@06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou je (ne)rovnice s absolutní hodnotou x - 7 = 0 x 5 0 x - 7 = 0 x x Na co si dát pozor? u rovnic i nerovnic je to stejné: pod odmocninou nesmí být záporné číslo Poznámka: Neznámá pod odmocninou - to dává nepřeberně variant, vezmeme-li v úvahu ještě různé stupně odmocnin. V tomto kurzu se omezíme na případy, kdy je v zadání druhá odmocnina a po úpravách vyjde lineární rovnice. S dalšími typy se budeme zabývat v kurzu "Rovnice a nerovnice II". K řešení vymezeného okruhu (ne)rovnic potřebujeme tyto znalosti: známý vzorec (A + B) = A + AB + B pod odmocninou musí být nezáporné číslo a má smysl jen když a 0 výsledek odmocniny je vždycky kladné číslo b 0 neboli odmocnina je vždy nezáporná ( c) = c aby c mohlo být pod odmocninou, musí být nezáporné ale pozor!!! ( d ) = d d 0 i pro záporné d, proto musíme při úpravě dát d do absolutní hodnoty Musíme rozlišovat, jestli se nejprve odmocňuje a pak umocňuje, nebo jestli se nejprve umocňuje a teprve pak odmocňuje. U nerovnic při umocňování (odmocňování) výrazu A > B musíme zkoumat, jestli platí, že menší strana B je nezáporná B 0. Jinak umocňovat (odmocňovat) nemůžeme. Symbolicky: platí-li pro A, B reálné A > B a zároveň B 0 pak platí A > B (resp A > B ) protipříklad platí > -7 ale neplatí > (-7) tj >
chyba je v tom, že menší strana není nezáporná!!! Typ A. Zadaná rovnice obsahuje jedinou druhou odmocninu. Příklad: Řešte v R rovnici x x rozbor Vždycky se snažíme (ne)rovnici upravit tak, aby odmocnina byla na jedné straně a všechny ostatní členy na druhé. x x Až se nám to podaří, umocníme celou rovnici (u nerovnic musíme ještě zkoumat další podmínku, viz dále) na druhou, tj. levou stranu zvlášť a pravou stranu zvlášť. ( x ) (x ) Na levé straně se druhá odmocnina a druhá mocnina vyruší podle pravidel (viz výše). Na pravé straně použijeme vzorec dvojčlen na druhou (též viz výše). x + = x + x + - 8 = x kandidát řešení x = -/ Zkouška: musí být provedena zásadně do zadané (ne)rovnice L ( / ) P(-/) = ( ) 6 6 5 Odpověď: Zadaná rovnice má jeden kořen x = -/; řešením je množina S = {-/} Úkol: Řešte v R rovnici x x pokračování výsledek
@066 Správně Řešte v R nerovnici x 0 rozbor x protože menší strana je kladná 0 můžeme nerovnici umocnit x + x 0 Poslední nerovnice je pravdivá pro každé reálné číslo x, tedy kandidátem řešení jsou všechna reálná čísla. zkoušku musíme udělat obrácením postupu. Všechny kroky jsou jasné, jen připomeneme jediný. x + 0 Protože menší strana je větší než nula, lze nerovnici odmocnit a znaménko nerovnosti se nezmění. Tak dostaneme (x +) a nakonec původní nerovnici x 0 pokračování
@06 Řešte v R rovnici x x x x rozbor x + = x - x + = - x + x = kandidát x = / zkouška L (/ ) ( ) P (/ ) P(/) L(/) 6 6 6 5 Odpověď: Zadaná rovnice nemá v R žádný kořen; množina řešení je prázdná S = Ø Úkol: Řešte v R nerovnici x 0 Řešením je S = {-; } S = Ø S = R
@067 Typ B. Rovnice obsahuje dvě druhé odmocniny a úpravami lze dosáhnout toho, že každá z nich bude na jedné straně a kromě nich, již nebude v součtu (rozdílu) žádný další člen. Příklad: Řešte v R rovnici x x 0 rozbor Rovnici snadno upravíme do tvaru x x Nyní celou rovnici umocníme na druhou, tj. levou stranu zvlášť a pravou stranu zvlášť. (x-) = (-x) x- = -x+8 5x = x = /5 zkouška L(/5) = (/5-) - (-/5) = (/5) - (/5) = (/5) - (/5) = 0 P(/5) = 0 Úkol: Řešte v R nerovnici x x 0 pokračování - výsledek
@065 Bohužel znovu prostudujte
@06 Řešte v R nerovnici x x 0 Poznámka: Tato nerovnice ukazuje, že jasné postupy návodů nemusí vždycky vést k cíli. Převedeme-li jednu odmocninu na pravou stranu, dostaneme x x Tuto nerovnici nemůžeme umocnit!!! Menší strana (pravá) totiž není nezáporná díky mínusu před odmocninou. rozbor: Víme, že odmocnina je vždy nezáporné číslo. Levá strana zadané nerovnice je tedy součet dvou nezáporných čísel a to je opět nezáporné číslo. Zadaná nerovnice tedy platí pro všechna x R, pro která mají odmocniny smysl. První odmocnina je platná pro x - 0 => x / Druhá - x 0 => x Podmínky musí platit současně, což představuje interval </; >. zkouška: Pro x </; > mají obě odmocniny smysl a levá strana představuje součet dvou nezáporných čísel. Tedy levá strana je přinejhorším rovna nule. Spodní hranice určená pravou stranou proto nebude nikdy překročena. odpověď: Řešením jsou všechna reálná čísla z intervalu </; > KONEC LEKCE