VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ], C[, 6, ]. Určete a) Obvod b) Obsah c) Vnitřní úhly d) Rovnici roviny, ve které trojúhelník leží a tuto rovinu nakreslete tak, že nakreslíte její průsečnice se souřadnými rovinami xy, xz, yz, do stejného obrázku nakreslete i daný trojúhelník. e) Rovnice těžnic a souřadnice těžiště T f) Rovnice výšek a souřadnice ortocentra V 1.1 Obvod Strany v trojúhelníku označíme podle běžného způsobu. a = BC = (4 ) + (5 6) + ( ) = 16 + 1 + 4 = 1 = 4.58 b = AC = ( ) + ( 3 6) + (3 ) = + 81 + 1 = 8 = 9.6 c = AB = ( 4) + ( 3 5) + (3 ) = 16 + 64 + 9 = 89 = 9.43 Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c=4.58+9.6+9.43=3.7 1. Obsah K výpočtu obsahu použijeme Heronův vzorec. Tedy pro obsah platí S = s(s a)(s b)(s c) = 11.54(11.54 4.58)(11.54 9.6)(11.54 9.43) =.5j kde s = a+b+c = 4.58+9.6+9.43 = 11.54 Obsah pomocí vektorového součinu S = 1 (4, 8, 3) (, 9, 1) = 1 ( 8 3 9 1 = 1 (19, 4, 36) = 1 19 + 4 + 36 =.45, 4 3 1, 4 8 9 ) Tento výsledek je přesnější, protože docházelo k menšímu zaoukrouhlování než při výpočtu Heronovým vzorcem. 1
1.3 Vnitřní úhly Protože známe velikosti stran v trojúhelníku, vypočteme vnitřní úhly pomocí Kosinové věty. a = b + c bc cos(α) bc cos(α) = b + c a ( b + c a ) α = arccos bc ( 9.6 + 9.43 4.58 ) α = arccos 9.6 9.43 α = arccos(.88) = 8.6 stupňů podobně b = a + c ac cos(β) ac cos(β) = a + c b ( a + c b ) β = arccos ac ( 4.58 + 9.43 9.6 ) β = arccos 4.58 9.43 β = arccos(.3) = 71. stupňů a ještě poslední úhel c = a + b ab cos(γ) ab cos(γ) = a + b c ( a + b c ) γ = arccos ab ( 4.58 + 9.6 9.43 ) γ = arccos 4.58 9.6 γ = arccos(.17) = 8. stupňů Součet úhlů v trojúhelníku musí dát 18 stupňů. Vzhledem k zaokrouhlení vznikne malá chyba. Výpočet vnitřního úhlu pomocí skalárního součinu cos(α) = cos(α) = AB AC AB AC (4, 8, 3) (, 9, 1) 4 + 8 + ( 3) + 9 + ( 1) cos(α) = 4 + 8 9 + ( 3)( 1) 89 8
cos(α) =.88 α = arccos(.88) α = 8.6 stupňů 1.4 Rovnice roviny, ve které trojúhelník leží K určení parametrických rovnic roviny potřebujeme jeden bod, který v té rovině leží a dva směrové vektory této roviny. Můžeme např. zvolit bod A a vektory AB a AC. AB = B A = (4, 5 ( 3), 3) = (4, 8, 3) AC = C A = (, 6 ( 3), 3) = (, 9, 1) Tedy rovina (A[, 3, 3], AB = (4, 8, 3), AC = (, 9, 1)) je dána těmito rovnicemi x = 4t y = 3 + 8t + 9s z = 3 3t s, t,s R Z parametrických rovnic odvodíme obecnou rovnici roviny vyloučením parametrů t a s. x = 4t y = 3 + 8t + 9s z = 3 3t s t = x y = 3 + 8 x + 9s z = 3 4 4 3x 3 x+y 4 9 s = 3 x+y 36z = 18 7x 1 + 8x 4y 9 19x + 4y + 36y 96 = Obecná rovnice roviny tedy je : 19x + 4y + 36z 96 = Průsečíky roviny se souřadnými rovinami xy, xz, a yz Průsečík roviny s osou z, tj. x=, y= Průsečík roviny s osou y, tj. x=, z= 19 + 4 + 36z 96 = z = 96 36 =.7 Průsečík roviny s osou x, tj. y=, z= 19 + 4y + 36 96 = y = 96 4 = 4 19x + 4 + 36 96 = x = 96 19 = 5.1 3
3,5 1,5 z 1,5 5 1 1 15 3 y 4 x 5 5 6 1.5 Těžnice a Těžiště Těžnice t BC je přímka, která prochází středem strany BC a protějším vrcholem A. Podobně to platí o těžnicích t AC a t AB. Rovnice těchto těžnic se napíší ze znalosti dvou bodů, kterými procházejí. Souřadnice těžiště T se pak spočítá jako průsečík alespoň dvou těžnic. Rovnice těžnic a) Těžnice na stranu BC značí se t BC prochází středem strany BC, který označíme S BC a vrcholem trojúhelníku A[, 3, 3]. Střed strany BC vypočteme takto S BC = B + C = Směrový vektor těžnice je [4, 5, ] + [, 6, ] = [ 4 +, 5 + 6, + ] = [, 5.5, 1] S BC A = A S BC = (, 3 5.5, 3 1) = (, 8.5, ) Těžnice t BC je dána bodem A[, 3, 3] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto x = t y = 3 8.5t z = 3 + t t R S BC A = (, 8.5, ) a její b) Těžnice na stranu AC značí se t AC prochází středem strany AC, který označíme S AC a vrcholem trojúhelníku B[4, 5, ]. Střed strany AC vypočteme takto S AC = A + C = [, 3, 3] + [, 6, ] [ + = 4, 3 + 6, 3 + ] = [, 1.5,.5]
