VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ ING. JIÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA II MODUL BD4-MO1 ROZŠÍENÝ PRVODCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Sttik II Vážení uživtelé tohoto ueního textu, dovolujeme si Vás požádt o mlé strpení pro využívání této uení pomcky pro Vše studium. Pi závrené kontrole yly nvrženy dlší vylepšující úprvy, které pispjí ke zlepšení kvlity ueního textu. Rovnž je potené provést formální úprvy, to zejmén nové pe- íslování rovnic, orázk i tulek, y se shodovly s oznením kpitol. Z sových dvod všk neylo možné úprvy dosud relizovt. Pedpokládáme, že oprvy provedeme zátkem roku 26. Posekejte proto prosím se sthováním používáním, dokud nezmizí tento upozorující text. Dkují utoi Jií Kytýr, Petr Frntík, Brno 25-2 (7) -
Osh OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíle...5 1.2 Poždovné znlosti...5 1.3 Do potená ke studiu...5 1.4 Klíová slov...5 2 Deformní metod...7 2.1 Vznik vývoj deformní metody...7 2.2 Výpotový model rovinného rámu...7 2.3 Stupe petvárné neuritosti...9 2.4 Podstt deformní metody...11 2.5 Oecná deformní metod ve sklárním tvru...11 2.5.1 Ilustrtivní oecn ešený píkld...12 2.5.2 Vyjádení koncových sil pomocí prmetr deformce...14 2.5.3 Vyjádení lokálních koncových sil pomocí gloálních prmetr deformce...15 2.5.4 Lokální koncové síly klouov pipojeného prutu...16 2.5.5 Ilustrtivní oecn ešený píkld pokrování...16 3 Mticová form oecné deformní metody...19 3.1 Anlýz prutu...19 3.2 Anlýz pímého prutu v lokální soudnicové soustv...2 3.2.1 Prut ooustrnn monoliticky pipojený...21 3.2.2 Prut prvostrnn klouov pipojený...25 3.2.3 Prut ooustrnn klouov pipojený...26 3.3 Prut konstntního prezu...26 3.4 Geometrická trnsformce do gloální soustvy...27 3.4.1 Trnsformce pro složky koncových sil...29 3.4.2 Trnsformce u prvoúhlých rám...3 3.5 Gloální vektory prutové soustvy...3 3.5.1 Gloální mtice vektory prutu...31 3.5.2 Soustv rovnic...32 3.6 Loklizce...33 3.7 Dokonení ešení prut...34 3.7.1 Výpoet koncových sil prhy vnitních sil...34 3.7.2 Pružná deformce prutu...34 3.7.3 Výpoet rekcí kontrol ešení...35 3.8 Numerické píkldy...36 3.8.1 Prvoúhlý rám...36 3.8.2 Nosník s vnitním klouem...4 4 Dlší možnosti ešení...45 4.1 Jiný tvr gloální mtice vektoru prutu...45 4.2 Spojitý nosník...46 4.3 Pruty promnného prezu...46-3 (7) -
Sttik II 4.4 Deformní ztížení... 47 4.4.1 Vliv zmny teploty... 47 4.4.2 Dné nepružné pemístní podpor... 48 4.5 Píhrdový nosník... 5 4.6 Zjednodušená deformní metod... 5 4.6.1 Rekpitulce postupu ešení rámu ZDM s pruty konstntního prezu... 55 5 Tulky... 63 6 Studijní prmeny... 69 6.1 Seznm použité litertury... 69 6.2 Seznm doplkové studijní litertury... 69 6.3 Odkzy n dlší studijní zdroje prmeny... 69-4 (7) -
Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle Úkolem pedmtu Sttik II je zvládnout ešení prutových konstrukcí dlší metodou, to metodou deformní. Její význm pro ešení rozsáhlejších stticky neuritých prutových konstrukcí je nenhrditelný, neo v tomto ohledu nemá konkurenci v metod silové. Zákldní pedností deformní metody je pehlednost pi mticovém zápisu rovnž možnost její lgoritmizce. Nším cílem ude ešení nosných stticky neuritých prutových stveních konstrukcí získání prh vnitních sil i složek rekcí jko prostedek pro jejich dimenzování podle jednotlivých mteriál. 1.2 Poždovné znlosti Sttik II ezprostedn nvzuje n pedmt Sttik I. Využívá znlosti získné v pedmtu Zákldy stvení mechniky (zejmén ešení prh vnitních sil), v pedmtu Pružnost pevnost i v pedmtu Sttik I (plikce silové metody je nezytná pro odvození primárního i sekundárního stvu). Studenti y mli ýt oeznámeni se zákldními pojmy z mticové nlýzy. Z mtemtického prátu využijeme zejmén goniometrické funkce, vektorový mticový poet i ešení soustv lineárních lgerických rovnic. 1.3 Do potená ke studiu Modul pedstvuje rozšíený prvodce oshuje zákldní látku proírnou v prhu tém celého semestru. Do potená k nstudování jednotlivých kpitol i odstvc se liší od nkolik desítek minut ž po hodiny. Záleží zejmén n pedchozí prprv student ve výše citovných pedcházejících pedmtech, le i n otížnosti dného témtu. Potená do ke studiu iní 5 ž 6 hodin. 1.4 Klíová slov mechnik, sttik, síl, rekce, interkce, rovnováh, poddjnost, tuhost, vektor, mtice, modul pružnosti, momenty setrvnosti, trnsformce, prut, prutová soustv, nosník, rám, píhrdová konstrukce - 5 (7) -
Sttik II - 6 (7) -
Deformní metod 2 Deformní metod Ve srovnání se silovou metodou prornou ve Sttice I je metod deformní nepímá, neo se z neznámé veliiny volí deformce (složky pemístní) sestvují se silové podmínky rovnováhy. Jko zákldní soustv se volí petvárn uritá soustv (nehyná), vytvoená pidáním fiktivních vze. 2.1 Vznik vývoj deformní metody Zákldy deformní metody položil dánský vdec A. Ostenfeld, který v roce 1926 pulikovl dílo Die Deformtionsmethode. Metod pedstvovl velmi úinný teoretický nástroj pro ešení složitých rámových soustv (vetn klou). Vedlo to všk n ešení rozsáhlých soustv lineárních lgerických rovnic, což tehdy yl stží pekontelná pekážk. Nutnost ešení soustv rovnic vynikjícím zpsoem odstrnil merický profesor Hrdy Cross, který v roce 1929 v lánku Continuity s Fctor in Reinforced Concrete Design pulikovl metodu rozdlování moment pro rámové soustvy. Ke správnému ešení se všk dosplo pouze u rám s neposuvnými styníky. Jedná se v podstt o iterní metodu ešení soustvy rovnic, pi níž je jednotlivým krokm iterce pisouzen názorný fyzikální význm. Pi ešení se nepoítjí všechn pootoení uzl sousn, nýrž postupn uvolováním jednotlivých uzl, piemž osttní uzly jsou nehyné. Metod je piližná itertivním postupem se doshuje poždovné pesnosti. Pro rámy s posuvnými styníky rozšíil Crossovu metodu eský kdemik Václv Dšek tzv. metodou rozdlování sil moment, která se stl ve ty- icátých pdesátých letech dvcátého století nejrozšíenjší metodou ešení rámových soustv. Renesnce pvodní deformní metody pišl ž s rozvojem smoinných poít (si od šedesátých let dvcátého století). Znnou výhodou je pehledný jednoznný postupu ešení (lgoritmus). Zpoátku yl více používán zjednodušená deformní metod, vhodná zejmén pro prvoúhlé rámy. U této vrinty vedl závislost odpovídjících posuv uzl vzájemn spojených pruty pi znedání osové deformce prut k podsttnému snížení potu rovnic. Prktické upltnní v posledních desetiletích nchází metod konených prvk jko univerzální metod ešení úloh mechniky kontinu. 2.2 Výpotový model rovinného rámu Výpotový model pedstvuje idelizovný tvr rovinného rámu, tvoený stednicemi prut s pisouzenými prezovými chrkteristikmi fyzikálními vlstnostmi mteriálu prut. Idelizovné jsou styky prut, vnjší vzy rovnž ztížení rámu. Vzájemné spojení prut soustvy v uzlech (stynících), viz or. 1.1. Uzel mže ýt monolitický (rámový, tuhý) neo klouový (nerámový). - 7 (7) -
