5. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V teto kapitole se seznámíte se základními typy rozložení spojité náhodné veličiny. Vašim úkolem y neměla ýt pouze základní pasivní znalost a orientace v rozloženích, ale měli yste se také naučit tato rozložení od see rozlišovat a ezpečně je rozpoznávat. Předpokládané znalosti Pojmy z kominatoriky, z počtu pravděpodonosti, derivace, integrál. Cíle Cílem této kapitoly je seznámení se základními typy rozložení spojité náhodné veličiny, odvození jejich základních číselných charakteristik. Výklad 5.. Rovnoměrné rozdělení R(a, ) Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina X, jejíž realizace vyplňují interval konečné délky a mají stejnou možnost výskytu (např. doa čekání na autous, na výroek u automatické linky,...). Definice 5... Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení R(a,) právě tehdy, když je hustota pravděpodonosti určena vztahem: f ( x) pro x a, = a 0 pro x a, - -
Graf hustoty pravděpodonosti: Distriuční funkce je ve tvaru: ( a) 0 pro x, ( ) x a F x = pro x a, a pro x, ( ) Poznámka Vyjádření distriuční funkce lze snadno odvodit ze základní vlastnosti distriuční funkce a hustoty pravděpodonosti: x ( ) ( ) F x Tudíž: = ( a) x, : ( ) F x x x ( ) f t dt = 0dt = 0 a, : x x x a F( x) = dt =. [] t = a a a a x a, : a F ( x) = dt + 0dt = = a a a x - -
Graf distriuční funkce: Vlastnosti: E( X) D( X) a+ = = ( a) Tyto vlastnosti můžeme opět velmi jednoduše odvodit: x x a a+ E( X) = μ = x. f ( x) dx= dx= = = a a. ( a) a a a ( ). ( ) ( a) 3 x D X = μ μ = x f x dx μ = a 3 μ = a 3 3 a a ( a) + = = = 3. a Řešené úlohy Příklad 5... Tramvajová linka číslo 8 odjíždí v dopoledních hodinách ze zastávky každých 0 minut. Vypočtěte pravděpodonost, že na ni udete dopoledne čekat déle než 7 minut. Řešení: Doa čekání je náhodná veličina X, která má rovnoměrné rozdělení pravděpodonosti - v našem případě R(0,0). Distriuční funkce má tedy tvar: ( ) F x ( ) 0 pro x,0 x = pro x 0,0 0 pro x 0, ( ) - 3 -
Hledaná pravděpodonost: 7 3 P( X > 7) = P( 7< X < ) = F( ) F( 7) = = 0 0 5.. Exponenciální rozdělení E(λ) Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina X, která představuje dou čekání do nastoupení (poissonovského) náhodného jevu, neo délku intervalu (časového neo délkového) mezi takovými dvěma jevy (např. doa čekání na osluhu, vzdálenost mezi dvěma poškozenými místy na silnici). Závisí na parametru λ, což je převrácená hodnota střední hodnoty doy čekání do nastoupení sledovaného jevu. Definice 5... Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení E(λ) právě tehdy, když je hustota pravděpodonosti dána vztahem: f ( x) 0 pro x < 0 = λx λ. e pro x 0 Graf hustoty pravděpodonosti: Distriuční funkce: 0 pro x < 0 F( x) = λx e pro x 0-4 -
Graf distriuční funkce: Vlastnosti: E( X) = λ λ D( X) = Poznámka Tvar distriuční funkce, stejně jako vlastnosti exponenciálního rozdělení, lze odvodit odoně jednoduchým způsoem, jako u rovnoměrného rozdělení. Řešené úlohy Příklad 5... Doa čekání hosta na pivo je v restauraci U Lva průměrně 5 minut. Určete: a) hustotu pravděpodonosti náhodné veličiny, která je dána doou čekání na pivo ) pravděpodonost, že udeme čekat na pivo déle než minut c) dou čekání, ěhem které ude zákazník osloužen s pravděpodoností 0,9 Řešení: Jedná se tedy o exponenciální rozložení pravděpodonosti: a) Hustota pravděpodonosti: f 0 pro x < 0 = x 5 5. e pro x 0 ( x) ) Distriuční funkce: 0 pro x < 0 = x 5 e pro x 0 ( ) F x - 5 -
