Reálné posloupnosti Reálné posloupnosti Intervaly otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}; polouzavřený interval (a, b = {x R, a < x b}; uzavřený interval a, b = {x R, a x b}; otevřený neomezený interval (a, ) = {x R, a < x}; otevřený neomezený interval (, a) = {x R, a > x}; uzavřený neomezený interval a, ) = {x R, a x}.. Pojmy Okolí bodu a, které značíme o(a) je otevřený interval (případně otevřený neomezený interval) obsahující bod a. Toto okolí může být symetrické i nesymetrické. Obrázek : Nesymetrické okolí bodu a Epsilon okolí bodu a: o ε (a) = {x (a ε, a + ε)}. Ryzí okolí bodu a: o(a) = o(a) {a}. Obrázek : Epsilon okolí bodu a Obrázek 3: Ryzí okolí bodu a. Definice Řekneme, že reálná posloupnost {a n } n=konverguje k a R, jestliže o(a) bodu a R N N tak, že n N je a n o(a). a n = a = a n. 3. Definice Řekneme, že posloupnost {a n } n=diverguje k + jestliže R N N tak, že n N je a n >. a n =. 4. Definice Řekneme, že posloupnost {a n } n=diverguje k jestliže R N N tak, že n N je a n <. a n =. 5. Definice Pokud posloupnost ani nediverguje ani nekonverguje pak osciluje. SA ÚM FSI VUT v Brně, 6. ledna 8
Reálné posloupnosti Například:,,,,,,,... 6. Definice Posloupnost je shora omezená, jestliže R takové, že a n. Posloupnost je zdola omezená, jestliže R takové, že a n. Posloupnost je omezená, jestliže je omezená shora i zdola zároveň. 7. Definice Posloupnost je: rostoucí: a n < a n+ ; klesající: a n > a n+ ; stacionární: a n = a n+ ; neklesající: a n a n+ ; nerostoucí: a n a n+. 8. Definice Říkáme, že je posloupnost monotónní, či ryze monotónní(pokud je rostoucí nebo klesající). 9. Definice Řekneme, že posloupnost má hromadný bod a R, jestliže v každém okolí o(a) existuje nekonečně mnoho členů a n o(a). Hromadných bodů může být i více.. Příklad Určete hromadné body daných posloupností:. {a n } n= =,,,,,,,,... hromadné body: a.. {a n } n= =,, 3, 4, 5, 6,... hromadné body: + a. 3. {a n } n= =,, 3, 3, 4, 3 4, 5, 4 5,... hromadné body: a.. Věta aždá posloupnost má alespoň hromadný bod. Důkaz. Předpokládejme, že posloupnost není shora omezená. Hromadný bod je pak.. Předpokládejme, že posloupnost není zdola omezená. Hromadný bod je pak. 3. Předpokládejme, že posloupnost není omezená nekonečně mnoho členů této posloupnosti je prvkem intervalu, L. Uvažujeme intervaly, +L a +L, L. Přinejmenším v jednom z těchto intervalů je nekonečně mnoho bodů posloupnosti. Tento interval opět rozpůlíme. Průnik nekonečně mnoha půlených intervalů je bod hromadný bod.. Definice Suprémum ze všech hromadných bodů posloupnosti {a n } n=značíme sup a n a nazýváme es superior. Infimum ze všech hromadných bodů posloupnosti {a n } n=značíme inf a n a nazýváme es inferior. 3. Příklad. {a n } n= =,,,,,,... sup a n = inf a n = a n neexistuje SA ÚM FSI VUT v Brně, 6. ledna 8
Reálné posloupnosti 3. {a n } n= =,,,, 3, 3,, 3 4, 4,, 4 5, 5,... hromadné body:, 3. {a n } n= =,,, 4, 3 4, 8, 3 8, 5 8, 7 8, 6,... nekonečně mnoho hromadných bodů Dochází k postupnému zahušťování na ose v intervalu,. sup a n =, inf a n = 4. Poznámka Vybraná podposloupnost posloupnosti {a n } n=je posloupnost. 5. Příklad {a n } n= =,,, 4, 3 4, 8, 3 8, 5 8, 7 8, 6,... vybraná podposloupnost: {a ki } n=, k < k <... < k i < k i+ <..., {a ki } n= =,, 4, 8, 6,... (k =, k = 3, k 3 = 4, k 4 = 6, k 5 =,...). 