SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY Studijní text pro fyzikální seminář
1. Klasiká fyzika Klasiká (newtonoská) fyzika, kterou známe z naší každodenní zkušenosti, má několik lastností. Např. pokud se bude těleso pohyboat se zryhlením a dostatečně dlouhou dobu, může dosáhnout liboolné ryhlosti: at. Podle klasiké fyziky jsou eličiny jako hmotnost nebo délka stálé a nezáislé na ryhlosti pohybu tělesa. Platí tz. Galieiho prinip relatiity: Žádným mehanikým pokusem není možné zjistit, zda je soustaa pozoroatele klidu, nebo zda se pohybuje ronoměrně přímočaře. Jinými sloy, pokud se budete naházet e agóně, který má zakrytá okna, není možné žádným mehanikým pokusem (např. s kuličkou na podlaze agónu) zjistit, zda se pohybuje ronoměrně přímočaře nebo ůbe. V okamžiku, kdy se objeí nějaké zryhlení (agón zryhluje či zpomaluje nebo jede do zatáčky dostředié zryhlení), kulička se začne setračností pohyboat opačným směrem, než míří zryhlení. Soustay, které se pohybují bez zryhlení (a = 0) nazýáme soustay ineriální (lat. inertia = setračnost) a platí nih I. Newtonů pohyboý zákon (zákon setračnosti): Těleso setráá klidu nebo pohybu ronoměrném přímočarém, není-li donueno nějšími silami tento sůj sta změnit. Soustay, které se pohybují se zryhlením (a 0) nazýáme neineriální. V nih působí tz. setračná síla, která nemá půod e zájemném působení těles, ale e zryhloání soustay ( rozjíždějíím se agónu se kulička pohybuje směrem k zadní stěně; z pohledu pozoroatele e agónu na ni působí síla, z pohledu pozoroatele na nádraží nikoli, tento pozoroatel idí, jak pod kuličkou ujíždí agón). Tyto síly nazýáme nepraé neboli fiktiní. Pro popis dějů ineriálníh ztažnýh soustaáh se použíá Galieiho transformae, která umožňuje přeházet při popisu z jedné soustay do druhé. Pro případ, že se soustay S a S ůči sobě pohybují ryhlostí, jejíž ektor je ronoběžný s osou x platí: Přímá Galileiho transformae Přehod do pohybujíí se soustay S x x t y y z z t t Zpětná (inerzní) Galileiho transformae Přehod do nepohybujíí se soustay S x x t y y z z t t Galieiho transformae tedy prauje s faktem, že e šeh ztažnýh soustaáh plyne čas stejnou ryhlostí, ož je souladu s naší každodenní zkušeností.
. Počátky speiální relatiity Hlaním impulsem ke zniku speiální teorie relatiity byl neúspěh Mihelsonoa- Morleyoa pokusu, který měl potrdit existeni sětelného éteru, tedy prostředí, kterým se šíří sětelná lna (podobně jako se šíří lny na hladině ody nebo zukoé lny e zduhu e akuu se zuk nešíří, protože tak nejsou žádné molekuly; čím se tedy šíří sětlo?). Mihleson a Morley sestaili interferometr, který měl měřit ryhlost sětla jednak e směru rotae země a jednak e směru kolmém. Předpoklad byl, že se projeí ryhlost rotae Země, která má na roníku elikost 465 m s -1. Ni takoého zaznamenáno nebylo, ož edlo k záěru, že ryhlost sětla je šeh ztažnýh soustaáh stejná. Tento záěr zaujal Alberta Einsteina, mladého fyzika, té době působíího na patentoém úřadě Bernu. Po důkladnýh úaháh dospěl k překapié myšlene, že je-li ryhlost sětla absolutní, musí být čas a prostor relatiní. Ve sém slaném článku z roku 1905 K elektrodynamie pohybujííh se těles) formuloal da základní postuláty 1 speiální teorie relatiity: Prní postulát (prinip relatiity) Žádným pokusem není možné zjistit, zda je soustaa pozoroatele klidu, nebo zda se pohybuje ronoměrně přímočaře. Jedná se o doplnění Galieliho prinipu relatiity. Ronoměrný přímočarý pohyb soustay není možné rozlišit od klidu nejen mehanikými, ale ani žádnými jinými pokusy (z optiky, elektřiny a magnetismu atd.). Z tohoto postulátu plyne, že fyzikální zákony mají e šeh ineriálníh ztažnýh soustaáh stejný tar (matematiké yjádření liboolné fyzikální teorie by mělo být pro každého pozoroatele ineriální ztažné soustaě stejné). Druhý postulát (prinip stálé ryhlosti sětla) Ryhlost sětla je e šeh ineriálníh ztažnýh soustaáh stejná. Obšírněji řečeno, ryhlost sětla e akuu, obykle značená, je stejná pro šehny pozoroatele ineriálníh ztažnýh soustaáh, stejná e šeh směreh, a nezáisí na ryhlosti objektu yzařujíího sětlo. Na základě těhto dou postulátů Einstein ybudoal speiální teorii relatiity, kde pomoí Lorenzoy transformae ododil několik jeů, které nemají klasiké fyzie obdoby. Jedná se zejména o relatinost současnosti, kontraki délek, dilatai času, relatiistiké skládání ryhlostí, relatiistiký nárůst hmotnosti a relatiistikou energii hmoty. 1 Postulát je předpoklad, který je přijímán jako pradiý a na jehož základě jsou odozoány další trzení Ryhlost sětla e akuu = 99 79 458 m s -1 300 000 km s -1. V jakémkoli hmotném prostředí se sětlo pohybuje pomaleji (např. e odě nebo e skle jen něo kolem 00 000 km s -1 ).
