2. Funkce více proměnných (opakování z předch. semestru)

1 2. Funkce více proměnných (opakování z předch. semestru) O.1. Pojem funkce více proměnných (Reálná) funkce r(reálných) proměnných je zobrazení, jehož vzory jsou uspořádané r-tice reálných čísel(značíme X=[x 1,x 2,...,x r ])aobrazy(značíme y) jsou reálná čísla. Funkční předpis má tvar y= f(x 1,x 2,...,x r )nebo y= f(x). Formální definice: Funkce r proměnných je zobrazení f podmnožiny A množiny R r (prostoru E r )domnožinyreálnýchčísel R (prostoru E 1 ). Množina všech r-tic, pro které existuje funkční hodnota funkce, je definiční obor funkce. Obor hodnot je množina všech funkčních hodnot funkce. O.2.MnožinyvE r,definičníoboryfunkcí Okolíbodu C = [c 1,c 2,...,c r ] E r jelibovolný r- rozměrný interval (c 1 ε;c 1 +ε) (c 2 ε;c 2 +ε)... (c r ε;c r +ε),kde ε >0. Mějmemnožinu M E r.bod C E r senazývá 1

2 (1) vnitřní bod množiny M, pokud je alespoň jedno jeho okolí obsaženo v množině M, (2) hraniční bod množiny M, pokud každé jeho okolí máneprázdnýprůniksmnožinou M,ijejímdoplňkem.(Doplněkmnožiny Mjeprostor E r bez množiny M). Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá vnitřek množiny M. Množina všech hraničních bodů množiny M se nazývá hranice množiny M. Poznámka:Prázdnámnožinaa E r majíjakohranici prázdnou množinu. Otevřené, uzavřené, omezené, kompaktní množiny Množina M E r senazývá (1) otevřená, jestliže neobsahuje žádný svůj hraniční bod, (2) uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body(celou svou hranici, (3) omezená, pokud je celá obsažena v okolí nějakého bodu, (4) kompaktní, pokud je uzavřená a omezená. Poznámka:Otevřenáauzavřenámnožinanejsou 2

3 opačné pojmy. Množina může být otevřená i uzavřená (prázdnámnožina,celýprostor E r ).Nemusíbýtaniotevřená ani uzavřená. Definiční obory funkcí dvou proměnných O.3. Grafy funkcí dvou proměnných. Jednoduché funkce dvou proměnných Graf je tvořen takovými body v prostoru, které mají souřadnice[x,y,f(x,y)].grafsimůžemepředstavitjako nějakou plochu umístěnou v trojrozměrném prostoru. Jednoduché funkce dvou proměnných Lineární funkce dvou proměnných je funkce daná předpisem f(x,y)=ax+by+c kde a,b,cjsoureálnékonstanty. Grafem lineární funkce dvou proměnných je rovina danárovnicí z= ax+by+cvprostoru. Kvadratická funkce dvou proměnných x, y je funkce daná předpisem f(x,y)=ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f kde a,b,c,d,e,fjsoureálnékonstanty. Homogennífunkcestupně k,pro k (0, ),jefunkce 3

4 splňující na svém definičním oboru vztah(zde homogenní funkci dvou proměnných) f(λx,λy)=λ k f(x,y) kde λjereálnákonstanta. Cobbova-Douglasova funkce je funkce daná předpisem f(x,y)=a x α y β kde A >0,α,βjsoukonstanty. Obvyklesepředpokládá,že0<α<1,0<β <1a x 0, y 0. ObecnáCobbova-Douglasovafunkce f(x,y)=ax α y β jehomogennístupně α+β. Obdobně jako v případě jedné proměnné se definují elementární funkce r proměnných. Jejich funkční předpis obsahuje výrazy pro základní funkce a symboly aritmetických operací, případně výrazy vzniklé složením základních funkcí. Poznámka:Stejnějakoufunkcejednéproměnnéhovoříme o spojitosti funkce více proměnných, pokud blízkým argumentům odpovídají blízké funkční hodnoty. Platí: Všechny elementární funkce r proměnných jsou spojité ve svém definičním oboru. O.4. Parciální derivace 4

