Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY
|
|
|
- Simona Sedláková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Mtemtik pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY 8
2 ešení soustvy lineárních rovnic užitím mtic Gussov eliminní metod (GEM) MATICE 6 6 Hlvní digonál TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE Pozn.: i... i-tý ádek mtice PIVOT = první nenulový prvek v ádku 6
3 Soustv lineárních rovnic mtice + = + = + + = Princip GEM: ) pomocí uritých povolených úprv vytvoíme z pvodní mtice mtici trojúhelníkovou ) tuto opt pevedeme do podoby soustvy rovnic ) ze získných rovnic odspodu vyjádíme pivotní neznámé
4 ) zámn dvou ádk Povolené úprvy: ) ( : 8 6 ) násobení ádku íslem ) nhrzení ádku jeho soutem s násobkem jiného ádku
5 Povolené úprvy: ) zámn dvou ádk ) násobení ádku íslem ) nhrzení ádku jeho soutem s násobkem jiného ádku Cíl úprv: pod hlvní digonálou vytvoit nuly I. vytváíme nuly v. sloupci piítáním vhodného násobku. ádku II. vytváíme nuly v.druhém sloupci piítáním vhodného násobku. ádku
6 ::: : : : : ::: : : : ::: : : ::: : Schém lgoritmu:
7 Píkld: + : 6 8 :8
8 () () () z z y z y ) ( z ) ( z y ) ( z y K = ; ; y y
9 Píkld: y z y z 6 y z
10 Triky vhodné v uritých situcích Píkld:
11 ) ( : ) ( : /
12 ) ( : ) ( :......
13 Nestndrdní situce v nkterém ádku vzniknou nuly pouze n levé strn soustv nemá ešení 8 : : : Píkld: K
14 MATICE 6 6 A... mtice A mn... mtice o m ádcích n sloupcích
15 6 6 hlvní digonál pivoty trojúhelníková mtice vedlejší digonál
16 6 6 8 tvercová mtice jednotková mtice (musí být tvercová) znení: I, I n
17 Operce s mticemi I. sítání mtic II. násobení mtice íslem Pozn.: Sítt lze pouze mtice stejného typu
18 III. násobení mtice s mticí Pozn.: Násobit lze pouze mtice uritého typu podle prvidl: násobíme ádky první mtice se sloupci druhé mtice A m,n B n,p = C m,p
19 Pozn.: ) násobení mtic obecn není komuttivní, tj. nepltí AB = BA ) 6 P.:... P.: pro jkoukoli mtici A jednotkovou mtici I (ptiných rozmr!) pltí:
20 IV. trnsponování mtice (trnspozice) = prohození ádk z sloupce nopk T
21 HODNOST MATICE = poet jejích lineárn nezávislých ádk* znení: h(a) má-li A rozmry m n, pltí: h(a)... P.: ) ( A h A * tj. poet ádk, které zbudou, vynecháme-li ty, které jsou lineární kombincí osttních
22 Výpoet hodnosti mtice dv užitená tvrzení: ) úprvmi GEM ni trnsponováním se hodnost mtice nezmní ) hodnost trojúhelníkové mtice je rovn potu jejích nenulových ádk pomocí GEM uprvíme mtici n trojúhelníkový tvr spoítáme, kolik je nenulových ádk
23 ) A P.: Urete hodnost mtice A: : 6 8
24 ) A b h(a) =?
