Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Parciální diferenciální rovnice Přednášky ZS 2016-2017 Sponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 2016

Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní zkoušce (žádné označení) Příklady k procvičení - dobrovolné Pro studenty, kteří chtějí vědět víc. Tato látka se nebude přednášet, nebude v písemkách, nebude se zkoušet.

Obsah 1 Klasifikace lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu 2 Transformace proměnných 3 Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty Převod na kanonický tvar 4 Lineární vlnová rovnice 2. řádu 5 Rovnice vedení tepla a její řešení 6 Stacionární řešení 7 Vlnová rovnice v 1D na konečném intervalu 8 Vedení tepla a vlnová rovnice na obdélníku 9 Laplaceova rovnice 10 Literatura k dalšímu studiu

Klasifikace lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu Na rozdíl od obyčejných diferenciálních rovnic, jejichž teorie se odvíjí z věty o existenci a jenoznačnosti řešení, neexistuje žádná podobná věta pro parciální diferenciální rovnice (PDR). Každý typ PDR má vlastní teorii. Lineární PDR 2.řádu Au xx + 2Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = G, kde obecně A, B, C, D, E, F, G jsou spojité funkce x a y v oblasti Ω R 2, přičemž alespoň jedna z funkcí A, B, C je nenulová v každém bodě (x, y) Ω. Je-li Poznámka: A B AC B 2 > 0... eliptické PDR AC B 2 < 0... hyperbolické PDR AC B 2 = 0... parabolické PDR B C = AC B2.

Příklad Uvažujme rovnici 2 u x + y 2 u 2 y = 0. 2 Zde A = 1, B = 0, C = y, D = E = F = G = 0, tedy AC B 2 = y. Rovnice je tedy eliptického typu pro všechny body horní poloroviny, tj. pro y > 0, je hyperbolického typu v dolní polorovině, tj. pro y < 0, a je parabolického typu v bodech osy x, t.j. pro y = 0. Příklad Nyní uvažujme rovnici 4 2 u x 2 + 2 2 u x y + 2 u y 2 = 0. Tato rovnice je parabolická, protože AC B 2 = 4 4 = 0.

Transformace proměnných Věta Každou lineární parciální diferenciální rovnici druhého řádu dvou proměnných, eliptickou, hyperbolickou, nebo parabolickou, lze vhodnou lokální transformací souřadnic převést v okolí každého bodu (x 0, y 0 ) Ω na kanonický tvar. Tj. u rovnice eliptického typu na tvar 2 u x + 2 u 2 y + a 1(x, y) u 2 x + b 1(x, y) u y + c 1(x, y)u = f 1 (x, y), u rovnice hyperbolického typu na tvar 2 u x 2 u 2 y + a 2(x, y) u 2 x + b 2(x, y) u y + c 2(x, y)u = f 2 (x, y) a u rovnice parabolického typu na tvar 2 u x 2 + a 3(x, y) u x + b 3(x, y) u y + c 3(x, y)u = f 3 (x, y), a 3 (x, y) 0.

Lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty Mějme nyní lineární PDR 2. řádu s konstantními koeficienty A 2 u x + B 2 u 2 x y + C 2 u y + D u 2 x + E u + Gu F = 0, (1) y kde A + B + C = 0. K dané rovnici přiřadíme charakteristickou rovnici A(dy) 2 Bdxdy + C(dx) 2 = 0. (2) Řešením charakteristické rovnice je každá dvojice funkcí x = ϕ(t), y = ψ(t), t (α, β), (3) která splňuje danou rovnici. Přitom za dx dosadíme výraz dx dt a nakonec celou rovnici vydělíme výrazem (dt) 2., za dy výraz dy dt Definice Jestliže jsou funkce x(t) = ϕ(t), y(t) = ψ(t) řešením rovnice (2) a jsou-li rovnice (3) parametrickými rovnicemi hladké křivky, pak tuto křivku nazveme charakteristikou.