Směrový vektor těžnice je S AC B = B S AC = (4, 5 1.5,.5) = (4, 3.5,.5) Těžnice t AC je dána bodem B[4, 5, ] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto S AC B = (4, 3.5,.5) a její x = 4 + 4t y = 5 + 3.5t z =.5t, t R c) Těžnice na stranu AB značí se t AB prochází středem strany AB, který označíme S AB a vrcholem trojúhelníku C[, 6, ]. Střed strany AB vypočteme takto S AB = A + B = Směrový vektor těžnice je [, 3, 3] + [4, 5, ] [ + 4 =, 3 + 5, 3 + ] = [, 1, 1.5] S AB C = C S AB = (, 6 1, 1.5) = (, 5,.5) Těžnice t AB je dána bodem C[, 6, ] směrovým vektorem prametrické rovnice jsou tyto S AB C = (, 5,.5) a její x = t y = 6 + 5t z = +.5t, t R Těžiště T najdeme jako průsečík těžnic. Stačí tedy nalézt alespoň průsečík dvou těžnic např. t AB a t AC. Obě těžnice jsou jako přímky dány parametrickými rovnicemi. Jejich průsečík-těžiště T musí ležet na obou přímkách, proto se x-ové a y-ové souřadnice musí rovnat. Tady je třeba ale změnit jednu věc a to tu, že parametr t v těžnicí t AB a v těžnici t AC je různý a pokud s oběma těžnicemi počítáme dohromady jako ted, musíme označit parametr v obou rovnicích různě. Parametr v rovnicích těžnice t AB označíme t a parametr v rovnicích těžnice t AC označíme s. Položíme tedy sobě rovny x-ové rovnice a y-ové rovnice a řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých t a s. x = t x = 4 + 4s y = 6 + 5t y = 5 + 3.5s z = +.5t z =.5s x = x y = y z = z t = 4 + 4s 6 + 5t = 5 + 3.5s +.5t =.5s t = s 6 + 5( s) = 5 + 3.5s +.5( ) = 3.5( ) 3 t = + 4 5 6 1 1s = 5 + 3.5s 3 3 3 t = 9 = 13.5s 3 s = 3 5
Nyní můžeme dosadit vypočtené t do parametrických rovnic těžnice t AB a obdržíme souřadnice těžiště T. x = t = ( 3 ) = 4 3 y = 6 + 5t = 6 + 5( 3 ) = 8 3 z = +.5t = +.5( 3 ) = 5 3, t R Stejné souřadnice bychom dostali, kdybychom dosadili výsledný parametr s do parametrických rovnic těžnice t AC. Toto je tedy těžiště trojúhelníku T[ 4 3, 8 3, 5 3 ]. Těžiště trojúhelníku můžeme zjistit mnohem jednodušeji ze vzorce T = A + B + C 3 Dosad te tedy naše souřadnice bodů trojúhelníka a dostaneme T = A + B + C 3 Tedy = [, 3, 3] + [4, 5, ] + [, 6, ] 3 Vidíme, že jsme dostali stejné souřadnice. 1.6 Výšky a Ortocentrum T[1.33,.67, 1.67] [ + 4 + = 3, 3 + 5 + 6 3, 3 + + ] [ 4 = 3 3, 8 3 3], 5 Výška v BC je přímka, která je kolmá ke straně BC a prochází protějším vrcholem A. Podobně to platí o výškách v AC a v AB. Rovnice výšky se napíše ze znalosti dvou bodů, kterými prochází a postup bude nyní komplikovanější než byl v rovině. Důvod je ten, že nemůžeme jednoduše vzít normálový vektor ke straně, protože takových normálových vektorů je nekonečně mnoho a tvoří celou rovinu. Prvním bodem je protější vrchol, to je jasné. Druhý bod určíme jako průsečík roviny procházející protějším vrcholem, která je kolmá na příslušnou stranu a touto stranou. Rovnice výšek a) Výška na stranu BC značí se v BC je kolmá na stranu BC a prochází vrcholem trojúhelníku A[, 3, 3]. Nejdříve si určíme rovnici strany BC=a: Strana BC je dána např. bodem B[4, 5, ] a směrovým vektorem s BC = ( 4, 1, ) BC(B, s BC ) : x = 4 4t y = 5 + t z = t, t <, 1 > 1) Nyní je třeba určit rovinu σ BC, která prochází bodem A a je kolmá ke straně BC. Tedy směrový vektor úsečky BC je zároveň normálovým vektorem roviny σ BC. 6
