Říční toky, dopravní zácpy a druhý termodynamický zákon Seminář Oddělení Mikrostruktur 9. března 2006 Plzeň
1 Úvod 2 Model dopravní zácpy, podmínka entropie Nelineární zákon zachování 3 Model říčního toku v 1D Saintovy-Venantovy rovnice Metody řešení Okrajové podmínky Systém říčních toků Numerické simulace 4 Model říčního toku ve 2D Saintovy-Venantovy rovnice Okrajové podmínky Model s proměnnou oblastí řešení Numerické simulace 5 Závěr
Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava
Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava
Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava
Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava
Úvod Poptávka po simulacích říčních toků všudypřítomný přírodní fenomén předpověditelnost chování řek systém včasného varování analýza zdrojů znečištění lodní doprava
Šoková vlna
Nelineární zákon zachování Nelineární zákon zachování q t + f(q) x = 0 (2.1) f(q) = ūq - dostaneme obyčejnou rovnici advekce f(q) = u max q(1 q) - model toku aut, nebo také stlačitelné tekutiny o kvadratická funkce hustoty aut, kapaliny o maximální tok aut pro q = 1 2
Nelineární zákon zachování
Nelineární zákon zachování Definice Charakteristika X(t) je křivka splňující tuto ODR Hodnota q je podél této křivky konstantní X (t) = f ( q ( X(t),t )). (2.2) d dt q (X(t),t) = X (t)q x + q t, (2.3) = 0. (2.4)
Nelineární zákon zachování
Nelineární zákon zachování Rychlost šíření šokové vlny Použijeme zákon zachování na část roviny x t = x 1 t1 + t t 1 x1 + x q(x,t 1 + t)dx f(q(x 1,t))dt t1 + t x1 + x x 1 q(x,t 1 )dx (2.5) t 1 f(q(x 1 + x,t))dt. (2.6) s = f(q r) f(q l ) q r q l (2.7) Podobný vztah i pro systémy A(q r q l ) = s(q r q l ) (2.8)
Nelineární zákon zachování Nejednoznačnost, přípustnost a podmínka entropie (1 a b) ((1 2 b) 2 (1 2 a) 2 ) 2/3 (1 2 b) 3 + 2/3 (1 2 a) 3 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 q r q l η(q) = (1 2q) 2,ψ(q) = 2 3 (1 2q)3 u max (2.9)
Saintovy-Venantovy rovnice Model v jedné dimenzi 2.5 hloubka h = h(x,t) h + B 2 1.5 1 0.5 h(x,t) u(x,t) rychlost proudění u = u(x,t) výška dna B = B(x) B(x) 0 2 4 6 8 10 12 14 x Obrázek: Geometrická interpretace proměnných v 1D rovnicích.
