos α + i sin α) + + ρ n (cos nα + i sin nα).
18 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Při označení t = ρ(cos α + i sin α) je w n součtem konečné geometrické posloupnosti a proto dostáváme Následně, jelikož t = ρ < 1, w n = 1 + t + t 2 + + t n = 1 tn+1. 1 t lim w 1 t n+1 n = lim n + n + 1 t = 1 1 t. Z věty o limitě posloupnosti komplexních čísel dostáváme řešení úlohy lim u n = lim Re 1 n + n + 1 ρ(cos α + i sin α) = 1 ρ cos α (1 ρ cos α) 2 + sin 2 α. 1.6 Řady komplexních čísel Nechť z n = x n + iy n ; kde n = 1, 2,.... Pak výraz + n=1 z n = z 1 + z 2 + (1.18) se nazývá nekonečná řada komplexních čísel. Jestliže existuje vlastní limita posloupnosti částečných součt u {S n } + n=1, kde S n = této řady, pak hovoříme o konvergentní řadě, v opačném případě hovoříme o divergentní řadě. V případě konvergentní řady podle Věty 1.5.1 platí + n=1 z n = + n=1 x n + i + n=1 n k=1 z k y n. (1.19) Cvičení 1.6.1. Dokažte vztah (1.19) pro konvergentní řady komplexních čísel.
1.6. ŘADY KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 19 Věta 1.6.1. (Cauchyovo-Bolzanovo kriterium konvergence.) Řada (1.18) konverguje právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje takové n 0 N, že pro všechna n > n 0 a pro každé k platí S n+k S n < ε. Konkrétně pro k = 1 dostáváme nutnou podmínku konvergence nekonečné řady. Věta 1.6.2. Jestliže řada (1.18) konverguje, pak platí lim z n = 0. n + Řada komplexních čísel se nazývá absolutně konvergentní, když konverguje řada + z n. Konvergentní řada, která není absolutně konvergentní, se n=1 nazývá relativně konvergentní. Věta 1.6.3. (Věta o absolutní a relativní konvergenci.) Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní. Opačné tvrzení neplatí. Důkaz: Pro každé n N označme S n = a k a T n = a k. Užitím trojúhelníkové nerovnosti dostáváme pro každou dvojici přirozených čísel n a k S n+k S n = a n+1 +a n+2 + +a n+k a n+1 + a n+2 + + a n+k = T n+k T n. (1.20) Cauchyovo-Bolzanovo kriterium říká, že z absolutní konvergence řady (1.18) plyne, že ke každému ε > 0 existuje přirozené n 0 tak, že pro každé přirozené n > n 0 a každé přirozené k platí T n+k T n < ε. Z nerovnosti (1.20) ovšem plyne také nerovnost S n+k S n < ε, z čehož opět pomocí Cauchyova- Bolzanova kriteria plyne konvergence řady (1.18). n=1 n=1 Příklad 1.6.1. Typickým příkladem relativně konvergentí řady je řada (dokonce reálných čísel) + n=1 ( 1) n n. Následující dvě věty plynou bezprostředně z Věty 1.5.1 a jejich důkaz ponecháváme čtenáři jako cvičení. Věta 1.6.4. Řada + z n je absolutně konvergentní právě tehdy, když jsou n=1 absolutně konvergentní obě řady + x n n=1 a + n=1 y n.