25 Determinnt = íslo, které lze vypoítt z kždé tvercové mtice znení: A, det A zpsob výpotu závisí n rozmrech mtice
26 A = ( ) A =...
27 kížové prvidlo A A = = B B = ( ) =
28 Srrusovo prvidlo A A = = 6 + +
29 B
30 rozvojem podle zvoleného ádku nebo sloupce A A = A, + A, A, + A, = (volíme ten, kde je nejvíc nul) (A,... mtice vzniklá z A vynecháním. ádku. sloupce; A,, A,, A,... podobn) =... = =
31 P.: A, A?
32 Crmerovo prvidlo k vyešení soustvy n rovnic o n neznámých A (mtice levé strny) b (sloupec prvé strny) kde A = mtice vzniklá z A zámnou prvního sloupce (odpovídjícího neznámé ) sloupcem b td.,,, A A A A A A
33 P.: A A A A A A
34 P.: 9
35 INVERZNÍ MATICE Definice: Nech A je tvercová mtice. V nkterých pípdech eistuje mtice A, pro kterou pltí: AA = A A = I, Tto mtice se nzývá mticí inverzní k A. I... jednotková mtice, np. I...
36 Výpoet inverzní mtice I. pomocí GEM II. pomocí djungovné mtice
37 I. Výpoet A pomocí GEM GEM A I... I A
38 P.:?, A A 6,, A Zk.:,, : :,,, ) (, ) (, ) (, ) (
39 P.: A, A? 8
40 II. Výpoet A pomocí djungovné mtice A A A A A : A A A : A A A : ::: T mtice, která vznikl z A vynecháním. ádku. sloupce
41 P.: 6 A, A? A ( 6) A A A A 6 A 6 A A A A A A A A A T ( 6) T 6 T 6 / / / /,,,,
42 P.: A, A? 8
43 Typy tvercových mtic (n n) REGULÁRNÍ A inverzní mtice eistuje h(a) = n SINGULÁRNÍ A = inverzní mtice neeistuje h(a) n
44 Užití inverzní mtice k ešení soustvy rovnic b A známe-li náhodou A, lze uvžovt: b A b A A A b A I b A / A zlev b A
45 P.: Užitím mtice inverzní k mtici levé strny vyešte soustvu: ) b A b A : 6 9 ; K ; K 6 A
46 ) ) 6 9 6
47 P.: Zjistte, zd mtice B je inverzní k A. Pokud no, vypotte pomocí B vektor ešení soustvy rovnic A b. Pokud B není inverzní k A, urete Gussovou eliminní metodou hodnost A.
48 FUNKCE f y f: y = + f... f... - f... g: y = g... g... - g...
49 Znení formulce f Hodnot funkce f v bod je Funkní hodnot f v bod je Funkce f pizuje hodnot hodnotu f: f () = f() = y y () =
50 Grf funkce f: y = + f:
51 Prbh funkce n intervlech -; ; 6) je f... n intervlech -; - ; je f...
52 v bod má funkce stcionární bod (není ni rostoucí, ni klesjící) ten je vodorovná
53 n intervlu (-; je funkce... ten se nchází nd grfem n intervlu ; ) je funkce... ten se nchází pod grfem v bod je inflení bod (funkce pechází z konvení n konkávní) ten pechází z jedné strny grfu n druhou
54 Etrémy v bod má f ostré lokální minimum, jeho hodnot je v bod má f ostré globální minimum o hodnot - ve všech bodech intervlu ; má f neostré lokální mimum o hodnot
55 Složená funkce f(g())... funkce složená z funkcí f, g f... vnjší funkce g... vnitní funkce f(g()) získáme tk, že do f místo doszujeme g() P.: f : y sin g : y f g f g g() f f () () g()
56 P.: f : y, g : y
57 Limit lim f ( ) = limit f() pro blížící se k = hodnot, ke které se f() blíží, blíží-li se k Píkldy: ) ) ) lim( ) lim lim ) ) 6) lim sin lim lim (jednostrnná) limit pro blížící se k nule zprv ) lim (jednostrnná) limit pro blížící se k nule zlev neeistuje, protože limity zprv zlev se liší
58 Ilustrce lim f ( ) lim f ( ) lim f ( )
59 lim f ( ) lim f ( ) lim f ( )
60 lim lim lim lim f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) lim f ( )
61 Konkrétní výpoet limit I. doszením lim II. úvhou podpoenou znlostí funkce III. rzné triky rozsáhlá problemtik IV. L Hospitlovo prvidlo (viz derivce)
62 SPOJITOST FUNKCE f se nzývá spojitá v bod, jestliže ) ( ) ( lim ) ( lim f f f ) ( lim f ) ( lim f () f f... spojitá v bod
63 lim f ( ) lim f ( ) f () f... spojitá v bod
64 lim f ( ) lim f ( ) f () f... spojitá v bod
65 lim f ( ) lim f ( ) f () f... spojitá v bod
66 Lineární funkce = funkce dná pedpisem f: y = k + c, kde k, c R k... smrnice c... bsolutní koeficient Grfem lineární funkce je pímk.