Sttik II Or. 1.1: Styníky rovinné prutové soustvy Podle zpsou pipojení konc prutu k uzlm pk dostáváme prut ooustrnn monoliticky pipojený, jednostrnn klouov pipojený neo ooustrnn klouov pipojený. Styník mže ýt volný (nepodepený) neo podepený (vázný). Volný styník vykoná pi deformci v rovin xz (or.1.2) ti složky pemístní u, w, ϕ (neoli prmetry deformce), které pedstvují ti stupn volnosti. Kldné složky posunutí jsou ve smru kldných soudnicových os kldné pootoení je proti smru pohyu hodinových ruiek. Or. 1.2: Ti složky pemístní monolitického styníku Všechny konce prut, jdoucí do jednoho styníku, mjí stejné posuny. U monolitického styníku (or. 1.2) jsou i všechn pootoení konc prut stejná. Prut klouov pipojený do styníku (or. 1.3) má jiné pootoení než monoliticky pipojené pruty. U klouového styníku (or. 1.4) jsou pootoení konc jednotlivých prut nprosto nezávislá. Or. 1.3: Pipojení prutu klouem k monolitickému styníku Or. 1.4: Dv složky pemístní klouového styníku - 8 (7) -
Deformní metod Or. 1.5: Vnjší vzy rovinné prutové soustvy Vnjší vzy mohou ýt nepoddjné, poddjné i jednostrnné. Nepoddjné (or. 1.5) odeírjí uzlu odpovídjící stupn volnosti (váží složky pemístní). T. 1.1: Poet neznámých prmetr deformce 2.3 Stupe petvárné neuritosti Stupe petvárné neuritosti pedstvuje celkový poet stup volnosti rovinné prutové soustvy. Udává celkový poet nezávislých složek pemístní (prmetr deformce) u, w, ϕ styník prutové soustvy sousn poet rovnic nezytných pro vyešení prutové soustvy. Lze ho urit pomocí vzthu n p = 3t + 2k + p p v, (1.6) kde zní t poet monolitických (tuhých) styník, k poet klouových styník, p poet jednoduchých posuvných podepení (posuvný klou, kyvný prut) p v poet vnjších vze umístných u styník (pepotených n jednonásoné vzy). Stupe petvárné neuritosti mžeme rovnž urit rozorem jednotli- - 9 (7) -
Sttik II vých pípd styník podpor (np. podle tulky 1.1). V této tulce jsou u pípd 8 9 uvedeny dv lterntivy podle toho, zd uvžujeme prut ooustrnn upnutý (lterntiv 1), neo jednostrnn klouov ukonený do podpory (lterntiv 2). Or. 1.6: Výpotový model rovinné prutové soustvy Jko píkld uveme urení stupn petvárné neuritosti rámu z or. 1.6. Úložné podmínky v podporách f, g udeme hned respektovt. Do vzthu (1.6) dosdíme t = 4 (uzly,, c, e), k = 1 (uzel d), p = p v = 1 (uzel c), tkže n p = 3 4 + 2 1 + 1 = 13. Pro rozor jednotlivých styník podporových od rozepíšeme jednotlivé neznámé prmetry deformce. Uzel má volné prmetry u, w, ϕ, uzel prmetry u, w, ϕ, uzel c pouze w c, ϕ c (vodorovný posun u c je vázán kyvným prutem), uzel d pouze u, w d (spolené pootoení ϕ d uzlu neexistuje) uzel e má volné prmetry u e, w e, ϕ e, tedy celkem n p = 13. Pitom prut 3 7 (jdoucí do podpory g) se uvžovl jko jednostrnn klouov pipojený s pootoením ve skutenosti ϕ g, le uvžovným smluvní hodnotou nulovou ϕ g =, neo pi uvžovném zpsou pipojení prutu 3 7 nelze pootoení ϕ g urit. Tímto postupem jsme získli minimální hodnotu stupn petvárné neuritosti. Or. 1.7: Vliv pevislého konce n styník prutové soustvy Stupe petvárné neuritosti mohou ovlivnit dlší fktory, np. zpso modelování pevislého konce. Pevislý konec mžeme nhrdit ekvivlentním silovým úinkem do styníku (or. 1.7), uvžovt konzolu jko ooustrnn monoliticky ukonený prut pidt prmetry u h, w h, ϕ h, - 1 (7) -
Deformní metod jednostrnn klouov ukonený prut n volném konci pidt neznámé prmetry u h, w h, piemž pootoení ϕ h ude mít smluvní nulovou hodnotu. 2.4 Podstt deformní metody Strun mžeme podsttu oecné deformní metody vystihnout tk, že pro kždý uvolnný uzel podporový od sestvíme píslušné gloální sttické podmínky rovnováhy. Ve výsledném tvru je musíme vyjádit pomocí neznámých veliin gloálních prmetr deformce u, w, ϕ jednotlivých uzl. Síly psoící n styníky vyšetujeme jko koncové síly prutu, nejvýhodnji v lokální soudnicové soustv prutu pomocí lokálních prmetr deformce. Vzu mezi lokálními gloálními veliinmi (silmi i deformcemi) zprostedkují trnsformní vzthy. Vysvtlení podstty deformní metody provedeme ve sklárním tvru. Pro vlstní ešení pk ude výhodnjší pehlednjší mticová form zápisu. 2.5 Oecná deformní metod ve sklárním tvru Po piložení ztížení se prutová soustv pružn zdeformuje (styníky se posunou pootoí) soustv se ustálí v rovnovážném stvu. Pitom ovykle znedáváme mlý vliv posouvjících sil n petvoení. Deformci prutu (or. 1.8) ovlivuje jednk ztížení prutu (ozníme jko primární stv) pružná pemístní konc prut prostednictvím uzl (ozníme jko sekundární stv). Or. 1.8: Deformce prutu pružn upnutého do styník, V monolitickém uzlu (or. 1.9) sestvíme ti sttické podmínky rovnováhy F x =, Fz =, M y =, (1.4) v klouovém uzlu (or. 1.1) pk dv sttické podmínky rovnováhy d F x =, Fz =. (1.5) d - 11 (7) -
Sttik II Or. 11.1: Složky interkcí uzlové ztížení monolitického uzlu 2.5.1 Ilustrtivní oecn ešený píkld Postup ešení rovinného rámu deformní metodou ve sklárním tvru ukážeme n oecn ešeném píkldu jednoduchého kosoúhlého rámu (or. 11.2). Petvárn neurité veliiny (pi uvážení úložných podmínek) jsou u 1, w 1, ϕ 1 u 2, w 2, ϕ 2, tkže stupe petvárné neuritosti n p = 6. Or. 1.1: Složky interkcí v klouovém uzlu Podmínky rovnováhy v uzlech 1 2 (or. 11.2) vyjádíme pomocí gloálních koncových sil X,, Z,, M, ve tvru F F ix,1 iz,1 M F F i,1 ix,2 iz,2 M i,2 = : X = : Z = : M = : X = : Z 1,2 1,2 2,1 = : M 1,2 2,1 Z 2,1 X Z 1,3 X 1,3 M 2,4 = = 1,3 2,4 M 2,4 = = + F 2 = = (11.1) Koncové síly n prutech uríme nejsndnji v jednotlivých lokálních soudnicových soustvách x, z. Pro sestvení podmínek rovnováhy (11.1) je proto nutné provést geometrickou trnsformci (or. 11.3) lokální koncové síly pevést do gloálních koncových sil pomocí vzth - 12 (7) -
Deformní metod - 13 (7) - γ γ π γ γ γ γ π γ γ cos sin 2 sin sin sin cos 2 cos cos Z X Z X Z Z X Z X X = + + = = + + = (11.2) Or. 11.2: Gloální () lokální (c) interkce n prutech v uzlech Or. 11.3: Trnsformce koncových sil
