Stvení sttik, 1.ročník klářského studi ýpočet vnitřních sil přímého nosníku nitřní síly přímého vodorovného nosníku prostý nosník konzol nosník s převislým koncem Ktedr stvení mechniky Fkult stvení, ŠB - Technická univerzit Ostrv
Prut - geometrický popis prutu, idelizce h, d l 0,1 y z F 1 l F 1 =2F 2 F F 2 d h x Zákldní pojmy: Rovin souměrnosti prutu Řídící čár, os prutu (přímý prut), střednice (přímý i zkřivený prut) Průřez prutu Těžiště průřezu Prut rovinně neo prostorově lomený. Sttické schém sttický model nosné konstrukce P 1 P 2 1 2 R x R z l R z 2
Příkldy jednoduchých vze tuhého prutu v rovině nější vzy odeírjí ojektu stupně volnosti. n násoná vz ruší ojektu n stupňů volnosti. ázev vzy ásonost vzy Oznčení vzy rekce Kyvný prut 1 R z Posuvná klouová podpor 1 R z neo R z Pevný klouová podpor 2 R x R z neo R x R z Posuvné vetknutí 2 R z Dokonlé vetknutí 3 R x R z 3
Stupeň sttické neurčitosti nosníku v rovině v = 2 1. 2 3. 3 n v = 3 v = v e... počet vnějších vze nosníku 1... počet jednonásoných vze 2... počet dvojnásoných vze 3... počet trojnásoných vze n v... počet stupňů volnosti nosníku v rovině n v = v n v < v n v > v stticky i kinemticky určitá soustv stticky neurčitá, kinemticky přeurčitá soustv stticky přeurčitá, kinemticky neurčitá soustv Stupeň sttické neurčitosti s = v - n v 4
Podmínky rovnováhy oecné rovinné soustvy sil Soustv je v rovnováze tehdy, pokud součet všech sil v ose x z součet všech momentů k liovolnému momentovému středu s je roven 0. 3 podmínky rovnováhy n n 1) 2 silové, 1 momentová: 1. P 0 2. 0 i= 1 i, x = i= 1 P 3. 0 i, z = m i= 1 i, s = 2) prktických plikcích je čsto výhodnější sestvit 2 momentové podmínky k momentovým středům, : 1., = 0 2., = 0 Tyto podmínky se doplní třetí podmínkou - silovou: 3. i n i = 1 P i, x = pokud je v ose x pouze jedn neznámá složk rekce n 3. P, = 0 pokud je v ose z pouze jedn i z i = 1 neznámá složk rekce 3) Užívné jsou tké 3 momentové podmínky ke třem liovolným momentovým středům, které nesmí ležet v jedné přímce 1., = 0 2., = 0 3., = 0 i 0 i i i c 5
nitřní síly Prut v rovině 3 volnosti Podepření - 3 vzy, oderány 3 volnosti, stticky ur čitá úloh nější ztížení rekce musí ýt v rovnováze, 3 podmínky rovnováhy, z nich 3 neznámé rekce nější ztížení rekce se nzývjí vnější síly Uvnitř nosníku půsoením vnějších sil vznikjí vnitřní síly Oecnou výslednici vnitřních sil rozkládáme n tři složky v ose x - normálová síl v ose z - posouvjící síl ohyový moment 6
ýpočet nosníku v osové úloze Půsoí-li ztížení pouze v ose nosníku. Jedn vnější vz v ose x z podmínky rovnováhy: F R i,x x = 0: R = 0 R x R = 0 R x = R Složk vnitřních sil v ose nosníku normálová síl. () (c) () (d) ýpočet rekce normálové síly v osové úloze Or. 7.1. / str. 90 7
ormálová síl ormálová síl v liovolném průřezu x nosníku je rovn lgerickému součtu všech vnějších sil půsoících v ose nosníku zlev neo zprv od x. Kldná normálová síl vyvozuje v průřezu x th půsoí z průřezu. opčném přípdě je normálová síl záporná vyvozuje tlk. nější síly R x R x - os nosníku th tlk F F 8
Příkld síly R x =18k F 1 =12 F 2 =16 F 3 =10 F 1 =18 F 2 =12 F 3 =16 Zdání: sestrojit průěh normálových sil Průěh normálových sil po celé délce se znázorňuje grficky formou digrmu (grfu). kldné normálové síly se vynášejí nhoru, záporné dolů R x =10k Řešení příkldu 4.2 Or. 7.3. / str. 91 9
ýpočet nosníku v příčné úloze Ztížení síly v ose z momentové ztížení. příčné úloze dv druhy vnitřních sil: posouvjící síl ohyový moment. P R x =0 l/2 l/2 R z R z 10