Příklad Najděte charakteristiky rovnice 2 z x 2 z 2 y = 0. 2 Řešení K rovnici přiřadíme charakteristickou rovnici: neboli (dy) 2 (dx) 2 = 0, (dy) 2 = (dx) 2 = (dy)2 dy = 1 = (dx) 2 y dx = ±1. Charakteristikami dané rovnice jsou přímky y = x + P a y = x + Q, kde P, Q R. x Máme tak dvě třídy přímek a každým bodem roviny 0xy prochází právě jedna přímka z každé třídy. Poznámka Bodem (x, y) může procházet právě jedna charakteristika, nebo charakteristik může být více a nebo nemusí existovat žádná.

Příklad Řešení Najděte charakteristiky pro rovnici vedení tepla u 2 u t x = 0. 2 Rovnici přiřadíme charakteristickou rovnici: (dy) 2 = 0 = dy = 0 = y = P, P R. Charakteristiky rovnice vedení tepla jsou přímky y = konst. Příklad Řešení Najděte charakteristiky Laplaceovy rovnice 2 u x + 2 u 2 y = 0. 2 Laplaceově rovnici přiřadíme charakteristickou rovnici: (dy) 2 + (dx) 2 = 0, Součet dvou nezáporných hodnot je roven nule tehdy a jen tehdy, pokud obě hodnoty jsou současně nulové, takže máme dy = 0 = y = P, dx = 0 = x = Q, P, Q R. Vztahy x = Q, y = P, ale nepopisují žádnou křivku, proto Laplaceova rovnice nemá žádnou charakteristiku.

Převod na kanonický tvar Převod na kanonický tvar - rovnice hyperbolického typu Ukážeme si, jak lze PDR 2. řádu s konstantními koeficienty (1) převést pomocí charakteristik na kanonický tvar. Mějme rovnici hyperbolického typu, tj. B 2 4AC > 0. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že A 0. Charakteristickou rovnici upravíme na tvar A(dy) 2 Bdxdy + C(dx) 2 = 0 A Zaved me substituci λ := dy dx ( ) 2 dy B dy dx dx + C = 0. a hledejme řešení rovnice Aλ 2 Bλ + C = 0. Vzhledem k podmínce pro rovnici hyperbolického typu, má tato kvadratická rovnice dvě reálná různá řešení. Označme je λ 1, λ 2 R.

Převod na kanonický tvar Potom λ 1 := dy dx = dy = λ 1 dx = y = λ 1 x + ξ, ξ R. Analogicky y = λ 2 x + η, η R. Charakteristikami jsou tedy dvě třídy přímek y = λ 1 x + ξ, a y = λ 2 x + η, ξ, η R. Každým bodem prochází právě jedna přímka z každé třídy, Jinak řečeno, známe-li bod (x, y), známe i čísla ξ, η a naopak, známe-li čísla ξ, η, známe i souřadnice průsečíku charakteristik: x = ξ η λ 2 λ 1, y = λ 2ξ λ 1 η λ 2 λ 1, a naopak ξ = y λ 1 x, η = y λ 2 x.

Převod na kanonický tvar Tedy každou funkci proměnných x, y můžeme považovat za funkci proměnných ξ, η. Přitom platí: ( ξ η u(x, y) = u, λ ) 2ξ λ 1 η = U(ξ, η). λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 A naopak U(ξ, η) = U(y λ 1 x, y λ 2 x) = u(x, y). Zkoumejme, jakou rovnici splňuje funkce U, jestliže funkce u je řešením rovnice (1). Musíme tedy vypočítat parciální derivace složené funkce u(x, y) = U(ξ, η), ξ = ξ(x, y), η = η(x, y).

Převod na kanonický tvar u x u y = U ξ ξ x + U η η x = λ U 1 ξ λ U 2 η, = U ξ ξ y + U η η y = U ξ + U η, 2 u x 2 = λ 2 2 U 1 ξ 2 + 2λ 2 U 1λ 2 ξ η + 2 U λ2 2 η 2, 2 u x y = λ 1 2 U ξ 2 2 u y 2 = 2 U ξ 2 + 2 2 U ξ η + 2 U η 2. (λ 1 + λ 2 ) 2 U ξ η λ 2 U 2 η 2, Dosadíme tyto hodnoty do rovnice (1) a dostaneme ( A λ 2 2 U 1 ξ 2 + 2λ 2 U 1λ 2 ξ η + 2 ) ( U 2 U λ2 2 η 2 +B λ 1 ξ 2 ( 2 U +C ξ 2 + 2 2 U ξ η + 2 U η 2 ) +D ( λ 1 U ξ λ 2 U η (λ 1 + λ 2 ) 2 U ξ η λ 2 ) ( U +E ξ + U η 2 ) U η 2 + ) +Gu F = 0.

