18. ročník, úoha II. P... nečekaná překážka (5 boů; průměr 1,63; řešio 51 stuentů) Řiič automobiu jeoucí rychostí v náhe spatří, že jeho vůz směřuje oprostře betonové zi šířky 2 ve vzáenosti. Součinite kiového tření mezi pneumatikami a vozovkou je f. Poraďte řiiči, co má ěat, aby se vyhnu srážce se zí. Rozhoněte, pro jakou veikost rychosti je to ještě možné. Napao Pava Augustinského při cestě autem. Poobně jako u minuých úoh (např. oškivé kačátko) šo v této úoze o naezení nějaké op timání trajektorie. V praxi bychom často rái znai skutečně optimání řešení, ae mnohy se spokojíme i s řešením, které je pouze epší než ostatní. To je zákaem rozmanitých přibižných meto, se kterými se určitě setkáte coby fyzici či inženýři. Heání nejepšího řešení je obecně pracné, musíme si vžy rozvážit, za nám zepšení výseku stojí za vynaoženou námahu. Takto fiozoficky začínám proto, poněvaž niko z vás nevyřeši tuto úohu správně ve smysu naezení správné trajektorie a ůkazu, že je opravu správná. Všichni jste se ae pokusii vyzkoušet různé možnosti, a pak z nich vybrat nejvhonější. Držíce se úvou, počínai jste si v postatě správně, i kyž ne zcea, čemuž opovíá všeobecně nižší počet boů. Kažopáně si ae ukažme, jak vypaá nejepší řešení. Poívejme se nejprve, kterak se může auto pohybovat. Ze zaání víme, že koeficient tření mezi pneumatikami a zemí je roven f. Proto největší přípustné zrychení/zpomaení získáme z rovnice ma = mgf, tj. a = fg. Auto může brzit, zrychovat či zatáčet ibovoně, ovšem nejvýše s tímto zrychením. Dáe je jasné, že stihne-i auto zabrzit řív, než narazí o zi, může objet ibovonou zeď. To nastane, patí-i > vt at 2 /2, ke čas t opovíá úpnému zabrzění, čii v = at. Otu > v 2 /2a znamená pro řiiče jistou záchranu. Abychom potěšii ty, kteří řešii i pohyb po kružnici, rozebereme jej také. Zřejmě nejmenší pooměr takové kružnice se ostane z maximání veikosti třecí síy, která je zároveň siou ostřeivou. Otu v 2 r = fg. Největší přípustný pooměr kružnice opovíá kružnici, která se zi právě otkne. Z obrázku a Pythagorovy věty viíme vztah r 2 = 2 + (r ) 2, tey r = 2 + 2. 2 Po kružnici má smys jet jen tehy, kyž rychost, opoví ající tomuto pooměru, je větší než maximání rychost, ky je auto ještě schopno zabrzit. Poněvaž pooměr je při stejné rychosti roven vojnásobku brzné ráhy, opovíá to po mínce r > 2. Tímto získáváme kvaratickou nerovnici r r «2 4 + 1 > 0, Obr. 1 která je spněna pro / > 2 + 3 a / < 2 3. Ze si však musíme uvěomit, že ruhé řešení jest ireevantní, což většina z vás, kteří jste se ostai až sem, neuěaa. Pak totiž pro šířku zi patí > r, tey kružnice kraj zi protne až na zpáteční cestě ; přetím už jenou zeď prota. - 1 -
Nyní prozkoumáme, jaká je nejepší možná strategie. Použijeme trik motivovaný touto úvahou. V souřanicové soustavě spojené se zemí se nám pohyb auta kompikuje tím, že v ní má auto určitou počáteční rychost, přičemž není geometricky jasné, jak přesně k pohybu přispěo zrychování a jak půvoní rychost. Trik spočívá v seování pohybu ze souřanicové soustavy, ke je auto na počátku v kiu. V této soustavě je situace jenoušší, napříka rovnoměrnému zrychení v jenom směru opovíá přímka, což je příjemné. Zeď se tam pohybuje rovnoměrně směrem k autu. Nechť se zeď pohybuje oeva, na začátku měa x-ovou souřanici rovnu a v čase t bue tato souřanice rovna vt. Přepokáejme, že zeď je