Zúžení funkce je funkce, kde všechny proměnné kromě jedné považujeme za parametry(konstanty). Zúžení f funkce f na proměnnou x, resp. y popisuje chování funkce f pouze ve směru souřadnicové osy x,resp. y. Definice. Derivacefunkce f vzniklézúženímfunkce f najednuproměnnou x(resp. y)senazývá parciální derivace funkce f podle proměnné x(resp. y). Značíse f f (x,y)nebo x x. Parciální derivace funkce f(x, y) podle proměnné x vbodě C =[x o, y o ] D(f)seznačí 5 f x (x 0,y 0 )nebo f x (C). Derivací funkce f v bodě C rozumíme vektor, jehož složkami jsou hodnoty parciálních derivací v bodě C, tedy vektor f (C)= ( ) f f (C), x y (C). Poznámka:Derivacifunkcevdanémboděuvažujeme jen tehdy, pokud jsou parciální derivace podle všech proměnných v tomto bodě vlastní. O.5. Extrémy funkce f vzhledem k množině 5

6 M D(f) Funkce fmávbodě C M D(f) maximum vzhledem k množině M (označíme max X M f(x)=f(c)),platí-liprovšechna X Mnerovnost f(x) f(c). Funkce fmávbodě C M D(f) minimum vzhledem k množině M (označíme min X M f(x)=f(c)),platí-liprovšechna X Mnerovnost f(x) f(c). Extrémy funkce vzhledem k celému definičnímu oboru se nazývají globální extrémy(nebo pouze extrémy). Věta( zobecněná Weierstrassova). Funkce spojitá na neprázdné kompaktní množině nabývá vzhledem k této množině svého maxima a minima. O.6. Vázané extrémy funkcí dvou proměnných Vázané extrémy jsou extrémy funkce f vzhledem k množiněpopsanérovnicíg(x,y)=0,cožjemnožinabezvnitřních bodů. Rovnice g(x,y)=0senazývávazebnírovnice,množina všech řešení této rovnice(tj. množina, na které hledáme extrémy) se nazývá vazba. Vázané extrémy lze hledat užitím dále uvedených tří 6

7 metod;nekaždámetodajevšakvhodnáprořešeníkaždého příkladu. 1) dosazovací metoda 2) metoda jakobiánu 3) metoda Lagrangeových multiplikátorů Dosazovací metoda Dosazovací metodu je vhodné použít tehdy, lze-li z vazební rovnice jednoznačně vyjádřit proměnnou x nebo y, např. je-li množinou popsanou vazební rovnicí přímka, parabola atd. Principdosazovacímetodyjeten,žesezvazebnírovnice vyjádří jedna z proměnných a dosadí se do předpisu funkce, jejíž extrémy hledáme. Tím vznikne funkce jedné proměnné- její extrémy už nalézt umíme. Metoda jakobiánu Metodu jakobiánu je možno použít pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách- nejčastěji na kružnici, elipse. Princip metody spočívá v tom, že nalezneme podezřelé body užitím determinantu zvaného jakobián(viz dále), a protože existence extrémů je zaručena dle zobecněné Weierstrassovy věty, stačí porovnat funkční hodnoty v 7

8 podezřelých bodech a vybrat z nich největší(vázané maximum) a nejmenší(vázané minimum). Jakobián(ozn. J(x, y)) je determinant, který má pro funkce dvou proměnných tvar: f x J(x,y)= (x,y), f y (x,y) g x (x,y), g y (x,y). Podezřelébodyjsoubody,vekterýchje J(x,y)=0; tyto body současně musí splňovat vazební rovnici. Souřadnice podezřelých bodů dostaneme tedy řešením soustavy(většinou nelineárních) rovnic: J(x,y)=0 g(x,y)=0. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Metodu Lagrangeových multiplikátorů je možno použít pouze pro hledání vázáných extrémů na kompaktních množinách. Její princip spočívá v tom, že podezřelé body hledáme jako body vazby, v nichž má tzv. Lagrangeova funkce(viz dále) parciální derivace podle obou proměnných rovny nule. Protože předpokládáme splnění předpokladů zobecněné Weierstrassovy věty, stačí pak pro nalezení vázaných 8