Převod na kanonický tvar Po úpravě dostaneme (zajímají nás jen členy, které obsahují 2. derivace): (Aλ 2 1 Bλ 1+C) 2 U ξ 2 +(2Aλ 1λ 2 B(λ 1 +λ 2 )+2C) 2 U ξ η +(Aλ2 2 Bλ 2+C) 2 U η 2 + = 0. Nyní upravíme koeficienty těchto derivací. Protože λ 1, λ 2 byly kořeny kvadratické rovnice Aλ 2 Bλ + C = 0, jsou koeficienty druhých parciálních derivací podle ξ 2 a η 2 nulové. Koeficient 2Aλ 1 λ 2 B(λ 1 + λ 2 ) + 2C upravíme pomocí Vietových vzorců. Platí λ 1 + λ 2 = B A = B A, λ 1λ 2 = C A. Tedy 2Aλ 1 λ 2 B(λ 1 + λ 2 ) + 2C = 2A C A B B A + 2C = 1 A ( B2 + 4AC) 0, protože rovnice byla hyperbolická. Tedy koeficient u smíšené druhé parciální derivace bude nenulový a můžeme jím vydělit celou rovnici. Dostaneme kanonický tvar hyperbolické rovnice, který se používá k řešení: 2 U ξ η + = 0.

Lineární vlnová rovnice 2. řádu Příklad Lineární vlnová rovnice 2. řádu A = c 2, B = 0, C = 1, AC B 2 = c 2 < 0 hyperbolická. u tt c 2 u xx = 0 (4) = vlnová rovnice je Proč vlnová rovnice? Necht f ( ) je libovolná funkce jedné proměnné dvakrát spojitě diferencovatelná. Necht u(x, t) = f (x ct). Pak t u(x, t) = f (x ct).( c), x u(x, t) = f (x ct), 2 t 2 u(x, t) = f (x ct) c2, 2 u(x, t) = f (x ct). x 2 Dosadíme-li u(x, t) = f (x ct) a příslušné derivace do rovnice (4), dostaneme f (x ct) c 2 c 2 f (x ct) = 0, a tedy u(x, t) = f (x ct) řeší rovnici (4) pro libovolnou funkci jedné proměnné, která má dvě spojité derivace. Obdobně, u(x, t) = f (x + ct) je také řešení vlnové rovnice (4).

Jak se funkce u(x, t) = f (x ct) chová? V čase t = 0 je řešení jednoduše u(x, 0) = f (x). Jak se čas zvětšuje, profil f (x) se pohybuje vpravo rychlostí c, t.j. u(x, t 1 ) = f (x ct 1 ) = f (x ct 1 + ct 2 ct 2 ) = f ((x + c(t 2 t 1 )) ct 2 ) = = u(x + c(t 2 t 1 ), t 2 ). Obdobně je-li u(x, t) = f (x + ct), pohybuje se profil f (x) doleva s rychlostí c: u(x, t 1 ) = f (x + ct 1 ) = f (x + ct 1 ct 2 + ct 2 ) = f ((x c(t 2 t 1 ) + ct 2 ) = = u(x c(t 2 t 1 ), t 2 ).

Např: f (x) = x 2, c = 1, t 1 = 1, u(x, t 1 ) = f (x ct 1 ) = (x ct 1 ) 2 = u(x, 1) = (x 1) 2, u(x, 2) = (x 2) 2, u(x, 3) = (x 3) 2,... u(x, t) = f (x ct) u(x, t) = f (x + ct)

Rovnice vedení tepla a vlnová rovnice v 1D na konečné oblasti Rovnice vedení tepla Kovový drát délky l vede teplo jen v jednom směru (v jedné dimenzi), drát nemusí být na koncích nutně izolovaný izolovaný izolovaný 0 L Rozložení teploty u t γ 2 u xx = 0, 0 < x < L, 0 < t <, okrajová podmínka u(0, t) = g 1, u(l, t) = g L 0 < t <, nebo u(0, t) = g 1 (t), u(l, t) = g L (t) 0 < t <, počáteční podmínka u(x, 0) = f (x), 0 x L. Poznámka: A = γ 2, E = 1, AC B 2 = 0 = parabolická PDR. Řešení existuje, a to právě jedno.

