Kuželosečky
Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy..................... 12 1.3 Hyperbola.................................. 17 1.3.1 Ohniskové vlastnosti hyperboly.................. 20 1.4 Parabola................................... 26 1.4.1 Ohniskové vlastnosti paraboly................... 27 1.5 Shrnutí.................................... 35 2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37 3 KUŽELOSEČKY V OSOVÉ AFINITĚ 42 3.1 Obraz kružnice v afinitě.......................... 42 3.2 Užití afinity k řešení úloh o elipse..................... 53 3.3 Hyperbola a parabola v osové afinitě................... 57 4 PERSPEKTIVNÍ KOLINEACE 60 4.1 Nevlastní prvky roviny........................... 60 4.2 Perspektivní kolineace........................... 62 5 KUŽELOSEČKY V PERSPEKTIVNÍ KOLINEACI 73 5.1 Obraz kuželosečky v perspektivní kolineaci................ 73 5.2 Užití kolineace při sestrojování kuželoseček................ 79 4
Kapitola 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 1.1 Úvod Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako řez rotační kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholem této plochy. Můžeme rozlišit tři vzájemné polohy rotační kuželové plochy a roviny. Rovina σ není rovnoběžná s žádnou povrchovou přímkou kuželové plochy. (Obr. 1.1.1) Rovina σ je rovnoběžná právě s jednou povrchovou přímkou kuželové plochy. (Obr. 1.1.2) Rovina σ je rovnoběžná se dvěma různými povrchovými přímkami kuželové plochy. (Obr. 1.1.3) Obr. 1.1.1 Obr. 1.1.2 Obr.1.1.3 5
A) Eliptický řez rotační kuželové plochy Jestliže rovina σ není rovnoběžná se žádnou povrchovou přímkou rotační kuželové plochy, pak kuželosečku, která je řezem této plochy rovinou σ nazýváme elipsa (resp. kružnice, je-li rovina ϱ kolmá k ose rotačního kužele.) Na obr. 1.1.4 je zobrazen průmět rotační kuželové plochy do roviny ν proložené osou o dané rotační kuželové plochy. Rovina řezu σ je kolmá k této rovině, je tedy rovinou promítací. Průmětna ν protíná kuželovou plochu ve dvou přímkách, a, b. Do dané kuželové plochy vepíšeme pomocné kulové plochy κ 1, κ 2 tak, aby se dotýkaly roviny řezu (body F 1, F 2 ). Středy S 1, S 2 kulových ploch leží na ose o. Křivka řezu se zobrazí do úsečky AB. Zvolme na křivce řezu libovolný bod P. Povrchová přímka p rotační kuželové plochy, která prochází bodem P, se dotýká kulových ploch v bodech P 1, P 2. Z bodu P jsou ke kulovým plochám vedeny tečny P P 1, P P 2 ; z téhož bodu jsou dále vedeny ještě tečny P F 1, P F 2. Protože všechny body dotyku tečen kulové plochy, které procházejí stejným bodem, mají od tohoto bodu stejnou vzdálenost, dostáváme P P 1 = P F 1 a P P 2 = P F 2. Sečtením dostáváme P F 1 + P F 2 = P P 1 + P P 2 = P 1 P 2. Usečka P 1 P 2 je však strana rotačního komolého kužele s podstavami k 1, k 2. Její délka nezávisí na volbě povrchové přímky ani na volbě bodu P. Skutečná velikost P 1 P 2 je rovna velikosti úsečky Q 1 Q 2, kterou na povrchové přímce a určují kružnice k 1, k 2. Platí tedy, že součet vzdáleností libovolného bodu P řezu od bodů F 1, F 2 je konstsantní a rovná se Q 1 Q 2. Obr. 1.1.4 6
