Neparametrické metody

I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických testů (apř. ormalita rozdílů v párovém t-testu) v Neparametrické metody mohou zahrovat požadavky a určité vlastosti rozděleí (apř. symetrie ebo spojitost) v Jsou mohdy jediou alterativou aalýzy ordiálích dat ebo dat ve formě četostí či pořadí Kotakt: Literatura: Obecé iformace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicíské obory I. Vydavatelství Karolium, UK Praha Zvára, K.: Roser, B.: EuroMISE cetrum Doc. Zdeěk Valeta, Ph.D. Tel.: 5 (sekretariát) Fax: 5 5 http://www.euromise.cz valeta@euromise.cz Biostatistika. Vydavatelství Karolium, UK Praha Fudametals of Biostatistics, th Editio ÚVOD (pokr.) v TŘÍD NEPARAMETRICKÝCH TESTŮ: JEDNOVÝBĚROVÉ: Kvatilový test DVOUVÝBĚROVÉ PÁROVÉ: Zamékový test, Wilcoxoův párový test (siged-rak test). Oba testy jsou eparametrickou alterativou párového t-testu. DVOUVÝBĚROVÉ PRO NEZÁVISLÉ VÝBĚR: Mediáový test, Wilcoxoův dvouvýběrový test (Maův-Whiteyův U test, Wilcoxo Rak-Sum test), Robustí dvouvýběrový test, Kolmogorovův-Smirovův dvouvýběrový test, případě Waldův-Wolfowitzův rus test. Tyto testy jsou eparametrickou alterativou dvouvýběrového t-testu. VÍCEVÝBĚROVÉ: Kruskalova-Wallisova aalýza pořadových skórů jedoduchého tříděí, Friedmaova aalýza pořadových skórů opakovaých měřeí v jedoduchém tříděí. Tyto aalýzy odpovídají aalýze rozptylu (ANOVA - aalysis of variace, MANOVA - multivariate ANOVA) jedoduchého tříděí.

ÚVOD (pokr.) v Výše uvedeé testy jsou aalogií zámých parametrických testů, tj. jedovýběrového t-testu, dvouvýběrového t-testu pro ezávislé výběry a aalýzy rozptylu v Neparametrické testy emusí vyžadovat splěí všech požadavků zámých z parametrických metod, jakými jsou apříklad ormalita rozděleí, případě ai shodost rozptylů u dvouvýběrových testů (apř. robustí dvouvýběrový test) v V případě, že jsou ovšem požadavky a použití parametrických metod splěy, je vhodé je upředostit před metodami eparametrickými, eboť testy založeé a parametrických metodách mají zpravidla větší sílu (využívají více iformace) POŘADÍ SHODNÝCH POZOROVÁNÍ (ties) v V případě shodých pozorováí (ties) přiřazujeme tzv. průměrá pořadí (average raks). v Vzestupě uspořádaá data a jejich průměrá pořadí: Uspořádaá Data Průměrá pořadí -,5,5 5,5,5 II. USPOŘÁDÁNÍ A POŘADÍ v Pozorovaá data: -,,,,,,, v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Pořadí R i pozorovaých dat (Raks R i ):, 5,,,,,, III. VÝBĚROVÉ KVANTIL SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Výběrové kvatily: -. % kvatil (mi). / =,% kvatil. / =,% kvatil... 5/ =,5% kvatil. % kvatil (max)