Označme ϕ(x) tok tepla = proudění tepla za jednotku času jednotkovou plochou. Fourierův zákon vedení tepla ϕ(x) = k 0 u(x, t) x, kde k 0 je tepelná vodivost materiálu (k 0 malé... izolátor, k 0 velké... dobrý vodič)

Drát na konci upevněný rovnice u t γ 2 u xx = 0, 0 < x < L, 0 < t < okr.pod. u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, 0 < t <, (homogenní) poč.pod. u(x, 0) = f (x), 0 x L. Řešíme metodou separace proměnných, tj. hledáme řešení ve tvaru Dosadíme do naší úlohy: u(x, t) = X(x) T (t). u x = X (x) T (t), X(x)T (t) γ 2 X (x)t (t) = 0, T (t) γ 2 T (t) }{{} = X (x) = k. X(x) }{{} 2 u x 2 = X (x) T (t), = Tedy funkce proměnné t je rovna funkci proměnné x a jediná možnost, jak se mohou rovnat je, že se rovnají nějaké konstantě k, k... separační konstanta. = 2 rovnice

T (t) kγ 2 T (t) = 0 X (x) kx(x) = 0 Řešení T (t) kγ 2 T (t) = 0: T (t) = Ce A(t), A(t) = a(t)dt = kγ 2 dt = kγ 2 t T (t) = Ce kγ2 t, C R. Omezení na k: kdyby k > 0 = kγ 2 > 0 = lim T (t) = +... t + nefyzikální = předpoklad k 0. Necht například k = λ 2. Pak T (t) = Ce λ2 γ 2 t, C R. Řešení X (x) kx(x) = 0, t.j. X (x) + λ 2 X(x) = 0 = charakteristická rovnice τ 2 + λ 2 = 0 = τ = ±λi = X(x) = A cos λx + B sin λx, A, B R, λ R.

Hledané řešení: Okrajové podmínky: u(x, t) = (A cos λx + B sin λx) C e λ2 γ 2 t u(0, t) = T (t)x(0) = 0 0 < t < + u(l, t) = T (t)x(l) = 0 T (t) 0 (chceme netriviální řešení) = X(0) = 0, t.j. X(0) = A cos 0 + B sin 0 = A = 0, X(L) = 0, X(L) = A cos λl + B sin λl = B sin λl = 0, B 0, nechceme triviální řešení. Tedy λl = nπ, Označme jedno z řešení λ = n π L, n N. X n(x) =B n sin λ nx = B n sin ( nπ L x ).

Dostaneme u n(x, t) = T n(t)x n(x) = C ne λ2 γ 2 ( t nπ ) Bn sin L x, u n(x, t) = b n e n2 π 2 L 2 γ2 t ( nπ ) sin L x, b n := C nb n. Tedy můžeme zvolit libovolné přirozené n a dostaneme řešení. Jak je to s počátečními podmínkami? Rovnice vedení tepla je lineární = lineární kombinace řešení je opět řešení. Necht tedy řešení má tvar u(x, t) = u n(x, t) = b ne λ2 γ 2 ( t nπ ) sin L x. n=1 n=1 n=1 ( nπ ) t = 0 = u(x, 0) = u n(x, 0) = b n sin L x. n=1

Zbývá určit konstanty b n. Jestliže bude platit f (x) = u(x, 0) = ( nπ ) b n sin L x, }{{} Fourierova sinová řada na 0, L dostaneme jednoznačné řešení. Sinová řada (rozvoj funkce f (x) do sinů) f (x) = n=1 Výsledné řešení : u(x, t) = n=1 n=1 ( nπ ) b n sin L x, kde b n = 2 L L b n e n2 π 2 L 2 γ2 t sin ( nπ L x ), kde b n = 2 L 0 ( nπ ) f (x) sin L x dx. L 0 ( nπ ) f (x) sin L x dx. Poznámka: Pro t + konverguje řešení k nule, t.j. k okrajovým podmínkám u(0, t) = u(l, t) = 0. Funkce u(x, t) 0 je, zanedbáme-li počáteční podmínky, konstantní řešení naší úlohy.