Saintovy-Venantovy rovnice Saintovy-Venantovy rovnice S-V rovnice v diferenciálním tvaru h t + (hu) x = 0, (3.1) (hu) t + (hu 2 + 12 ) gh2 = ghb x, (3.2) x 0,d (3.3) počáteční podmínky h(x,0) = h 0 (x),u(x,0) = u 0 (x) (3.4) okrajové podmínky x h(0,t) = h l (t),h(d,t) = h p (t), u(0,t) = u l (t),u(d,t) = u p (t). (3.5)
Saintovy-Venantovy rovnice 2.5 ρh(x,t)dx 2 1.5 h + B ρu(x 1,t)h(x 1,t) ρu(x 2,t)h(x 2,t) 1 dx 0.5 0 2 x 4 6 x 1 8 x 10 12 14 2 Obrázek: Rovnice kontinuity. d x2 ρh(x,t)dx = ρu(x 1,t)h(x 1,t) ρu(x 2,t)h(x 2,t), (3.6) dt x 1
Saintovy-Venantovy rovnice Pohybové rovnice F ma = 0, (3.7) z T1 ma G Fp α T2 výsledná síla F o tlakové síly T 1, T 2 o síla F p způsobená změnou průřezu o tíhová síla G setrvačná síla ma x T 1 T 2 + F p + Gsinα ma = 0, (3.8)
Saintovy-Venantovy rovnice Pohybové rovnice F ma = 0, (3.7) z T1 ma G Fp α T2 výsledná síla F o tlakové síly T 1, T 2 o síla F p způsobená změnou průřezu o tíhová síla G setrvačná síla ma x T 1 T 2 + F p + Gsinα ma = 0, (3.8)
Metody řešení Metody řešení Zavedeme následující značení ( ) ( h q(x,t) =,f(q) = hu hu hu 2 + 1 2 gh2 ) ( 0,S(x,q) = Saintovy-Venantovy rovnice pak lze zapsat ve tvaru ). ghb x (3.9) q t + ( f(q) ) = S(x,q). (3.10) x
Metody řešení Za předpokladu spojité diferencovatelnosti funkce q si můžeme dovolit udělat další úpravu rovnic (3.10) q t + f (q)q x = S(x,q), (3.11) kde f (q) je Jacobiova matice soustavy ( ) f 0 1 (q) = u 2. (3.12) + gh 2u Vlastní čísla matice f (q) jsou λ 1 = u gh, λ 2 = u + gh. (3.13)
Metody řešení odvodíme numerické rekurentní schéma pro homogenní rovnice průměrná hodnota zachovávané veličiny q(x,t) = 1 q(ξ,t)dξ,i x = x I x q t + f(q) x = 0 (3.14) { ξ ξ x x 2 }, (3.15) rovnice (3.14) zintegrujeme přes interval I x, vyděĺıme x a dosadíme prům. hodnotu 1 q(ξ,t)dξ + 1 [ t x I x x I x ξ f( q(ξ,t) ) ] dξ = 0, q t (x,t) + 1 [ f ( q(x + x x 2,t)) f ( q(x x ] 2,t)) = 0. (3.16)
Metody řešení časová diskretizace, integrujeme přes interval t τ t + t q(x,t + t) = q(x,t) 1 [ t+ t f ( q(x + x x t 2,τ)) dτ t+ t t f ( q(x x ] 2,τ)) dτ. q(, t) nahradíme po částech polynomiální funkcí w(x, t) (3.17) p 1 p 2 p j p m x 1 x 2 x j 1 x j x j+1 x m 1 x m Obrázek: Aproximační po částech polynomiální funkce.
Metody řešení po částech konstantní polynom Laxovo-Friedrichsovo schéma w n+1 j+ 1 2 = 1 2 ( wn j + wn j+1 ) t ( f( w n x j+1 ) f( w j n )). (3.18) po částech lineární polynom Tadmorovo schéma Kurganovo-Noellovo-Petrovové schéma
Okrajové podmínky Okrajové podmínky n+1 w 1/2 w 1 n+1 w j n+1 w m n+1 n+1 w m+1/2 t n+1 t n n(+, ) w 1/2 n(+, ) w 3/2 n(+, ) w j 1/2 n(+, ) w j+1/2 n(+, ) w m 1/2 n(+, ) w m+1/2 Obrázek: Okrajové podmínky
Okrajové podmínky Riemannovy invarianty. t n+1 R 1 = u 2 gh Γ 1 Riemannovy invarianty ξ 1 {}}{ ϕ t n x m 3 x 2 m 1 x 2 m+ 1 2 R 1 = u 2 gh,r 2 = u + 2 gh, (3.19) jsou konstantní na charakteristikách Γ i : dx dt = λ i,i = 1,2.