σ BC : ax + by + cz + d =, kde (a,b,c) = ( 4, 1, ) tedy σ BC : 4x + y + z + d = d určíme z toho, že rovina σ BC prochází bodem A: A[, 3, 3] σ BC : ( 4) + ( 3) + 3 + d =, odtud d=-3 tedy σ BC : 4x + y + z 3 = ) Ted určíme průsečík P BC roviny σ BC se stranou BC tím, že dosadíme parametrické rovnice strany BC tj. x, y, z do rovnice roviny σ BC a dostaneme rovnici pro parametr t: 4(4 4t) + (5 + t) + (t) 3 = 16 + 16t + 5 + t + 4t 3 = 1t = 14 t = 14 1 =.67 tedy dosazením do rovnic strany BC máme x = 4 4t = 4 4.67 = 1.33 y = 5 + t = 5 +.67 = 5.67 z = t =.67 = 1.33 tedy P BC = [1.33, 5.67, 1.33] 3) Výška v BC je dána body A[, 3, 3] a P BC [1.33, 5.67, 1.33], směrový vektor P BC A = A P BC = ( 1.33, 3 5.67, 3 1.33) = ( 1.33, 8.67, 1.67) a její prametrické rovnice jsou tyto x = 1.33t y = 3 8.67t z = 3 + 1.67t, t R b) Výška na stranu AB značí se v AB je kolmá na stranu AB a prochází vrcholem trojúhelníku C[, 6, ]. Nejdříve si určíme rovnici strany AB=c: Strana AB je dána např. bodem A[, 3, 3] a směrovým vektorem s AB = (4, 8, 3) AB(A, s AB ) : x = 4t y = 3 + 8t z = 3 3t, t <, 1 > 1) Nyní je třeba určit rovinu σ AB, která prochází bodem C a je kolmá ke straně AB. Tedy směrový vektor úsečky AB je zároveň normálovým vektorem roviny σ AB. σ AB : ax + by + cz + d =, kde (a,b,c) = (4, 8, 3) tedy σ BC : 4x + 8y 3z + d = 7
d určíme z toho, že rovina σ AB prochází bodem C: C[, 6, ] σ AB : 4 + 8 6 3 + d =, odtud d=-4 tedy σ BC : 4x + 8y 3z 4 = ) Ted určíme průsečík P AB roviny σ AB se stranou AB tím, že dosadíme parametrické rovnice strany AB tj. x, y, z do rovnice roviny σ AB a dostaneme rovnici pro parametr t: 4(4t) + 8( 3 + 8t) 3(3 3t) 4 = tedy dosazením do rovnic strany AB máme 16t 4 + 64t 9 + 9t 4 = x = 4t = 4.84 = 3.37 89t = 75 t = 75 89 =.84 y = 3 + 8t = 3 + 8.84 = 3.74 z = 3 3t = 3 3.84 =.47 tedy P AB = [3.37, 3.74,.47] 3) Výška v AB je dána body C[, 6, ] a P AB [3.37, 3.74,.47], směrový vektor P AB C = C P AB = ( 3.37, 6 3.74,.47) = ( 3.37,.6, 1.53) a její prametrické rovnice jsou tyto x = 3.37t y = 6 +.6t z = + 1.53t, t R Ortocentrum V se určí jako průsečík výšek v AB a v BC. Položíme tedy sobě rovny x-ové, y-ové, z-ové souřadnice obou výšek a řešíme tři rovnice pro dvě neznámé t,s. V druhé výše v BC musíme odlišit parametr a tak ho přepíšeme na s. Řešíme soustavu dvou rovnic, když položíme sobě rovny y-ové a z-ové souřadnice a pak dosazením do do třetí rovnice pro rovnost x-ových souřadnic zjistíme, jestli je výpočet proveden správně. V našem případě malá chyba vznikla zaokrouhlováním. y = y z = z x = x 6 +.6t = 3 8.67s + 1.53t = 3 + 1.67s 3.37t = 1.33s t = 3.98 3.84s + 1.53( 3.98 3.84s) = 3 + 1.67s 1.469 = 1.5 t =.37 s =.94 Dosadíme tedy parametr t do parametrických rovnic pro výšku v AB a dostaneme souřadnice ortocentra V. Stejné sořadnice bychom dostali dosazením parametru s do parametrických rovnic pro výšku v BC. x = 3.37t = 3.37(.37) = 1.5 y = 6 +.6t = 6 +.6(.37) = 5.16 z = + 1.63t = + 1.53(.37) = 1.43 8
Ortocentrum V V [1.5, 5.16, 1.43] Obsah, obvod a těžiště obrazce Je dán obrazec v rovině ohraničený parabolou y = x 6x+5 a dvěma přímkami y = x+1 a y =.5x 3. Tento obrazec nakreslete a určete jeho a) Obsah b) Obvod c) Těžiště.1 Obsah Vyjdeme ze základního vzorce pro obsah oblasti, která je na intervalu < a,b > ohraničená zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x). Nezáleží na tom, zda jsou funkce kladné nebo záporné, pouze musí platit, že f(x) g(x) na < a,b >. Potom platí, že S = b a (f(x) g(x)) dx Z grafu vidíme, že náš obrazec je zhora ohraničen f(x) = x + 1 ale zdola se to nedá napsat jako jedna funkce, ale musí se to rozdělit na 3 části g(x) = x 6x + 5, x < A,B > g(x) =.5x 3, x < B,C > g(x) = x 6x + 5, x < C,D > 9