Sttik II Podmínky rovnováhy (11.1), vyjádené v lokálních koncových silách pomocí (11.2), pk nudou tvr X X M X X M 1,2 1,2 1,2 2,1 2,1 2,1 cosγ sinγ + M cosγ sinγ + M 1,2 1,2 1,3 1,2 1,2 2,4 Z + Z = Z + Z 1,2 2,1 = 1,2 2,1 sinγ cosγ sinγ cosγ 1,2 1,2 1,2 1,2 + X + X + X + X 1,3 1,3 2,4 2,4 cosγ sinγ cosγ sinγ 1,3 1,3 2,4 2,4 Z + Z 1,3 1,3 Z + Z sinγ cosγ 2,4 2,4 1,3 1,3 sinγ cosγ = 2,4 = 2,4 = = (11.3) Lokální koncové síly X, Z, M = M v (11.3) je nutné vyjádit pomocí neznámých geometrických veliin, tj. gloálních prmetr deformce u 1, w 1, ϕ 1, u 2, w 2, ϕ 2. 2.5.2 Vyjádení koncových sil pomocí prmetr deformce Uvžujme prizmtický prut (konstntního prezu) ooustrnn pružn upnutý do styník, umístný v lokální soudnicové soustv x, z (or. 1.8). Nezávisle n so mžeme vyšetit dv stvy, to osové nmáhání píné nmáhání. Kždý zpso nmáhání pitom rozložíme n stv primární (ozníme pruhem) od dného silového ztížení pi nehynosti rámové soustvy, tj. pi neposuvnosti koncových od prutu, sekundární (ozníme stíškou) od píslušných pružných zmn prutu (jko vliv deformního ztížení psoícího v koncích prutu). Upltnním principu superpozice pk získáme výsledný stv. Or. 11.4: Gloální prmetry deformcí lokální koncové síly prutu Osové nmáhání vyvolá koncové osové síly, to primární koncové síly X, X od osového silového ztížení (ešíme silovou metodou, žné pípdy lze njít v tulkách) sekundární koncové síly X ˆ, Xˆ od osové diltce prutu. Výsledné lokální koncové osové síly vyjádené pomocí lokálních prmetr deformce jsou X EA = X ( u u ), l - 14 (7) -
Deformní metod X EA = X + ( u u ). (11.6) l Píné nmáhání vyvolá píné koncové síly koncové momenty, to primární koncové síly M, M, Z, Z (ešíme silovou metodou, žné pípdy lze njít v tulkách) sekundární koncové síly od koncových posunutí w, w koncových pootoení ϕ,ϕ. Sekundární momentové složky ešíme silovou metodou pro deformní ztížení sekundární píné síly získáme upltnním podmínek rovnováhy pro sekundární momentové složky. Výsledné lokální koncové síly vyjádené pomocí lokálních prmetr deformce pk jsou dány výrzy M M Z Z = M = M = Z = Z 2EI + l 2EI + l 6EI + 2 l 6EI + 2 l w w 2ϕ + ϕ 3 l w w ϕ + 2ϕ 3 l w w ϕ + ϕ 2 l w w ϕ + ϕ 2 l (11.9) 2.5.3 Vyjádení lokálních koncových sil pomocí gloálních prmetr deformce Lokální složky posunutí (or. 11.5) u, w vyjádíme pomocí gloálních složek u, w, píslušných celé ešené soustv, pomocí výrz u = u cosγ + wsinγ, w = usinγ + wcosγ (11.1) Or. 11.5: Trnsformce složek posunutí Vzthy (11.6) (11.9) pk nudou tvr X = X EA l [( u u )cosγ + ( w w ) sinγ ] Z 6EI 2 = Z ϕ + ϕ 2 l l [( u u )sinγ ( w w ) cosγ ] - 15 (7) -
Sttik II M X 2EI 3 = M + 2ϕ + ϕ l l = X EA + l [( u u )sinγ ( w w ) cosγ ] [( u u )cosγ + ( w w ) sinγ ] Z M 6EI 2 = Z + ϕ + ϕ 2 l l [( u u )sinγ ( w w ) cosγ ] 2EI 3 = M + ϕ + 2ϕ l l [( u u )sinγ ( w w ) cosγ ] (11.11) 2.5.4 Lokální koncové síly klouov pipojeného prutu Uvžujme prizmtický prut (konstntního prezu) prvostrnn klouov pipojený ke styníku, umístný v lokální soudnicové soustv x, z (or. 1.?). Odoným postupem jko v odst. 2.4.3 získáme lokální koncové síly X Z M X Z = X = Z = M = X = Z EA l 3EI 2 l 3EI + l EA + l 3EI + 2 l [( u u )cosγ + ( w w )sinγ ] 1 ϕ l 1 ϕ l [( u u )sinγ ( w w )cosγ ] [( u u )sinγ ( w w )cosγ ] [( u u )cosγ + ( w w )sinγ ] 1 ϕ l [( u u )sinγ ( w w )cosγ ] 2.5.5 Ilustrtivní oecn ešený píkld pokrování (11.12) Dlší postup ešení ukážeme n díve oecn ešeném píkldu jednoduchého kosoúhlého rámu z or. 11.2. Do podmínky rovnováhy (11.3) dosdíme konkrétní oecné výrzy pro lokální koncové síly vyjádené pomocí gloálních prmetr deformce, to ze vzth (11.11) uríme X, Z M, X, M z výrz (11.12) pk 1,2 Z1,2, M1,2, X 2,1, Z2,1, 2,1 X, M. 2,4 Z2,4, 2,4 1,3 1,3, Výslednou soustvu rovnic vyjádenou v neznámých gloálních prmetrech deformce lze v oecném tvru zpst pehledn do tulky 11.1. 1,3-16 (7) -
Deformní metod T. 11.1: Oecný tvr soustvy rovnic kosoúhlého rámu z or. 11.2 (c i, j = cos γ i, j, s i, j = sin γ i, j ) - 17 (7) -
Sttik II Otázky 1. Význm gloální lokální soudnicové soustvy pi ešení prutové konstrukce. 2. Které veliiny se volí z neznámé jké podmínky se k tomu využívjí? 3. Význm koncových sil (interkcí pro ešení konstrukcí deformní metodou. 4. Vyjádení koncových sil u prutu. 5. Význm primárních sekundárních složek koncových sil. 6. Výhody nevýhody sklární formy. Shrnutí Seznámili jsme se s principem oecné deformní metody. Ukázli jsme si, jk se vytvoí výpotový model prutové konstrukce stnoví poet stup volnosti, tj. poet neznámých složek pemístní sousn i poet rovnic. Ve sklárním tvru jsme v jednotlivých krocích sledovli pevedení oecn zpsných podmínek rovnováhy v uzlu do tvru rozepsného v gloálních složkách pemístní. Sklární tvr je vhodný pouze k ojsnní podstty metody, pro prktické ešení i lgoritmizci je všk málo použitelný. V dlší kpitole proereme mticovou formu oecné deformní metody, použitelnou zejmén ve spojení s výpoetní technikou. - 18 (7) -
Mticová form oecné deformní metody 3 Mticová form oecné deformní metody Pro kždý prut prutové soustvy je k sestvení podmínek rovnováhy ve stynících potené vyjádit gloální koncové síly pomocí gloálních prmetr deformce prutu (3 složky v kždém uzlu). Výhodné ude posléze provést nlýzu n prutu v lokální soudnicové soustv pk pomocí geometrické trnsformce pevést do gloálních složek. 3.1 Anlýz prutu Uvžujme oecn šikmý prut (or. 11.6) ooustrnn monoliticky pipojený do styník s oecným tvrem stednice s oecným ztížením. Or. 11.6: Anlýz ooustrnn monoliticky pipojeného prutu Po uvolnní prutu ze styník psoí n jeho koncích (or. 11.6) celkem šest gloálních složek koncových sil (interkcí). Ty mžeme vyjádit smosttn pro dokonle upnutý prut od vlivu dného silového ztížení (or. 11.6c), tzv. primární stv, v nmž vzniknou primární koncové síly, od vlivu psoení neznámých uzlových deformcí (or. 11.6d) pi pemístní jednotlivých uzl tedy i koncových od prutu, tzv. sekundární stv, v nmž vzniknou sekundární koncové síly. Primární koncové síly závisí n konkrétním dném ztížení, tkže je nemžeme líže specifikovt. Sekundární koncové síly vyjádíme (plikcí principu superpozice úmrnosti) jko lineární funkce gloálních prmetr deformce u, w, ϕ. Superpozicí primárního sekundárního stvu získáme výsledné gloální koncové síly - 19 (7) -