67 Význm bsolutního koeficientu f: y = k + c f() = c grf prochází bodem ; c] c je hodnot, ve které grf protíná osu y y =, + y =, + y =, y =,
68 Význm smrnice f : y = f : y = f : y =, f : y = f : y = f 6 : y =
69 HRUBÁ INTERPRETACE: Smrnice uruje sklon (smr) pímky., k > pímk je... k = pímk je... k pímk je...
70 PESNÁ INTERPRETACE: y f: y = k + c y y Smrnice udává, kolikrát je pírstek funkní hodnoty (y) vtší než pírstek promnné ().
71 y = - y = y =, - y = y = y =
72 P.: Podle grfu urete pedpis lineárních funkcí:
73
74
75 Alterntivní formulce I.: y k y... Smrnice lineární funkce pedstvuje tngens úhlu, který grf této funkce svírá s kldným smrem osy.
76 Alterntivní formulce II.: = y = k k y y y Smrnice lineární funkce pedstvuje hodnotu, o kterou se zvýší y, pokud se zvýší o.
77 P.: Urete hodnotu lineární funkce v bod 8, víte-li, že její smrnice je rovn její grf prochází bodem A = ;. =... y = k =... y =...
78 P.: Urete hodnotu lineární funkce v bod, víte-li, že její smrnice je rovn, její grf prochází bodem A = ;. y
79 P.: Urete rovnici pímky, jejíž smrnice je která prochází bodem ;. y = k......
80 P.: Urete rovnici pímky, jejíž smrnice je která prochází bodem ;.
81 DERIVACE derivce funkce f = funkce f, která kždému D(f) pizuje hodnotu smrnice teny, vedené ke grfu f v bod [; f() P.: Mjme funkci f : y, derivce této funkce je f : y. f() = f() = f() = f() = f () = f () = f () = f () = grf f prochází body [;, [;, [;, [; smrnice teen v tchto bodech jsou,,
82 grf f prochází body [;, [;, [;, [; smrnice teen v tchto bodech jsou,,
83 Výpoet derivcí I. Derivce konstnty P.: () = c... Kždá ten je vodorovná smrnice je vždy rovn
84 II. Derivce mocninné funkce P. ) ) ) ) ) n ( ) =... () = ( ) = =... (f: y = n ) () = ( ) = - =... (viz derivce konstnty!) = =
85 b b... b b... b b... Pozn.: Úprvy mocnin n n... q q y y... q p q p...