6. Věta Má-li posloupnost {a n } n=hromadný bod a R, pak existuje vybraná podposloupnost {a ki } n=, která konverguje k a. 7. Věta (Bolzano, Weierstrass) Pro každou omezenou posloupnost existuje její vybraná konvergentní podposloupnost. Vybrané ity: n =, n =. Neurčité výrazy:,,,,,,,. 8. Vlastnosti it Pokud jsou a n, vlastní ity, pak platí: Pokud P, Q jsou polynomy, pak platí: P Q = ± pokud deg P > deg Q P Q = pokud deg P < deg Q (a n ± ) = a n ± (a n ) = a n a n = a n, P Q = p q kde p, q jsou vedoucí koeficienty polynomů P a Q při deg P = deg Q 9. Příklad (k předchozímu výčtu):.. n + = n n 5 + = n ( + n ) = n 5 ( + n 5 ) = n + {}}{ n + = n 5 = n = SA ÚM FSI VUT v Brně, 6. ledna 8
Reálné posloupnosti 4 + n 4 3. n + = ( + n 4 n ) ( + 3 ( n + n ) = n 4 n ) 3 ( 3 n + n ) = 3. Věta Reálná posloupnost je konvergentní je cauchyovská. + {}}{ n 4 n + Důkaz :Předpokládejme, že posloupnost {a n } n=je konvergentní k číslu a R, tzn. ε >, tedy i pro ε N N tak, že n N je a n a < ε a také m N je a m a < ε. Platí tedy: a m a n = a m a + a a n a m a + a a n = ε + ε = ε :Předpokládejme, že posloupnost {a n } n=je cauchyovská a že má dva vlastní hromadné body (a, a R). Pak existuje vybraná podposloupnost {a ki } n=, která má itu a a vybraná podposloupnost {a li } n=, která má itu a. Tzn. existuje ε > tedy i pro ε 3 číslo N N tak, že k i N je a ki a < ε 3. A existuje ε > tedy i pro ε 3 číslo N N tak, že l i N je a li a < ε 3. Protože je posloupnost cauchyovská existuje ε 3 > číslo N N tak, že m, n N je a m a n < ε 3. Vezměme N = max{n, N, N }. Pak k i, l i N je a a = a a ki + a ki a li + a li a a a ki + a ki a li + a li a = ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε Tedy pro libovolné ε je a a ε. Odtud máme a = a. Jediný hromadný bod znamená, že posloupnost konverguje.. Důsledek R je úplný metrický prostor.. Věta (Stolz) Předpokládejme, že { } n= je (alespoň od nějakého indexu) rostoucí posloupnost a =. {a n } n=je další posloupnost. Pak platí: a n = a n a n. = Důkaz Předpokládejme, že an an = l R. Pak pro každé ε >, tedy i pro ε N N tak, že n N je l ε < an an < l + ε. Tedy ať vezmeme jakékoliv n > N (představme si n pevné), jsou všechny zlomky a N+ a N a b N+ b N, N+ a N+ a b N+ b N+,..., n a n a, n a n mezi hranicemi l ε, l + ε. Tedy i zlomek an a N b N leží mezi těmito hranicemi ({ } n= je rostoucí všechny jmenovatelé jsou kladní). Tzn. an a N b N l < ε. Platí a n l = a ( N lb N + b ) ( ) N an a N l = a N lb N + b ( ) n b N an a N l = a N lb N + b N b N a n a N + lb N l = a N lb N + a n l Dále platí b N bn, a tak dostaneme + a N + lb N a n l a N lb N + a n a N l b }{{ n b } n b }{{ N } < ε < ε (pro vhodný index). Celkem an l < ε. Tedy věta je dokázána pro případ vlastní ity. Předpokládáme, že an an (alespoň od určitého indexu). Vidíme, že {a n } n=je =. Tzn., že a n a n > > > SA ÚM FSI VUT v Brně, 6. ledna 8
Reálné posloupnosti 5 rostoucí posloupnost a dokonce a n =. bn bn a n a n předpoklady Stolzovy věty. = a pro posloupnost { bn bn a n a n } jsou splněny 3. Příklad a n = + + 3 +... + n n + ; N např. pro = :, 5 8, 4 7 Dle Stolzovy věty: + + 3 +... + n n + = ( + + 3 +... + n ) ( + + 3 +... + (n ) ) n + (n ) + = n n n + = (n ) + n n + (n )(n ( ) n + ( ) n +... + ) = n = ( ) = n + n + + n + n +. + nižší mocniny Děkujeme Lence Zavíralové za pečlivé vysázení poznámek z přednášky. Tento text zatím neprošel výraznějšími úpravami, proto přivítáme jakékoli upozornění na případné nepřesnosti. Připomínky adresujte na hoderova@fme.vutbr.cz SA ÚM FSI VUT v Brně, 6. ledna 8