Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97 řída/skuina : 3.B/A Klasifikace : Počet stran : 6
Počet grafických říloh : 3 OBSAH: Zadání... strana č. 1 Úvod... strana č. 1,,3 eoretický rozbor... strana č. 3,4 Vlastní výočet... strana č. 4,5 Literatura... strana č. 5 Závěr... strana č. 6 ZADÁNÍ: Proveďte harmonickou analýzu odle obr. matematickou a grafickou metodou. Zobrazte frekvenční a n, b n, An, ϕ n. Složením jednotlivých časových růběhů harmonických zkontrolujte srávnost řešení. Výočet roveďte matematickou a grafickou metodou; ři výočtu oužijte rogramu HA. Koeficienty ro jednu harmonickou složku vyočítejte sami. ÚVOD: U(t) 1,5 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 obr. t Harmonická analýza se zabývá rozkladem signálu na harmonické složky. Matematický ois harmonických růběhů vyjadřuje Fourierův rozvoj. Definice Fourierova rozvoje: Každou jednoznačně určenou eriodickou funkci f(t) s eriodou a s frekvencí f=1/, mající v uzavřeném intervalu eriodicky délky jen konečný očet extrému nesojitostí rvního druhu, lze vyjádřit součtem nekonečné řady, sinusových růběhů s amlitudami A n, fázovými osuvy ϕ n a úhlovou frekvencí ω n (kde n je říslušná harmonická), které jsou celistvými násobky úhlové frekvence ω ůvodní eriodické funkce. f(t) =! A n sin (nωt + ϕ n ) n=0 Každou sinusovou křivku lze rozdělit na sinové a kosinivé složky. a 0 f(t) = +! A n (a n cos nωt + b n sin nωt) 1
oříadě n=1 f(t) = a 0 + a 1 cos 1ωt + a cos ωt + a n cos nωt + b 1 sin 1ωt + b sin ωt + b n sin nωt oto je Fourierův rozvoj (řada). Koeficienty Fourierova rozvoje: a 0 - stejnosměrná složka a n - amlituda kosinové složky n-té harmonické b n - amlituda sinové složky n-té harmonické Vložením koeficientů a n a b n do Pythagorovy věty vyočítáme frekvenční sektrum výsledné amlitudy A n. Jestliže oba koeficienty odělíme a následně vynásobíme arctg sočítáme fázové osuvy. Pět základních ravidel harmonické analýzy: 11544
1) Funkce, jejíž locha v intervalu <0, ) je časovou osou rozdělena na dvě stejné části, nemají stejnosměrnou složku. Platí zde: a 0 =0 ) Funkce středově souměrná odle očátku mají ouze sinové složky Fourierovy řady. Pro tyto funkce latí: - f(t 1 ) = f(-t 1 ) 3) Funkce osově souměrná odle osy f(t) mají ouze kosinové složky Fourierova rozvoje. Pro tyto funkce latí: f(-t 1 ) = f(t 1 ) 4) Funkce, jejichž růběh z rvní olovin eriody se oakuje v druhé olovině s oačným znaménkem, mají fe Fourierově rozvoji ouze liché harmonické složky. Pro tyto funkce latí : f(t + /) = -f(t) 5) Funkce, jejichž růběh z rvní oloviny eriody se oakuje v druhé olovině s týmž znaménkem, mají ve Fourierově rozvoji ouze sudé harmonické. Pro tyto funkce latí f(t + /) = f (t). EOREICKÝ ROZBOR: K výsledkům harmonické analýzy můžeme dojít omocí několika metod : A) Numerická metoda B) Matematická metoda C) Grafická metoda A) Numerická metoda je založena na integrování základních rovnic. akto získáme a 0, a n, b n. Pro stejnosměrnou složku latí: a 0 " f(t) t = + " t +! " (a n cos nωt + b n sin nωt) t 0 0 n=1 0 a 0 = " f (t) t 0 Pro kosinovou složku latí: a n = " f(t) cos ωt t 0 Pro sinovou složku latí: b n = " f(t) sin ωt t 0 B) Matematická metoda harmonické analýzy sočívá v rozdělení jedné eriody na určitý očet dílků a uvažujeme, že hodnota v každém intervalu, který dílek vymezí, je konstantní. Průběh lze rozdělit buď na obdélníky a uvažovat hledanou hodnotu jako 3