Sttik II X Z M X X X = X = Z = M = X = X = X + k + k 21 + k + k + k + k 11 u 41 51 61 u 31 u u u u + k + k 22 + k + k + k + k 12 42 52 62 w w 32 w w w w + k ϕ + k 13 + k ϕ + k 23 + k ϕ + k + k ϕ + k 43 + k ϕ + k 53 + k ϕ + k 63 33 14 24 u u 44 54 34 64 u u u u + k + k 15 25 + k + k + k + k w + k ϕ w + k ϕ 45 55 35 65 16 26 w + k ϕ w + k ϕ 46 w + k ϕ 56 36 w + k ϕ kde k ij (i, j = 1,, 6) jsou tuhostní souinitele (konstnty úmrnosti). 66 (11.19) Mticov zpíšeme výrzy (11.19) oecn pltným vzthem, pltným pro prut zcel oecného tvru R = R + k r, (11.2) kde zní sloupcový vektor výsledných gloálních koncových sil prutu { X, Z, M, X, Z, M } T R =, (11.21) sloupcový vektor primárních gloálních koncových sil prutu { X } T, Z, M, X, Z, M R =, (11.22) tvercovou gloální mtici tuhosti prutu k11 k12 k13 k14 k15 k16 k21 k22 k23 k24 k25 k26 k 31 k32 k33 k34 k35 k36 k = (11.23) k41 k42 k43 k44 k45 k46 k 51 k52 k53 k54 k55 k56 k61 k62 k63 k64 k65 k66 sloupcový vektor gloálních prmetr deformce prutu { u, w, ϕ, u, w, ϕ } T r =. (11.24) Pímé urení gloálního vektoru (11.22) gloální mtice (11.23) oecn umístného prutu je otížnjší. Jednodušeji se relizuje v lokální soudnicové soustv x z. 3.2 Anlýz pímého prutu v lokální soudnicové soustv Pro oecn šikmý prut umístný v gloální soustv xz zvolíme poátek prutu, ímž je definován lokální soudnicová soustv xz (or. 11.7). Orientovný úhel γ odmujeme po smru chodu hodinových ruiek od kldné gloální osy x ke kldné lokální ose x. - 2 (7) -
Mticová form oecné deformní metody Or. 11.7: Orientce prutu Pro pruty r zn pipojené se v lokální soudnicové soustv odvodí prvky lokálního primárního vektoru prvky lokální mtice tuhosti. Získáme je ešením jednoduchého stticky neuritého nosníku silovou metodou. Jko zákldní soustvu v silové metod volíme prostý nosník. Uríme zákldní deformní souinitele prutu (míry poddjnosti prutu), to od silového ztížení osového, je to koncová osová diltce δ, píného, což jsou koncová pootoení ϕ, ϕ, od jednotkových koncových úink (deformní ztížení), které vyjdují petvárné vlstnosti prutu (uvžujeme je v solutní hodnot) koncová osová diltce δ 1, koncová pootoení α, α, β. Zákldní deformní souinitele uríme np. z Mxwellov Mohrov vzthu. Postupn vyšetíme oecné pípdy neprizmtického prutu ooustrnn monoliticky pipojeného jednostrnn klouov pipojeného ooustrnn klouov pipojeného Zjednodušíme pk n pípdy prizmtického prutu rzn pipojeného. 3.2.1 Prut ooustrnn monoliticky pipojený Primární stv uríme pro prut n oou koncích nehyn upnutý, piemž n prut psoí dné silové ztížení. Zákldní petvárn uritý pípd je tikrát stticky neuritý eší se silovou metodou (3 petvárné podmínky 3 podmínky rovnováhy). Koncové síly (interkce) pk tvoí lokální primární vektor (lišící se podle druhu ztížení) { X Z, M, X, Z, M,} T R =. (11.25), - 21 (7) -
Sttik II Prvky vektoru (11.25) pedstvují lokální primární koncové osové síly X X, primární koncové píné síly Z Z primární koncové momenty M, M,,. ešení složek koncových sil provedeme silovou metodou. Pro osové ztížení upltnním píslušné petvárné podmínky vychází δ δ X = (11.27) 1 ze silové podmínky rovnováhy pk získáme X = X δ R = R δ 1 (11.3) Pro píné ztížení sestvíme dv petvárné podmínky, jejichž oecné ešení je M M ϕα ϕβ = 2 α α β ϕβ ϕα = α α β 2 ze dvou momentových podmínek rovnováhy dostneme (11.29) Z = Z, M, Z = Z + M (11.31), kde Z Z pedstvují svislé složky rekcí zákldní soustvy (prostého,,, nosníku) dále pltí pro momentový doplnk 1 ( α + β ) ϕ ( α + β ) ϕ M = ( M + M ) = (11.32) 2 l ( α α β ) l Primární vektor ooustrnn dokonle upnutého prutu oecn promnného prezu pk má tvr (11.33) - 22 (7) -
Mticová form oecné deformní metody Or. 11.12: Jednotkové deformní stvy ooustrnn monoliticky pipojeného prutu Sekundární stv vyšetujeme pro prut neztížený, jehož koncm se postupn udlují lokální deformce (ve smyslu lokálních složek prmetr deformce) { u w, ϕ, u, w, ϕ } T r =. (11.34), To vyvolá sekundární koncové síly. Udlíme-li jednotkové deformce (or. 11.12), lze koncové síly sestvit do mtice k k 11 14 k k k k 22 23 25 26 k k k k 32 33 35 36 k =, (11.37) k k 41 44 k k k k 52 53 55 56 k k k k 62 63 65 66-23 (7) -
Sttik II která pedstvuje lokální mtici tuhosti ooustrnn upnutého prutu. Nulové prvky v mtici (11.37) jsou dsledkem nezávislého vlivu osových posun u u píných posun w w s pootoeními ϕ ϕ.,,, Ukžme si odvození prvk lokální mtice tuhosti ooustrnn upnutého prutu. Uvolnnému prutu postupn udlíme jednotkové velikosti lokálních prmetr deformce (or. 11.12). Silovou metodou postupn vyšetíme šest deformních stv, jimiž jsou vyvolné lokální sekundární koncové síly (rzných fyzikálních rozmr). První deformní stv ( u = 1) vede n petvárnou podmínku, z níž plyne 1 1 k 11 = (11.39) δ Ze silové podmínky rovnováhy pk uríme 1 k 41 = k11 = (11.4) δ 1 Druhý deformní stv ( w = 1) vede k prutové výchylce. ešením petvárných podmínek získáme z rovnováhy pk (11.43) (11.44) Tetí deformní stv ( ϕ = 1) vede n petvárné podmínky, jejichž ešením dostneme z rovnováhy (11.46) tvrtý ž šestý deformní stv ešíme nlogicky. (11.47) Lokální mtice tuhosti ooustrnn upnutého prutu oecn promnného pr- ezu má tvr - 24 (7) -
Mticová form oecné deformní metody kde hodnot determinntu je (11.48) D = α α β 2. (11.49) Mtice tuhosti (11.48) je symetrická (dsledek Bettiho vty) je tvoen sedmi rznými prvky, vyjádenými pomocí deformních souinitel δ 1, α, α, β délkou l. 3.2.2 Prut prvostrnn klouov pipojený Primární stv se eší n levostrnn vetknutém prvostrnn klouov uloženém nosníku sekundární stv n prvostrnn klouov ukoneném prutu podon jko v odst. 3.2.1. Primární vektor prvostrnn klouov pipojeného prutu oecn promnného prezu má tvr (11.54) Lokální mtice tuhosti prvostrnn klouov pipojeného prutu oecn promnného prezu je - 25 (7) -
Sttik II (11.62) 3.2.3 Prut ooustrnn klouov pipojený Podon uríme pro prut ooustrnn klouov pipojený primární vektor lokální mtice tuhosti (11.66) U píhrdové konstrukce s pouze styníkovým ztížením pk je R =. (11.68) 3.3 Prut konstntního pr ezu V odst. 3.2 yly odvozeny primární vektory (11.33), (11.54), (11.66) lokální mtice tuhosti (11.48), (11.62), (11.68). Pltí pro pruty rzným zpsoem upnuté s oecn promnným pr ezem. Jsou vyjádeny pomocí zákldních deformních souinitel δ 1, α, α, β prostého nosníku (v solutní hodnot) souinitel δ, ϕ, ϕ veliin R, Z Z od dného silového ztížení prostého nosníku.,,, Prizmtický prut (prut konstntního prezu, prut stálého prezu, prut nepromnného prezu) má A = konst. I = konst. Podle principu virtuálních - 26 (7) -