3. Lorenzoa transformae Jedná se o úprau Galileiho transformae za předpokladu stálé ryhlosti sětla e šeh ztažnýh soustaáh. Půodně ji pro ýpočty elektromagnetismu roe 1904 ododil holandský fyzik Hendrik Antoon Lorenz, Einstein si ji niméně ododil lastním způsobem. 3 Nejryhlejší způsob odození spočíá popisu šíření sětelné lny. Pro souřadnie čela lny lze zapsat soustaáh S a S : S : x x S : x x t t Zde písmenem γ značíme hledaný koefiient, který opraí Galileiho transformai, aby uažoala s neměnnou ryhlostí sětla. Tento koefiient se nazýá Lorenzů faktor. Pro souřadnie čela lny platí soustaáh S a S : Po dosazení obdržíme dě ronie S : x t S : x t t t t t t t Tyto dě ronie ynásobíme (tedy ynásobíme leou stranu prní ronie leou stranou ronie druhé, totéž naprao) a proedeme několik úpra t tt t tt tt tt tt tt tt tt tt 1 1 Někdy se pro zjednodušení zaádí tz. bezrozměrná ryhlost β = / a Lorenzů faktor pak lze zapsat jako 1. 1 3 Lorentzou transformai ododil již roe 1887 Něme Woldemar Voight (z jeho práe yplýá, že transformae ede od jedné opráněné optiké soustay k jiné ronoenné optiké soustaě). Jeho myšlenky doplnil roe 1900 franouzský matematik Henri Poinaré a angliký fyzik John Larmor.
Pomoí Lorentzoa koefiientu nyní yjádříme transformační ronie pro přehod ze soustay S do soustay S: K těmto třem roniím pro transformai prostoroýh souřadni je třeba přidat čtrtou ronii pro transformai času: Transformační ronie pro přehod ze soustay S do soustay S mají tar: 4. Důsledky Lorentzoy transformae pro kinematiku A) Relatinost současnosti V klasiké mehanie je relatinost současnosti absolutní pojem (dě události současné jedné soustaě jsou současné i při pohledu z ostatníh ztažnýh sousta). Ve speiální teorii relatiity to ošem neplatí. Předpokládejme dě události A, B, které probíhají jednou okamžiku soustaě S, jsou tedy současné proto platí t t t1 0 Vypočítejme, jaký časoý rozdíl t mezi oběma událostmi naměří pozoroatel soustaě S, která se zhledem k soustaě S pohybuje ryhlostí blízkou ryhlosti sětla. Z Lorentzoy transformae yplýá:
a tedy To, že jsou dě události současné jedné ztažné soustaě, ještě neznamená, že budou současné při pohledu z jiné ztažné soustay. Aby byly obě události současné při pohledu z liboolné jiné ztažné soustay (tj. t 0 ), musí být čitatel zlomku poslední ronii roen nule, ož bude splněno pouze tehdy, když rozdíl x x1 bude roen nule, tedy když budou události soumístné. Můžeme tedy řít, že obě události splýají jedinou událost. Současnost dou událostí je pojem relatiní a bez udání ztažné soustay nemá smysl jej uažoat. B) Dilatae času V klasiké fyzie platí: jestliže jedné ztažné soustaě trá určitý děj po dobu t, pak stejnou dobu trání tohoto děje naměří také pozoroatelé ostatníh ineriálníh ztažnýh soustaáh. Ve speiální teorii relatiity to ošem neplatí: předpokládejme, dě události, které probíhají soustaě S na stejném místě, ale různém čase, tj. platí t t t1 0 a x x x1 0. Najdeme časoý rozdíl mezi oběma událostmi, který naměří pozoroatel soustaě S, která se zhledem k soustaě S pohybuje ryhlostí blízkou ryhlosti sětla. Z Lorentzoy transformae yplýá: a tedy Vzhledem k tomu, že jmenoatel e zlomku je ždy menší než 1, pak to znamená, že pozoroatel pohybujíí se soustaě ždy naměří delší dobu trání děje, než pozoroatel klidoé soustaě. Čím íe se ryhlost soustay blíží ryhlosti sětla, tím delší čas pozoroatel naměří. Dilatae času byla experimentálně oěřena např. detekí mionů atmosféře, Haefele- Keatingoým pokusem (kdy byly jedny z dojie synhronizoanýh hodit umístěny na palubě dopraního letadla) a řadou dalšíh pokusů. C) Kontrake délek V klasiké mehanie je délka tělesa absolutní eličinou. Podíejme se, o o déle tělesa říká speiální teorie relatiity. Předpokládejme, že se tyč délky l pohybuje s elou