B) Parabolický řez rotační kuželové plochy Jestliže rovina σ je rovnoběžná právě s jednou povrchovou přímkou rotační kuželové plochy, pak kuželosečku, která je řezem této plochy rovinou σ nazýváme parabola. Podobně jako při eliptickém řezu vepíšeme do dané kuželové plochy kulovou plochu κ tak, aby se dotýkala roviny řezu σ, obr. 1.1.5. Plocha κ se dotýká kuželové plochy podél kružnice k a roviny σ v bodě F. Rovina kružnice k protíná rovinu σ v přímce d. Libovolná povrchová přímka p( b) protíná rovinu σ v bodě P a dotýká se kulové plochy κ v bodě P. Z bodu P jsou ke kulové ploše κ vedeny tečny P F, P P, pro jejichž úseky platí P F = P P. Skutečná velikost úsečky P P je stejná jako QQ. Protože QQ = P d, je P F = P d, tedy vzdálenost libovolného bodu řezu od bodu F je stejná jako vzdálenost tohoto bodu od přímky d (řídicí přímky). Obr. 1.1.5 7
C) Hyperbolický řez rotační kuželové plochy Jestliže rovina σ je rovnoběžná se dvěma různými povrchovými přímkami rotační kuželové plochy, pak kuželosečku, která je řezem této plochy rovinou σ nazýváme hyperbola. Podobně jako v případě eliptického řezu existují dvě kulové plochy κ 1, κ 2 vepsané do rotační kuželové plochy a dotýkající se roviny řezu. Ponechme i ostatní označení na obr. 1.1.6 stejné jako v případě eliptického řezu. Pro libovolný bod P řezu platí P F 1 P F 2 = P P 1 P P 2 = P 1 P 2 = Q 1 Q 2 = Q 1Q 2. Protože BQ 2 = BF 2 a BQ 1 = AF 2, dostáváme Q 1 Q 2 = BQ 2 BQ 1 = BF 2 AF 2 = AB, tedy rozdíl vzdáleností libovolného bodu řezu od bodů F 1 a F 2 konstantní. Obr. 1.1.6 8
1.2 Elipsa Definice 1.2.1 Nechť F 1, F 2 jsou dva různé body roviny ϱ, pro jejichž vzdálenost platí F 1 F 2 < 2a, kde a je kladné reálné číslo. Množina všech bodů M roviny ϱ, pro které platí MF 1 + MF 2 = 2a, se nazývá elipsa. Obr.1.2.1 Základní pojmy: (Obr.1.2.1) A, B - hlavní vrcholy C, D - vedlejší vrcholy F 1, F 2 - ohniska MF 1, MF 2 -průvodiče MF 1, MF 2 - průvodiče S - střed F 1 SC- charakteristický trojúhelník o 1 - hlavní osa, o 1 = AB o 2 - vedlejší osa, o 2 = CD a - hlavní poloosa, a = AS = BS b - vedlejší poloosa, b = CS = DS e - excentricita (lineární výstřednost) e = F 1 S = F 2 S pro elipsu platí vztah: a 2 = b 2 + e 2 9
Bodová konstrukce elipsy (Obr. 1.2.2): Jsou dány dva různé body F 1, F 2 a úsečka velikosti hlavní polosy a > F 1 F 2 /2. Střed S úsečky F 1 F 2 je středem elipsy. Hlavní vrcholy elipsy leží na hlavní ose o 1 = F 1 F 2 ve vzdálenosti a od středu elipsy ( AF 1 + AF 2 = (a e) + (a + e) = 2a). Na přímce F 1 F 2 zvolíme libovolný bod X mezi ohnisky F 1, F 2 a sestrojíme kružnice k 1 (F 1 ; XA ) a k 2 (F 2 ; XB ). Body M 1, M 2, ve kterých se obě kružnice protínají, jsou body elipsy, protože M i F 1 = XA, M i F 2 = XB, a tedy M i F 1 + M i F 2 = XA + XB = 2a, i = 1, 2,... Pro bod X = F 1 dostaváme hlavní vrchol A a pro bod X = F 2 hlavní vrchol B. V případě, že X = S, dostáváme vedlejší vrcholy C, D. ( F 1 C = F 2 C = a + a = 2a). Obr. 1.2.2 Z bodové konstrukce elipsy plyne, že body M 1, M 2 jsou osově souměrné podle hlavní osy elipsy o 1. Pokud použijeme ještě kružnice k 3 (F 1 ; XB ) a k 4 (F 2 ; XA ), získáme další dva body elipsy M 3, M 4. Z předchozí konstrukce plyne, že body M 1, M 3 (nebo M 2, M 4 ) jsou osově souměrné podle vedlejší osy o 2 elipsy. Složením dvou osových souměrností s navzájem kolmými osami vznikne středová souměrnost se středem souměrnosti v jejich průsečíku. Můžeme tedy vyslovit následující dvě věty: 10