20 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA Důsledek 1.6.1. Součet absolutně konvergentní řady je nezávislý na přerovnání. Věta 1.6.5. (Věta o součtu, rozdílu a součinu konvergentních řad.) Nechť + z n a + z n jsou konvergentní řady se součty S a S. Pak také řada + n=1 n=1 n=1 (z n + z n) je konvergentní a platí + (z n + z n) = S + S. Jestliže navíc obě n=1 řady konvergují absolutně, pak absolutně konverguje i jejich součin, t.j. řada + n=1 (z 1z n + z 2z n 1 + + z nz 1). K ověření absolutní konvergence lze užít všechna kriteria pro řady s kladnými členy známá z reálné analýzy, například kritérium Cauchyovo, d Alembertovo, integrální nebo kritérium majorantní. Jako příklad uvádíme kritérium Cauchyovo, které se nejčastěji používá ve speciálních případech mocninných řad, s nimiž se seznámíme později. Věta 1.6.6. (Cauchyovo kriterium absolutní konvergence.) Nechť + zn. Pak řada + z n n=1 n je nekonečná řada komplexních čísel a q = lim sup z n n + n=1 konverguje, jestliže q < 1, a diverguje, jestliže q > 1. V případě q = 1 může řada konvergovat i divergovat. Cvičení 1.6.2. 1. Zjistěte, zda konvergují posloupnosti a nalezněte limity. ( n lim n + n + 1 i ) ( ) ( ( n + 1, lim + in, lim n n + i 1 + 1 ) n ), n n + n n + n ( ) ( n lim n + n + 1 in 3n 2 nπ, lim cos n n + n 2 5 2n + 7 + i sin nπ ) ( ) n, lim i. 2n + 7 n + 2. Je-li lim u n + iv n =, co můžeme říci o limitách lim u n a lim v n? n + n + n 3. Nechť lim w n = A. Dokažte, že platí lim w n = A. Platí též n n lim arg w n = arg A? n 4. Najděte ( lim 1 + 1 n 2 cos π 4 + 1 4 cos π 2 + + 1 2 cos nπ ) n 4
1.7. NEKONEČNO A STEREOGRAFICKÁ PROJEKCE* 21 a ( 4 lim n 5 sin π 6 + 16 25 sin π 3 + + 4n 5 sin nπ n 6 ( 5. Dokažte, že pro z = x + iy platí lim 1 + z n n n) = e x (cos y + i sin y). 6. Rozhodněte o konvergenci řad n=1 in + 1 n + 2i ( n n + 1 ) n, n=1 ( ) n 2i, n n=1 ). (1 + i) n (n + i), 2 7. Dokažte následující tvrzení a) Jestliže pro všechna n N platí Re w n 0, Im w n 0 a řada konverguje, pak řady w n a wn 2 konvergují absolutně. n=1 n=1 n=1 i n n. w n n=1 b) Jestliže pro všechna n N platí Re w n 0 a řady w n a wn 2 konver- gují, pak také řada w n 2 konverguje. n=1 c) Jestliže řada w n konverguje, pak konverguje absolutně, pokud je pro n=1 všechna n N splněna některá z podmínek n=1 n=1 (i) arg w n a < π 2 ; (ii) 0 < a < arg w n < π a. 1.7 Nekonečno a stereografická projekce* Operace s nekonečnem. I když nekonečno není komplexní číslo, někdy je výhodné provést operaci, která obsahuje nekonečno. Nyní některé takové operace budeme definovat. Každou z těchto operací je třeba chápat v toem smyslu, že kdyby na pozici symbolu byla jakákoliv komplexní veličina, která se blíží k, výsledek operace by zůstal stejný. Nechť z C, w C, w 0. Pak definujeme ± z =,. w =, a = 0, a =, a 0 =. 0 Výrazy ±, 0.,, nemají smysl. Zdůvodněte proč. 0 Pozici nekonečna mezi komplexními čísly je možné geometricky interpretovat pomocí stereografické projekce. Uvažujme v prostoru jednotkovou kulovou
22 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA plochu, t.j. množinu B = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 = 1} a komplexní rovinu ztotožněnou s rovinou C = {(x, y, z) R 3 ; z = 0}. Označme N = (0, 0, 1) S a uvažujme bijekci σ : B \ {N} C definovanou vztahem ( ) x σ(x, y, z) = 1 z, y 1 z, 0, (x, y, z) B {N}. Cvičení 1.7.1. Prověřte, že σ(x, y, z) C a že se skutečně jedná o bijekci mezi množinami B \ {N} a C. Bijekci σ lze geometricky popsat následovně. Zvolme bod X = (x, y, z) B. Bod σ(x, y, z) C bude průsečík přímky určené body N a X s komplexní rovinou C (zdůvodněte, že průsečík skutečně existuje a je jednoznačně určen). Zobražení σ nazýváme stereografickou projekcí. Uvažujeme-li zobrazení inverzní k σ, dostáváme, že všechna komplexní čísla můžeme zobrazit do sféry B, přičemž obazem celé komplexní roviny bude celá sféra B s výjimkou bodu N. Proto můžeme σ 1 rozšířit na zobrazení ϕ z celé rozšířené komplexní roviny C = C { } na celou sféru B, definujíce ϕ = σ 1 na C a ϕ( ) = N. Vlastnosti stereografické projekce jsou popsány v následujícím cvičení. Cvičení 1.7.2. 