kde A a D jsou průsečíky paraboly a přímky x+1, B a C jsou průsečíky paraboly a přímky.5x-3. Tedy obsah našeho obrazce je dán součtem obsahů 3 jeho částí. Proto náš obrazec rozdělíme na 3 části a na každou část můžeme použít základní vzorec. S = S 1 + S + S 3 B ( S = (x + 1) (x 6x + 5) ) C dx + ((x + 1) (.5x 3)) dx A D + C ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx B Nyní spočítáme body A, B, C, D: A,D : x + 1 = x 6x + 5 x 7x + 4 = x 1, = 7 + 49 4 4 A =.63, D = 6.37 = 7 + 33 B,C :.5x 3 = x 6x + 5 x 6.5x + 8 = x 1, = 6.5 + 6.5 4 8 B = 1.65, D = 4.85 = 6.5 + 1.5 Po úpravě a dosazením dostaneme S = 1.65.63 [ x3 ( x + 7x 4) ) 4.85 dx + (.5x + 4)) dx + ] 1.65 [ = 3 + 7x 4x +.63 =.65 + 18 + 5.48 = 6.13 1.65.5 x + 4x ] 4.85 1.65 + [ 6.37 4.85 x3 3 + 7x 4x ( x + 7x 4) ) dx ] 6.37 4.85. Obvod K výpočtu obvodu obrazce potřebujeme vědět, jak vypočítat délku libovolné křivky. K tomu použijeme základní vzorec pro délku části funkce f(x) na intervalu < a, b >, který je b D = 1 + (f (x)) dx a Náš obrazec se skládá ze 4 stran D 1, D, D 3, D 4, kde D 1 je levá parabola, D je spodní úsečka, D 3 je pravá parabola a D 4 je horní úsečka. D = D 1 + D + D 3 + D 4 1
= + B A D A 1.65 C 1 + ((x 6x + 5) ) dx + 1 + ((x + 1) ) dx B D 1 + ((.5x 3) ) dx + 1 + ((x 6x + 5) ) dx C 4.85 6.37 6.37 = 4x 4x + 37dx + 1.5 dx + 4x 4x + 37dx +.63 1.65 4.85.63 =.34 ( 4.63 4.63 + 37 + 4.97 4.97 + 37 + 4 1.31 4 1.31 + 37 + 4 1.65 4 1.65 + 37 ) + [ ] 4.85 1.5x 1.65 +.51 ( 4 4.85 4 4.85 + 37 + 4 5.36 4 5.36 + 37 + 4 5.87 4 5.87 + 37 + 4 6.37 4 6.37 + 37 ) + [ ] 6.37 x.63 =.17(4.84 + 8.36 + 7.5 +.88) + 1.5(4.85 1.65) +.55(3.83 + 9.65 + 11.65 + 6.83) + (6.37.63) = 3.93 + 3.58 + 8.15 + 8.1 = 3.78 kde 1 + ( (x 6x + 5) ) = 1 + (x 6) = 1 + 4x 4x + 36 1 + ( (.5x 3) ) = 4x 4x + 37 = 1 + (.5) = 1.5 D 1 a D 3 kvůli složitosti výpočtu primitivní funkce, jsme spočítali přibližně pomocí Lichoběžníkova pravidla. Při výpočtu D 1 jsme interval <.63, 1.65 > rozdělili na 3 díly, takže dělící body jsou.63,.97, 1.31, 1.65. Krok h=.34. Při výpočtu D 3 jsme interval < 4.85, 6.37 > rozdělili také na 3 díly, takže dělící body jsou 4.85, 5.36, 5.87, 6.37. Krok h=.51. Zde jsme zaokrouhlili krok z.566 na.51 a proto místo posledního bodu 6.38 bereme náš bod D=6.37. Lichběžníkovým pravidlem jsme tedy přibližně vypočetli, že délky částí parabol jsou D 1 = 3.93 a D 3 = 8.15. Přesné hodnoty těchto délek jsou D 1 = 3.93 a D 3 = 8.8. Z toho je vidět, že u D 1 se to s přesným řešením na desetinná místa shoduje a D 3 je shoda taky dobrá..3 Těžiště K výpočtu souřadnice těžiště T[x T,y T ] použije základní vzorce. Mějme tedy obrazec, který je na intervalu < a,b > ohraničen zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x). Nezáleží na tom, zda jsou funkce kladné nebo záporné, pouze musí platit, že f(x) g(x) na < a,b >. Potom souřadnice těžiště T se spočítají podle vzorců kde S = x T = S y S, b a y T = S x S (f(x) g(x)) dx 11
S x = 1 S y = b a b a ( (f(x)) (g(x)) ) dx x (f(x) g(x)) dx V našem případě už máme S spočítané z a) S=6.13. Zbývá spúočítat S x a S y. Zde musíme postupovat stejně jako při výpočtu obsahu S a rozdělit integrál na 3 části. S x = S x1 + S x + S x3 S x = 1 B ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx + 1 C ( (x + 1) (.5x 3) ) dx A B + 1 D ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx C = 1 1.65 ( x 4 + 1x 3 45x + 6x 4 ) dx + 1 4.85 (.75x + 5x 8 ) dx.63 1.65 + 1 6.37 ( x 4 + 1x 3 45x + 6x 4 ) dx 4.85 =.5 [.x 5 + 3x 4 15x 3 + 31x 4x ] 1.65 +.5 [.5x 3 +.5x 8x ] 4.85.63 1.65 +.5 [.x 5 + 3x 4 15x 3 + 31x 4x ] 6.37 =.5(3.3 + 53.8 + 44.96) = 51.4 4.85 S y S y = = S y1 + S y + S y3 = + B A D + C 1.65.63 6.37 4.85 x ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx + x ( (x + 1) (x 6x + 5) ) dx ( x 3 + 7x 4x)dx + ( x 3 + 7x 4x)dx 4.85 1.65 C B (.5x + 4x)dx x ((x + 1) (.5x 3)) dx + [.5x 4 +.33x 3 x ] 1.65 + [.17x 3 + x ] 4.85 [.5x 4 +.33x 3 x ] 6.37.63 1.65 4.85 = 3.43 + 59.87.9.51 = 9.81 Odtud můžeme dosadit do vzorců Těžiště T je dáno x T = S y S = 95.81 6.13 = 3.55, y T = S x S = 51.4 6.13 = 1.95 T[3.55, 1.95] 1