Věta 1.2.1 Elipsa je osově souměrná podle dvou k sobě kolmých os o 1, o 2 a středově souměrná podle jejich průsečíku S (-střed elipsy). Věta 1.2.2 Součet délek průvodičů bodu elipsy se rovná dvojnásobku velikosti její hlavní poloosy, MF 1 + MF 2 = AB = 2a. Oskulační kružnice ve vrcholech elipsy (Obr. 1.2.3): Při rýsování obvykle nepoužíváme bodovou konstrukci, ale kuželosečku ve vrcholu nahrazujeme kružnicí, která se kuželosečky v tomto bodě dotýká (kružnice i kuželosečka mají v bodě dotyku společnou tečnu) a má ve vrcholu stejnou křivost (viz diferenciální geometrie). Tuto kružnici nazýváme oskulační kružnicí kuželocečky v příslušném dotykovém bodě. Analyticky lze snadno dokázat, že střed oskulační kružnice v hlavním (vedlejším) vrcholu elipsy leží na hlavní (vedlejší) ose a velikost poloměru je b 2 /a (a 2 /b). Konstrukce oskulačních kružnic elipsy: 1. Pravoúhlý trojúhelník ASC doplníme na obdélník ASCW. 2. Z bodu W sestrojíme kolmici q k úhlopříčce AC. 3. Kolmice q protíná hlavní osu ve středu S A, (S A = o 1 q), vedlejší osu ve středu S C, (S C = o 2 q) oskulačních kružnic ve vrcholech A, C. Obr. 1.2.3 11
1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy Elipsa rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta čast roviny, která obsahuje ohniska, se nazývá vnitřní část elipsy. Pro vnitřní body X elipsy platí nerovnost F 1 X + F 2 X < 2a. Druhá část roviny je vnější část elipsy. Je-li bod Y vnějším bodem, pak platí F 1 Y + F 2 Y > 2a. Obr. 1.2.4 Definice 1.2.2 Přímka t, která má s elipsou společný právě jeden bod T, tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body elipsy, se nazývá tečna elipsy. Definice 1.2.3 Leží-li bod T na elipse, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje hlavní vrchol elipsy. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů elipsy. Obr. 1.2.5 12
Nechť T je bod elipsy, t je osa vnějšího úhlu průvodičů F 1 T, F 2 T, (obr. 1.2.5). Q je bod souměrně sdružený podle osy t k ohnisku F 1. Platí F 1 T + F 2 T = QT + T F 2 = QF 2 = 2a. Pro jakýkoliv jiný bod L přímky t je F 1 L + F 2 L = QL + LF 2 > QF 2 = 2a, protože součet dvou stran v trojúhelníku je vždy větší než strana třetí. Bod L tedy neleží na elipse, je to bod vnější, a proto je přímka t tečna elipsy. Věta 1.2.3 Tečna t sestrojená v bodě T elipsy půlí vnější úhel průvodičů. Definice 1.2.4 Kolmice k tečně elipsy v jejím dotykovém bodě se nazývá normála elipsy. Součet vnitřního a vnějšího úhlu průvodičů bodu T elipsy je úhel přímý. Tečna sestrojená v bodě T je osou vnějšího úhlu průvodičů, a proto kolmice k ní, sestrojená v témže bodě T, je osou druhého úhlu. Věta 1.2.4 Normála n sestrojená v bodě T elipsy půlí vnitřní úhel průvodičů. Na obrázku 1.2.6 je bod Q souměrně sdruženým bodem s ohniskem F 1 podle tečny t, takže F 1 T = QT. Platí tedy F 1 T + F 2 T = QT + T F 2 = QF 2 = 2a. Tečna t byla zvolena libovolně, proto tuto vlastnost mají všechny body Q souměrně sdružené s ohniskem podle tečny. Věta 1.2.5 Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen elipsy s ohniskem F 1 (resp.f 2 ) leží na řídicí kružnici d 2 (resp. d 1 ), která je opsaná z druhého ohniska F 2 (resp. F 1 ) s poloměrem 2a, Q d 2 (F 2 ; 2a) (resp. Q d 1 (F 1 ; 2a)). 13