1. Dokažte, že zobrazení ϕ zobrazí a) množinu {z C; z < 1} na dolní polosféru {(x, y, z) R 3 ; x 2 +y 2 +z 2 = 1 a z < 0}, b) body množiny {z C; z = 1} samy na sebe, c) množinu {z C; z > 1} na horní polosféru {(x, y, z) R 3 ; x 2 +y 2 +z 2 = 1 a z > 0}. 2. Dokažte, že ϕ je spojité zobrazení na celé rozšířené komplexní rovině C, speciálě platí x n ϕ(x n ) N. 3. Najděte obrazy polopřímek {z C; arg z = α} a kružnic {z C; z = r} při zobrazení ϕ. 4. Zjistěte, jaký je vztah mezi obrazy ϕ(z 1 ) a ϕ(z 2 ) dvojic bodů pro a) z 2 = z 1, b) z 2 = z 1, c) z 2 = z 1. 5. Najděte obrazy množin při zobražení ϕ: a) Re z > 0; b) Im z > 0; c) 1 < z < 2; d) Re z = C (C je dána konstanta); e) Im z = C. 1.8 Některé typy množin v rovině Definice 1.8.1. Množina A C je otevřená právě tehdy, jestliže obsahuje
1.9. KRÁTKÉ SHRNUTÍ 23 s každým svým bodem také některé jeho okolí, t.j. pro každé z A existuje takové ε > 0, že U ε (z) A. Definice 1.8.2. Bod z je hromadným bodem množiny A C, jestliže pro všechna ε > 0 platí U ε (z) A. Bod z je hraničním bodem množiny A C, jestliže je hromadným bodem obou množin A a C A. Hranice množiny je množina všech její hraničních bodů. Definice 1.8.3. Množina A C je uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hromadné body. Uzávěr množiny A je sjednocení množiny A a její hranice. Věta 1.8.1. Množina je uzavřená právě tehdy, je-li její doplněk otevřená množina. Definice 1.8.4. Otevřená množina A C je souvislá právě tehdy, jestliže můžeme každé dva její body spojit lomenou čárou, která celá leží v množině A. Oblast je otevřená souvislá množina. Uzavřená oblast je uzávěr oblasti. Definice 1.8.5. Množina A C je omezená, jestliže existuje takové kladné číslo R, že A U R (0), t.j. pro všechna z A platí z < R. Příklad 1.8.1. Pro dané a C a R > 0 je kruh z a < R oblast (t.j. otevřená souvislá množina), je to také omezená množina. Kružnice z a = R je hranicí této oblasti a uzavřený kruh z a R je uzavřená oblast. Cvičení 1.8.1. Popište vlastnosti následujících množin: a) {z = x + iy; x (0, 1] a y > 0}; b) {z = x + iy; x [0, 1] a y 0}; c) {z = x + iy; x (0, 1) a y 0}; d) {z C; 0 < arg z < π a 1 < z < 2}; 2 e) {z = ρ(cos t + i sin t); 0 < ρ < 1 a π < t < 3π }; f) {z = ρ(cos t + 2 2 i sin t); 1 < ρ < 2 a π t 3π }; g) 1 < z ; h) z < 1; i) 1 < z a 2 2 z 2. Cvičení 1.8.2. Dokažte, že pro všechna reálná čísla y platí lim (1 + y n + n )n = cos y + i sin y. Z toho plyne formula e x+iy = e x (cos y + i sin y). 1.9 Krátké shrnutí Viděli jsme, že komplexní čísla mají algebraické vlastnosti (t.j. operace a jejich vlastnosti) velice podobné číslům reálným. Naproti tomu geometrie
24 KAPITOLA 1. KOMPLEXNÍ ČÍSLA komplexních čísel je mnohem složitější než je tomu u čísel reálných. Důsledkem je poměrně složitý pojem argumentu, nejednoznačnost odmocniny a množství typů rovinných množin. Později uvidíme, že tyto fakty budou zdrojem mnoha komplikací, které ovšem obohatí celou teorii. Na druhé straně je výhodné, že pojmy konvergence posloupností a řad v komplexním oboru je možné redukovat na analogické pojmy v reálném oboru s nimiž již umíme pracovat.