3 Objem a Povrch rotačního tělesa Je dán obrazec v rovině ohraničený parabolou y =.1x + x + 1 a přímkou y = 8. Rotací tohoto obrazce kolem osy x vznikne rotační těleso. Načrtněte toto těleso a určete jeho a) Objem b) Povrch 3.1 Objem Vyjdeme ze základního vzorce pro výpočet objemu rotačního tělesa, které vznikne tak, že kolem osy x rotuje funkce f(x), která je dána na intervalu < a,b > a je tam kladná. Objem tohoto rotačního tělesa pak vypočteme za vztahu S = π b a (f(x)) dx Pokud rotační těleso vznikne rotací obrazce ohraničeného zhora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x) na intervalu < a,b >, přičemž celý ten obrazec je nad osu x, pak objem vzniklého tělesa spočítáme ze vztahu S = π b a ( (f(x)) (g(x)) ) dx V našem případě využijeme druhý vzorec, kde f(x) =.1x +x+1 a g(x) = 8 Je třeba určit průsečíky obou funkcí, budou to dva body A a B:.1x + x + 1 = 8.1x + x + = x 1, = 1 + 1 4(.1). A = 1.71, B = 11.71 Pak objem našeho tělesa je S = π B A ( (.1x + x + 1) (8 ) ) dx 13
11.71 ( = π.1x 4.x 3 x + x + 36 ) dx 1.71 = π [.x 5.5x 4.33x 3 + 1x + 36x ] 11.71 = 478.3 1.71 3. Povrch I nyní vyjdeme ze základního vzorce pro výpočet povrchu pláště rotačního tělesa, které vznikne tak, že kolem osy x rotuje funkce f(x), která je dána na intervalu < a,b > a je tam kladná. Povrch pláště tohoto rotačního tělesa pak vypočteme za vztahu b S = π f(x) 1 + (f (x)) dx a V našem případě těleso má vnější povrch P 1 a vnitřní povrch P. Celkový povrch tělesa P je součtem obou povrchů P 1 a P. Pro výpočet obou použijeme základního vzorce. P = P 1 + P B = π (.1x + x + 1) 1 + ((.1x + x + 1) ) dx + π to A 11.71 (.1x + x + 1) 11.71.4x.4x + dx + π = π 8dx 1.71 1.71 = π 4.47 ( (.1( 1.71) 1.71 + 1).4( 1.71).4( 1.71) + + (.1.76 +.76 + 1).4.76.4.76 + + (.1 7.3 + 7.3 + 1).4 7.3.4 7.3 + + (.1 11.71 + 11.71 + 1).4 11.71.4 11.71 + ) + π [8x] 11.71 1.71 = π (.35(13.38 + 13.15 + 13.14 + 13.38)) + 16π(11.71 ( 1.71)) = 1114.13 + 674.56 = 1788.69 B A 8 1 + ((8) ) dx 14
4 Určení dráhy z rychlosti Těleso se pohybuje rychlostí v(t) = 4t 1 t + 3t + Určete a) Jakou rychlost mělo těleso ve sekundě b) Jakou těleso urazilo dráhu ve sekundě, jestliže v čase těleso už urazilo 1 metr. 4.1 Rychlost 4. Dráha v() = 4 1 4 + 3 4 + = 14m.s 1 s(t) = v(t)dt = (4t 1 t + 3t + )dt = = 1 t (.8t +.16) + t 3 + t + C (4t 1 t )dt + (3t + )dt kde první integrál vypočteme metodou per-partes (4t 1 t )dt u = 4t u = 4 v = 1 t v = 1 t ln(1) ( ) = 4t 1 t ( ) 4 1 t dt = ln(1) ln(1) ln(1) t1 t + ln(1) = ln(1) t1 t + ln(1) 1 t ( ) ln(1) = 1 t (.8t +.16) 1 t dt Konstantu C určíme z podmínky, že těleso v čase už urazilo 1 metr, tj. s() = 1 : 1 (.8 +.16) + 3 + + C = 1.16 + C = 1 C = 1.16 Tedy dráha tělesa je dána rovnicí s(t) = 1 t (.8t +.16) + t 3 + t + 1.16 Dráhu, kterou těleso urazilo ve sekundě dostaneme dosazením t= do s(t): s() = 1 (.8 +.16) + 3 + + 1.16 = 13.16m 15
7 6 5 4 3 1 1 3 4 t Rychlost Draha 16
5 Určení rychlosti a dráhy ze zrychlení Těleso se pohybuje se zrychlením a(t) = 4 + t 3 4 t + (.3) t Určete a) Jaké zrychlení mělo těleso ve 3 sekundě b) Jakou rychlost mělo těleso ve 3 sekundě, jestliže v čase se těleso pohybovalo rychlostí metry za sekundu. c) Jakou těleso urazilo dráhu ve 3 sekundě, jestliže v čase těleso už urazilo 4 metry. 5.1 Zrychlení 5. Rychlost a(3) = 4 + 3 3 4 3 + (.3) 3 = 75..m.s v(t) = a(t)dt = (4 + t 3 4 t + (.3) t )dt = 4dt + t 3 4 t dt + (.3) t dt = 4t + 8 17 4 t 17 + (.3)t ln(.3) + C 1 = 4t +.47 4 t 17.83(.3) t + C 1 kde t 3 4 t dt = t 3 t 1 4 dt = t 13 4 dt = t17 4 17 4 dt = 8 17 Konstantu C 1 určíme z podmínky, že těleso v čase se pohybovalo rychlostí m.s-1, tj. v() = : 4 +.47 4 17.83(.3) + C 1 =.83 + C 1 = 4 t 17 C 1 =.83 Tedy rychlost tělesa je dána rovnicí v(t) = 4t +.47 4 t 17.83(.3) t +.83 Ry chlost, kterou těleso mělo ve 3 sekundě dostaneme dosazením t=3 do v(t): v(3) = 4 3 +.47 4 3 17.83(.3) 3 +.83 = 19.71m.s 1 5.3 Dráha s(t) = v(t)dt = (4t +.47 4 t 17.83(.3) t +.83)dt = t + 3 4 1 t 1 + 357 ln (.3) (.3)t +.83t + C = t +.9 4 t 1 +.69(.3) t +.83t + C 17