Úsečka P S je střední příčka trojúhelníka QF 2 F 1 (bod P je středem strany F 1 Q, bod S je středem strany F 1 F 2 ). Platí tedy P S = QF 2 /2 = a a P S QF 2. Věta 1.2.6 Paty P všech kolmic sestrojených z ohnisek elipsy na její tečny leží na vrcholové kružnici ν, která má střed ve středu kuželosečky a prochází hlavními vrcholy A, B; P ν(s; a). Věta 1.2.7 Dotykový bod T na tečně t elipsy leží na spojnici bodu Q souměrně sdruženého podle tečny k ohnisku F 1 (resp. F 2 ) s druhým ohniskem F 2 (resp. F 1 ), T QF 2 (resp. T QF 1 ). Věta 1.2.8 Bod T leží na elipse právě tehdy, pokud se kružnice l 1 (T ; T F 1 ) (resp. l 2 (T ; T F 2 ) dotýká řídicí kružnice d 2 (F 2 ; 2a) (resp. d 1 (F 1 ; 2a)). Z konstrukce bodu Q plyne, že F 2 T = 2a T F 1 = 2a QT. Jde tedy o dvě kružnice s vnitřním dotykem. Obr. 1.2.6 14
Příklad 1.2.1 Sestrojte elipsu, je-li dán její střed S, délka hlavní poloosy a a tečny t 1, t 2. Řešení: (obr. 1.2.7) Kružnice k 0 (S, a) protne tečnu t 1 v bodech P 1, P 1 a tečnu t 2 v bodech P 2, P 2. Tyto body jsou patami kolmic spuštěných z ohnisek F 1, F 2 na tečny t 1, t 2. Proto ohniska leží na kolmicích vztyčených v P 1, P 1 k tečně t 1 a na kolmicích vztyčených v P 2, P 2 k tečně t 2. Dostáváme celkem čtyři ohniska F 1, F 2, F 1, F 2, přičemž F 1, F 2 jsou body souměrné podle středu S a patří jedné elipse. Body F 1, F 2 jsou také souměrné podle středu S a patří druhé elipse. Úloha tedy může mít dvě řešení, pokud všechna čtyři ohniska leží uvnitř kružnice k 0. Konstrukce: 1. k 0 (S, a) 2. P 1, P 1 = k 0 t 1, P 2, P 2 = k 0 t 2, 3. q 1 : P 1 q 1, q 1 t 1, q 1 : P 1 q 1 t 1, q 2 : P 2 q 2 t 2, q 2 : P 2 q 2 t 2, 4. F 1 = q 1 q 2, F 2 = q 1 q 2, F 1 = q 1 q 2, F 2 = q 1 q 2, Další konstrukci provedeme jen pro ohniska F 1, F 2. 5. o 1 = F 1 F 2 6. A, B = o 1 k 0 7. o 2 : S o 2, o 2 o 1 8. C, D = o 2 k 1 (F 1 ; SA ) Obr. 1.2.7 15
Příklad 1.2.2 Sestrojte tečny elipsy určené vrcholy A, B, C, D, které procházejí bodem X. Řešení: (obr. 1.2.8) Bod Q souměrný s ohniskem F 1 podle hledané tečny t leží na řídicí kružnici d 2 (F 2 ; 2a). Tečna je pak osa úsečky QF 1. Konstrukce: 1. o 1 = AB 2. F 1, F 2 = o 1 k(c; 1 AB ) 2 3. d 2 (F 2 ; 2 SA ) 4. k(x; XF 1 ) 5. Q 1, Q 2 = k d 2 6. P 1 střed úsečky Q 1 F 1 7. t 1 = P 1 X 8. P 2 střed úsečky Q 2 F 1 8. t 2 = P 2 X Obr. 1.2.8 Úlohu lze řešit i pomocí vrcholové kružnice v, na které leží body P, přičemž úhel F 1 P X musí být pravý. 16