Hledaná pravděpodonost: ( > ) = ( < < ) = ( ) ( ) P X P X F F. 5 5 = e = e 0,0907 c) Hledanou dou čekání označíme t. Platí: ( ) () F( ) P 0< X t = 0,9 F t 0 = 0,9. t 5 e 0= 0,9. t 5 e = 0, t = ln 0, 5 t = 5.ln 0, t,5minut t minut 30 sekund = 5.3. Normální rozdělení N(μ, σ ) Označováno též oecné normální rozdělení či Gaussovo rozdělení (v anglicky psané literatuře nazývané rozdělení zvonovitého tvaru - ell curve). Je velmi důležité, neoť: nejčastěji se vyskytuje mnoho jiných rozdělení se mu líží řada jiných rozdělení se jím dá nahradit Definice 5.3.. Náhodná veličina X má normální rozdělení N(μ, σ ) právě tehdy, když má hustota pravděpodonosti tvar: x μ f x e x σ. π σ ( ) =. pro (, ) - 6 -
Grafem hustoty pravděpodonosti je tzv. Gaussova (Gaussova-Laplaceova) křivka: Z orázku je patrné, že parametr μ (střední hodnota) určuje, kde má křivka maximum. Parametr σ (směrodatná odchylka) naproti tomu určuje, jak jsou po oou stranách od hodnoty μ vzdáleny inflexní ody, tedy jak je křivka roztažena do šířky. Distriuční funkce: x t μ F x e dt x σ. π σ ( ) =. pro (, ) Graf distriuční funkce: Poznámka Pomocí křivky normálního rozdělení popsal v roce 773 matematik Araham de Moivre limitní chování inomického rozdělení, když se snažil aproximovat výpočty jednotlivých pravděpodoností inomického rozdělení pro velká n. Rozdělení, které Moivre pro tento účel navrhl, se nakonec ukázalo ýt důležitější než výchozí inomické rozdělení. V roce 8 odvodil nezávisle na Moivreovi normální rozdělení francouzský matematik Pierre Laplace. Jak Laplace, tak Karl Friedrich Gauss prezentovali toto rozdělení jako zákon chy a - 7 -
používali ho pro interpretaci astronomických a geodetických měření, výsledků hazardních her a přesnosti dělostřelecké střely. Řešené úlohy Příklad 5.3.. Jaká je pravděpodonost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N(0, 9), naude hodnoty a) menší než 6, ) větší než 0, c) v mezích od 7 do? Řešení: a) ( < 6) = ( < < 6) = ( 6) ( ) = ( 6) P X P X F F F Zjistit, čemu je rovna distriuční funkce pro hodnotu 6 můžeme několika způsoy. V příští kapitole si ukážeme, že náhodnou veličinu můžeme převést na normované normální rozdělení N(0, ), jehož hodnoty jsou v taulkách. Máme-li ale k dispozici např. program Excel, můžeme hodnotu vypočíst pomocí předdefinované funkce NORMDIST: P(X < 6) = F{6) = NORMDIST(6;0;3;) = 0,9775 První parametr v závorce je hodnota, jejíž distriuční funkci počítáme, druhý je střední hodnota daného normálního rozdělení, třetí parametr je směrodatná odchylka daného rozdělení a poslední parametr je pravdivostní hodnota, kterou zadáme vždy, když chceme vypočítat hodnotu distriuční funkce. ) P(X > 0) = P(0 < X < ) = - F(0) = - NORMDIST(0;0;3;) = 0,5 c) P(7 < X < ) = NORMDIST(;0;3;) - NORMDIST(7;0;3;) = 0,843 5.4. Normované normální rozdělení N(0, ) Jedná se o speciální případ oecného normálního rozložení, kdy μ = 0, σ =. V tomto případě označujeme hustotu pravděpodonosti: ϕ. pro, x ( x) = e x ( ) π - 8 -
Distriuční funkci u tohoto rozdělení označujeme: x Φ = π t ( x) e dt pro x (, ) Graf hustoty pravděpodonosti: Graf distriuční funkce: Užitečnost normovaného normálního rozdělení spočívá v tom, že vyrané hodnoty distriuční funkce tohoto rozdělení najdeme v taulkách, které ývají součástí každé učenice statistiky. Vztah mezi normovaným normálním rozdělením N(0,) a oecným normálním rozdělením N(μ, σ ) vyjadřuje následující věta: - 9 -