kde.47 4 t 17 dt =.47 t 17 4 dt =.47 t 1 4 1 4 =.9 4 t 1 Konstantu C určíme z podmínky, že těleso v čase už urazilo 4 metry, tj. s() = 4 : +.9 4 1 +.69(.3) +.83 + C = 4.69 + C = 4 C = 3.31 Tedy dráha tělesa je dána rovnicí s(t) = t +.9 4 t 1 +.69(.3) t +.83t + 3.31 Dráhu, kterou těleso urazilo ve 3 sekundě dostaneme dosazením t=3 do s(t): s() = 3 +.9 4 3 1 +.69(.3) 3 +.83 3 + 3.31 = 58.6m 16 1 8 4 1 3 4 t Zrychleni Rychlost Draha 18
6 Obecný trojúhelník Je dán obecný trojúhelník, jehož jedna jeho strana má délku 5 cm. Zbylé dvě strany označte jako proměnné x a y. Určete a) Pro která x a y je to vůbec trojúhelník, tzn. definiční obor všech následujících funkcí a tuto množinu nakreslete b) Obvod trojúhelníku jako funkci D(x,y) c) Obsah trojúhelníku jako funkci S(x,y) d) Velikost jednoho vnitřního úhlu jako funkci α(x,y) e) Velikost výšky na stranu, která je číselně daná jako funkci v(x,y) 6.1 Definiční obor Všechny strany trojúhelníku musí být větší než nula, odtud x,y >. navíc musí být splněny trojúhelníkové nerovnosti-součet libovolných dvou stran trojúhelníku musí být větší než ta třetí. x + y > 5, x + 5 > y, y + 5 > x, x >, y > y > 5 x, y < 5 + x, y > x 5, Tyto nerovnice určují v rovině xy následující oblast a to je definiční obor všech funkcí. Hranice této oblasti do definičního oboru nepatří. 1 5-1 -5 5 1-5 -1 19
6. Obvod Obvod D je dán jako součet všech stran v trojúhelníku a protože závisí na hodnotách dvou stran x, y v trojúhelníku, píšeme D(x,y) = 5 + x + y -1 1-1 1-5 5 x -5 y 5 1-1
6.3 Obsah K určení obsahu použijeme Heronův vzorec, protože je trojúhelník zadán třemi stranami kde a=x, b=y, c=5. S = S(x, y) = S(x, y) = S = s(s a)(s b)(s c), s = a + b + c s(s a)(s b)(s c) ( x + y + 5 x + y + 5 ) ( ) ( ) x + y + 5 x + y + 5 x y 5 1 16 x4 1 16 y4 + 1 8 x y + 65 x + 65 y 3965 15 1 5-1 -5 5 y 5 1 1-5 x -1 1
6.4 Vnitřní úhel Vyjdeme z Kosinové věty např. pro úhel α: = b + c bc cos(α) ( b + c a ) α = arccos bc ( y + 5 x ) α(x, y) = arccos y 5 ( 5 x + y ) α(x, y) = arccos 1y a 3,5 1,5 1,5-1 -5 y 5 5 x -5-1 1 1
6.5 Výška Vyjdeme ze vztahu pro výšku na stranu c: sin(α) = v y v = y sin(α) ( ( 5 x + y )) v(x, y) = y sin arccos 1y ( )) 5 v(x,y) = y x + y 1 cos (arccos 1y ( ) 5 x + y v(x,y) = y 1 1y 6 4 - -4-6 -1 1-5 5 y 5 1-1 -5 x 3
7 Tečná rovina a normála Napište rovnici tečné roviny a normály funkce z(x,y) v bodě A a nakreslete to. a) z(x,y) = 3x 3 y 4 tan(x 5y), A[ 1, 1, ] b) z(x,y) = x 8 x y 3, A[ 1, 1, ] 7.1 První příklad K napsání tečné roviny v bodě využijeme základní vzorec. Tečná rovina TR k funkci z(x,y) v bodě A[x,y,z ] je popsána touto rovnicí TR : z z = z(x,y ) x (x x ) + z(x,y ) (y y ) y V našem případě je x = 1 a y = 1, z je třeba vypočítat ze z(x,y) = 3x 3 y 4 tan(x 5y) z = z(x,y ) = z( 1, 1) = 3( 1) 3 1 4 tan(( 1) 5 1) = 3 tan( 7) =.6 Dále potřebujeme spočítat parciální derivace podle x z( 1, 1) x z x = 9x y 4 tan(x 5y) 3x 3 y 4 1 cos (x 5y) = 9x y 4 tan(x 5y) 6x 3 y 4 cos (x 5y) = = 9( 1) 1 4 tan(( 1) 5 1) = 9 tan( 7) + 6 cos ( 7) = 18.4 6( 1) 3 1 4 cos (( 1) 5 1) a podle y z y z( 1, 1) y = 1x 3 y 3 tan(x 5y) 3x 3 y 4 1 cos (x 5y) ( 5) = 1x 3 y 3 tan(x 5y) + 15x 3 y 4 cos (x 5y) = = 1( 1) 3 1 3 tan(( 1) 5 1) + = 1 tan( 7) 15 cos ( 7) = 36.8 15( 1) 3 1 3 cos (( 1) 5 1) Dosadíme do vzorce pro tečnou rovinu a upravíme na základní tvar TR : z z = z(x,y ) (x x ) + z(x,y ) (y y ) x y z (.6) = 18.4(x ( 1)) + ( 36.8)(y 1) z +.6 = 18.4x + 18.4 36.8y + 36.8 TR : 18.4x + 36.8y + z 5.6 = 4