1.3 Hyperbola Definice 1.3.1 Nechť F 1, F 2 jsou dva různé body roviny ϱ, pro jejichž vzdálenost platí F 1 F 2 > 2a, kde a je kladné reálné číslo. Množina všech bodů M roviny ϱ, pro které platí MF 1 MF 2 = 2a, se nazývá hyperbola. Základní pojmy (Obr. 1.3.1): Označení A, B, F 1, F 2, MF 1, MF 2, ( MF 1, MF 2 ), S, o 1, o 2, a, b, e je obdobné jako u elipsy. Pro hyperbolu definujeme vedlejší poloosu b vztahem: e 2 = a 2 + b 2. Hyperbola má navíc dvě asymptoty a I, a II. Jsou to přímky procházející středem hyperboly, které svírají s hlavní osou úhel ϕ, tgϕ = b/a. Hyperbola není uzavřená křivka, rozpadá se na dvě větve, které jsou "sevřeny" asymptotami. Obr. 1.3.1 17
Bodová konstrukce hyperboly (Obr. 1.3.2): Jsou dány dva různé body F 1, F 2 a úsečka velikosti hlavní poloosy a < F 1 F 2 /2. Střed S úsečky F 1 F 2 je střed hyperboly. Hlavní vrcholy hyperboly leží na hlavní ose o 1 = F 1 F 2 ve vzdálenosti a od středu hyperboly. Na přímce F 1 F 2 zvolíme libovolný bod X vně úsečky F 1 F 2 a sestrojíme kružnice k 1 (F 1 ; XA ) a k 2 (F 2 ; XB ). Body M 1, M 2, ve kterých se obě kružnice protínají, jsou body hyperboly, protože M 1 F 1 = XA, M 1 F 2 = XB, a tedy M 1 F 1 M 1 F 2 = XA XB = 2a. Pro X = F 1 dostáváme hlavní vrchol A a pro X = F 2 hlavní vrchol B. Z bodové konstrukce hyperboly vyplývá, že body M 1 a M 2 jsou osově souměrné podle hlavní osy o 1. Použitím kružnic k 3 (F 2 ; XA ) a k 4 (F 1 ; XB ) získáme další body hyperboly, M 3 a M 4, které jsou také souměrné podle osy o 1. Body M 1 a M 3, resp. M 2 a M 4, jsou navíc souměrné podle vedlejší osy o 2. Obr. 1.3.2 Věta 1.3.2 Hyperbola je souměrná podle dvou k sobě kolmých os o 1, o 2 a středově souměrná podle jejich průsečíku S. Protože F 1 A = BF 2, je 2a = F 1 B BF 2 = F 1 B F 1 A = AB. Věta 1.3.3 Rozdíl délek průvodičů bodu M hyperboly se rovná dvojnásobku velikosti její hlavní poloosy, AB = 2a = MF 1 MF 2. 18
Oskulační kružnice ve vrcholech hyperboly (Obr. 1.3.3): Konstrukce: 1. Sestrojíme asymptoty a I, a II, 2. Z hlavního vrcholu A vedeme kolmici q k ose o 1 a určíme její průsečík K s asymptotou a I. 3. Z bodu K vedeme kolmici h k asymptotě a I. 4. Kolmice h protíná hlavní osu ve středu S A, (S A = o 1 h), oslulační kružnice ve vrcholu A. 5. Oskulační kružnice procházející vrcholem B má vzhledem k symetrii hyperboly stejný poloměr. Příklad 1.3.1 Obr. 1.3.3 Sestrojte hyperbolu, je-li dána excentricita e a poloha ohniska F 1 a asymptoty a I. Řešení: (obr. 1.3.4) Víme, že F S = e. Můžeme tedy určit polohu středu hyperboly a následně osy hyperboly, druhé ohnisko a asymptotu. Konstrukce: 1. k 1 (F 1 ; e) 2. S = a I k 1, dvě řešení S, S, další konstrukci provedeme jen pro střed S 3. o 1 = F 1 S 4. o 2 : S o 2, o 2 o 1 5. k 2 (S; e) 6. F 2 : F 2 = k 2 o 1 7. E : E = k 2 a I 8. m : E m, m o 1 9. B : B = m o 1 10. A, a II osově souměrné podle o 2 s B, a I Obr. 1.3.4 19
1.3.1 Ohniskové vlastnosti hyperboly Hyperbola rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta část roviny, která obsahuje ohniska, se nazývá vnitřní část hyperboly, obsahuje vnitřní body hyperboly (X). Druhá část roviny je vnější část hyperboly, obsahuje vnější body hyperboly (Y ). (Obr. 1.3.5) Obr. 1.3.5 Definice 1.3.2 Přímka t, která má s hyperbolou společný právě jeden bod T, tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body hyperboly, se nazývá tečna hyperboly. Definice 1.3.3 Leží-li bod T na hyperbole, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje hlavní vrchol hyperboly. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů hyperboly. Předpokládejme, že T je bodem hyperboly a přímka t, která tímto bodem prochází, je osou vnějšího úhlu průvodičů F 1 T, F 2 T. Sestrojme bod Q tak, aby byl souměrně sdružený podle osy t s ohniskem F 1 (obr. 1.3.6). Platí F 1 T F 2 T = QT T F 2 = QF 2 = 2a. Pro jakýkoliv jiný bod L přímky t je F 1 L F 2 L = QL LF 2 < QF 2 = 2a, protože rozdíl dvou stran v trojúhelníku je vždy menší než strana třetí. Bod L tedy neleží na hyperbole, je to její vnější bod, a proto je přímka t tečnou hyperboly. 20
Věta 1.3.4 Tečna t v bodě T hyperboly půlí vnější úhel průvodičů. Definice 1.3.4 Kolmice k tečně hyperboly sestrojená v jejím dotykovém bodě se nazývá normála hyperboly. Věta 1.3.5 Normála n sestrojená v dotykovém bodě tečny T hyperboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Obr. 1.3.6 21
Na obrázku 1.3.7 je bod Q souměrný s ohniskem F 1 podle tečny t. Proto F 1 T F 2 T = QT T F 2 = QF 2 = 2a. Věta 1.3.6 Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen hyperboly s ohniskem F 1 (resp.f 2 ) leží na řídicí kružnici d 2 (resp. d 1 ), která je opsaná z druhého ohniska F 2 (resp. F 1 ) s poloměrem 2a, Q d 2 (F 2 ; 2a) (resp. Q d 1 (F 1 ; 2a). Obr. 1.3.7 Úsečka P S je střední příčkou trojúhelníka QF 2 F 1. (opět je bod S středem úsečky F 1 F 2 a bod P středem úsečky F 1 Q). Platí tedy P S = QF 2 /2 = a. Věta 1.3.7 Paty P všech kolmic sestrojených z ohnisek hyperboly na její tečny leží na vrcholové kružnici ν, která má střed ve středu hyperboly a prochází hlavními vrcholy A, B; P ν(s; a). Bezprostředně z konstrukce bodu Q plyne i následující tvrzení. Věta 1.3.8 Dotykový bod T na tečně t hyperboly leží na spojnici bodu Q souměrně sdruženého podle tečny k ohnisku F 1 (resp. F 2 ) s druhým ohniskem F 2 (resp. F 1 ), T QF 2 (resp. T QF 1 ) 22
Věta 1.3.9 Bod T leží na hyperbole právě tehdy, pokud se kružnice l 1 (T ; T F 1 ) (resp. l 2 (T ; T F 2 ) dotýká řídicí kružnice d 2 (F 2 ; 2a) (resp. d 1 (F 1 ; 2a)). V tomto případě jde o vnější dotyk kružnic, protože F 2 T = F 1 T + 2a = QT + 2a = QT + QF 2. Příklad 1.3.2 Sestrojte středovou kuželosečku je-li dáno její ohnisko F 1, délka hlavní poloosy a a dvě tečny t 1, t 2. Řešení: (obr. 1.3.8) Sestrojíme vrcholovou kružnici v: Konstrukce: 1. p i : F 1 p i, p i t i, i = 1, 2 2. P i = p i t i, i = 1, 2 3. k i (P i ; a), i = 1, 2 4. S i = k 1 k 2, i = 1, 2 Další konstrukci provedeme jen pro střed S = S 1 5. o 1 = F 1 S 6. F 2 o 1, úsečka F 1 F 2 se středem S 7. v(s; a) 8. A, B = v o 1 9. Q : Q F 1 P 1, úsečka F 1 Q se středem P 1 10. T 1 = QF 2 t 1 11. analogicky získáme dotykové body druhé Obr. 1.3.8 tečny Řešením úlohy je hyperbola a elipsa. Pro elipsu doplníme ještě polohu vedlejších vrcholů C, D( F 1 C = F 1 D = a) a pro hyperbolu asymptoty. 2. řešení: Tuto úlohu můžeme řešit i tak, že sestrojíme druhé ohnisko F 2 jako střed řídicí kružnice. Ta prochází body Q, Q souměrně sdruženými k ohnisku F 1 podle tečen t 1, t 2, a tedy ohnisko F 2 leží na ose q úsečky QQ ve vzdálenosti 2a od bodů Q, Q. 23