9 extrémů vybrat největší a nejmenší funkční hodnotu v těchto podezřelých bodech. Sestrojíme tzv. Lagrangeovu funkci(ozn. L): L(x,y)=f(x,y)+λ g(x,y), kde λ je zatím neznámá konstanta (tzv. Lagrangeův multiplikátor). Vypočítáme parciální derivace funkce L podle obou proměnných a položíme = 0; spolu s vazební rovnicí tvoří tyto rovnice soustavu tří(obvykle nelineárních) rovnic o třech neznámých x, y, λ. Jejím řešením obdržíme podezřelé body. O.7. Vázané extrémy funkcí více proměnných Při řešení ekonomických problémů sa často setkáme s úlohou nalézt extrémy nějaké funkce více proměnných při současném splnění dalších podmínek. Jedná se o hledánívázanýchextrémůfunkce f(x 1,...,x r )namnožině popsané několika vazebními rovnicemi g 1 (x 1,...,x r ) = 0,...,g s (x 1,...,x r )=0,přičemžvazebníchrovnicjeméně nežproměnných,tzn. s < r. Poznámka:Předpokládáme,žefunkce f, g 1,...,g s mají spojité parciální derivace. 9

10 K hledání vázaných extrémů slouží tři metody uvedené pro funkce dvou proměnných, avšak dosazovací metoda je příliš komplikovaná a nebudeme ji uvádět. Metoda jakobiánu Stejně jako pro funkce dvou proměnných je určena pouze pro hledání vázaných extrémů na kompaktních množinách, navíc musí být splněno, že počet vazebních rovnic jeo1menšínežpočetproměnných,tzn. s=r 1.Tento požadavekmávelmiprostýdůvod-jetřeba,abymatice tvořenáparciálnímiderivacemifunkcíf,g 1,...,g r 1 byla čtvercová, abychom mohli počítat determinant- jakobián (ozn. J(x 1,...,x r )nebozkráceně J(X)): J(X)= f f f x 1 (X) x 2 (X)... x r (X) g 1 g x 1 (X) 1 g x 2 (X)... 1 x r (X)............ g r 1 g x 1 (X) r 1 g x 2 (X)... r 1 x r (X) Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. Metoda Lagrangeových multiplikátorů Metoda Lagrangeových multiplikátorů je opět určena pouze pro hledání vázaných extrémů 10.

11 na kompaktních množinách; na rozdíl od metody jakobiánu je možno ji použít pro libovolný počet vazebních rovnic. Lagrangeova funkce má tvar: L(x 1,...,x r )=f(x 1,...,x r )+λ 1 g 1 (x 1,...,x r )+......+λ s g s (x 1,...,x r ),kdeλ 1,...,λ s jsouneznámékonstanty - Lagrangeovy multiplikátory. Další postup je obdobný jako u funkce dvou proměnných. O.8. Extrémy funkce uvnitř množiny Vevnitřníchbodech M D(f)budemehledatpodezřelé body podle následující věty, která je obdobná příslušné větě pro funkci jedné proměnné. Věta( nutná podmínka pro extrém uvnitř množiny). Jestližemáfunkce f vevnitřnímboděmnožiny M extrémvzhledemktétomnožině,pakjsouvtomtobodě parciální derivace funkce f podle všech proměnných rovny nule(pokud existují). Stejně jako u funkce jedné proměnné je tato podmínka pouze nutnou podmínkou, nikoliv postačující. O.9. Extrémy spojité funkce na kompaktních 11

12 množinách obsahujících vnitřní body Hledání extrémů na kompaktních množinách obsahujících vnitřní body je opět založeno na zobecněné Weierstrassově větě. Protože je podle této věty existence extrémů spojité funkce na kompaktní množině zaručena, stačí nalézt podezřelé body a vypočítat v nich funkční hodnoty. Podezřelé body budeme hledat zvlášť uvnitř množiny (podle nutné podmínky uvedené v předchozí podkapitole 4.8), zvlášť na hranici- jakožto vázané extrémy na hladkých částech hranice; dalšími hraničními podezřelými body budou ostré zlomy na hranici- hroty. Podezřelé body: 1) uvnitř množiny(parciální derivace podle všech proměnných=0) 2)nahranici a)nahladkýchčástech(bodypodezřelé z vázaných extrémů) b)hroty Ve všech podezřelých bodech vypočítáme funkční hodnoty- největší je maximum, nejmenší je minimum. O.10. Extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu Pojem konvexní mnohostěn nebudeme přesně vymezo- 12