Mticová form oecné deformní metody prcí (Mxwellov-Mohrov vzthu) ešíme deformní souinitele jko petvoení zákldní soustvy (prostého nosníku). Pro osovou poddjnost pltí l δ 1 = (11.69) EA pro ohyovou poddjnost (zákldní deformní úhly) je l α l α = α = α =, β = =. (11.7) 3EI 2 6EI Pomocí nich mžeme sestvit pímo použitelné tvry lokálních mtic tuhosti prutu konstntního prezu, viz tulk 11.3. Dále pomocí (11.69) (11.7) vyjádíme úprvou vzth (11.3) (11.27) osové koncové síly z výrz (11.29) koncové momenty ooustrnn monoliticky pipojeného prutu; odon i prvostrnn klouov pipojeného prutu. Tkto uprvené vzthy všk oshují souinitele δ, ϕ, ϕ závislé n konkrétním dném silovém ztížení. Npíkld pro plné spojité rovnomrné ztížení psoící po stednici prutu (rozložené n osové n = konst. píné q = konst.) získáme dále 1 nl 2 δ = (11.74) 2 EA 3 1 ql ϕ = ϕ =, (11.75) 24 EI R = nl, Z 1 = Z, = ql. (11.76) 2, Pomocí nich sestvíme pímo použitelné tvry primárních vektor koncových sil prutu konstntního prezu, viz tulk 11.2. Velmi sto využíváme tulky primárních moment (event. i rekcí neo posouvjících sil) ooustrnn i jednostrnn dokonle vetknutého nosníku konstntního prezu (np. tulky 14.1 14.11 n str. 416 42 uenice [1]). Ovykle je nutné pizpsoit telární výrzy konvenci použité pi ešení oecnou deformní metodou. 3.4 Geometrická trnsformce do gloální soustvy Pruty v prutové soustv jsou uspoádány zcel liovoln. S výhodou se vyšet- ují v lokálních soudnicových soustvách. Prmetry deformce (složky pemístní u, w, ϕ) jsou gloální pro celou ešenou konstrukci (or. 11.2). Proto je nutné použít geometrickou trnsformci. Prutu písluší vektor gloálních prmetr deformce { u, w, ϕ, u, w, ϕ } T r =. (11.9) Vzájemný pevod prmetr deformce znázoruje or. 11.5. Pltí vzthy (11.1) opn je - 27 (7) -
Sttik II u = u cosγ w sinγ, w = u sinγ + w cosγ, (11.91) piemž ϕ = ϕ. (11.92) Or. 11.2: Gloální lokální prmetry prutu Podle (11.1) (11.92) lze trnsformci zpst mticov r = T r (11.93) Trnsformní mtice T definuje geometrickou závislost lokálních složek n gloálních, tkže T cos γ sin γ = sin γ cos γ 1 cos γ sin γ Podle vzth (11.91) (11.92) pltí orácen Rovnž pltí 1 T sin γ cos γ 1 (11.94) r = T r = T r. (11.95) 1 T 1 T = T T T = E,. Úspornjší zápis (11.94) mžeme provést pomocí sumtic, tkže pltí T t t T T =, T = (11.96) T t t cosγ sinγ t = sinγ cosγ (11.97) 1 V numerických výpotech rovnž využijeme vzthy z z x x s = sin γ =, c = cosγ = (11.98) l l l 2 2 = ( x x) + ( z z) (11.99) - 28 (7) -
Mticová form oecné deformní metody r u w ϕ = = Tr u w ϕ uc + ws us + wc ϕ = uc + w s u + s wc ϕ (11.1) 3.4.1 Trnsformce pro složky koncových sil Vektor výsledných lokálních koncových sil, získný pi nlýze prutu, má tvr { X, Z, M, X, Z, M } T R = (11.11) Anlogicky ke vzthm (11.93) (11.95) pltí R = T 1 = R T (11.12) R T R = T R. (11.13) Pitom pro momentové složky pltí M = M. Odon i pro sekundární vektory R ˆ = T Rˆ = T k r = T k T r = k r, (11.14) T T T kde k je gloální mtice tuhosti prutu k T = T k T. (11.15) Gloální mtice tuhosti prizmtických prut jsou explicitn vyjádeny v tulce 11.4. V numerických výpotech mžeme vyjádit gloální primární vektor vzthem X X c Z s + Z X s Z c M T M R = = T R = (11.16) X X c Z s Z X s + Z c M M Pro vyíslení gloální mtice tuhosti ooustrnn upnutého prutu (t. 11.4()) je vhodné pedem vypoítt koeficienty EA 2 12EI 2 EA 12EI 6EI K = c + s, K2 = cs, K 3 3 3 = 2 l l l l l 1 s EA 2 12EI 2 6EI 4EI K6 K 4 = s + c, K5 = c, K6 =, K 3 2 7 = (11.145) l l l l 2 pro prut jednostrnn klouov ukonený (t. 11.4()) koeficienty, - 29 (7) -
Sttik II EA 2 3EI 2 EA 3EI 3EI K = c + s, K 2 = cs, K 3 3 3 = 2 l l l l l K 1 s EA 2 3EI 2 3EI 3EI = s + c, K5 = c, K 3 2 6 (11.146) l l l l 4 = 3.4.2 Trnsformce u prvoúhlých rám V tchto pípdech se trnsformce podsttn zjednoduší. Trnsformní mtice T (11.94) resp. t (11.97) oshuje jen hodnoty, 1 1. Vodorovný prut pi x x má γ = (tedy sin γ =, cos γ = 1), tkže proto T = T T = E (11.17) r = r =. (11.18), R = R, R = R, k k U svislého prutu lze osu x lze volit dvm zpsoy. V pípd, že os x smuje dol, pltí γ = π / 2 (sin γ = 1, cos γ = ) mtice (11.97) má tvr 1 t = 1. (11.19) 1 V pípd, že os x smuje nhoru, je γ = 3π / 2 (sin γ = 1, cos γ = ) mtice (11.97) má tvr 1 t = 1. (11.11) 1, 3.5 Gloální vektory prutové soustvy V nlýze prutové soustvy písluší gloální mtice vektory prutové soustvy celé ešené prutové soustv (konstrukci). Pro ukázkový pípd ešení rámu (or. 11.2) máme pitom dv možnosti voly výpotového modelu, to pi n p = 6 volíme prut 2 4 jko prvostrnn klouov ukonený smluvn pltí ϕ 4 =. Pi n p = 7 uvžujeme prut 2 4 jko ooustrnn monoliticky pipojený, tkže ϕ 4 je dlší neznámý prmetr deformce. Gloální vektor prmetr deformce r oshuje všechny volné gloální složky pemístní uzl celé prutové soustvy, sestvuje se v podí íslování uzl (vetn podporových od) pro kždý i tý uzel je stejné podí prmetr u i, w i, ϕ i. Používjí se v podstt dv vrinty gloálního vektoru prmetr deformce, to: První vrint (zkrácená), v níž se vázné (nulové) prmetry deformce neuvžují. Vektor r má rozmr (n p, 1) neoshuje nulové leny. Úložné - 3 (7) -
Mticová form oecné deformní metody podmínky jsou již upltnny. Ttáž konstrukce pi rzných úložných podmínkách pedstvuje jiné ešení. Druhá vrint (nezkrácená), v níž se uvžují všechny prmetry deformce všech uzl (vetn podporových od). Vektor r má rozmr (3n, 1), kde n je celkový poet uzl podporových od oshuje všechny složky pemístní uzl podporových od, tj. i leny s nulovou hodnotou. Úložné podmínky se upltují dodten ž po sestvení soustvy rovnic. Tímto zpsoem lze ešit jednu konstrukci pi rzných úložných podmínkách jko jediné zdání ešené prutové soustvy (používá se np. v systému AN- SYS). V uvedeném píkldu z or. 11.2 je pi zkrácené (první) vrint pi n p = 6 resp. n p = 7 je r = {u 1, w 1, ϕ 1, u 2, w 2, ϕ 2 } T, (11.13) r = {u 1, w 1, ϕ 1, u 2, w 2, ϕ 2, ϕ 4 } T, (11.14) pi nezkrácené (druhé) vrint pk r = {u 1, w 1, ϕ 1, u 2, w 2, ϕ 2, u 3, w 3, ϕ 3, u 4, w 4, ϕ 4 } T. (11.16) Vektor (11.13) souhlsí se záhlvím tulky 11.1. Vynecháním nulových prmetr n 7. ž 11. pozici (resp. n 12. pozici) v dsledku vze pejde (11.16) n (11.14), resp. n (11.13). Gloální vektor uzlového ztížení S má stejný rozmr strukturu jko vektor r. Oshuje osmlé silové momentové ztížení psoící v uzlech. Jsou to kldné síly momenty psoí n kldných smyslech posunutí pootoení. Síly momenty psoící v podporách jsou zchyceny vnjšími vzmi pi ešení se neupltní. V uvedeném píkldu z or. 11.2 je pi zkrácené (první) vrint s n p = 6 S = {,,,, F 2, } T (11.15) pi nezkrácené (druhé) vrint S = {,,,, F 2,,,,,,, } T (11.17) Vektor (11.15) je souástí prvé strny v tulce 11.1. 3.5.1 Gloální mtice vektory prutu Gloální mtice vektory prutu píslušejí gloální soudnicové soustv, v níž je popsán celá ešená konstrukce. Pro kždý prut se výhodn v lokální soudnicové soustv získá lokální primární vektor R lokální mtice tuhosti k. Pro komplexní vyjádení spoleného úinku všech prut je nutné geometrickou trnsformcí vytvoit gloální vektor primárních koncových sil R gloální mtici tuhosti k. - 31 (7) -