vemi veká (tey že určitě neje objet). y spojnice auto 0 x zeď při srážce Obr. 2 zeď, t = 0 Zkoumejme pohyby auta s konstantním zrychením v jenom směru, tj. po přímkách, jak už byo řečeno. Kyž se auto po nějaké přímce pohybuje, něke se s tou vekou zí srazí. V naší rovině si tento bo označme tečkou. Kyž bueme měnit směr přímky, bueme ostá vat různé tečky, jejichž spojením vznikne uzavřená spojitá křivka ( kapka ). Spojitost pyne z očekávání, že kyž mainko změníme směr, posune se přísušný průsečík taky o mainko (bez skoků). Kybychom přímku otočii o 360, vrátíme se o půvoního průsečíku, což přestavuje uzavřenost křivky tvořené průsečíky. Úohu máme vyřešenou, kyž si uvěomíme, že autíčko nemůže bez srážky se zí protnout tuto křivku. Kyby se totiž autíčko pohybovao jinak než přímo, o přísušného bou křivky se nutně ostane pozěji, ae v tu obu tam už bya zeď. Proč pozěji? Přímka opovíá veškerému úsií vynaoženému na zrychování v aném směru. Po obecné křivce se zrychení vynakáá i o jiných směrů, takže na náš směr zbye méně. Nyní nám bue zřejmé náseující tvrzení. Největší zeď, kterou je objet, opovíá maximu průsečíkové křivky. Shrňme nabyté poznatky: okázai jsme si, že nejvýhonější je zrychovat s konstantním zrychením v nějakém pevném směru a že tento směr opovíá maximu té křivky. Nyní zbývá najít jeho poohu. To ze provést stanarními metoami (anuováním erivace). Má to ovšem jeen robný háček, a sice pro poohu maxima obržíme rovnici 4. stupně, kterou sice je vyřešit v uzavřeném tvaru (tj. pomocí omocnin narozí o rovnic vyšších stupňů), ae ost sožitě. Nicméně existuje i průchonější postup. Vrátíme se zpátky na zem, ke zeď stojí a auto brzí. Teď jsme bohatší o informaci, jak máme jet, ještě však nevíme, kam máme jet. Za tím účeem musíme vyseovat, co v této sou stavě přestavují přímky v přechozí soustavě. Už v prvním ročníku jste se ozvěěi o vrhu šikmém, ke zrychení má konstantní směr oů. Trajektorií je paraboa se svisou osou. Ana - 2 -
ogicky v naší situaci bue trajektorií paraboa s osou ve směru zrychení. Kyž bueme měnit směr, bueme ostávat různé paraboy. Parametrická rovnice takové paraboy je x = vt 1 2 a cos ϕ t2, y = 1 2 a sin ϕ t2. Nyní použijeme myšenku heání maxim pomocí erivací. Jak víte, extrému opovíá nu ová erivace. To ae znamená, že při maém posunutí o výchozího bou se honota funkce v prvním přibížení nezmění, neboť tečna grafu, jež jej aproximuje v okoí tohoto bou, má nuový skon. Tuto myšenku použijeme náseujícím způsobem. Nechť překážka stojí ve vzáe nosti x. Chceme najít parabou, která je pro toto x nejvýše, přičemž různé paraboy ostáváme různou vobou úhu ϕ směru zrychení. Máme-i takovou parabou, pak při maé změně úhu ϕ o ϕ se poe úvahy výše výška paraboy v prvním přibížení nesmí změnit. Můžeme změnu výšky expicitně spočítat a poožit ji rovnou nue. Maá potíž spočívá v tom, že aby zůstao x pevné, musí se změnit čas. Nechť se úhe změní o ϕ a čas, ky má autíčko souřanici x, z t na t + t. Nyní napíšeme rovnici, která vyjařuje, že se x nezměnio, tey rovnici pro x-ovou sožku změny paraboy. Patí x = v(t + t) 1 2 a(cos ϕ + cos ϕ)(t + t)2 vt + 1 2 a cos ϕ t2 = = (v at cos ϕ) t + 1 2 a sin ϕ t2 ϕ, neboť cos ϕ = sin ϕ ϕ. Požaujeme x = 0, což nám ává vztah mezi t a ϕ t = 1 a sin ϕ t2 2 at cos ϕ v ϕ. Napíšeme rovnici pro změnu y, kam poséze osaíme za t z právě získaného vztahu