Posouvjící síl Posouvjící síl v liovolném průřezu x nosníku je rovn lgerickému součtu všech vnějších sil půsoících kolmo k ose nosníku zlev neo zprv od x. nější síly os nosníku Kldná posouvjící síl počítán zlev směřuje nhoru. opčném přípdě je záporná. F - Kldná posouvjící síl počítán zprv směřuje dolů. opčném přípdě je záporná. R R 11
Příkld síly F 1 =10k F 2 =40k F 3 =2k c d e 2 2 2 2 R z =34 4 R z =18 F 1 =10k F 2 =40k F 3 =2k c d 2 2 2 2 e R z =34 4 R z =18 s podpormi ez podpor, jen síly Doplňte hodnoty sil znménk: -10 24 24 - - -16-16 2 2 kldné posouvjící síly se vynášejí nhoru, záporné dolů 12
Ohyový moment Ohyový moment v liovolném průřezu x nosníku je roven lgerickému součtu všech sttických momentů od všech vnějších sil zlev neo zprv od x. Kldný ohyový moment počítný zlev otáčí po směru chodu hodinových ručiček. opčném přípdě je záporný. Kldný ohyový moment počítný zprv otáčí proti směru chodu hodinových ručiček. opčném přípdě je záporný. Kldným ohyovým momentem jsou dolní vlákn tžen horní tlčen (nosník je prohýán směrem dolů). U záporného ohyového momentu je to nopk. R R tlk th th tlk F os nosníku F R R - 13
Příkld ohyové momenty F 1 =10k F 2 =40k F 3 =2k c d e 2 2 2 2 R z =34 4 R z =18 F 1 =10k F 2 =40k F 3 =2k c d 2 2 2 2 e R z =34 4 R z =18 s podpormi ez podpor, jen síly Doplňte hodnoty znménk: 0-20 - 28-4 - 1 0 ohyové momenty se vynášejí n strnu tžených vláken, u nosníku nhoru záporné, dolů kldné hodnoty 14
Směr půsoení vnitřních sil Kldné směry vnitřních sil: Záporné směry vnitřních sil: - 15
Schwedlerovy vzthy - Diferenciální podmínk rovnováhy elementu v osové úloze n x 1 x 2 x d x z dx ýslednice všech sil půsoících n element musí ýt nulová: R x = 0: - (d) n.dx = 0 d dx = n 16
x Schwedlerovy vzthy Diferenciální podmínky rovnováhy elementu v příčné úloze ýslednice všech sil půsoících n element musí ýt nulové: d x 1 x 2 x z m dx dq = q.dx q d R z = 0: - (d) q.dx = 0 Σ i,x2 = 0: d dx = q - (d).dx q.dx.dx/2 m.dx = 0 d dx = m pro m=0: d = dx 17
Závěry ze Schwedlerových vzthů extrémní hodnoty vnitřních sil Schwedlerovy vzthy Johnn Wilhelm Schwedler (1823-1894) význmný německý inženýr pro m=0: d d d 1. = n 2. = q 3. = dx dx dx Závěry: Extrém funkce f(x): ( x) df dx = 0 d dx = q Extrém posouvjících sil je v průřezu, kde q=0 d dx = q = 0 pro m=0: d = dx Extrém ohyových momentů je v průřezu, kde =0 neo mění znménko d dx = = 0 integrce Derivčně integrční schém -q derivce 18
Shrnutí - určení extrémních hodnot vnitřních sil Extrém může vzniknout: ) v podporových odech ) v půsoištích osmělých sil (znménko se mění skokem) c) pod spojitým ztížením v místě, kde je =0 d dx = = 0 Extrém v průřezu, kde =0 neo mění znménko n = neezpečný (kritický) průřez 1º 0º n - n - 1º 2º mx mx 19
Souvislost mezi spojitým příčným ztížením průěhy vnitřních sil Závěry: d = q dx d = dx 1. řád funkce (x) (x) typ čáry v digrmech 2. míst extrému u (x) (x) integrce -q derivce Souvislost mezi spojitým příčným ztížením průěhy vnitřních sil Or. 7.23. / str. 103 20
příkld 1 normálové síly R x = 60,62k P z = 35 k P = 70 k 60 c P x = 60,62 k 2 4 hodnoty kreslit nd osu zlev: c = - R x c = - R x P x R z = 23,33k 6 R z = 11,67k R x c P x zprv: c = 0 c = 0 c = - P x - 60,62-60,62 = c 22
příkld 1 posouvjící síly P z = 35 k P = 70 k hodnoty kreslit nd osu R x = 60,62k c 60 P x = 60,62 k R z = 23,33k 2 4 R z = 11,67k 6 zlev: c P z = 35 k c = R z c = R z - P z R z 23,33 23,33 = c R z zprv: c = - R z c = - R z P z - 11,67 = c - 11,67 23
příkld 1 ohyové momenty R x R z P P = 70 k z = 35 k 60 c c - 11,67 P x = 60,62 k l c = 2 l c = 4 6 23,33 oh.momenty vynášet n strnu tžených vláken (dole znménko) R z zlev: = 0 x = R z. x c = R z. l c x = R z. x - P z. (x - l c ) = R z. l - P z. l c = 0 R z P z = 35 k 46,67 ( R z. l c = R z. l c ) R z zprv: = 0 x = R z. x c = R z. l c x = R z. x - P z. (x - l c ) = R z. l - P z. l c = 0 24