soustaou S zhledem k soustaě S ryhlostí blízkou ryhlosti sětla. Najdeme, jakou délku tyče l 0 naměří pozoroatel soustaě S: Z Lorentzoy transformae yplýá: Označíme-li délku tyče čárkoané soustaě l x x pak platí: 1 l 0 l a l l 0 1 1 Délka tyče soustaě, zhledem k níž se tyč pohybuje, je ždy menší než délka téže tyče klidu. Pozoroatel soustaě S ysětlí zkráení tyče tím, že pozoroatel klidoé soustaě neměřil délku tyče jednom okamžiku (události yznačení konů tyče proběhlo jedné soustaě jednom okamžiku na různýh místeh, proto jsou při pohledu z jiné ztažné soustay nesoučasné.) Je třeba si uědomit, že se zkraují pouze ty rozměry, které leží e směru pohybu. Rozměry kolmé na směr pohybu se nemění! D) Relatiistiké skládání ryhlostí Pro skládání ryhlostí platí klasiké mehanie ztah u u. Tento ztah platí pouze pro skládání ryhlostí pohybů, jejihž ryhlost je zanedbatelná e sronání s ryhlostí sětla.pokud by byla ryhlost těhto pohybů sronatelná s ryhlostí sětla, doházelo by k porušení prinipu stálé ryhlosti sětla. Předpokládejme, že speiální lokomotia jede ryhlostí 00 000 km.s -1. V určitém okamžiku strojůde rozsítí přední reflektor. Sětlo z tohoto reflektoru se zhledem k lokomotiě šíří ryhlostí 300 000 km.s -1 e stejném směru jako je směr pohybu lokomotiy. Pokud by platil ztah z klasiké mehaniky, pak by se sětlo zhledem k porhu země šířilo ryhlostí 500 000 km.s -1, ož je spor s prinipem stálé ryhlosti sětla. Ve speiální teorii relatiity proto musí pro skládání ryhlostí platit jiný ztah, který yhouje prinipu stálé ryhlosti sětla. Předpokládejme, že ineriální ztažná soustaa S se zhledem k ineriální ztažné soustaě S pohybuje ryhlostí blízkou ryhlosti sětla e kladném směru osy x. V soustaě S se kladném směru osy x pohybuje částie o hmotnosti m ryhlostí u. Pomoí Lorentzoy transformae najdeme ryhlost této částie zhledem k soustaě S:
a tedy 5) Důsledky Lorentzoy transformae pro dynamiku A) Relatiistiký nárůst hmotnosti Při prníh pokuse s uryhloáním části 60. leteh 0. století bylo zjištěno, že k uryhlení části přes ryhlost a 0, je zapotřebí mnohem ětší energie než k uryhlení na 0,. Lze ododit, že hmotnost částie záisí na její ryhlosti ztahem m m 0, 1 kde m 0 je hmotnost částie klidu a m tz. relatiistiká hmotnost. Pokud by se hmotná částie pohyboala ryhlostí sětla, její hmotnost by byla nekonečná. Proto jediná částie, která se může pohyboat ryhlostí sětla je foton, jehož klidoá hmotnost je nuloá. Podobně lze definoat i relatiistikou hybnost: m0 p m. 1 Tato záislost byla mnohokrát experimentálně oěřena při srážkáh části uryhloačíh, kdy se elkoá relatiistiká hybnost zahoáala (podobně, jako se při nepružnýh srážkáh těles při malýh ryhlosteh zahoáá obyčejná hybnost). B) Vztah mezi hmotností a energií Alberti Einstein ukázal, že při každé změně energie soustay se mění její hmotnost tímto způsobem E m. Např. hmotnost yhořelého jaderného palia je nepatrně nižší než čerstého, protože spotřeboaná energie způsobila hmotnostní úbytek Einstein usoudil, že podobný ztah platí i pro elkoou energii E m. Každý kilogram liboolné hmoty tedy obsahuje 9 10 16 J energie, kterou lidsto zatím umí uolnit např. spaloáním (s účinností kolem jedné miliontiny proenta) nebo jaderném reaktoru (s účinností kolem jedné tisíiny proenta).