Je-li hyperbola určena asymptotami a jejím bodem M, můžeme sestrojit délku její hlavní poloosy a. K odvození konstrukce užijeme analytické geometrie. Zvolme souřadnicový systém tak, aby střed hyperboly ležel v jeho počátku, hlavní osa splývala s osou x a vedlejší s osou y (obr 1.3.9). Pak je hyperbola popsána rovnicí Rovnice jejích asymptot jsou x 2 a 2 y2 b 2 = 1 y = ± b a x. Bodem M = [x M, m] veďme rovnoběžku p s hlavní osou, její rovnice je y = m. Určíme průsečík N této přímky s hyperbolou a a průečík R s jednou asymptotou. Zjistíme dále velikost součinu délek úseček MR a RN. Protože y M = y N = y R = m, je NR = x R x N, RM = x M x R. Souřadnice x M, x N vypočteme z rovnice hyperboly, dosadíme-li do ní za y číslo m. Vychází x M = a b b2 + m 2, x N = a b b2 + m 2, x R = a b m. Dosadíme-li tyto hodnoty do součinu M R. N R, dostaneme MR. NR = a2 b 2 (m + b 2 + m 2 ).( b 2 + m 2 m) = a2 b 2 (b 2 + m 2 m 2 ) = a 2. Je-li tedy dán bod M, sestrojíme bod N jako obraz bodu M v osové souměrnosti podle vedlejší osy hyperboly a najdeme průsečík R přímky M N s asymptotou. Dále sestrojíme kružnici nad průměrem M N. Bodem R vedeme rovnoběžku s vedlejší osou a určíme její průsečík K s kružnicí. Velikost úsečky RK je rovna délce hlavní poloosy (dle Euklidovy věty o výšce). Obr. 1.3.9 24
Věta 1.3.10 Nechť sečna hyperboly p rovnoběžná s hlavní osou (p o 1 ) protíná hyperbolu v bodech M, N a asymptotu v bodě R (viz obr 1.3.9). Pak platí: MR. NR = a 2. Obdobně lze dokázat i následující dvě věty. Věta 1.3.11 Nechť sečna hyperboly protíná hyperbolu v bodech M, N a asymptoty v bodech X, Y (viz obr 1.3.10). Pak platí: MX = NY. Obr. 1.3.10 Věta 1.3.12 Dotykový bod T tečny t půlí úsek tečny hyperboly mezi jejími asymptotami, T X = T Y (viz obr 1.3.11). Obr. 1.3.11 25
1.4 Parabola Definice 1.4.1 Nechť v rovině ϱ je dána přímka d a bod F, který na ní neleží. Množina všech bodů M roviny ϱ, pro které platí Md = MF, se nazývá parabola. Základní pojmy:(obr.1.4.1) V - vrchol F - ohnisko MF, QM průvodiče MF, QM průvodiče o - osa d - řídicí přímka p - parametr, p = F d v - vrcholová tečna Obr.1.4.1. Přímo z definice paraboly plyne následující tvrzení. Věta 1.4.1 Délky průvodičů bodu paraboly jsou si rovny. Bodová konstrukce paraboly (Obr.1.4.2): Je dána řídicí přímka d a ohnisko F. Kolmice sestrojená z ohniska na přímku d je osa paraboly o. Vrchol V paraboly je bod na ose, který má od řídicí přímky d i od ohniska F stejnou vzdálenost p/2. Na ose o zvolíme libovolný bod X, jehož vzdálenost od d je větší než p/2. Tímto bodem vedeme přímku d d. Z ohniska F opíšeme kružnici k o poloměru rovnému vzdálenosti přímek dd, k(f ; dd ). Průsečíky M, M kružnice k a přímky d jsou body paraboly. 26
Obr. 1.4.2 Obr.1.4.3 Na základě bodové konstrukce paraboly vidíme, že body M, M jsou souměrné podle osy paraboly. Věta 1.4.2 Parabola je souměrná podle osy o. Oskulační kružnice ve vrcholu paraboly (Obr.1.4.3): Poloměr oskulační kružnice k o ve vrcholu paraboly je roven parametru, její střed S V leží na ose o. 1.4.1 Ohniskové vlastnosti paraboly Parabola rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta čast roviny, která obsahuje ohnisko, se nazývá vnitřní část paraboly, obsahuje vnitřní body paraboly X. Druhá část roviny je vnější část paraboly, obsahuje vnější body paraboly Y. Obr.1.4.4 27