Z analytické geometrie je známo, že rovina ax + by + cz + d = má normálový vektor n = (a,b,c)-to je vektor, který je k té rovině kolmý. Normála N je tedy dána bodem A[ 1, 1,.6] a vektorem n = ( 18.4, 36.8, 1). Její parametrické rovnice jsou následující N : x = 1 18.4t y = 1 + 36.8y z =.6 + t, t R - -4-6,96,98-1, -1,4 1-1 x 1, -,98 1,4 -,96 y 7. Druhý příklad K napsání tečné roviny v bodě využijeme základní vzorec. Tečná rovina TR k funkci z(x,y) v bodě A[x,y,z ] je popsána touto rovnicí TR : z z = z(x,y ) x (x x ) + z(x,y ) (y y ) y V našem případě je x = 1 a y = 1, z je třeba vypočítat ze z(x,y) = x 8 x y 4 z = z(x,y ) = z( 1, 1) = ( 1) 8 ( 1) 1 4 = Dále potřebujeme spočítat parciální derivace podle x z x z( 1, 1) x y4 = 4x 8x + x 8 x y 4 ln(8) 4x = 4x 8 x y 4 + 8 ln(8)x 3 8 x y 4 = = 4( 1) 8 ( 1) 1 4 + 8 ln(8)( 1) 3 8 ( 1) 1 4 =.6 5
a podle y z y z( 1, 1) y = x 8 x y 4 ln(8) ( 6y ) = 1 ln(8)x y 8 x y 4 = = 1 ln(8)( 1) 1 8 ( 1) 1 4 = 4.95 Dosadíme do vzorce pro tečnou rovinu a upravíme na základní tvar TR : z z = z(x,y ) (x x ) + z(x,y ) (y y ) x y z = (.6)(x ( 1)) + ( 4.95)(y 1) z =.6x.6 4.95y + 4.95 TR :.6x + 4.95y + z 6.35 = Z analytické geometrie je známo, že rovina ax + by + cz + d = má normálový vektor n = (a,b,c)-to je vektor, který je k té rovině kolmý. Normála N je tedy dána bodem A[ 1, 1, ] a vektorem n = (.6, 4.95, 1). Její parametrické rovnice jsou následující N : x = 1 +.6t y = 1 + 4.95y z = + t, t R 15 1 5 -,9 -,95-1 x 1 1,5 1,1-1,5-1,1,9,95 y 6
8 Výpočet dvojného integrálu Vypočtěte následující dvojné integrály a napište jejich geometrický význam (načrtněte graf dané funkce na obdélníku D-zjistěte funkční hodnoty alespoň ve vrcholech D a ověřte zda graf leží nad rovinou xy nebo ne) a) D x y cos(3 y)dxdy, D =<, 1 > < 1, 3 > b) D sin(y 3x)dxdy, D =<, 1 > <, > 8.1 První příklad U tohoto příkladu můžeme funkci f(x,y) zapsat jako součin nějaké funkce f 1 (x) a f (y) a využít vzorec b d f(x,y)dxdy = f 1 (x)dx f (y)dy D V našem případě je f 1 (x) = x a f (y) = y cos(3 y) Tedy x y cos(3 y)dxdy = D = = 1 a x dx 3 1 y cos(3 y)dy c [ ] [ 3 x3 1 1 y sin(3 y) + 1 ] 3 4 cos(3 y) 1 ( 3 13 ) 3 ( )3 (( 1 3 sin(3 3) + 1 ) 4 cos(3 3) ( 1 ( 1) sin(3 ( 1)) + 1 )) 4 cos(3 ( 1)) =.4 kde druhý integrál vypočteme metodou per-partes y cos(3 y)dy u = y u = 1 v = cos(3 y) v = 1 sin(3 y) = y ( 1 sin(3 y) 1 1 sin(3 y)dy = 1 y sin(3 y) + 1 sin(3 y)dy = 1 y sin(3 y) + 1 ( 1 )( cos(3 y)) = 1 y sin(3 y) + 1 cos(3 y) 4 7
1 5-5 -1-15 - -1 1 1 y -1 -,5,5 x 3 - -1,5 8. Druhý příklad U tohoto příkladu sice můžeme použít součtový vzorec pro sin(x+y) a potom izolovat proměnnu x a y, ale ukážeme si výpočet tohoto integrálu, aniž bychom jednotlivé proměnné izolovali. Použijeme tzv. Fubiniův vzorec D f(x,y)dxdy = ( b d a c f(x,y)dy ) dx Tedy sin(y 3x)dxdy = D = = 1 ( 1 ) sin(y 3x)dy dx = 1 [ 1 ] cos(y 3x) ( 1 cos( 4 3x) 1 ) cos(4 3x) dx [ 1 6 sin( 4 3x) + 1 6 sin(4 3x) ] 1 dx = 1 ( sin( 7) + sin(1) + sin( 4) sin(4)) =.5 6 8
1,5 -,5 - -1, -1,4 y,6 x 1,8 1 9
9 Řešení diferenciální rovnice Najděte funkci y(x), která je řešením příslušné diferenciální rovnice a splňuje i počáteční podmínky. Proved te zkoušku a) y (x) + y(x) = 1 x, y() =, y () = b) y (x) y (x) = x + 1, y() = 9.1 První příklad Jedná se o lineární diferenciální rovnici druhého řádu a na pravé straně je polynom druhého stupně. Nalezení řešení probíhá ve 3 krocích. a) Nejprve nelezneme řešení difrenciální rovnice s nulovou pravou stranou y y (x) + y = Charakteristický polynom má tvar k + = kde řešení je dvojice komplexně sdružených čísel k 1 = i, k = i odtud řešení y = C 1 cos( x) + C sin( x) b) Nyní budeme hledat partikulární řešení y p. Je to nějaké jedno řešení, které vyhovuje celé diferenciální rovnici i s pravou stranou. Protože na pravé straně máme polynom. stupně a není kořenem charakteristického polynomu, budeme y p hledat ve tvaru y p = Ax + Bx + C Obecné koeficienty A, B, C nalezneme tak, že y p do sadíme do diferenciální rovnice a dále postupujeme metodou neurčitých koeficientů. y p(x) + y p = 1 x A + (Ax + Bx + C) = 1 x Ax + Bx + A + C = 1 x x : A = 1 A =.5 x : B = B = 1 : A + C = 1 C = 1 Tedy naše partikulární řešení má tvar y p =.5x + 1 Obecné celkové řešení y je součtem řešení y p a y y(x) = y p (x) + y (x) =.5x + 1 + C 1 cos( x) + C sin( x) 3