Drát na koncích perfektně izolovaný Drát na koncích izolovaný na koncích žádný tok ( nic nevchází ani nevychází ). Metodou separace proměnných tentokrát řešíme úlohu rovnice u t γ 2 u xx = 0, 0 < x < L, 0 < t < okr.pod. u x(0, t) = 0, u x(l, t) = 0, 0 < t <, žádný tok poč.pod. u(x, 0) = f (x), 0 x L. Řešení hledáme ve tvaru Dostaneme Z počátečních podmínek u(x, t) = X(x) T (t). X(x) = A cos(λx) + B sin(λx), u x(0, t) = X (0) = 0 = Aλ sin(λx) + Bλ cos(λx) = 0, λ 0 = B = 0 = X(x) = A cos(λx), Dále X (L) = Aλ sin(λl) = 0 = λl = nπ, n = 0, 1,... Položme λ n := nπ, n = 0, 1,... L

Dostaneme Z linearity ( nπ ) X n(x) = A n cos L x, T n(x) = C n e n2 π 2 L 2 γ2 t, u n(x, t) = T n(t)x n(x) = a n e n2 π 2 u(x, t) = u n(x, t) = a 0 + n=0 L 2 γ2 t ( nπ ) cos L x, a n := A nc n. n=1 a n e n2 π 2 L 2 γ2 t cos ( nπ L x ).

Z počáteční podmínky u(x, 0) = a 0 + n=1 ( nπ ) a n cos L x, koeficienty a n definujeme z cosinového rozvoje f (x) pro 0 x L. Výsledné řešení: u(x, t) = a 0 + n=1 a n e n2 π 2 L 2 γ2 t cos ( nπ L x ), kde a 0 = 1 L a n = 2 L L 0 L 0 f (x)dx, ( nπ ) f (x) cos L x dx.

Poznámka Co se stane pro t? Opět všechny členy pro n > 0 konvergují k 0, ale teplota pro t je tentokrát konstanta a 0. Povšimněte si, že a 0 je průměrná hodnota počáteční teploty, nebot podle věty o střední hodnotě integrálního počtu je a řešení dasáhne této hodnoty. prm(f (x), 0, L ) = 1 L L 0 f (x)dx T u(0, t) u(l, t) okr.p. okr.p. 0 p.p.u(x, 0) L

Stacionární řešení (steady state solutions) Stacionární řešení je takové řešení, které nezávisí na čase, je pouze funkcí x, t.j. u(x, t) = U(x). Poznamenejme, že v předchozích dvou problémech vedení tepla (difuze) platilo, že lim u(x, t) = U(x). t Dosad me stacionární řešení do rovnice difuze t U(x) γ 2 2 }{{} x U(x) = 0 2 U (x) 0, t.j. grafem U je přímka. = 0 Funkce U(x) musí také splňovat okrajové podmínky, t.j. t > 0 U(0) = U(L) = 0 = U(x) 0. Pro řešení úlohy s okrajovými podmínkami u x(0, t) = u x(l, t) je řešením jakákoliv konstantní funkce.

Homogenizace Zatím jsme měli homogenní okrajové podmínky. Obecné nehomogenní lineární okrajové podmínky mají tvar α 1 u(0, t) + β 1 u x(0, t) = p 1 (t), α 1 β 1 0 α 2 u(l, t) + β 2 u x(l, t) = p 2 (t), α 2 β 2 0. Úlohu s takovými okrajovými podmínkami nelze řešit separací. Co s tím? Uvažujme například úlohu rovnice u t γ 2 u xx = 0, 0 < x < L, 0 < t < okr.pod. u(0, t) = A, u(l, t) = B, 0 < t <, poč.pod. u(x, 0) = f (x), 0 x L. Tento problém převedeme na úlohu s homogenními okrajovými podmínkami tzv. homogenizace.