Kapitola 2 Komplexní funkce komplexní proměnné V této kapitole se naučíte zejména určit reálnou a imaginární složku komplexní funkce; vypočítat vlastní a nevlastní limitu komplexní funkce; zjistit spojitost komplexní funkce; pracovat se spojitými křivkami. Klíčová slova: Komplexní funkce, složky komplexní funkce, mnohoznačná funkce, vlastní a nevlastní limita, spojitost komplexní funkce, spojitá křivka. 2.1 Definice a základní vlastnosti Definice 2.1.1. Mnohoznačná komplexní funkce komplexní proměnné je relace, jejiž definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny množiny C. To znamená, že každé hodnotě z z jisté množiny komplexních čísel je přiřazeno jedno nebo více komplexních čísel w. Jestliže je každé takovéto w určeno jednoznačně, pak hovoříme o jednoznačné funkci, v opačném případě hovoříme o mnohoznačné funkci. Poznámka 2.1.1. Budeme-li v dalším textu psát o komplexní funkci, budeme mít na mysli vždy jednoznačnou komplexní funkci. Budeme-li mít na mysli 25
26 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE mnohoznačnou funkci, vždy to explicitne vyjádříme. V takovémto případě budeme mnohoznačnost funkce zvýrazňovat užitím velkého písmene (napr. F ) pro název funkce. Důvodem tohoto rozdílu oproti reálným funkcím jsou důležité funkce jako w = Arg z, w = n z. Později uvedeme další mnohoznačné funkce. V případě mnohoznačné funkce píšeme někdy w F (z) místo w = F (z). Definice 2.1.2. Nechť w = f(z), kde z = x + iy a w = u(x, y) + iv(x, y), přičemž u, v jsou reální funkce dvou proměnných. Funkci u budeme nazývat reálnou částí funkce f a funkci v budeme nazývat imaginární částí funkce f. Příklad 2.1.1. Rozložme na složky funkci w = z z. Pro z = x + iy je w = x + iy x + iy = x 2 + y 2 (x iy) = x 2 + y 2 x i x 2 + y 2 y. Proto pro reálnou složku u a imaginární složku v dané funkce dostáváme u(x, y) = x 2 + y 2 x, v(x, y) = x 2 + y 2 y. Cvičení 2.1.1. Rozložme na složky funkce a) w = z 2, b) w = arg z, c) w = 1 1 z, d) w = z, e) w = iz, f) w =. z 1+z Definice 2.1.3. Nechť w = F (z) je (obecně mnohoznačná) komplexní funkce definována na množině D C. Množinu H = {w = F (z); z D} nazýváme obor hodnot funkce F. Funkci F 1 : H D definovanou vztahem z = F 1 (w) právě tehdy, když w = F (z), nazýváme funkcí inverzní k funkci F. Někdy se může stát, že funkce inverzní k mnohoznačné funkci je jednoznačná a opačně. Z obecné teorie zobrazení je známo, že k jednoznačné funkci f na množině M existuje inverzní jednoznačná funkce f 1 definována na množině f(m) právě tehdy, je-li funkce f na množině M prostá, t.j. x 1, x 2 M a x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). (2.1) Příklad 2.1.2. Uvažujme funkci w = z 2. Tato funkce je jednoznačná v celé komplexní rovině, ovšem není prostá, protože například ( 1) 2 = 1 2. Inverzní k této funkci je mnohoznačná funkce z = w. Když chceme, aby inverzní funkce byla jednoznačná, musíme omezit definiční obor původní funkce na některou (zpravidla pokud možno co největší) množinu M, na které je původní funkce prostá. Když vyjádříme naši funkci pro z v goniometrickém tvaru pomocí Moivreovy věty, dostáváme w = z 2 = z 2 (cos(2 Arg z)) + i sin(2 Arg z)).
2.1. DEFINICE A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 27 Uvažujme nyní, kdy se může stát, že pro z 1 z 2 platí z 2 1 = z 2 2. Z předchozí rovnice plyne, že je to právě tehdy, když z 1 = z 2 a 2 Arg z 1 = 2 Arg z 2. Smysl první rovnosti je zrejmý, druhá říká, že 2 arg z 1 = 2 arg z 2 +2kπ pro nějaké celé číslo k. Po vydělení dvěma dostáváme pro hlavní hodnoty argumentů čísel z 1 a z 2 rovnost arg z 1 = arg z 2 + kπ, t.j. arg z 1 arg z 2 = kπ pro nějaké celé číslo k. Protože obě hodnoty argumentů leží v intervalu ( π, π], absolutní hodnota jejich rozdílu je menší než 2π. Proto k { 1, 0, 1}. V případě k = 0 je ovšem z 1 = z 2 i arg z 1 = arg z 2, proto z 1 = z 2. Máme tedy tvrzení: Pro z 1 z 2 platí z 2 1 = z 2 2 právě tehdy když platí z 1 = z 2 a arg z 1 = arg z 2 ± π, což neznamená nic jiného, že z 2 1 = z 2 2 z 1 = z 2 nebo z 1 = z 2. Z toho plyne, že chceme li najít jednoznčnou inverzní funkci k w = z 2, musíme se omezit na množiny, které neobsahují obě čísla z a z pro žádné komplexní z. Tak například z = ( w) 0 = ( ( arg w ) ( arg w )) w cos + i sin 2 2 je funkce inverzní k w = z 2 definované v množině {z C; arg z ( π π ]}. 2 2 Obdobně, vybereme-li jinou než hlavní hodnotu argumentu, například definujemeli arg 1 z = Arg z [0, 2π) (promyslete!) dostáváme, že z = ( w) 1 = ( ( arg1 w ) ( arg1 w )) w cos π + i sin π 2 2 je funkce inverzní k w = z 2 definované v množině {z C; arg z [0, π)}. Cvičení 2.1.2. Nechť w = z 2. Tato funkce jednoznačně zobrazuje množinu Im z > 0 na množinu w C R +. Najděte obraz množiny Re z = 1. Cvičení 2.1.3. Nechť w = z 2. Dokažte, že tato funkce jednoznačně zobrazuje následující množiny a najděte jejich obrazy: a) Im z = 1; b) z < 2 a 0 < arg z < π; c) Re z + Im z = 1.