13 vat-jednásenapř.okrychli,hranol,jehlanap.vtrojrozměrném prostoru, o čtverec, obdélník, lichoběžník, trojúhelník ap. v dvourozměrném prostoru(zde mnohoúhelník). Konvexní mnohostěn je kompaktní množina, lineární funkce je spojitá- jsou tedy splněny předpoklady zobecněné Weierstrassovy věty. Extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu je ale možné počítat jednodušším způsobem: Věta( extrémy lineární funkce na konvexním mnohostěnu). Lineární funkce definovaná na konvexním mnohostěnu nabývá svého maxima a minima v některých z vrcholů. O.11. Druhé parc. derivace funkce dvou proměnných Připomeňme, že 2. derivaci funkce jedné proměnné získáme zderivováním 1. derivace. Parciální derivace 2. řádu U funkce dvou proměnných je situace trochu složitější, protože máme dvě parciální derivace. Pokud je obě znovu parciálně zderivujeme, získáme čtyři parciální derivace 2. řádu(dále jen 2. parciální derivace). 13

14 2.parciálníderivacefunkce fpodleproměnných xay je parciální derivace podle proměnné y stanovenázfunkce f x.vypočtemejitedytak,žefunkci f nejprvezderivujemepodle xapakpodle y.značíse x y (x,y),aplatí: x y = y ( ) f. x Podobně získáme ostatní tři 2. parciální derivace. Pořadí derivování Poznámka Pokudjsouvšechnydruhéparciálníderivace funkce f v okolí bodu[x, y] spojitými funkcemi, nezáleží při výpočtu druhé parciální derivace na pořadí derivování, tj. x y (x,y)= 2 f y x (x,y)(vizpředchozí příklad). Hessova matice Druhé parciální derivace zapisujeme dotzv.hessovymatice: H f = ( x, 2 x y y x, y 2 Podle předchozí poznámky je pro vhodné funkce Hessova matice symetrická podle hlavní diagonály. 14 ).

15 O.12. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Funkce má v bodě C lokální maximum(minimum), má-li tam maximum(minimum) vzhledem knějakémuokolíbodu C. Funkce musí být na příslušném okolí bodu C definovaná. Je tedy bod C určitě vnitřním bodem definičního oboru funkce. Nutná podmínka lokálního extrému Má-lifunkce f lokálníextrémvbodě C,vekterém existují všechny parciální derivace, jsou nutně všechny parciální derivace v tomto bodě nulové. Poznámka Nulovéhodnotyparciálníchderivacíjsou nutnou, ne však postačující podmínkou pro lokální extrém. Pokud v takovém bodě lokální extrém nenastává(a 2. parciální derivace jsou v okolí tohoto bodu spojité), říkáme, že v tomto bodě nastává sedlo dané funkce. Podezřelé body Podezřelé body(z lokálních extrémů) jsou tedy body, ve kterých je každá parciální derivace nulová(nebo neexistuje- takové příklady nebudeme počítat). Postačující podmínka lokálního extrému funkce 15

16 dvou proměnných Nechť ve vnitřním bodě C definičního oboru funkce f platí f x (C)=0, f y (C)=0 afunkcefmávokolíboducspojité2.parciálníderivace. (a) Pokud platí x y (C) x (C), 2 y x (C), y (C) 2 <0, nastávávbodě Csedlofunkce f. (b) Pokud platí x2(c) >0 a x y (C) x (C), 2 y x (C), y (C) 2 >0, nastávávbodě Clokálníminimumfunkce f. (c) Pokud platí x2(c) <0 a x y (C) x (C), 2 y x (C), y (C) 2 >0, nastávávbodě Clokálnímaximumfunkce f. 16

Poznámka Narozdílodglobálníchextrémůselokální extrémy neurčují výpočtem funkčních hodnot. Poznámka Vpřípadě,žedeterminantHessovymatice je v uvažovaném bodě C nulový, nelze použít postačující podmínku lokálního extrému, extrém může a nemusí v daném bodě nastat. 17 17