y = 1 2 a (sin ϕ + sin ϕ) (t + t)2 1 2 a sin ϕt2 = a sin ϕ t t + 1 2 a cos ϕ t2 ϕ, neboť sin ϕ = cos ϕ ϕ. Pomínka maxima je y = 0, což po osazení přestavuje rovnost v cos ϕ = at. Všimněte si, že tato pomínka je ekvivaentní tvrzení, že nejvyšší bo je roven vrchou nějaké paraboy, ke je rychost komá na zrychení. Získai jsme možnost napsat parametrickou rovnici křivky, která je pro kažé x stejně vysoká jako nejvyšší paraboa (tzv. obaová křivka). Můžete ji viět na obrázku 3 (sině vytažená křivka). Parametrickou rovnici této křivky získáme osazením poseního vztahu o rovnic paraboy x = v2 a cos ϕ v2 2a cos3 ϕ, y = v2 2a sin ϕ cos2 ϕ. Označíme-i v 2 /2a (což, jak víme, je brzná ráha) jako p, pak viíme, že pro anou překážku vše závisí pouze na tomto parametru a nikoiv na rychosti a zrychení oěeně. - 3 -
y 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Obr. 3 Je-i vzáenost zi o počátku, pak, je-i objet, musí patit y >. Chceme najít ma ximání možný parametr p, pro který aná zeď je objet. To opovíá maximání možné počáteční rychosti, přípaně minimánímu možnému zrychení. Naše křivka se bue při zvět šování p evientně přimačkávat k ose x. Při takovém pohybu něky protne okraj zi, a to opovíá heanému maximánímu p. Zbývá jej najít z rovnice křivky, ke poožíme x = a y =. Poěíme-i rovnice, získáme = sin ϕ cos2 ϕ 2 cos ϕ cos 3 ϕ = tg ϕ 1 + 2 tg 2 ϕ, jak pyne z vyjáření tg ϕ = sin ϕ/ cos ϕ. Ekvivaentně 1/ cos 2 ϕ = 1 + tg 2 ϕ, x 2 tg 2 ϕ tg ϕ + 1 = 0. Má-i tato rovnice kané řešení, je zeď ještě objet. Bue tomu tak zřejmě pro D = 2 2 8 0, aespoň jeen kořen pak musí vyjít větší něž nua, neboť u tg ϕ stojí záporné číso. Přicházíme k závěru, že anou překážku ze objet, kyž je poměr její poošířky ku vzáenosti o autíčka menší než 1/ 8. Pootýkám, že jsme požaovai < p. Měi bychom tey ověřit, patí-i právě ovozená pomínka, ostaneme oopravy p >. Za tím účeem přepíšeme rovnici pro ve tvaru p = tg ϕ (1 + tg 2 ϕ). 3/2 Levá, a tey i pravá strana má být menší než 1. Dosaíme za tg ϕ z výše uveené kvaratické rovnice, ke voíme znaménko + (znaménko opovíá protnutí sestupné části obaové křivky - 4 -
a nás nezajímá) a anayzujeme pravou stranu. Takto bychom, nejspíše numericky, zjistii, že musí patit / > 2,844, zatímco naše půvoní kritérium říká / > 8 2,828. Shrňme vše, co jsme vyeukovai. Nechť máme nějakou překážku v nějaké vzáenosti. Objet ji, aniž bychom musei být schopni zastavit, ze pouze, poku je spněna výše uveená pomínka, respektive její zpřesněná varianta. Pak můžeme opočítat maximání možný para metr p, tey maximání možnou vstupní rychost pro ané zrychení anebo minimání potřebné zrychení pro anou rychost. V opačném přípaě se jenoznačně vypatí jet přímo ke zi a brz it. Náseky srážky totiž určuje hybnost ve směru komém na zeď, a tu v okamžiku srážky učiníme nejmenší, bueme-i v tomto směru brzit. Ze je již možné přestat s řešením. Spnii jsme to, co jsme si na začátku přesevzai; nemáme sice přesný vzoreček, který by nám pro anou překážku umožni rozhonout, je-i objet, ae máme obrý oha a jsme přípaně schopni numericky ověřit, jesti se nemýíme. Matouš Ringe matous@fykos.m.cuni.cz Fyzikání koresponenční seminář je organizován stuenty UK MFF. Je zastřešen Oěením pro vnější vztahy a propagaci UK MFF a poporován Ústavem teoretické fyziky UK MFF, jeho zaměstnanci a Jenotou českých matematiků a fyziků. - 5 -