Věta 5.4.. Má-li spojitá náhodná veličina X oecné normální rozdělení N(μ, σ ) s hustotou x μ =, σ. π σ pravděpodonosti: f ( x). e pro x (, ) X μ pak náhodná veličina T = má normované normální rozdělení N(0,) s hustotou σ pravděpodonosti: ϕ. pro, t () t = e t ( ) π Důkaz: Zavedeme-li do vztahu: x0 x σ P( X < x0 ) =. e dx σ. π sustituci: μ X μ dx T =, dt =, dostáváme: σ σ t0 t x PT ( t0 ). 0 μ < = e dt π, kde t0 =. σ Poznámka V taulkách nalezneme pouze hodnoty distriuční funkce pro nezáporné t. Chceme-li určit distriuční funkci pro t < 0, využijeme vlastností distriuční funkce normovaného normálního rozdělení a můžeme lehce odvodit, že Φ(-t) = - Φ(t) Řešené úlohy Příklad 5.4.. Použijeme zadání příkladu 5.3.., přičemž tento příklad vyřešíme převedením daného normálního rozdělení N(0, 9) na normované normální rozdělení N(0, ) sustitucí z předchozí věty 5.4.. - 0 -
Řešení: a) ( 6) ( 6) ( 6) ( ) P X < = P < X < = F F = 6 0 = F ( 6) =Φ =Φ ( ) = 0,9775 3 ) P(X > 0) = P(0 < X < ) = - F(0) = - Φ(0) = 0,5 c) P(7 < X < ) = Φ(4) - Φ(-) = = Φ(4) - + Φ() = 0,843 Všechny hodnoty jsou dosazené z taulky distriuční funkce normálního rozdělení. Příklad 5.4.. Určete pravděpodonost, že náhodná veličina X s normálním rozdělením N(μ, σ ) naude hodnot z intervalu a) (μ σ,μ+σ) ) (μ σ,μ+σ) c) (μ 3σ,μ+3σ) Řešení: a) μ+ σ μ μ σ μ P( μ σ < X < μ+ σ) = F( μ+ σ) F( μ σ) =Φ Φ = σ σ () ( ) () () ( ) () =Φ Φ =Φ Φ =. Φ 0,683 Grafické znázornění: ) ( μ σ < < μ+ σ) = ( μ+ σ) ( μ σ) = =. Φ( ) 0,955 P X F F = - -
c) ( μ 3σ < < μ+ 3σ) = ( μ+ 3σ) ( μ 3σ) = =. Φ( 3) 0,997 P X F F = Poznámka Výsledek příkladu 5.4.c. je znám pod názvem pravidlo 3σ. Vyjadřuje skutečnost, že náhodná veličina s oecným normálním rozdělením N(μ, σ ) naude hodnot z intervalu (μ 3σ,μ+3σ) s pravděpodoností 97,7 %. 5.4.. Aproximace inomického rozdělení U inomického rozdělení může ýt pro velká n otížný výpočet kominačních čísel. Jak už ylo řečeno, inomické rozdělení lze aproximovat Poissonovým a to v případě, že p < 0,3 neo p > 0,7: Bi(n, p) Po(λ), kde λ = n.p Jestliže p 0,3;0, 7 : Bi(n, p) N(μ, σ ), kde μ = n.p, σ = n.p( - p) Řešené úlohy Příklad 5.4.3 Házíme 00 krát mincí. Jaká je pravděpodonost, že lev padne aspoň 50 krát? Řešení: X...počet padnutí lva Náhodná veličina X má inomické rozdělení, neoť házení mincí jsou opakované pokusy - nezávislé. Prolém při řešení tohoto příkladu může nastat ve chvíli, kdy nemáme k dispozici žádný software, který y dokázal počítat hodnoty inomického rozdělení - museli ychom tedy ručně sčítat 5 hodnot pravděpodonostní funkce inomického rozdělení mezi 50 a 00. Máme-li k dispozici alespoň statistické taulky, můžeme řešit pomocí normálního rozdělení: N(μ, σ ), kde: μ = n.p = 50 - -
σ = n.p.( - p) = 5 Takže: P(X = 50 v 5 v 5 v... v00) = - P(X < 50) = - F(50) = - Φ(0) = 0,5 5.5. Některá další rozdělení 5.5.. Weiullovo rozdělení W(δ, c) Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina, která představuje dou života (ezporuchovosti) technických zařízení, kterým nevyhovuje exponenciální. To jest tam, kde se projevuje mechanické opotřeení neo únava materiálu. Parametr δ závisí na materiálu, namáhání a podmínkách užívání (δ > 0); c > 0. Funkce hustoty pravděpodonosti: f 0 pro x 0 c = x cx. (pro c = dostaneme exponenciální rozdělení E(δ)) δ. e pro x> 0 c δ ( x) c - Grafické znázornění hustoty pravděpodonosti pro δ = a různé hodnoty c: Distriuční funkce: 0 pro x 0 c = x δ e pro x> 0 ( ) - F x - 3 -