příkld 1 schém vnitřních sil v odě d P z = 35 k P = 70 k R x R z d c P x = 60,6 k 1 5 6 R z R x R z d d d P z P x Rz L d = R = 60,6k x L d = Rz = 23,33k L d R 1 = 23,33km( ) = z ( ) ( ) R x d d P z P x R z P d = P = 60,6k P d x ( ) = R P = 23,33k z z ( ) R z d L d = Rz z 5 P 1 = 23,33km( 25 )
příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vlevo od síly výpočet zlev P z = 35 k P = 70 k R x c P x = 60,6 k l c = 2 l c = 4 R z 6 R z R x 23,33 = c c - 11,67 c c P z L c = R = 60,6k L c = R z x L c = R = 23,33k z ( ) ( ) 2 = 46,67km( ) R z P x c R z odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 26
příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vlevo od síly výpočet zprv P z = 35 k P = 70 k R x R z c P x = 60,6 k l c = 2 l c = 4 6 R z 23,33 = c P c = P = 60,6k x ( ) R x R z c c - 11,67 P z c c P x P c L c = R z R z = R P = 23,33k z z ( ) 4 = 46,67km( ) odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 27
příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vprvo od síly výpočet zlev R x c R z P z = 35 k P = 70 k P x = 60,6 k l c = 2 l c = 4 6 R z R x c =-11,67 c c P z c - 11,67 L c L c = Rx Px = 0 = R P = 11,67k z L c = R z z 2 = 46,67km( ) ( ) R z P x c Rz odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 28
příkld 1 schém vnitřních sil v odě c vprvo od síly výpočet zprv P z = 35 k P = 70 k R x R z c P x = 60,6 k l c = 2 l c = 4 6 R z R x c =-11,67 P z c c c - 11,67 P c = 0 P c = R = 11,67 k z P c = R z ( ) 4 = 46,67km( ) P x R z c R z odě c není osmělé momentové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ), proto vnitřní moment v odě c c nemusí mít znčeni dvěm indexy. 29
příkld 2 =31,82km R x = 6,36k zdání 5 x = 31,82km 45 R x = 6,36k P z =6,36 45 P = 9k x L řešení R z = 6,36k 5 x P P = 9k P x =6,36 R z =6,36k (x)p = - P z. x L (x)l = R z. x P - -6,36 6,36-31,82 30
příkld 3 zlev: - úsek c = 0 x = - Rz. x c = - Rz. 6 c = - Rz. 6 - úsek c x = - Rz. x = - Rz. l = 0 x L (zlev) R z = 0,333k = 3km c 6 3 9 = 0 x P (zprv) R z =0,333k zprv: - úsek c = 0 x = Rz. x c = Rz. 3 c = Rz. 3 - úsek c x = Rz. x - = Rz. l - = 0 (- R z. x) -0,333 c =-2 c =1 v odě c počítt hodnotu momentu 2krát!!! momentový skok31
příkld 3 schém vnitřních sil v odě c výpočet zlev = 3km c 1 c =-2 R z 6 3 R z c =1 1 R z c c =0 c R z L c = 0 L c = R = k z L c = Rz ( ) 3,33 6 = 2km( ) R z c =0 c c R z L c L c = Rz = 3,33k = R 6 = 1km( ) L c = 0 z ( ) odě c není osmělé silové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ni ), proto vnitřní síly c i c v odě c nemusí mít znčeni dvěm indexy. U momentu nutno počítt 2 hodnoty. 32
příkld 3 schém vnitřních sil v odě c výpočet zprv = 3km c 1 c =-2 R z 6 3 R z c =1 1 R z c c c =0 R z P c P c = 0 P c = R = 3,33k = R 3 = 2km( ) z z ( ) R z c c c =0 R z P c = 0 P c = Rz = 3,33k P c R 3 =1km( ) = z ( ) odě c není osmělé silové ztížení (není zde skoková změn v průěhu ni ), proto vnitřní síly c i c v odě c nemusí mít znčeni dvěm indexy. U momentu nutno počítt 2 hodnoty. 33
Příkld 4 odhdněte rekce vykreslete průěh,, P z = 9 k c P x = 10 k 2 4 6 34
Příkld 4 řešení P z = 9 k c P x = 10 k R x R z 2 4 6 R z 35
Příkld 5 vypočtěte rekce vykreslete průěh,, P = 10 k c 30 4 2 6 36
Příkld 5 řešení P = 10 k R z =4,33 4 30 c R z =12,99 2 6 8,66-5,00 4,33-17,32 37
Okruhy prolémů k ústní části zkoušky ýpočet vnitřních sil přímého vodorovného nosníku Diferenciální podmínky rovnováhy elementu přímého nosníku, Schwedlerovy vzthy, využití Určení extrémních hodnot vnitřních sil 41