Sttik II 3.5.2 Soustv rovnic Z gloálních vektor R mtic k jednotlivých prut sestvíme loklizcí soustvu lineárních lgerických rovnic Kr = F (11.14) kde K je (gloální) mtice tuhosti prutové soustvy (n p, n p ), r (gloální) vektor prmetr deformce prutové soustvy (n p, 1), F je ztžovcí vektor prutové soustvy (n p, 1), tj. prvá strn. Kždá rovnice soustvy (11.14) pedstvuje jednu silovou (i momentovou) podmínku rovnováhy. V nezkrácené (druhé) vrint se v rozmrech vektor mtic nhrdí prmetr n p velikostí 3n. Prvou strnu F soustvy rovnic vytvoíme superpozicí rzn definovných úink podle vzthu F = S R, (11.141) kde S je gloální vektor uzlového ztížení, který oshuje osmlé silové momentové složky ztížení psoící v uzlech, ve smrech kldných smyslech gloálních prmetr deformce, np. pro o uvádné vrinty ve tvrech (11.15) 11.17), R je primární vektor prutové soustvy, jenž zhrnuje vliv silového ztížení prut prostednictvím gloálních primárních koncových sil; záporné znménko vyjduje, že gloální koncové síly je nutné pevést n uzlové síly. Or. 11.25: Loklizce mtice tuhosti rámu - 32 (7) -
Mticová form oecné deformní metody 3.6 Loklizce Loklizce se používá k urení primárního vektoru R mtice tuhosti K celé prutové soustvy. Prvky mtic k se umístí n odpovídjící míst mtice K (levé strny rovnic) podle pozice jednotlivých neznámých prmetr deformce prvky vektor R n odpovídjící míst vektoru R pro urení úinku ztížení prut n prvé strn. Postup je tkový, že se pro kždý prut seství vektor gloálních prmetr deformce r postupn se zprcují všechny pruty, piemž nezáleží n jejich podí. Názorn si ukžme loklizci n píkldu kosoúhlého rámu (or. 11.2) v lterntiv s ϕ 4 n p = 7. Gloální vektor prmetr deformce prutové soustvy je T r = u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2, ϕ4, (11.142) 1 2 3 4 5 6 7 kde íslice pedstvují loklizní indexy. Uzly 1 4 mjí oíslovány prmetry deformce tkto: (1, 2, 3), (4, 5, 6), (,, ), (,, 7). Kódové íslo prutu pedstvuje šestici ísel, definující podí gloálních prmetr deformce oou konc prutu. Pro pruty 3 1, 1 2, 2 4 jsou vektory gloálních prmetr deformce r r 3,1 2,4 = = jejich kódová ísl jsou T {,,, u1, w1, ϕ1}, r1,2 = { u1, w1, ϕ1, u2, w2, ϕ2} { u, w, ϕ,,, ϕ } T 2 2 2 4 T (11.143) (,,, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6,,, 7). (11.144) Or. 11.26: Loklizce primárního vektoru rámu Dvojice loklizních index (i, j) podle oznení ádk sloupc mtice prutu k (or. 11.25) pedstvuje dresu pro pizení prvku do mtice tuhosti kon- - 33 (7) -
Sttik II strukce K. Existuje i velmi názorná (le prkticky nerelizovtelná) pedstv, to vytvoení loklizovných mtic K (n p, n p ) stejného rozmru jko gloální mtice tuhosti jejich následná superpozice do výsledné mtice K, jk znázoruje or. 11.25. Loklizce ztžovcího vektoru proíhá nlogicky (viz or. 11.26), pi- emž loklizní index pedstvuje pouze oznení ádku vektoru. 3.7 Dokonení ešení prut Pi dokonení ešení prut se vrcíme zpt k nlýze prutu. ešením soustvy rovnic (11.14) jsme získli vektor gloálních prmetr deformce prutové soustvy r (n p, 1). Pro kždý prut vyereme z tohoto vektoru r podle kódového ísl prutu gloální vektor prmetr deformce prutu r (6, 1) podle or. 11.4 ve tvru (11.9), v nmž prmetry deformce u i, w i, ϕ i mjí již konkrétní íselné hodnoty. Nulový loklizní index pedstvuje nulovou hodnotu složky pemístní (vnjší vz neo nesledovný prmetr). Lokální vektor složek deformcí n prutu (11.9) uríme podle trnsformního vzthu (11.93), pop. mžeme pi numerickém ešení využít explicitního vyjádení (11.1). 3.7.1 Výpoet koncových sil pr hy vnitních sil Vektor lokálních složek koncových sil vyešíme z lokálního primárního vektoru (viz tulk 11.2), lokální mtice tuhosti (viz tulk 11.3) z lokálního vektoru známých složek deformcí (11.93) ze vzthu R = R + k r. (11.89) Jiná vrint ešení spoívá v tom, že pomocí r se ze vzthu R R + R = R + = ˆ k r (11.139) urí vektor R teprve pk se trnsformuje podle vzthu (11.12) n lokální vektor R. N uvolnném prutu necháme psoit jk dné silové ztížení, tk koncové síly (interkce). N zákld tchto údj vykreslíme pr hy všech složek výslednice vnitních sil N, V, M. Konvence pro jejich vynášení je n or. 11.4. 3.7.2 Pružná deformce prutu Pružnou deformci liovolného prutu mžeme urit jko reltivní deformci n vyjmutém prutu povžovném z prostý nosník i konzolu se silovým ztížením koncovými rekcemi v lokální soudnicové soustv (metodmi pro ešení petvoení stticky uritých nosník), celkovou deformci ve vyrném prezu vzhledem ke gloální soudnicové soustv, to pidáním deformce prutu jko tuhého celku od petvo- ení koncových od (uzl) k pružné lokální deformci (po trnsformci); - 34 (7) -
Mticová form oecné deformní metody nejjednodušší je pidání ndyteného uzlu pímo do míst hledné deformce (i když n úkor vtšího potu neznámých). 3.7.3 Výpoet rekcí kontrol ešení Pro urení gloálních složek rekcí kontrolu ešení celé prutové soustvy pomocí podmínek rovnováhy v uzlech musíme znát u kždého prutu vektor gloálních složek koncových sil, získný np. trnsformcí R = T R = T R (11.13) 1 T neo výpotem z gloálního vektoru složek deformcí prutu (11.139). Výpoet rekcí se liší podle toho, zd podporový od je koncem prutu, pk vektor R poskytne interkce, tj. gloální složky rekcí (ve vektoru r v kódovém ísle jim odpovídjí nuly), pedstvuje ukonení více prut (or. 11.27); pk se z konc jednotlivých prut se pevezmou gloální interkce do uzlu ve vetknutí se seství ti sttické podmínky rovnováhy pro ti složky rekcí, v pevném klouu pk dv podmínky rovnováhy. Jko kontrolu provedeme posouzením vyešeného deformního stvu z gloálního vektoru r, rovnováhu gloálních koncových sil v uzlech (or. 11.1), sttickou rovnováhu celé prutové soustvy podle zdného ztížení vypotených složek rekcí. Or. 11.27: Výpoet složek rekcí ve vetknutí Nejstjší chyy, které se pi ešení prutové soustvy oecnou deformní metodou vyskytují, jsou pi zdávání (korektn se vyeší jiný výpotový model), tj. zdjí se jiné fyzikáln geometrické vlstnosti, jiné úložné podmínky (vzy), event. jink psoící ztížení (zmn znménk), pi runím ešení (mže nstt chy v kterémkoli kroku výpotu), nejstji jsou to chyn urená znménk goniometrických funkcí pro trnsformci, nesprávn sestvené mtice vektory prut, chyné ešení soustvy rovnic i chyný výr hodnot prmetr deformce prutu td. - 35 (7) -