c) Nyní je třeba z počátečních podmínek vypočítat konstanty C1 a C: y() = :.5 + 1 + C 1 cos( ) + C sin( ) = C 1 = 1 y () = : C 1 sin( ) + C cos( ) = C = Tedy řešení naší diferenciální rovnice je y(x) =.5x + 1 + cos( x) sin( x) Zkouška: Nejdříve si potřebujeme vypočítat derivaci y (x) y(x) =.5x + 1 + cos( x) sin( x) y (x) = x sin( x) cos( x) y (x) = 1 cos( x) + sin( x) Dosadíme výslednou funkci y(x) do naší diferenciální rovnice a po úpravách se levá strana musí rovnat pravé y (x) + y(x) = 1 x 1 cos( x) + sin( x) + (.5x + 1 + cos( x) sin( x) ) = 1 x x + 1 = 1 x 9. Druhý příklad Toto je případ separovatelné rovnice, y napíšeme jako podíl dy/dx a všechno s x převedeme na jednu stranu a všechno s y na druhou stranu tak, aby dx a dy byly v čitateli. Potom provedeme integraci a pokud to jde, vyjádříme y jako funkci x. Neznámou konstantu vypočteme z počáteční podmínky. y (x) y (x) = x + 1 y dy dx = x + 1 y dy = ( x + 1)dx y dy = ( x + 1)dx y 3 3 = x ln() + x + C y() = : 3 = 3 ln() + + C 8 3 = 1 ln() + C C = 1. 31 (4)
Tedy řešení v imlicitním tvaru vypadá takto y 3 3 = x ln() + x + 1. V našem případě můžeme funkci y(x) vyjádřit i explicitně Zkouška: Počáteční podmínka je splněna y(x) = 3 4.33 x + 3x + 3.66 y() = 3 4.33 + 3 + 3.66 = 1.99917 = Dosad me nyní náše výsledné řešení do původní diferenciální rovnice a pokud je výpočet v pořádku, musí se levá strana rovnat pravé. ( 3 4.33 x + 3x + 3.66 ) 1 ( 4.33 x + 3x + 3.66) 3 (4.33 x ln() + 3) = x + 1 3 1.4 x + 1 = x + 1 Obsah 1 Výpočty v trojúhelníku 1 1.1 Obvod...................................... 1 1. Obsah...................................... 1 1.3 Vnitřní úhly................................... 1.4 Rovnice roviny, ve které trojúhelník leží.................... 3 1.5 Těžnice a Těžiště................................ 4 1.6 Výšky a Ortocentrum.............................. 6 Obsah, obvod a těžiště obrazce 1.1 Obsah...................................... 1. Obvod...................................... 11.3 Těžiště...................................... 1 3 Objem a Povrch rotačního tělesa 14 3.1 Objem...................................... 14 3. Povrch...................................... 15 4 Určení dráhy z rychlosti 16 4.1 Rychlost..................................... 16 4. Dráha...................................... 16 5 Určení rychlosti a dráhy ze zrychlení 18 5.1 Zrychlení..................................... 18 5. Rychlost..................................... 18 5.3 Dráha...................................... 18 3
6 Obecný trojúhelník 6.1 Definiční obor.................................. 6. Obvod...................................... 1 6.3 Obsah...................................... 6.4 Vnitřní úhel................................... 3 6.5 Výška...................................... 4 7 Tečná rovina a normála 5 7.1 První příklad.................................. 5 7. Druhý příklad.................................. 6 8 Výpočet dvojného integrálu 8 8.1 První příklad.................................. 8 8. Druhý příklad.................................. 9 9 Řešení diferenciální rovnice 31 9.1 První příklad.................................. 31 9. Druhý příklad.................................. 3 33