ODHAD KVANTILŮ SPOJITÝCH ROZDĚLENÍ v Vzestupě uspořádaá data: -,,,,,,, v Odhady kvatilů (lieárí iterpolace): % kvatil (mi) =-, % kvatil =- + (- -)*(/.) = -, 5% (.kvartil, Q) = + (-)*(./.) =,5 5% (mediá): =,5 5% (. kvartil, Q) = 5, % kvatil =, % kvatil (max) =, KVANTILOVÝ TEST příklad: v ZADÁNÍ: Na základě dat o itervečí léčbě pacietů se závažou formou hyperlipoproteiemie (sérum CHOL mmol/l a více) testujte a hladiě výzamosti α =,5 hypotézu, že u alespoň % pacietů s touto závažou formou hyperlipoproteiémie docílí itervečí léčba poklesu hladiy CHOL v séru většího ež mmol/l. v H :(y -x). = d. = v H : d. > v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α =,5 (léčba edosahuje staoveého poklesu u alespoň % pacietů) (pokles u alespoň % pacietů) IV. KVANTILOVÝ TEST (-výběrový) v Nulová hypotéza: H : x q = c (H :*q% kvatil x q cílové populace je rove c) v Alterativí hypotéza: H : x q c v Hladia výzamosti: α (apř.,5) v Postup: Záhodého výběru vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku x rova kostatě c. Ve výsledém souboru o rozsahu pak zjistíme počet čleů m, u kterých je x < c. v Testová statistika: Z = m q ~ N(,) q( q) má za platosti H stadardí ormálí rozděleí N(,). v Testové kritérium: Zamítáme H, jestliže z α / v Předpoklady: > 5,, < q <, a spojitost rozděleí (aprox. biomického rozděleí ormálím rozděleím N(,)) Z KVANTILOVÝ TEST pokr. př.: v ŘEŠENÍ: Předpokládejme, že data ukazují, že ve případech ze byla hodota d >a ai v jedom případě ebylo d =. Tedy: = (počet případů kde d ) m = (počet případů kde d > ) q =,. m q *, v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = = =,5 q( q) *,*, v VÝSLEDEK: Kritická hodota ormálího rozděleí pro jedostraý test a hladiě výzamosti α = 5% má hodotu,5. Protože hodota testové statistiky Z =,5 přesahuje kritickou hodotu, zamítáme ulovou hypotézu H a hladiě výzamosti 5%. v ZÁVĚR: Na hladiě α=,5 zamítáme ulovou hypotézu H, že itervečí léčba edosahuje staoveého poklesu hladiy CHOL o více ež mmol/l u alespoň % pacietů.

V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : (x y),5 = d,5 = (H :Mediá párových rozdílů d,5 je rove ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d,5 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) v POZNÁMKA: Zamékový test je speciálím případem kvatilového testu pro mediá (tj. q =,5) aplikovaého a párové rozdíly hodot mezi dvěma výběry. v POSTUP: Ze základího souboru párových rozdílů vyřadíme čley, u kterých je hodota zaku d = x - yrova. Ve výsledém souboru o rozsahu (počet párů) pak zjistíme počet čleů C, u kterých je d >. ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v DERMATOLOGIE: Byla realizováa studie zaměřeá a porováí účiosti pleťových krémů typu A, B a C s ochraým faktorem proti egativím účikům sluečího zářeí při dlouhodobé expozici. Krémy byly aplikováy účastíkům studie a odpovídající místa s podobou kvalitou pokožky a levé a pravé části těla a každý z účastíků byl ásledě vystave itezivímu sluečímu zářeí po dobu hod. Poté bylo dermatologem porováo zrudutí pokožky a ošetřeých místech. V. ZNAMÉNKOVÝ TEST (párový, pokr.) v TEST H (aproximace biomického rozděleí ormálím): Zamíteme H, jestliže: ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v Orgaizace dat: C > + + z α / ebo C < z α / v PŘEDPOKLAD: Počet dvojic a spojitost rozděleí v TEST H (exaktí staoveí hladiy výzamosti p a základě biomického rozděleí): (a) Je - li C > p = * j = C j C (b) Je - li C < p = * j = j 5 Krém A Krém B Krém C 5 5 5 5 5 5 5 Původí data hodotila zrudutí pokožky koeficietem až 5.

ZNAMÉNKOVÝ TEST příklad v DATA: Box & Whisker Plot Box & Whisker Plot Krém A Krém B Krém C Media 5%-5% Mi-Max STATISTICA.: ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C,,, Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,,55 Sig Test (sig-test-small.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C,,,55 ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Soustřeďme se yí pouze a porováí účiosti jedotlivých dvojic krémů typu A, B a C. Navíc předpokládejme, že dermatolog byl schope rozlišit pouze ásledující případy (zde porováváme apř. krémy typu A a B):. Místo A je lépe ochráěé ež místo B (meší zrudutí při aplikaci krému A). Místo B je lépe ochráěé ež místo A (meší zrudutí při aplikaci krému B). Obě místa vykazují podobý stupeň zrudutí pokožky v Tato situace je vhodá pro využití zamékového testu, eboť původí hodoty koeficietů zrudutí pokožky v tomto případě ejsou dostupé, pouze počty případů, kdy pro d = x y platí: d <, d = a d >. ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Rozsah áhodého výběru byl však v každé skupiě (tj, pro každý typ ochraého krému) pouze, což esplňuje požadavek a aproximaci biomického rozděleí stadardím ormálím rozděleím. V takovém případě je uté použít exaktí test biomický test. v Buď C AB počet subjektů, u ichž je d = x y > při porováváí účiku krémů A a B. Je-li C AB velké číslo blízké, pak krém B chráí pokožku většiy studovaých subjektů lépe ež krém A, zatímco je-li C AB malé, pak krém typu A vykazuje a souboru studovaých subjektů lepší výsledky ež krém typu B.