Grafické znázornění distriuční funkce pro δ = a různé hodnoty c: 5.5.. Pearsonovo rozdělení χ n χ n... čteme chí kvadrát s n stupni volnosti Užití: Jestliže n nezávislých veličin X,...,X n má rozdělení N(0, ), pak veličina X=X +X +...+X n má Pearsonovo rozdělení. Hustota pravděpodonosti: f ( x) n x x. e pro x > 0 n = n. Γ 0 pro x 0 Γ(x)...gama funkce definovaná pro x > vztahem: ( ) t x x e. t dt Γ = 0 5.5.3. Studentovo rozdělení t n Užití: Jsou-li X,X dvě nezávislé náhodné proměnné, kde X se řídí rozložením N(0, ) a X rozložením χ x n, pak náhodná veličina T =. nmá Studentovo rozložení s n stupni x volnosti. f ( x) n + Γ x =.. nπ n + n Γ n+ - 4 -
Úlohy k samostatnému řešení 5.. Trolejusy odjíždějí ze zastávky v 0 min. intervalech. Cestující může přijít na zastávku v liovolném okamžiku. Určete E(x) a D(x) doy čekání na odjezd trolejusu. 5.. Náhodná veličina má hustotu pravděpodonosti: f ( x) 0,x 0,. e pro x> 0 =. 0 pro x 0 Určete její střední hodnotu a rozptyl. 5.3. Na trase mezi kolejemi VŠB v Ostravě-Poruě a magistrátem v centru Ostravy délky 0,5 km napočítali cestáři 86 děr v silnici. a) Jaká je pravděpodonost, že narazíme na díru v silnici při ujetí úseku délky 00 m na této trase? ) Jakou vzdálenost je třea na této trase ujet, ay pravděpodonost, že narazíme na díru v silnici yla 99%? 5.4. Náhodná veličina X má rozdělení N(0, ). Určete: a) P(X <,3) ) P(X < -,) c) P(-0,4 < X <,9) 5.5. Náhodná veličina X má rozdělení N(, 9). Určete: a) P(X < 5) ) P(X < -) c) P(0 < X <,33) 5.6. Náhodná veličina má rozdělení pravděpodonosti: a) N(0, ) ) N(0,4) c) N(,4) Určete v případě a) P( X < 0,7); ), c) P(X < -0,5). Sestrojte graf f(x), F(x) a vypočtené pravděpodonosti znázorněte. - 5 -
5.7. Jaká je pravděpodonost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N(0; 9), naude hodnoty a) menší než 6, ) větší než 0, c) v mezích od 7 do? 5.8. Jaká je pravděpodonost, že při 00 hodech mincí padne lev aspoň čtyřicetkrát a maximálně padesátkrát? 5.9. Basketalista dá koš s pravděpodoností 0,6. Jaká je pravděpodonost, že při 60 hodech ude úspěšný aspoň třicetkrát a nejvýše čtyřicetkrát? 5.0. IQ je standardní škála, která má v populaci normální rozdělení N(00, 5). Jaká je pravděpodonost, že hodnota IQ náhodně vyraného jedince ude a) nižší než 95? ) v rozsahu 0 0? c) vyšší než 30? 5. Ve strojírenském závodě se vyráějí určité součástky, jejichž rozměry mají nahodilé odchylky řídící se normálním zákonem rozložení se směrodatnou odchylkou 4 mm. Výroky s odchylkou menší než 5 mm se zařazují do vyšší jakostní třídy. Určete střední hodnotu počtu výroků zařazených do vyšší jakostní třídy z daných 4 výroků. 5.. Měření je zatíženo chyou -0,3 cm. Náhodné chyy měření mají normální rozdělení pravděpodonosti se směrodatnou odchylkou σ = 0,5 cm. Jaká je pravděpodonost, že chya měření nepřekročí v asolutní hodnotě trojnásoek směrodatné odchylky? 5.3. Váha v uhelných skladech váží s chyou 30 kg, přičemž snižuje váhu. Náhodné chyy mají normální rozdělení pravděpodonosti se σ = 00 kg. Jaká je pravděpodonost, že chya zjištěné váhy nepřekročí v asolutní hodnotě 90 kg? 5.4. Kolik procent hodnot náhodné veličiny X s rozdělením N(0, ) leží mimo interval (-, )? 5.5. Jakou je nutno stanovit toleranci, ay pravděpodonost, že průměr pískového zrna překročí toleranční hranici, yla maximálně 0,4536, jestliže odchylky od středu tolerance (v 0 - mm) mají normální rozdělení N(0, 44). - 6 -
Výsledky úloh k samostatnému řešení 5.. 5.. 5.3. 5.4. 5; 5/3 0; 00 0,56; 56,6 m 0,98956; 0,3567; 0,65735 5.5. 0,8434; 0,5866; 0,930 5.6. 0,5608; 0,409; 0,663 5.7. a) 0,9775, ) 0,5, c) 0,843 5.8. 0,4775 5.9. 0,84 5.0. a) 0,3694, ) 0,63, c) 0,08 5.. 354,8 355 5.. 0,9964 5.3. 0,6068 5.4. 4,55 5.5. 9.0 - - 7 -