Necht u(x, t) = ũ(x, t) + h(x) = ũ(x, t) = u(x, t) h(x), kde h(x) je nějaká funkce. Jaká? Už víme, že stacionární řešení U je přímka, která splňuje okrajové podmínky. Tedy obecně U(x) = mx + b, kde m a b určíme z okrajových podmínek, U(0) = b = b = A U(L) = ml + b = ml + A = B = m = B A. L Stacionární řešení je U(x) = B A A(L x) x + A = + Bx L L L. Tedy řešení zapíšeme ve tvaru u(x, t) = ũ(x, t) + U(x) }{{}}{{}}{{} nehomog.okr.p. homog.okr.p. nafitují žádané okr.p. ũ(x, t)... částečné }{{ řešení } (přechodné, transient solution ) mezivýsledek

Nyní dosadíme u(x, t) = ũ(x, t) + U(x) do rovnice u t γ 2 u xx = 0. Dostaneme ũ(x, t) t ũ(x, t) t γ 2 2 ũ(x, t) x 2 γ 2 U (x) }{{} = 0 = = 0 γ 2 2 ũ(x, t) x 2 = 0 stejná rovnice jako pro u(x, t) ũ(0, t) = u(0, t) A = 0, ũ(l, t) = u(l, t) B = 0 ũ(x, 0) = f (x) U(x) := g(x) = f (x) B A x A l Dostaneme úlohu pro mezivýsledek homogenní okrajová podmínka počáteční podmínka rovnice ũ t γ 2 ũ xx = 0, 0 < x < L, 0 < t < okr.pod. ũ(0, t) = ũ(l, t) = 0, 0 < t <, poč.pod. ũ(x, 0) = g(x), 0 x L. Hledané řešení je u(x, t) = ũ(x, t) + U(x) }{{}}{{}. částečné řešení stacionární řešení

Vlnová rovnice v 1D na konečném intervalu Modelová rovnice: Elastická struna upevněná ve dvou bodech x = 0 a x = L Struna je pevná, předpokládáme, že když nastane stacionární (rovnovážný) stav, struna je rovná přímka. 0 x L u(x, t) 0 x L, u(x, t)... svislé posunutí rovnice 2 u t 2 2 u c2 = 0, 0 x L, 0 < t <, x 2 c je parametr, který závisí na vlastnostech struny, konkrétně c je vlnová rychlost systému, t.j. rychlost, s jakou se profil vlny pohybuje. dvě okr.p. u(0, t) = u(l, t) = 0, t > 0 struna upevněná na obou koncích dvě poč.p. u(x, t) = f (x), u t(x, 0) = g(x), 0 x L, f (x) je poč. posunutí struny, g(x) je poč. svislá rychlost struny v bodě x. Za vhodných předpokladů na f (x) a g(x) má úloha jednoznačné řešení.

Úlohu řešíme separací, t.j. hledáme řešení rovnice (bez okr. a poč. podmínek) ve tvaru u(x, t) = X(x)T (t). Dosadíme do rovnice a dostaneme tedy X(x)T (t) c 2 X (x)t (t) = 0 = T (t) c 2 T (t) = X (x) X(x) = k, T (t) kc 2 T (t) = 0 X (x) kx(x) = 0. Tyto dvě rovnice vyřešíme. Poznamenejme, že konstanta k může být pouze 0. Položíme k := λ 2.

Dostaneme T (t) = A sin(cλt) + B cos(cλt), A, B R X(x) = C sin(λx) + D cos(λx), C, D R, Okrajové podmínky: X(0) = C sin(0) + D cos(0) = D = 0. Tedy X(x) = C sin(λx) X(L) = C sin(λl) = 0 = { C = 0, triviální řešení C 0, λl = nπ λ = nπ L, n N t.j. pro C 0 splňuje nekonečně mnoho řešení naší rovnice struny okrajové podmínky. Pro libovolné n N je u n(x, t) = T n(t)x n(x) = [A n sin(cλ nt) + B n cos(cλ nt)] C n sin(λ nx), kde λ n = nπ, An, Bn, Cn R libovolné konstanty. L

Lineární kombinace řešení je také řešení: u(x, t) = n=1 [A n sin(c nπ L t) + Bn cos(c nπ L t) ] sin( nπ L x). Poznamenejme, že C n jsme se zbavili tak, že jsme položili A n := A nc n, B n := B nc n. Z počátečních podmínek u(x, 0) = f (x), u t(x, 0) = g(x), 0 x L, je u(x, 0) = B n sin( nπ L x) = f (x), definujeme Bn = 2 L n=1 u t(x, t) = u t(x, 0) = n=1 L 0 f (x) sin( nπ L x)dx. [ A n cos(c nπ πn t)c L L Bn sin(c nπ L t)c nπ ] sin( nπ L L x), A nπ nc L sin( nπ L n=1 x) = g(x), def. An = 2 cnπ L 0 g(x) sin( nπ L x)dx.