Systém říčních toků Systém říčních toků x 2l x 3p 2 3 x 1p=x 2p=x3l 1 x 1l zachování průtoku h 1 u 1 + h 2 u 2 = h 3 u 3 vzdálenost od referenční hladiny v místě soutoku je u všech tří řek stejná h 1 + B 1 = h 2 + B 2 = h 3 + B 3
Numerické simulace Simulace uvažující nerovnosti dna
Numerické simulace Simulace soutoku tří řek
Saintovy-Venantovy rovnice Model ve dvou dimenzích z v h(x,y) B(x,y) u x hloubka h = h(x,y,t) rychlosti proudění u = u(x,y,t) v = v(x,y,t) výška dna B = B(x,y) y Ω Obrázek: Geometrická interpretace proměnných v 2D rovnicích.
Saintovy-Venantovy rovnice Ve dvou dimenzích přibývá jedna rovnice h t + (hu) x + (hv) y = 0, (hu) t + (hu 2 + 12 ) gh2 + (huv) y = ghb x, x (hv) t + (huv) x + (hv 2 + 12 ) gh2 = ghb y, y (4.1)
Okrajové podmínky n w 1/2,N+1/2 L y n w M+1/2,N+1/2 y k+1 n w j,k+1 n w j+1,k+1 n+1 w j+1/2,k+1/2 y k n w j,k n w j+1,k n w 1/2,1/2 n w M+1/2,1/2 0 x j x j+1 L x Obrázek: Tadmorovo schéma.
Okrajové podmínky Zrcadlové okrajové podmínky Lze připodobnit pohybu vody v bazénu voda se odráží od stěn hladina u stěny je stejná jako u nejbližších vnitřních hodnot tok kolmý na stěnu má opačné znaménko tok rovnoběžný se stěnou zůstává stejný Pro levou hranici konkrétně položíme h n+1 1 2,k+ 1 2 (hu) n+1 1 2,k+ 1 2 (hv) n+1 1 2,k+ 1 2 := h n+1 3 2,k+ 1 2 := (hu) n+1 3 2,k+ 1 2 := (hv) n+1 3 2,k+ 1 2 pro k = 1... N. (4.2)
Model s proměnnou oblastí řešení Obrázek: Změna oblasti platnosti Saintových-Venantových rovnic. platnost S-V rovnice na oblasti { (x,y) Ω h(x) > 0 } vznik a zaplavování ostrůvků vylití řeky ze břehů
Model s proměnnou oblastí řešení Stefanova úloha oblast platnosti par. dif. rovnic závisí na samotném řešení způsoby řešení o pevná sít, logická proměnná pro každou buňku (indikátor minimální hladiny) o proměnná sít - v každém časovém kroku třeba určit o kdy se voda rozleje na suché buňky - zaplavení břehu (ostrůvku) o kdy se voda vrátí zpět - odkrytí břehu (ostrůvku)
Numerické simulace Rovné dno, model bez uvažování tření o dno
Numerické simulace Dno s nerovnostmi, včetně tření o podklad
Závěr Cílem této práce bylo pojmout problematiku říčních toků v širším kontextu fyzikální původ rovnic popisujících říční toky numerické metody počítačové simulace Vlastní přínos okrajové podmínky v jedné dimenzi - aplikace Riemannových invariantů zrcadlové okrajové podmínky ve dvou dimenzích implementace pravé strany do Tadmorova schématu - členité dno numerické simulace v jedné i ve dvou dimenzích
Možná rozšíření v 1D - inundační kanály, záplavování území ve 2D - model s proměnnou oblastí platnosti Saintových-Venantových rovnic o vylití ze břehů o simulace více řek v obou dimenzích - časově proměnné dno, o vymílání koryta
Literatura A. Kurganov, D. Levy: Central-upwind schemes for the Saint-Venant system, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol. 36 (2002), pages 397-425. A. Kurganov, G. Petrova: Central schemes and contact discontinuities, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Vol. 34 (2002), pages 1259-1275. G. Steinebach, S. Rademacher, P. Rentrop, M. Schulz: Mechanisms of coupling in river flow simulation systems, Journal of Computational and Applied Mathematics, www.elsevier.com/locate/cam R. J. Leveque: Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press