28 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE 2.2 Limita funkce Definice 2.2.1. Nechť funkce w = f(z) je definována v okolí bodu z 0. Říkáme, že funkce f má v bodě z 0 limitu L C, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna z U δ (z 0 ) je f(z) U ε (L). Cvičení 2.2.1. Dokažte, že lim f(z) = právě tehdy, platí-li lim f(z) = z z0 z z0 + Následující věta je podobná jako v případě limity posloupnosti. Z ní pak plyne, že limity a spojitost komplexních funkcí se řídí podobnými pravidly jako limity a spojitost funkcí reálných, což je obsaženo v dalších větách této sekce. Jelikož důkazy jsou prakticky stejné jako v případě reálných funkcí, nebudeme je tu uvádět. Věta 2.2.1. Nechť f(z) = u(x, y) + iv(x, y) a z 0 lim f(z) = L = a + ib právě tehdy jestliže z z 0 lim u(x, y) = a a lim v(x, y) = b. (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Věta 2.2.2. Nechť lim f 1 (z) = L 1 z z0 f 2 (z)) = L 1 ± L 2, lim = x 0 + iy 0. Pak platí a lim z z0 f 2 (z) = L 2. Pak lim z z0 (f 1 (z) ± z z0 ( f 1(z) jsou-li výrazy (f 1 (z).f 2 (z)) = L 1.L 2 a lim ) = L 1 z z0 f 2 (z) L 2 na pravé stranědefinovány, t.j. nejedná se o výrazy typu 0, 0, atd. 0 Definice 2.2.2. Funkce w = f(z) je spojitá v bodě z 0 svého definičního oboru, je-li z 0 izolovaným bodem nebo platí-li lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Cvičení 2.2.2. Spojitost funkce f(z) = u(x, y) + iv(x, y) pro z = x + iy je ekvivalentní spojitosti obou reálných funkcí u a v dvou reálných proměnných x a y. Dokažte. Věta 2.2.3. Pro součet, rozdíl, součin, podíl a složené funkce spojitých funkcí platí analogické věty jako v případě reálném. Plyne to z příslušných vět o limitách. Definice 2.2.3. Nechť F je mnohoznačná funkce. Říkáme, že z funkce F vydělíme v oblasti D spojitou jednoznačnou větev f, jestliže f je v oblasti D spojitá jednoznačná funkce a pro každé z D platí f(z) F (z). Jednoznačné větve ( w) 0 a ( w) 1 mnohoznačné funkce z = w jsme viděli už v Příkladu 2.1.2.
2.3. SPOJITÁ KŘIVKA 29 Příklad 2.2.1. Z mnohoznačné funkce F (z) = Arg(z) můžeme vydělit spojité jednoznačné větve následujícím způsobem. Pro každé α R definujme oblast D α = C {z C; α / Arg z}. Potom funkce f(z) = arg α (z), kde arg α (z) Arg(z) (α, α + 2π), je spojitá jednoznačná větev funkce F (z) = Arg z v oblasti D α. Cvičení 2.2.3. a) Dokažte, že f(z) = z 2 je spojitá funkce na C. b) Najděte některou spojitou jednoznačnou větev funkce F (z) = 3 z v oblasti D = {z C; arg z (0, π )}. Má tato funkce spojitou jednoznačnou větev 3 také v některé větší oblasti než je D? Uvažte také případ oblasti D 1 = {z C; arg z (0, π)}. c) Nechť arg α a D α znamenají totéž jako v Příkladu 2.2.1. Najděte hodnotu α R, pro kterou platí arg α z = arg z pro všechna z D α Definice 2.2.4. Zobecněnou spojitou funkcí budeme rozumět libovolnou spojitou funkci f : D C C. Příkladem zobecněné spojité funkce je funkce f(z) = dodefinována v bodě 0 tak, že f(0) =. 1 z Cvičení 2.2.4. Rozhodněte, které z následujících funkcí f můžeme dodefinovat v bodě 0 tak, aby funkce zůstala spojitá. a) f(z) = 0; b) f(z) = Im z z ; c) f(z) = ; z d) f(z) = ; e) f(z) = z z z z Im z 2 ; f) f(z) = z Re z. z 2 z 2.3 Spojitá křivka Definice 2.3.1. Spojitou křivkou rozumíme libovolnou spojitou komplexní funkci reálné proměnné definovanou na některém uzavřeném intervalu, t.j. z = γ(t); t [α, β] R. Poznámka 2.3.1. Křivkou se často rozumí pouze její obraz γ([α, β]), tedy množina bodů v komplexní rovině. Pro zdůraznění důležitosti funkčního předpisu také hovoříme o parametrizaci křivky. Spojitou křivku si můžeme představit jako trajektorii pohybujícího se bodu. Takto lze spojitou křivku orientovat dvěma způsoby: souhlasně s její parametrizací, když γ(α) je počáteční bod křivky a γ(β) je koncový bod křivky, nebo nesouhlasně s její parametrizací, je-li tomu obráceně. Definice 2.3.2. Spojitá křivka γ se nazývá uzavřená, je li γ(α) = γ(β). Spojitá křivka γ se nazývá jednoduchá nebo také Jordanova, plyne-li pro