Sttik II 3.8 Numerické píkldy 3.8.1 Prvoúhlý rám Píkld 3.1 Zdání Vyešte jednoduchý prvoúhlý rovinný rám (or. 11.34) s pruty konstntního prezu modulem pružnosti E = 2 1 7 kp. Sloupy mjí prezovou plochu A = 6 1 2 m 2 moment setrvnosti I = 4 1 4 m 4, píel má A = 9 1 2 m 2, I = 12 1 4 m 4. Rám je ztížen uzlovými silmi F 1 = 4 kn, F 2 = 5 kn, F 3 = 1 kn spojitým rovnomrným ztížením q = 3 knm 1 n píli. ešení Or. 11.34: Jednoduchý prvoúhlý rám Uvžujme prut 2 4 jko levostrnn klouov uložený. Protože u 3 = w 3 = ϕ 3 = u 4 = w 4 = ϕ 4 =, stupe petvárné neuritosti n p = 6 vektor uzlových prmetr deformce rámové soustvy je r = {u 1, w 1, ϕ 1, u 2, w 2, ϕ 2 } T. Vektor uzlového ztížení rámu má tvr Prut 3 1: S = {F 1, F 2,,, F 3, } T = {4, 5,,, 1, } T. r 3,1 = {,,, u 1, w 1, ϕ 1 } T, kódové íslo (,,, 1, 2, 3), l 3,1 = 4 m, c 3,1 =, s 3,1 = 1, A 3,1 = 6 1 2 m 2, I 3,1 = 4 1 4 m 4, R = = {,,,,, } T. R 3,1 3,1 Rozdílné prvky pro lokální mtici tuhosti podle tulky 11.3() jsou EA/l = 3, 2EI/l = 4, 4EI/l = 8, 6EI/l 2 = 3, 12EI/l 3 = 1 5 podle vzth (11.145) získáme K 1 = 1 5, K 2 =, K 3 = 3, K 4 = 3, K 5 =, K 6 = 8, K 7 = 4, - 36 (7) -
Mticová form oecné deformní metody tkže mtice tuhosti pouze s prvky potenými k loklizci je Prut 1 2: r 1,2 = {u 1, w 1, ϕ 1, u 2, w 2, ϕ 2 } T, kódové íslo (1, 2, 3, 4, 5, 6), l 1,2 = 6 m, c 1,2 = 1, s 1,2 =, A 1,2 = 9 1 2 m 2, I 1,2 = 12 1 4 m 4. Podle tulky 11.2() pro q = 3 knm 1 n = uríme R = = {, 9, 9,, 9, 9} T. R 1,2 1,2 Pro mtici tuhosti podle tulky 11.3() vypoteme EA/l = 3, 2EI/l = 8, 4EI/l = 16, 6EI/l 2 = 4, 12EI/l 3 = 1 333,33 pk Prut 4 2: r 4,2 = {,,, u 2, w 2, ϕ 2 } T, kódové íslo (,,, 4, 5, 6), l 4,2 = 3 m, c 4,2 =, s 4,2 = 1, A 4,2 = 6 1 2 m 2, I 4,2 = 4 1 4 m 4, R = = {,,,,, } T. R 4,2 4,2 Do tulky 11.3(c) poteujeme EA/l = 4, 3EI/l = 8, 3EI/l 2 = 2 666,66; 3EI/l 3 = 888,88 pro tulku 11.4(c) podle vzth (11.146) vyíslíme K 1 = 888,88; K 2 =, K 3 = 2 666,66; K 4 = 4, K 5 =, K 6 = 8, tkže - 37 (7) -
Sttik II Anlýz prutové soustvy vychází ešením soustvy rovnic (11.14) získáme vektor gloálních prmetr deformce Z vektoru r stnovíme výrem pomocí kódových ísel vektory gloálních pemístní prut r 3,1, r 1,2 = r r 4,2. Pro svislé pruty 3 1, 4 2 je podle 1,2 (11.1) pevedeme do lokálních tvr. Z rovnice (11.89) pk získáme vektory lokálních koncových sil jednotlivých prut: - 38 (7) -
Mticová form oecné deformní metody V podporových prezech 3 4 jsou pímo vypoteny složky rekcí, le vzhledem k lokálním soudnicovým soustvám jednotlivých prut (or. 11.35d). V uzlech 1 2 pk sndno mžeme zkontrolovt gloální rovnováhu. Prhy složek vnitních sil velikosti složek rekcí vnjších vze rámu jsou uvedeny n or. 11.35. Or. 11.35: Digrmy vnitních sil rekce prvoúhlého rámu - 39 (7) -
Sttik II 3.8.2 Nosník s vnitním klouem Píkld 3.2 Zdání Vyešte ooustrnn vetknutý nosník s vnitním klouem z or. 11.38. Nosník je konstntního prezu (A =,18 m 2, I = 3 1 3 m 4 ) s modulem pružnosti E = 2 1 7 kp se ztížením q = 4 knm 1, F = 5 kn, M = 8 knm. ešení Uvžujme o pruty ooustrnn monoliticky pipojené (or.11.38). Vzhledem k senci osového ztížení je u 2 =. Vložený klou v uzlu 2 zpsoí rozdílná pootoení oou pipojených prut, tedy ϕ 2,1 ϕ 2,3. Kždé z nich je pk ozneno jiným íslem prmetru deformce. Stupe petvárné neuritosti je n p = 3 vektor uzlových prmetr deformce je r = {w 2, ϕ 2,1, ϕ 2,3 } T. Or. 11.38: Pímý nosník s vnitním klouem - 4 (7) -
Mticová form oecné deformní metody Prut 1 2: r 1,2 = {,,,, w 2, ϕ 2,1 } T, kódové íslo (,,,, 1, 2). Pro l 1,2 = 5 m, q = 4 knm 1 n = je podle tulky 11.2() R = = {; 1; 8,33;, 1; 8,33} T. R 1,2 1,2 Pomocí EA/l = 72, 2EI/l = 24, 4EI/l = 48, 6EI/l 2 = 14 4 12EI/l 3 = 5 76 sestvíme podle tulky 11.3() Prut 2 3: r 2,3 = {, w 2, ϕ 2,3,,, } T, kódové íslo (, 1, 3,,, ). Podle tulky 11.2(d) pro M = 8 knm, l = 4 m, = = 2 m vyjádíme R = = {, 3, 2,, 3, 2} T. R 2,3 2,3 S hodnotmi EA/l = 9, 2EI/l = 3, 4EI/l = 6, 6EI/l 2 = 22 5, 12EI/l 3 = 11 25 uríme z tulky 11.3() Pro celou prutovou soustvu získáme loklizcí ešení soustvy rovnic je r = {2,41347;,549493;,937213} T 1 3. Lokální vektory koncových sil oou prut podle (11.89) pk vycházejí R 1,2 = {; 15,971; 29,854; ; 4,29; } T, R 2,3 = {; 9,29; ; ; 9,29; 28,116} T - 41 (7) -
Sttik II pomocí nich jsou vykresleny digrmy V, M schém složek rekcí n or. 11.38c e. Pokud ychom urovli pouze jedno z pootoení ϕ 2,1 neo ϕ 2,3, potom druhý prut než je ten, u nhož hledáme pootoení, se uvžuje jko klouov pipojený do uzlu 2. Chceme-li dný nosník ešit s co nejmenším potem rovnic, volíme jinou vrintu ešení s om pruty klouov pipojenými (odst. ) ke styníku 2 (or. 11.38f) s nulovými smluvními hodnotmi pro pootoení ϕ 2,1 = ϕ 2,3 =. Pk vystíme pouze s jedinou rovnicí, neo v uzlu 2 zude jen svislý posuv w 2 je tedy n p = 1, r = {w 2 }. Pro o pruty jednostrnn klouov pipojené vyjde Z toho získáme K = {4,2525} 1 3 ; F = S R = {5} { 7,5 +2,25} = 1,25; 1,25 r = {w 2 } = = 2,41347 1 3 m 3 4,2525 1 vektory koncových sil vyjdou stejn jko v pvodní vrint. Otázky 1. Výhody nevýhody mticové formy deformní metody. 2. Jednotlivé fáze ešení prutové soustvy deformní metodou. 3. Co pedstvuje nlýz prutu v jké soudnicové soustv se relizuje? 4. Mticový zápis výrz pro složky koncových sil; význm jednotlivých vektor mtic. 5. Pi jkém uložení prutu se vyšetuje primární sekundární stv? 6. Význm primárního vektoru. 7. Význm jednotlivých sloupc mtice tuhosti prutu zpso urení jejich prvk. - 42 (7) -