Výsledné řešení u(x, t) = A n = B n = 2 L n=1 2 cnπ [A n sin(c nπ L t) + Bn cos(c nπ L t) ] sin( nπ L x), L 0 L 0 g(x) sin( nπ L x)dx, f (x) sin( nπ L x)dx. Poznamenejme, že celkové řešení je nekonečný součet všech řešení, které jsme našli separací: u n(x, t) = A n sin(c nπ L t) + Bn cos(c nπ L t) C n sin( nπ }{{} L x), Jak se tato řešení chovají? T n(t)

Pro pevné t je T n(t)konstanta }{{}, kterou násobíme sin( nπ L x). má vzhledem k x stále stejný profil Říkáme, že T n(t) je amplituda sin( nπ x). Tn(t) osciluje v čase. L Tedy naše řešení je součtem řešení, která oscilují v čase. Každé z těchto řešení je stojatá vlna, t.j. vlna s pevným profilem a časově závislou amplitudou. Pozor! Součet stojatých vln není nutně stajatá vlna. Každé řešení u n(x, t) vzniklé separací je speciální typ stojaté vlny tzv. mód. Každý mód má vlnovou délku 2L. Pro n = 1 dostaneme tzv. fundamentální n mód.

Řešme úlohu u tt c 2 u xx = 0, 0 < x < L, 0 < t <, rovnice u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, 0 < t <, okrajové podmínky u(x, 0) = f (x), u t(x, 0) = g(x), 0 x L, počáteční podmínky. Necht f (x) = 2 sin( π x) + 1 sin( 3π x), g(x) = 0. L 2 L Tedy začali jsme s nenulovým počátečním profilem vlny, ale struna se na počátku nehýbá. Naše řešení: u(x, t) = n=1 [A n sin(c nπ L t) + Bn cos(c nπ L t) ] sin( nπ L x) L 2 A n = g(x) sin( nπ x)dx, g(x) = 0 = An = 0 n cnπ 0 L B n = 2 L f (x) sin( nπ L L x)dx = 2 L [2 sin( πl L x) + 12 sin( 3πL ] x) sin( nπ L x)dx. 0 0

Připomeňme si, že sin α sin β = 1 (cos(α β) cos(α + β)). 2 Ortogonalita: L 0 sin( mπ L x) sin( nπ x)dx = 0 m n, L pro m = n je L 0 (sin( nπ L x))2 dx = L 2 = B 1 = 2, B 2 = 2, B 3 = 1, Bn = 0 n 2, 3. 2 Naše řešení je součtem pouze dvou členů: u(x, t) = 2 cos( cπ L t) sin( π L x) + 1 2 cos(c 3π L t) sin( 3π L x).

Vedení tepla a vlnová rovnice na obdélníku (ve 2D) u tt c 2 (u xx + u yy) = 0, t > 0, 0 < x < L, 0 < y < H, rovnice u(0, y, t) = 0, u(l, y, t) = 0, t > 0, 0 < y < H, okrajové podmínky u(x, 0, t) = 0, u(x, H, t) = 0, t > 0, 0 < x < L, okrajové podmínky u(x, y, 0) = f (x, y), 0 < x < L, 0 < y < H, počáteční podmínka u t(x, y, 0) = g(x, y), 0 < x < L, počáteční podmínka. Separace proměnných: řešení ve tvaru u(x, y, t) = T (t)x(x)y (y) dosadíme do rovnice, abychom získali podmínky, které musí tyto funkce splňovat.