86 P.:
87 P.:
88 III. Derivce nkterých dlších elementárních funkcí sin cos tn cot e ln......
89 IV. Derivce soutu, rozdílu reálného násobku funkcí: (f, g... funkce, k R) f k.... g f e cos 6 cos ), ( 6, e 8 sin 6, e 8 sin 6 e P.: ) ) ) )
90 V. Derivce souinu funkcí: g f g f g f sin cos sin cos cos P. ) ) ln
91 VI. Derivce podílu funkcí: P. ) P. ) cos g g f g f g f cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin tn
92 VII. Derivce složené funkce P. ) sin f g( ) f g( ) g( ) cos cos sin sin sin sin ) sin sin cos
93 ) ln ) ln 6 6 ln ) ln( ) 6) ) e 8) ln
94 Ten grfu funkce f y y y y = k derivce = smrnice teny ROVNICE TENY: y = f ( )* y y = f ( ) ( ) *smrnice teny v bod [ ; y = derivce f v bod = f ( )
95 P.: Urete rovnici teny funkce f: y = v bod [;?. f f() = y =... f () = f () =... derivce = smrnice teny y = y 6 = ( ) t: y = 9
96 P.: Urete rovnici teny funkce f ( ) v bod [;?. f
97 Diferenciál f y f() y y f ) ( f ) f ( ) ( DIFERENCIÁL: (vlstn proimce f tenou) df ( ) f ( ) d Pozn.: sté znení derivce: f ( ) df d
98 P.: Urete diferenciál funkce f: y = vbod : f ()= f () = = df()= d
99 P.: Odhdnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn zmní hodnot funkce f: y =, jestliže hodnot se zmní z n. Jká pk tto hodnot pibližn bude? f () = f () = 6 f() = f () = 6 = f() = = f() f() = f() f() = + = 9 Hodnot f se zmní pibližn o, bude se tedy rovnt 9. P.: Nbídková funkce jisté komodity má tvr Q(p) = p p, kde Q je množství v kg p je cen z kg v K. Nyní je cen K/kg. Odhdnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn zmní nbídk, pokud cen komodity vzroste n K/kg. Jká pk bude pibližn tto nbídk?
100 Q( p) P.: Nbídková funkce jisté komodity má tvr, kde Q je množství v kg p je cen z kg v K. Nyní je cen 6 K/kg. Odhdnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn zmní nbídk, pokud cen komodity vzroste n 6, K/kg. Jká pk bude pibližn tto nbídk?
101 Prbh funkce I.: hledání etrém k = k = VÝZNAM SMRNICE: k =, k > pímk je rostoucí k = k = k = k = pímk je vodorovná k pímk je klesjící DERIVACE = SMRNICE TENY f () > f je... f () = f má v... f () f je...
102 P.: Urete, kde funkce f: y = + nbývá lokálních etrém. f () = ( + ) = + + = / : = = + = ( + ) = ( ; ) ( ; ) (; ) f () f() Funkce f je n intervlu (-; -) klesjící, v bod - nbývá svého minim o hodnot, n intervlu (-; ) je rostoucí, v bod je stcionární bod n intervlu (; ) je opt rostoucí.
103 P.: Urete, kde funkce f: y = 9 nbývá lokálních etrém. f () f()
104 Prbh funkce II.: konkávnost konveit f () = f () f () > f () f () > KONKÁVNÍ f () je klesjící f () = KONVEXNÍ f () je rostoucí......
105 P.: Urete, kde je funkce f: y = + + konvení, kde konkávní kde má inflení body. f () = ( ) = = f () = (f ()) = ( + ) = 6 + = ( ; ) ( ; ) f () f() Funkce f je n intervlu ( ; ) konkávní, v bod má inflení bod n intervlu ( ; ) je konvení.
106 P.: Urete, kde je funkce f: y = + konvení, kde konkávní kde má inflení body. f () f()
107 L Hospitlovo prvidlo, - pro výpoet limit typu (tzv neurité výrzy ) lim f ( ) lim g( ) lim f ( ) nebo lim g( ) lim lim, lim f ( ) g( ) lim lim f ( ) g( ) 6 P.: ) 6 P.: ) lim e lim 6 e 6 6 lim e 6 lim e
108 P.: ) ln lim ln lim ln lim ln lim lim lim lim lim
109 P. ) P. ) P. 6) lim e lim cos lim
110 Funkce dvou promnných (, y) f f(, y) = z P.: f(, y) = y f(, ) = =... f(, ) = =... f(, ) = =... f(, ) = =... grfem je ploch nd rovinou y v D prostoru
111 Prciální derivce derivujeme jen podle jedné promnné, s druhou zcházíme jko s konstntou znení: f, f f f, f, f, y f, y ( ;), f (;)... derivce f podle (funkce)... druhá derivce f podle... smíšená druhá prciální derivce... hodnot derivce f podle v bod (; ) (íslo)
112 P.: f (, y) yyy f y y y f y y f, y f, y y f, y y f, y y 6y f (;) f, (;) 6
113 P.: f (, y) y sin y
114 Diferenciál, tená rovin f y ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( y y y f y f z z y diferenciál: tená rovin: y y f y f z y ) ; ( ) ; ( funkce promnné: funkce promnných: dy y f d y f df y y ) ; ( ) ; ( ;
115 P.: Vypotte diferenciál funkce f(, y) = e y 9 v bod [; ]. f = e y 9 f (; ) = e 9 = f y = e y 9 = e y 9 f y (; ) = e 9 = 6 df [; ] = d + 6dy P.: Vypotte diferenciál funkce f(, y) = y y v bod [-; ].