Mticová form oecné deformní metody 8. Pro jsou v lokální mtici tuhosti pímého prutu nkteré prvky nulové? 9. Co je píinou symetrie mtice tuhosti prutu? 1. Pro se pootoení u klouového pipojení jednostrnn klouov uloženého prutu nemusí uvžovt jko neznámý prmetr deformce? 11. Jkou závislost definuje trnsformní mtice; jk se urí gloální primární vektor gloální mtice tuhosti prutu? 12. Zjednodušení pi trnsformci u prvoúhlého rámu. 13. Princip sestvení soustvy rovnic pro urení neznámých gloálních prmetr deformce. 14. Postup loklizce význm kódového ísl. 15. Které prmetry deformce se využijí k výpotu koncových sil? 16. Možnosti výpotu gloálních složek rekcí. 17. Kdy je výhodné modelovt pro klouovou podporu prut jednostrnn klouov ukonený? 18. Možnosti modelování vnitního klouu v rámu. 19. Lze ešit zákldní petvárn uritý pípd prutu jednostrnn monoliticky pipojeného deformní metodou? Shrnutí Odvození potených vzth, mtic vektor v oecné deformní metod je ponkud zdlouhvé n první pohled mén pehledné. Vlstní lgoritmus ešení prutové soustvy oecnou deformní metodou je všk velmi pehledný, sndno lgoritmizovtelný mžeme ho shrnout do tchto od: Anlýz prut urení lokálních vektor mtic prut R, k, geometrická trnsformce do gloálních soudnic (mtice T ), urení gloálních vektor mtic prut R, k. Anlýz prutové soustvy urení mtice tuhosti celé konstrukce prvé strny K, F, ešení soustvy rovnic (podmínek rovnováhy) získání vektoru r. Anlýz prut výr gloálních prmetr deformce prutu r, urení lokálních prmetr deformce prutu urení vektoru lokálních koncových sil vykreslení pr h N, V, M, R, urení vektoru gloálních koncových sil R. r, - 43 (7) -
Sttik II Kontrol ešení prutové soustvy gloální rovnováh ve stynících podle rovnic (1.4), resp. (1.5), urení gloálních složek rekcí, gloální rovnováh prutové soustvy (ztížení rekce). N rozdíl od silové metody, která využívá stticky uritou zákldní soustvu, se v oecné deformní metod eší nprosto stejným lgoritmem prutové konstrukce stticky urité i stticky neurité. Pltí to zejmén pi použití progrmu. Pi runím ešení ychom vzhledem k náronosti oecné deformní metody ešili stticky uritou konstrukci pouze s využitím podmínek rovnováhy. Pi ešení prutové konstrukce deformní metodou je vždy vhodné zkontrolovt i sttickou neuritost, ychom omylem nezdávli do progrmu i neešili rušn mechnismus. - 44 (7) -
Dlší možnosti ešení 4 Dlší možnosti ešení V této kpitole se strun zmíníme o nkterých lterntivních ešení i vrintách, s nimiž se mžeme pi použití oecné deformní metody tké setkt. Uvedeme rovnž dlší možnosti, jko je np. vliv deformního ztížení, pop. specifikujeme možnosti ešení u jiných typ prutových konstrukcí, než yly díve citovné rámové soustvy. Poslední poznámk se ude týkt zákldních úprv pro zjednodušenou deformní metodu s podsttnou redukcí potu rovnic. 4.1 Jiný tvr gloální mtice vektoru prutu V odst. 3.5 jsme uvedli, že se používjí dv vrinty vytvoení gloálních vektor, to vrint zkrácená, u níž se uvžují jen volné gloální prmetry deformce poet neznámých je n p, vrint nezkrácená, u níž se uvžují prmetry všech uzl vetn podporových od poet neznámých je 3n. Nezkrácenou vrintu si osvtlíme n oecn ešeném píkldu rámu z or. 11.2. Pro 4 uzly podporové ody se sestvuje vyšší poet rovnic, to n p = 3n = 12. Kždý uzel má vždy celou trojici ísel pro prmetry deformce, tkže v píkldu je (1, 2, 3), (4,5,6), (7, 8, 9), (1, 11, 12). Podtržená ísl neznámých pedstvují vázné prmetry (úložné i okrjové podmínky). Vektory prmetr deformce (11.16) uzlových sil (11.17) mjí rozmry 3n. R pk proíhá pod- Loklizce mtice K z mtic k vektoru R z vektor le kódových ísel (7, 8, 9, 1, 2, 3), (1, 2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 1, 11, 12). Soustv rovnic (11.14) v potu 3n všk nemá jednoznné ešení, neo mtice K je singulární její determinnt je roven nule. Je to dsledek dosud neupltnných úložných podmínek (konstrukce ztím není nehyná). Pro zjištní regulární mtice tuhosti se soustv rovnic musí uprvit. Ovykle se ponechá pvodní rozmr mtice K i vektoru F, le dodten se ošetí vliv uložení. Relizuje se tk, že kždý ádek odpovídjící vz v mtici K ve vektoru F se vynuluje, z dvodu symetrie K se vynulují i odpovídjící sloupce, do digonálního prvku mtice K se pidí 1, vytvoí se vlstn podmínky rovnováhy formou triviální rovnice r i 1 =. Podronosti vetn grfického ztvárnní uvedeného postupu lze nlézt v uenici [1] n str. 286 287. - 45 (7) -
Sttik II 4.2 Spojitý nosník Vodorovný spojitý nosník se v zásd eší jko kterákoliv rámová konstrukce. Zvláštností je, že gloální os x je totožná s lokálními osmi x všech prut, proto se nemusí provádt geometrická trnsformce (cos γ = 1, sin γ =, T = E) k sestvení soustvy rovnic se využijí pímo lokální mtice vektory. Uzly jsou pouze dvojnásoné vkládjí se ovykle pouze nd podpory. Pi runím ešení oecnou deformní metodou mžeme (pro úsporu práce) rozlišit tyto lterntivy ešení: Nosník má více vze proti osovému posunu oecné ztížení. Pk ešení proíhá stejn jko u rovinného rámu. Existuje pouze jediná vz proti osovému posunu ztížení je oecné. Pk v pípd, že nás zjímjí osové diltce, proíhá ešení jko u rovinného rámu. V pípd, že nesledujeme osové diltce, ešení se zjednoduší, neo mžeme uvžovt smluvní hodnoty u i =. Má-li nosník pouze jedinou vzu proti osovému posunu jen píné ztížení, ude vždy u i = jedinými neznámými veliinmi zstnou volná pootoení ϕ i, tkže dostáváme minimální poet neznámých n p. S podonými výhodmi je ešen i díve uvedený numerický píkld 3.2. Or. 11.18: Pruty s výškovými náhy 4.3 Pruty promnného pr ezu Náhy mohou ýt výškové (jsou stticky úinnjší) neo šíkové. Relizují se u konc monoliticky pipojených do uzl. Zpsoují zkivení stednice, které se ovykle znedává, tkže se uvžuje pvodní pímá os (or. 11.18). Pro neprizmtické pruty jsou primární vektory R lokální mtice tuhosti vyjádeny ve vztzích (11.33), (11.54), (11.66) (11.48), (11.62), (11.68) pomocí zákldních deformních souinitel δ 1, α, α, β prostého nosníku souinitel δ, ϕ, ϕ s veliinmi R, Z,, Z, dného silového ztížení prostého nosníku. k Or. 11.39: Nosník s pímkovým náhem - 46 (7) -
Dlší možnosti ešení Nejstjším pípdem je prut s výškovým pímkovým náhem ooustrnným (symetrickým) neo jednostrnným (viz or. 11.18). Kždý prut s náhem (or. 11.39) lze pomocí dlšího umle vloženého uzlu rozdlit n ást s konstntním prezem n ást pouze s náhem. Zákldní deformní souinitele lze pk urit numerickou integrcí (np. Simpsonovo prvidlo), vyjádením explicitních výrz (s použitím Mxwellov-Mohrov vzthu), viz np. or. 11.19; odvození pro prut s výškovým pímkovým náhem je provedeno v uenici [1] n str. 264 266. pomocí tulek deformních úhl prut s náhy (np. tulky 14.6 14.7 v uenici [1]). Or. 11.19: Prut s lineární zmnou výšky prezu 4.4 Deformní ztížení 4.4.1 Vliv zmny teploty Pedpokldem ešení je lineární prh teploty po výšce prezu konstntní hodnot teploty po šíce prezu. Vliv zmny teploty n prut se vyjduje (or. 11.22) oteplením stednice prutu t rozdílem t 1 pírstku teploty dolních ( t d ) horních ( t h ) vláken prezu. O pípdy lze vyšetovt oddlen. Teplotní rozdíl Or. 11.22: Rozkld lineární zmny teploty po výšce prezu t 1 = t d t h (11.111) - 47 (7) -