30 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE libovolnou dvojici bodů x y z intervalu [α, β] z rovnosti γ(x) = γ(y) rovnost {x, y} = {α, β}. Shodnost dvou spojitých křivek chápeme ve smyslu invariantnosti vzhledem k parametrizaci, ne vzhledem k jejich oboru hodnot. Definice 2.3.3. Křivky z = γ(t); t [α, β] a z = δ(t); t [a, b] jsou shodné, existuje-li taková monotónní spojitá bijekce φ: [α, β] [a, b], že pro každé t [α, β] je γ(t) = δ(φ(t)). Poznamenajme, že jsou-li křivky γ a δ v uvedené definici shodné, pak nutně platí γ(α) = δ(a) a γ(β) = δ(b), je-li bijekce φ rostoucí, nebo je-li φ klesající. γ(α) = δ(b) a γ(β) = δ(a), Příklad 2.3.1. Uvažujme křivky α: z = cos t + i sin t, t [0, 2π], β: z = cos t + i sin t, t [0, 4π], γ: z = cos t + i sin t, t [0, π], δ: z = cos 2πt + i sin 2πt, t [0, 1], ϕ: z = sin t + i cos t, t [0, 2π]. Křivka α je jednoduchá uzavřená křivka a jejím obrazem je jednotková kružnice k 1 se středem v počátku souřadnic. Ověřte (uvažte, že pro každé t R je cos t + i sin t = 1). Křivka β je uzavřená, není však jednoduchá, protože například β(0) = β(2π) = β(4π) = 1. Jejím obrazem je také kružnice k 1. Křivka γ je jednoduchá, ale není uzavřená, protože γ(0) = 1 1 = γ(π). Jejím obrazem je půlkružnice k 1 {z C; Im z 0}. Křivka δ je, stejně jako křivka α, jednoduchá, uzavřená a jejím obrazem je také kružnice k 1. Nakonec křivka ϕ je, jako křivky α a δ, jednoduchá uzavřená křivka a jejím obrazem je opět kružnice k 1. Z uvedených vlastností plyne, že žádná z křivek β, γ se nemůže rovnat žádné jiné zkoumané křivce. Jediné rovnosti, které mohou nastat jsou rovnosti mezi křivkami α, δ a ϕ. Definujeme-li bijekci φ: [0, 1] [0, 2π] vztahem φ(t) = 2πt, pak máme pro každé t [0, 1] α(φ(t)) = δ(t)
2.3. SPOJITÁ KŘIVKA 31 a křivky α a δ jsou shodné. Na druhou stranu α(0) = 1 a ϕ(0) = ϕ(2π) = i, proto podle poznámky za definicí shodných křivek není možné, aby křivky α a ϕ byly shodné. Korespondenční úkol. Jsou dány křivky α : z = cos t + i sin t, t [0, 2π], β : z = sin t + i cos t, t [0, 2π], γ : z = cos t + i sin t, t [0, 2π], δ : z = cos t i sin t, t [0, 2π] a ε : z = cos t + i sin t, t [ 2π, 2π]. Zjistěte, které z nich jsou shodné. Cvičení 2.3.1. Nechť α : z = t, t [ 1, 1], β : z = cos t, t [0, π] a γ : z = cos t, t [0, 2π]. Pak platí α = β γ. Dokažte. Cvičení 2.3.2. Dokažte, že množina všech bodů spojité křivky je uzavřená množina. Důležitým typem křivky je lomená čára, t.j. křivka, která je složena z na sebe navazujících úseček. Tento typ křivky jsme v předchozí kapitole užili k definici oblasti. Nyní můžeme vyslovit i jinou charakterizaci oblasti. Věta 2.3.1. Platí-li pro otevřenou množinu U C, že ke každé dvojici bodů z 1, z 2 U existuje spojitá křivka γ: [α, β] U tak, že γ(α) = z 1 a γ(β) = z 2, pak U je oblast. Příklad 2.3.2. Množina A = {z C; Re z < 0} je oblast, množina B = {z C; Re z 1} je uzavřená oblast. Množina C = {z C; Re z 2} ovšem není oblast. Její body z 1 = 1 a z 2 = 3 nemůžeme spojit žádnou spojitou křivkou, která celá leží v C, neboť každá taková křivka nutně protne přímku Re z = 2. Věta 2.3.2. (Jordanova věta) Nechť γ je uzavřená Jordanova křivka. Pak γ rozděluje komplexní rovinu na dvě disjunktní oblasti G 1 a G 2, jejichž společnou hranicí je křivka γ. Přitom jedna z těchto oblastí je omezená a druhá není. Omezenou oblast nazýváme vnitřek křivky γ a neomezenou oblast nazýváme vnějšek křivky γ. Definice 2.3.4. Oblast G nazýváme jednoduše souvislou, má-li následující vlastnost: Leží-li některá uzavřená Jordanova křivka γ celá v oblasti G, pak také celý vnitřek křivky γ leží v oblasti G. V opačném případě nazýváme oblast G vícenásobně souvislou. Příklad 2.3.3. Oblasti A = {z C; Im z > 1} a B = {z C; Arg z ( 3π, 3π) } jsou jednoduše souvislé. Naproti tomu oblasti C = {z C; 1 < 2 Re z < 2} a D = Uδ (z), z C, δ > 0 jsou vícenásobně souvislé.