ZNAMÉNKOVÝ TEST (pokr. př.) v Za platosti ulové hypotézy H (tj. předpokladu stejé efektivity krémů A a B) lze předpokládat, že Pr(d > ) = Pr(d < ) je u subjektů s eulovou hodotou d stejá, tedy ½. Jiými slovy, jsou-li oba krémy stejě efektiví, potom frekvece případů, kdy A je lepší ež B a případů, kdy A je horší ež B by měly být zhruba stejé. v Ke staoveí DOSAŽENÉ HLADIN VÝZNAMNOSTI p zamékového testu tedy můžeme využít přímo formule biomického rozděleí: p = * j= C AB j VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : (x y),5 = d,5 = (H :Mediá párových rozdílů d,5 = ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : d,5 v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) v POSTUP: Z áhodého výběru s počtem párových pozorováí vyřadíme čley, u ichž je hodota zaku d = x - yrova. Staovíme pořadí hodot d a zjistíme součet pořadí T +,která odpovídají kladým hodotám d. ZNAMÉNKOVÝ TEST (dokočeí) v EAKTNÍ ZNAMÉNKOVÝ TEST: Připoměňme si, že při porováváí účiosti krému A a B jsme měli pozorováí, shodu ( tie ), C AB =, =. Pro exaktí výpočet dosažeé hladiy výzamosti oboustraého testu tedy platí: p = * j= j v ZÁVĚR: = *( + )* = * =, Na hladiě výzamosti α = 5% zamítáme ulovou hypotézu H o shodosti účiku ochraých krémů typu A a B. VI. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (siged-rak test, pokr.) + T ( + ) / v TESTOVÁ STATISTIKA: Z = ~ N(,) ( + )( + ) / má za platosti H stadardí ormálí rozděleí v POZNÁMKA: Wilcoxoův párový test má větší statistickou sílu ež zamékový test, eboť využívá jak iformaci o směru rozdílů, tak o jejich velikosti ve formě pořadí. To se projevuje také v ižším požadovaém miimálím rozsahu áhodého výběru. v TESTOVÉ KRITÉRIUM: Zamítáme H,jestliže z α / v PŘEDPOKLAD:počet párů > 5 a spojitost rozděleí Z

v WILCOONŮV PÁROVÝ TEST -příklad Pokračujme aším příkladem z dermatologie: připoměňme, že Wilcoxoův siged-rak test pracuje s aktuálí velikostí rozdílů d = x y, ikoliv pouze s iformací, zda x je větší či meší ež y. Můžeme tedy očekávat, že reálě existující rozdíly mezi efektivostí krémů bude sazší detekovat a základě Wilcoxoova párového testu ež jedoduššího testu zamékového. WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém A vs B: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém A & Krém B,,5, Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém B,,, WILCOONŮV PÁROVÝ TEST -příklad WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): v Orgaizace dat: v Box ad Whisker plot: Krém A vs C: 5 5 Krém A Krém B Krém C 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 Box & Whisker Plot Krém A Krém B Krém C Media 5%-5% Mi-Max Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém A & Krém C,5,5,5 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém A & Krém C,,555,

WILCOONŮV PÁROVÝ TEST (pokr. př.): Krém B vs C: Wilcoxo Matched Pairs Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 Valid T Z p-level Pair of Variables N Krém B & Krém C,5,,5 Srovej: Sig Test (sig-test.sta) Marked tests are sigificat at p <,5 No. of Percet Z p-level Pair of Variables No-ties v < V Krém B & Krém C,5,5,5 v VARIANT TESTU: - exaktí a základě hypergeometrického rozděleí: (Fisherův test, ) a + c b + d a b P [ a, b] = a + b - Chí-kvadrát aproximace (>): MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový, pokr.) ( ad bc / ) () = ( a + b)( a + c)( b + d)( c + d) v PŘEDPOKLAD: spojitost a shodý tvar rozděleí a. VII. MEDIÁNOVÝ TEST (dvouvýběrový) v NULOVÁ HPOTÉZA: v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : Θ = Θ (H :Mediáy Θ a Θ jsou shodé) v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) H : Θ > Θ (mediá Θ je apravo od Θ ) v POSTUP: Klasifikace hodot vobou souborech podle společého mediáu Θ : VIII. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Ma-Whitey U test, Rak-Sum test) v NULOVÁ HPOTÉZA: H : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: od (mediá Θ > Θ ) H : Populace je apravo v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) Klasifikace Počet hodot > Θ Počet hodot < Θ Celkem Soubor a c a+c Soubor b d b+d Celkem a+b c+d v POSTUP: Staovíme pořadí hodot vsouboru vziklém spojeím výběrů a azjistíme součty pořadí W aw ( raked sums ) odpovídající výběrům,. Za platosti H by statistiky W aw y měly mít přibližě stejou hodotu.

WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) v TESTOVÁ STATISTIKA: W Z = +.5 m( m + + ) / ~ N (,) m( m + + ) / má za platosti H stadardí ormálí rozděleí N(,), přičemž m a jsou rozsahy jedotlivých výběrů. v POZNÁMKA: V případě, že H mátvar Θ < Θ má hodota,5 v čitateli záporé zaméko. Wilcoxoův dvouvýběrový test má větší statistickou sílu ež mediáový test, eboť využívá jak iformaci o poloze skórů vůči společému mediáu, tak také součty pořadí. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v v Pokračujme opět aším příkladem z dermatologie; pouze yí předpokládejme, že data evzikla párovým porováváím a týchž subjektech, ýbrž že každému z účastíků studie byl apliková právě jediý z ochraých krémů typu A, B, C. Z tohoto důvodu budou mít data amísto zázamů (records) se třemi proměými A, B, C mít zázamů a pouze dvě proměé, přičemž prví proměá udává hodotu zjištěého koeficietu a druhá je idikátorem, udávajícím typ použitého krému u daého subjektu. WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (dok.) v TESTOVÉ KRITÉIUM: Zamítáme H, jestliže z α v PŘEDPOKLAD: m>, > a spojitost a shodý tvar rozděleí v obou populacích Z WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - příklad v Orgaizace dat v programu Statistica v tomto případě vypadá ásledově: 5 5 5 Krém Group 5 5 5 5 5 5

WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. př. Pozámky k dvouvýběrovým testům: v Ukázka výpočtu rus ve WALDOVĚ-WOLFOWITZOVĚ testu a příkladě: Ma-Whitey U Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Rak Sum Rak Sum U Z p-level Z p-level Valid N Valid N *sided variable Group Group adjusted Group Group exact p Krém 5,5,5 5,5 -,5, -,,5,5 pořadí... data MMMZZZMMMMZZMMMZZZZZZZMMZMMZZZZ ru 555 DALŠÍ DVOUVÝBĚROVÉ TEST: v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test: Kolmogorov-Smirov Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Max Neg Max Pos p-level Mea Mea Std.Dev. Std.Dev. Valid N Valid N variable Differc Differc Group Group Group Group Group Group Kr ém -,, p >.,,5,5, v WALDŮV-WOLFOWITZŮV rus test Wald-Wolfowitz Rus Test (Wilcoxo Rak Sum Test.sta) By variable Group Marked tests are sigificat at p <,5 Valid N Valid N Mea Mea Z p-level Z adjstd p-level No. of No. of Variable Group Group Group Group Rus ties Krém,,5,5,5,, Pozámky k dvouvýběrovým testům: v WILCOONŮV DVOUVÝBĚROVÝ TEST (Maův- Whiteyův U-test, Wilcoxoův Rak-Sum test) má ejvětší statistickou sílu z uvedeých testů a je vhodý zejméa v případě, že počet ties (shodých pozorováí) je malý. Je vhodý zejméa v situacích, kdy se průměré hodoty pořadí v jedotlivých skupiách (apř. muži a žey) podstatě liší. v WALDŮV-WOLFOWITZŮV RUNS TEST má meší statistickou sílu, ale je vhodý v případě, že průměré hodoty pořadí se ve skupiách (muži a žey) zásadě eliší, ale apříklad u mužů abývají buď vysokých ebo aopak ízkých hodot, zatímco u že abývají středích hodot. v KOLMOGOROVŮV-SMIRNOVŮV test je vhodý v případě, že počet shodých pozorováí ( ties ) je vyšší.

I. KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA v Nulová hypotéza: H : kezávislých výběrů pochází z populací se shodými mediáy (Θ = Θ =...= Θ k ) v Alterativí hypotéza: H : Mediáy se alespoň ve dvou populacích vzájemě liší v Hladia výzamosti: α (apř.,5) v Postup:. Do tabulky o k sloupcích, ve které j-tý sloupec odpovídá výběru z j-té populace (j=,...,k), zapíšeme amísto pozorovaých hodot pořadí, která odpovídají pozorovaým hodotám v souboru vziklém spojeím k podsouborů.. V každé z k skupi spočteme průměré pořadí R j, (j=,...,k) KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza příklad: Opthalmologie: v Kyselia arachodiová je zámá tím, že ovlivňuje metabolismus oka. Kotakt oka s malým možstvím této kyseliy má za ásledek zavřeí víčka, svěděí a v ěkterých případech poruchy viděí. Studie, z íž pocházejí data pro áš příklad, porovávala protizáětlivé účiky zkoumaých látek, které byly aplikováy laboratorím zvířatům (bílí králíci) do jedoho oka a roztok salia do druhého oka. v Po miutách bylo králíkům aplikováo malé možství kyseliy arachodiové a obě bulvy. Po dalších 5 miutách byli králíci kotrolovái, zda došlo k uzavřeí víčka a bylo zazameáo skóre, které představovalo hodotu rozdílu mezi stupěm otevřeí víčka (-otevřeé, - polouzavřeé a uzavřeé) a začátku pokusu a po aplikaci kyseliy arachodiové. KRUSKALOVA-WALLISOVA ANOVA (pokr.) v Testová statistika: má za platosti H rozděleí v Testové kritérium: Zamítáme H, jestliže KW v Předpoklady: k KW = jr N( N + ) j= χ k ( N + ) - Rozsahy výběru j (j=,...,k) musí být v jedotlivých skupiách alespoň 5 - Spojitost - Shodý tvar rozděleí v jedotlivých populacích. j > χ k ( α ) KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př.: Opthalmologie: v Data pro statistickou aalýzu udávají míru efektivosti protizáětlivého přípravku a jsou dáa rozdíly mezi hodotou skóre a oku ošetřeém aktiví látkou a oku ošetřeém saliou (eutrálí izotoický,% roztok soli). v Vyšší hodoty skórů (rozdíly rozdílů) azačují efektivější účiek protizáětlivé látky.

KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Opthalmologie -data: 5 5 Skore Lecba Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Idometaci Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Aspiri Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam Piroxicam BW55C BW55C BW55C BW55C BW55C - BW55C KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v K-W aalýza pořadových skórů: Deped.: Sk ore Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C v Mediáový test: Depedet: Sk ore <= Media: observed expected obs.-exp. > Media: observed expected obs.-exp. Total: observed Kruskal-Wallis ANOVA by Raks; Idepedet (groupig) variable: Lecba Kruskal-Wallis test: H (, N= ) =,5 p =, Code Valid Sum of N Raks,5 5,,5, Media Test, Overall Media =,; Sk ore (Kruskal-Wallis Ophtalmologie.sta) Idepedet (groupig) variable: Lecba Chi-Square =,, df =, p =, Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C Total,,,, 5,,5,5,5,5 -,5,5 -,5,5,,,,,,5,5,5,5,5 -,5,5 -,5,,,,, KRUSKALOVA-WALLISOVA aalýza pokr. př. v Box & Whisker Plot: Boxplot by Group Variable: Skore,5,,5,. ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST v NULOVÁ HPOTÉZA: H : Dva ezávislé výběry pocházejí z populací se shodými mediáy (Θ = Θ ) v ALTERNATIVNÍ HPOTÉZA: H : Mediá Θ > Θ v HLADINA VÝZNAMNOSTI: α (apř.,5) Skore,5,,5, v POSTUP (a příkladě):. Vzestupě uspořádejme pozorovaá data a ozačme příslušost ke skupiám a : -,5 -, -,5 Idometaci Aspiri Piroxicam BW55C Lecba Media 5%-5% Mi-Max Data Skupia 5

ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST (pokr.) Data Skupia i U( i ). Defiujeme: U( i ) počet meších ež i U( j ) počet meších ež j 5 j U( j ). Vypočteme středí hodoty U() a U(): ( ) (+ ( ) = m U i U = m i= ( ) (+ + ( ) = U i U = i= + ) + ) = =,5 5 U = ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. v Středí hodoty: U() = U() =,5. v Ukazatele variability: V = V =,5. 5. TESTOVÁ STATISTIKA U má za platosti H rozděleí N(,): mu ( ) U ( ) = V + V + U ( ) U ( ) () (,5) =, +,5 + (,5)(). TESTOVÉ KRITÉRIUM: Zamítáme H, jestliže platí U z.. ZÁVĚR: V ašem příkladě H ezamítáme. α. PŘEDPOKLAD: m >, > a spojitost rozděleí (rozptyly se mohou lišit, jde o tzv. Behresův-Fisherův problém). Pro m, je rozděleí U tabelováo. ROBUSTNÍ DVOUVÝBĚROVÝ TEST - pokr. Středí hodoty: U() = U() =,5.. Vypočteme ukazatele variability V a V : V i U( i ) m = [ U ( i) U ( )] i= = ( ) = + + = + ( ) 5 V = + ( ) j U( j ) = j= [ U ( ) U ( )] = (,5) + (,5) j + (,5) + (,5) = =,5