T XY c 2 TX Y c 2 TXY = 0 / : (c 2 TXY ) T c 2 T X X Y Y T = 0 = = X }{{} c 2 T X Y }{{ Y } závisí jen na t závisí jen na x a y Tedy funkce vpravo se musí rovnat konstantě, označme ji k 2 (že je menší než nula plyne z toho, že musí splňovat okr. podm.). Tedy X X X = k 2 Y, vlevo funkce x, vpravo funkce y = Y Y X = k x 2, Y + k 2 = kx 2 Y Y = k y 2 X, X + k 2 = ky 2 T +rovnice c 2 T = k 2, = obyč. rovnice pro X, Y, T : T + k 2 c 2 T = 0 X + (k 2 k 2 y )X = 0 Y + (k 2 k 2 x )Y = 0

Řešení (bez okrajových podmínek) T (t) = A sin(kct) + B cos(kct), kde k 2 = kx 2 + ky 2 X(x) = C sin(k xx) + D cos(k yy) Y (y) = E sin(k yy) + F cos(k yy) Nyní přidáme okrajové podmínky: u(0, y, t) = T (t)x(0)y (y) = 0, 0 < y < H, u(l, y, t) = T (t)x(l)y (y) = 0, 0 < y < H, u(x, 0, t) = T (t)x(x)y (0) = 0, 0 < x < L, u(x, H, t) = T (t)x(x)y (H) = 0, 0 < x < L. Pro netriviální řešení tedy musí platit X(0) = 0, X(L) = 0, Y (0) = 0, Y (H) = 0.

Z těchto podmínek máme 0 = X(0) = D cos(k yy) = D = 0 0 = X(L) = C sin(k xl) + D cos(k yl), C 0 = k x = nπ L 0 = Y (0)E sin(0) + F cos(0), = F = 0 0 = Y (H) = E sin(k yh) k yh = mπ = k y = mπ H k 2 = kx 2 + ky 2 = k 2 = n2 π 2 + m2 π 2 L 2 H, m, n N. 2 Dostáváme Označme k mn = X n(x) = C n sin( nπ L x), ( nπ L u mn(x, y, t) = T mn(t)x n(x)y m(y) = mπ Ym(y) = Em sin( y), m, n N. H ) 2 ( mπ ) 2 + a řešení vzešlé ze separace označíme H = [A mn sin(k mnct) + B mn cos(k mnct)] }{{} sin( nπ L T mn(t) x) sin( mπ H y),

Výsledné řešení (využijeme Fourierovy řady): u(x, y, t) = n=1 m=1 Počáteční podmínky: u(x, y, 0) = f (x, y) = B mn = A mn = [A mn sin(k mnct) + B mn cos(k mnct)] sin( nπ L 4 LH H L 4 0 LHck mn 0 H L 0 n=1 m=1 B mn sin( nπ mπ x) sin( L H y), }{{} 2D sinová řada f (x, y) sin( nπ L 0 g(x, y) sin( nπ L x) sin( mπ H y)dxdy x) sin( mπ H y)dxdy x) sin( mπ H y),

Laplaceova rovnice Časově nezávislá parciální diferenciální rovnice 2. řádu 2 u(x, y) x 2 + 2 u(x, y) y 2 = 0, na obdélníku 0 < x < L, 0 < y < H. (5) Řešení u(x, y) se s časem nemění, žádné počáteční podmínky. }{{} tzv. harmonická funkce Okrajové podmínky: H g 1 (x) y 0 f 2 (x) f 1 (x) u(0, y) = g 1 (y) u(x, 0) = f 1 (x) L g 2 (x) x u(l, y) = g 2 (y) u(x, H) = f 2 (x) Podmínky kompatibility: (6) f 1 (0) = g 1 (0), f 1 (L) = g 2 (0) f 2 (0) = g 1 (H), f 2 (L) = g 2 (H)

Literatura k dalšímu studiu Evans L. C.: Partial Differential Equations: Second Edition. University of California, Berkeley. American Mathematical Society, 2010. Kubíček M., Dubcová M., Janovská D.: Numerické metody a algoritmy, VŠCHT Praha, 2005 (second edition). McKay B.: Partial Differential Equations for Engineers, University of Utah, 2002. http://www.math.utah.edu/ mckay/3150notes.pdf Rasmuson A., Andersson B., Olsson L., Andersson R.: Mathematical Modeling in Chemical Engineering. Cambridge University Press, 2014. Tolstov G. P.: Fourier Series. Dover Books on Mathematics, 1976.