výšku urostřed dílku (obdélníková metoda), nebo na lichoběžníky. Výsledkem je směrnice, která rotíná krajní body, vymezené intervalem (lichoběžníková metoda). Pro dobrou řesnost n-té harmonické je nutné rozdělit eriodu na nejméně = n + stejných dílků. 1 P Pro stejnosměrnou složku otom latí: a 0 =! u u=1 P Pro kosinovou složku latí: a n =! u cos (d α n) u=1 P Pro sinovou složku latí: b n =! u sin (d. α. n) u=1 Výsledná amlituda je: A n = a n + b n Fázový osuv je ϕ n = arctg b n C) Grafická metoda sočívá na rozdělení eriody na stejný očet dílků, stejně jako u metody numerické. Příslušné okamžité hodnoty se vynesou ve formě fázorů říslušné délky od atřičným úhlem. Sojením koncového bodu vzniklého obrazcea očátku souřadnic vznikne výsledný vektor A n. Jeho sklon je fázový osun n. Promítneme-li vektor A n do X-ové souřadnice vznikne délka a n, do Y-ové souřadnice b n. Pro určení n-té harmonické musíme fázory vynášet od n-násobným úhlem. a n VLASNÍ VÝPOČE: Nejdříve se okusíme zjednodušit řešení omocí ěti ravidel HA. 1) A 0 <>0 rotože obsah fce v horní olovině není stejný s obsahem fce v druhé olovině ) Fce má sinové složky, rotože není středově souměrná odle očátku 3) Fce má cosinové složky, rotože není osově souměrná odle osy Y 4) Fce má liché složky, rotože se její růběh z rvní oloviny eriody neoakuje s oačným znaménkem v druhé olovině eriody 5) Fce má sudé složky, rotože se její růběh z rvní oloviny eriody neoakuje se stejným znaménkem v druhé olovině eriody Určíme si očet harmonických: n=7 Sočítáme (odle vzorce =n+) = 16 360 360! α= = =, 5 16 1 3 4 5 6 7 8 α,5 45 67,5 90 11,5 135 157,5 180 Y 0,15 0,375 0,65 0,875 1 1 1 1 4
9 10 11 1 13 14 15 16 α 0,5 5 47,5 70 9,5 315 337,5 360 Y 1 1-1 -1-1 -1-1 -1 Příklad výočtu třetí harmonické: a 3 = y K K = 1 cos3α = (0,15 cos3,5 + 0,375 cos3 45 + 0,65 cos3 67,5 + 16 K 0,975 cos3 90 + 1 cos3 11,5 + 1 cos3 135 + 1 cos3 157,5 + 1 cos3 180 + 1 cos3 0,5 + 1 cos3 5-1 cos3 47,5-1 cos3 70-1 cos3 9,5-1 cos3 315-1 cos3 337,5-1 cos3 360) = -0,110059 b 3 = sin 3α = (0,15 sin3,5 + 0,375 sin3 45 + 0,65 sin3 67,5 + 16 A 3 = y K K = 1 K 0,975 sin3 90 + 1 sin3 11,5 + 1 sin3 135 + 1 sin3 157,5 + 1 sin3 180 + 1 sin3 0,5 + 1 sin3 5-1 sin3 47,5-1 sin3 70-1 sin3 9,5-1 sin3 315-1 sin3 337,5-1 sin3 360) = -0,1563389 a = 0,194175 3 + b3 = ( 0,110059) + ( 0,1563389) a3 0,110059 ϕ 3 = arctg = arctg = -144,3313189 b 0,1563389 3 akto očítáme dále ro 0 7-ou harmonickou získáme následující tabulku n a n b n A a ϕ n 0 0,50000 0,000000 0,15000 90,000000 1-0,831977 0,88357 1,174036-45,1496 0,14808 0,38166 0,80515 31,89345 3-0,1101-0,15634 0,194-144,331319 4-0,187500 0,187500 0,65165-15,000000 5 0,07639 0,069358 0,103068 47,705913 6-0,116958-0,105584 0,157566-13,07436 7-0,1306 0,116539 0,176130-48,57304 Výsledná funkce: a0 F(t) = + ( a cosnωt + b sin nωt) n= 1 n n = a 0 + a1 cos1ωt + b 1 sin1ωt + a cosωt + b sinωt + a 3 cos3ωt + b 3 sin3ωt + a 4 cos4ωt + b 4 sin4ωt + a 5 cos5ωt + b 5 sin5ωt + a 6 cos6ωt + b 6 sin6ωt + a 7 cos7ωt + b 7 sin7ωt LIERAURA: J.Maťátko: Harmonická analýza 5
ZÁVĚR: Přesvědčili jsme se, že lze omocí Fourierova rozvoje oměrně dobře nahradit libovolný časový růběh. V našem říadě jsme si zvolili sedm harmonických. Výsledný signál byl již odobný skutečnému (viz graf). Kdybychom si zvolili větší očet harmonických, byl by výsledný časový růběh téměř shodný. V dnešní době je možné omocí očítače nahradit složité očítání a tak se vyhnout roblémům (nař.: chybám ři výočtu), které ři očítání nastávají. Počítače dokáží velice rychle sočítat jakýkoliv časový růběh ro velký očet harmonických. Přitom výsledky jsou řesné (dokonce i na několik desítek desetinných míst), ale hlavně také bezchybné. K výočtu jsme oužili rogram HA. Výsledný časový růběh 1,5 1 0,5 u(t) 0-0,5-1 -1,5 t 6
7
8