116 P.: Urete pomocí diferenciálu, o kolik se zmní hodnot funkce f(; y) = y, jestliže se hodnoty vstupních promnných zmní z [; n [,9;,. f y, f y y f (;) 6, f (;) y z 6 y,, y, z 6 (,), Hodnot funkce se sníží pibližn o. Pozn.: f(; ) = 8, f(,9;,) = 6,98 z = -,
117 P.: Urete pomocí diferenciálu, o kolik se zmní hodnot funkce f(; y) = y + y, jestliže se hodnoty vstupních promnných zmní z [; n [,;,9.
118 P.: Urete rovnici tené roviny funkce f(; y) = y v bod [;. f y, f y 6y f (;) 8, f (;) y 6 z 8 y f (;) z z 8( ) ( y ) 8 y z
119 P.: Urete rovnici tené roviny funkce f(; y) = y + y v bod [;.
120 Hledání lokálních etrém ) njdeme body ; y, v nichž pltí f y, f ; y ; y ) v tchto bodech je etrém, pokud je splnn podmínk: f ( ; ) y f y ( ; y ) D ; y f ( ; y ) f ( ; y ) y yy ) nlezený etrém je: MINIMUM, pokud D ; y f y ; MAXIMUM, pokud D y ;
121 P.: Nleznte lokální etrémy funkce f(; y) = + y y. ) f y, f y y y y y ( y) y y ( y ) ( y ) y y 6 y y y (6 y ) y y, y, body podezelé z etrému
122 [;, [,;,, [,;,... body podezelé z etrému D f f y f f y yy D D D D D ; 8,;, 8, 8,;, 8, 8 D f,;,,,;, (,) v bod [; není etrém v bodech [,;,, [,;, je etrém v bodech [,;,, [,;, je minimum
123 P.: Nleznte lokální etrémy funkce f(; y) = y + + y.
124 Integrály (primitivní funkce) f ( ) d F( ) C F( ) f ( ) = (neuritý) integrál funkce f = primitivní funkce k funkci f C... konstnt libovolné hodnoty Pozn.: Pro je tm konstnt: F( ) C F( ) P.: C ( ) d C