32 KAPITOLA 2. KOMPLEXNÍ FUNKCE Cvičení 2.3.3. Rozhodněte, které oblasti jsou jednoduše souvislé: vnitřek kruhu, vnějšek kruhu, mezikruží, C {0}. 2.4 Krátké shrnutí Viděli jsme, že v komplexním oboru je pojem funkce daleko složitější než v oboru reálném. Mnohoznačné funkce, jako Arg z nebo n z nemají analogii mezi reálnými funkcemi a jejich mnohoznačnost nám bude v budoucnu působit jisté komplikace. Na druhé straně je dobře, že pojem limity a spojitosti (jednoznačné) komplexní funkce je znovu podobný a lze jej popsat limitou funkcí dvou reálných proměnných.
Kapitola 3 Diferenciální počet komplexních funkcí V této kapitole se naučíte zejména určit, zda je komplexní funkce diferencovatelná, případně analytická; vypočítat derivaci a diferenciál diferencovatelné funkce; užívat pravidla pro derivaci součtu, součinu, podílu funkcí a pravidlo pro derivaci složené funkce; zjistit, zda je daná funkce dvou reálných proměnných složkou analytické funkce. Klíčová slova: Derivace komplexní funkce, diferencovatelná funkce, diferenciál, analytická funkce, celá funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky diferencovatelnosti, harmonická funkce, harmonicky sdružené funkce. 3.1 Derivace a diferenciál f(z) f(z Definice 3.1.1. Nechť w = f(z) je komplexní funkce. Existuje-li lim 0 ) z z0 z z 0, nazývá se derivace funkce f v bodě z 0 a značí se symbolem f (z 0 ). Příklad 3.1.1. Nechť f(z) = z z. Potom f(z) f(0) lim z 0 z 0 z z = lim z 0 z 33 = lim z 0 z = 0,
34 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ proto f je diferencovatelná v bodě z 0 = 0 a f (0) = 0. Pro funkci w = f(z) označme w = f(z) f(z 0 ) a z = z z 0. Definice 3.1.2. Funkce w = f(z) je diferencovatelná v bodě z 0, jestliže existuje konstanta A C a taková funkce ε(z 0, z), že platí lim ε(z 0, z) = 0 z 0 a navíc platí w = A z + ε(z 0, z) z. (3.1) Důležitý vztah mezi existencí derivace a diferencovatelností je dán následující větou. Věta 3.1.1. Funkce w = f(z) je diferencovatelná v bodě z 0 právě tehdy, když má v bodě z 0 derivaci a navíc platí A = f (z 0 ). Důkaz. Nechť f je diferencovatelná v bodě z 0. Z definice diferencovatelnosti a po dělení rovnice (3.1) výrazem z plyne f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 = A + lim z z0 ε(z 0, z) = A, z čehož plyne existence derivace funkce v bodě z 0 a rovnost f (z 0 ) = A. Opačně, nechť má funkce f derivaci v bodě z 0. Pro z z 0 = z C označme Potom platí ε(z 0, z) = f(z 0 + z) f(z 0 ) z f (z 0 ). lim ε(z f(z 0 + z) f(z 0 ) 0, z) = lim f (z 0 ) = f (z 0 ) f (z 0 ) = 0, z 0 z 0 z z čehož plyne diferencovatelnost funkce f v bodě z 0. Poslední věta má důležitý důsledek, kterého důkaz je přenechán čtenáři. Důsledek 3.1.1. Jestliže je funkce v bodě diferencovatelná, pak je v tomto bodě také spojitá. Definice 3.1.3. Jestliže je funkce w = f(z) v bodě z 0 diferencovatelná, pak lineární výraz A z nazýváme diferenciálem funkce f v bodě z 0 a značíme jej df nebo dw. Píšeme též f (z 0 ) = dw dz. Cvičení 3.1.1. Ověřte, že funkce f(z) = (Re z) z je diferencovatelná v bodě z 0 = 0 a f (0) = 0. Cvičení 3.1.2. Dokažte, že funkce f(z) = Re z není nikde diferencovatelná.
3.2. PRAVIDLA PRO POČÍTÁNÍ DERIVACÍ 35 3.2 Pravidla pro počítání derivací Počítáme-li derivaci v obecném bodě z (nikoliv ve speciálním bodě z 0 ), užíváme ekvivalentní tvar limity lim. Následující příklady ukazují, f(z+ z) f(z) z 0 z že derivace komplexních funkcí se často chovají podobně jako v oboru reálném. Příklad 3.2.1. Počítáme derivaci konstantní funkce f(z) = c v oblasti D. V libovolném bodě z D máme f f(z + z) f(z) (z) = lim z 0 z c c = lim z 0 z = 0. Příklad 3.2.2. Ukážeme, že pro každé přirozené číslo n má funkce f(z) = z n derivaci f (z) = nz n 1. Dříve než budeme počítat derivaci, užijeme binomickou formuli (a + b) n = a n + ( ) n a n 1 b + 1 na úpravu výrazu ( ) n (z+ z) n = z n + z n 1 z+ 1 ( n 2 Nyní spočítáme derivaci v libovolném bodě (z n ) f(z + z) f(z) = lim z 0 z = lim z 0 z n + ( n 1 = lim z 0 = lim z 0 nzn 1 + ( ) ( ) n n a n 2 b 2 + + ab n 1 + b n 2 n 1 ) z n 2 ( z) 2 + + ( ) n z( z) n 1 +( z) n. n 1 (z + z) n z n = lim z 0 z ) z n 1 z + ( ) n 2 z n 2 ( z) 2 + + ( z) n z n = z z ( nz n 1 + ( ) n 2 z n 2 ( z) + + ( z) n 1) = z ( ) n z n 2 ( z) + + ( z) n 1 = nz n 1, 2 neboť limity všech n 1 členů obsahujících výraz z jsou rovny nule. Důvod, proč se derivace mocninné funkce v reálném a komplexním oboru často neliší, není náhodný. Zhruba řečeno, tkví v tom, že jak algebraické =
36 KAPITOLA 3. DIFERENCIÁLNÍ POČET KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ operace, tak definice a pravidla počítaní limit jsou v reálném i komplexním oboru stejné. Analogicky, jako v předchozím příkladu, můžeme dokázat pravidla pro počítaní derivací komplexních funkcí, která se naprosto shodují s pravidly pro funkce reálné. Věta 3.2.1. (O derivaci a algebraických operacích.) Předpokládejme, že komplexní funkce f a g jsou diferencovatelné v bodě z. Potom je v bodě z diferencovatelný také jejich součet, rozdíl, součin a podíl (je-li v bodě z definován) a platí (D1) (f ± g) (z) = f (z) ± g (z); (D2) (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z), speciálně pro konstantu c je (cf(z)) = cf (z); (D3) ( f g ) (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) g 2 (z) ; Věta 3.2.2. (O derivaci složené funkce.) Nechť funkce w = f(z) je diferencovatelná v bodě z 0 a funkce ζ = g(w) definována v okolí bodu w 0 = f(z 0 ) a diferencovatelná v bodě w 0. Potom složená funkce h = g f je diferencovatelná v bodě z 0 a platí (g(f(z 0 ))) = g (f(z 0 ))f (z 0 ). (3.2) Důsledkem je věta o derivaci inverzní funkce Věta 3.2.3. (O derivaci inverzní funkce) Nechť funkce w = f(z) sobrazuje vzájemně jednoznačně oblast D na oblast E, přičemž inverzní funkce f 1 je jednoznačná a spojitá na oblasti E. Potom, jestliže je funkce f diferencovatelná v bodě z 0 a f (z 0 ) 0, pak je inverzní funkce z = f 1 (w) diferencovatelná v bodě w 0 = f(z 0 ) a platí (f 1 ) (w 0 ) = 1 f (z 0 ). (3.3) Existují ovšem také funkce, jejichž derivace nelze počítat aplikací výše uvedených pravidel. Příklad 3.2.3. Vyšetříme diferencovatelnost funkce f(z) = z. Jestliže derivace v obecném bodě z existuje, tak platí f f(z + z) f(z) (z) = lim z 0 z = lim z 0 z + z z. z