125 Metody integrování I. - zákldní prvidl n d... P.: d C d C d d c C ( f g) f g k f k f P. : d d d 8 d d 8 8 C
126 P. : d P. : 6 9 d P. : P. : d d P. 6: 6 d
127 Metody integrování II. dlší elementární funkce d d? d... e d d sin d... cos d... d cos... d sin...
128 Metody integrování III. per prtes uv uv uv f g f G f G uv uv uv Pro:uv uv uv Použití: A) integrování souinu typu P( ) sin, P( ) cos, P( ) e, uv uv derivujeme P() sníží se stupe mnoholenu uv (P()... mnoholen) B) integrování souinu typu P( ) ln derivujeme ln derivce je C) integrování souinu typu e sin, e cos,
129 A) integrování souinu typu P( ) sin, P( ) cos, P.: sin d ( cos ) ( cos ) d P( )... e... cos cos d cos sin sin d cos sin( cos) cos sin cos C P.: ( ) e d
130 B) integrování souinu typu P( ) ln P.: (6 ) ln d d ln ln d ln C P.*: ln d
131 Pozn.: Integrování výrzu ln ln d ln d ln d ln d ln C
132 C) integrování souinu typu sin e, cos e P.: sin e d sin e cos e d sin e cos e ( sin ) e d sin e cos e sin e d e sin d sin e cos e sine d sine d sine d sine cose e (sincos) sine d C :
133 P.: cos e d
134 Metody integrování IV. substituce f ( g) g d F( g) g... vnitní funkce, F... primitivní funkce k funkci f Pro: F( g) F( g) g f ( g) g Formální postup: g( ) g( d f ) t dt f ( t) dt F(t) g( C F ) subst.: g( ) t g( ) d dt
135 P. : sin( ) ( ) d sin t dt cos t cos( ) C P. : sin cos d t t dt t sin sin C ( 6 ) d P. : 6 d t dt ln t ln C
136 P. : ( ) ( ) d P. : ( ) d P. 6: ( ) d P. : e ( ) d
137 P. 8*: sin cos d P. 8: sin cos d P. 9: (sin sin ) cos d P. : cot d cos sin d
138 P. *: ln ln d ln ln d t t t ln ln ln C P. : P. : P. : ln d sin ln d ln ln d
139 P. : sin( ) d sin( ) d sin t dt ( cos t) cos( ) C f ( b) F( b) (9 ) (9 ) P. 6: ( 9 ) d C 9 99 P. : d d dt t lnt ln( ) C
140 P. 8: cos( ) d d P. 9: P. : d 6 P. *: d
141 P. *: sin 6 cos d P. : d P. : 8 d P. : e ( ) d
142 Uritý integrál b f ( ) d F( ) F( b) F( ) b (výsledkem je íslo!) F... primitivní funkce k funkci f,... dolní mez, b... horní mez P. : 6 d 8 P. : ( 6 ) d P. : sin d
143 P. : e ln d ln d P. : e ln d ln d
144 Význm uritého integrálu S f ( ) d f () S S lim f ( ) d f ( ) d d b d b b f ( ) d... obsh plochy pod grfem f v rozmezí hodnot, b
145 Pozn.: Je-li f n intervlu (;b) záporná, vyjde též záporný! b f ( ) d S f() = sin S S sin d sin d... sin d... S... S... S...
146 P.*: Užitím uritého integrálu vypotte velikost plochy, kterou n intervlu ; ohrniují funkce f() = e 6 os.
147
DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Matematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
m n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Logaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice
Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme
2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
![2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]](/thumbs/102/155984102.jpg "2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]")
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
Diferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
. Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + + - - - + + +
METODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:
x + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA
OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický
NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
! " # $ % # & ' ( ) * + ), -
! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA Mtemtik METODIKA Eponenciální ritmické funkce rovnice Mgr. Mrtin Procházková duben 00 Tto ást uiv o rovnicích je poslední kpitolou v uivu funkce zárove pro
NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6
Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice
Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >
Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Definice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
Neřešené příklady z analýzy funkcí více proměnných
České vysoké učení technické v Prze Fkult elektrotechnická Neřešené příkldy z nlýzy funkcí více proměnných Miroslv Korbelář Pol Vivi Prh 16 Tento dokument byl vytvořen s podporou grntu RPAPS č. 1311/15/15163C5.
je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11
Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n
KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)
KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,
Obsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
3. Kvadratické rovnice
CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Matematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak
Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm
MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou
Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
![Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1](/thumbs/103/161289080.jpg "Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1")
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t
7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
Pružnost a plasticita II
Pružnost plsticit II. ročník klářského studi doc. In. Mrtin Krejs, Ph.D. Ktedr stvení mechnik Řešení nosných stěn pomocí Airho funkce npětí inverzní metod Stěnová rovnice ΔΔ(, ) Stěnová rovnice, nzývná
integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
VIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
2.3. DETERMINANTY MATIC
2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Matematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Větu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce
Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................
Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník
Ohýbaný nosník - napětí
Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Opakování ke státní maturitě didaktické testy
Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..
DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které