Definice 1.4.2 Přímka t, která má s parabolou společný právě jeden bod T, tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body paraboly, se nazývá tečna paraboly. Definice 1.4.3 Leží-li bod T na parabole, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje vrchol paraboly. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů paraboly. Nechť T je bod paraboly (Obr. 1.4.5), t je osa vnějšího úhlu průvodičů T Q, T F. Q je bod souměrně sdružený podle osy t k ohnisku F 1. Platí dt = QT = F T. Pro libovolný bod L přímky t je dl < QL = F L, tedy dl < F L. V pravoúhlém trojúhelníku je odvěsna vždy menší než přepona. Bod L tedy neleží na parabole, je to její vnější bod, a proto je přímka t tečna paraboly. Věta 1.4.3 Obr.1.4.5 Tečna t v bodě T paraboly půlí vnější úhel průvodičů. Definice 1.4.4 Kolmice k tečně paraboly v jejím dotykovém bodě se nazývá normála paraboly. Podobně, jako u předchozích kuželoseček, si čtenář sám dokáže následující tvrzení. 28
Věta 1.4.4 Normála n v bodě T paraboly půlí vnitřní úhel průvodičů. Nechť bod T je libovolný bod paraboly a přímka QT průvodič bodu T ; Q d. Pak tojúhelník P T F je shodný s trojúhelníkem T P Q, (podle věty ssu, P T je společná strana, QT = F T, oba trojúhelníky jsou pravoúhlé) (Obr. 1.4.6). Platí tedy také P Q = P F, a tedy bod Q je souměrně sdružený podle tečny k ohnisku. Obr. 1.4.6 Věta 1.4.5 Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen paraboly s ohniskem F leží na řídicí přímce d. Úsečka P V je střední příčka QDF, P V QD (Obr. 1.4.6). Věta 1.4.6 Paty P všech kolmic sestrojených z ohniska paraboly na její tečny leží na vrcholové tečně v. 29
Bezprostředně z konstrukce bodu Q plyne (Obr. 1.4.6). Věta 1.4.7 Dotykový bod T na tečně t leží na přímce vedené bodem Q rovnoběžně s osou paraboly. Protože dt = F T, je dt poloměr kružnice, jejíž tečnou je řídicí přímka d (Obr.1.4.7). Obr. 1.4.7 Věta 1.4.8 Bod T leží na parabole právě tehdy, pokud se kružnice l(t ; T F ) dotýká řídicí přímky. Příklad 1.4.1 Je dána dán vnější bod R paraboly, která je určene ohniskem F a řídicí přímkou d. Veďte z bodu R tečny k parabole a určete jejich dotykové body. (Grafické zadání, viz obr. 1.4.8) Řešení: Body Q 1, Q 2,souměrně sdružené podle hledaných tečen t 1, t 2 a ohniskem F, leží ne kružnici k(r, RF ) a pro danou parabolu také na řídicí přímce d. Hledané tečny t 1, t 2 jsou tedy osy souměrnosti úseček Q 1 F a Q 2 F. Dotykové body T 1, T 2 jsou průsečíky tečen s rovnoběžkami s osou, vedenými body Q 1, Q 2. 30
Konstrukce: 1. l(r; RF ) 2. Q 1, Q 2 = d l 3. t i : R t i, t i F Q i, i = 1, 2 4. m i : Q i m i, m i o, i = 1, 2 5. T i : T i = t i m i, i = 1, 2 Obr. 1.4.8 Příklad 1.4.2 Sestrojte parabolu, která je dána ohniskem F, bodem M a tečnou t. (Grafické zadání, viz obr. 1.4.9) Řešení: Z věty 1.4.8 víme, že se kružnice l(m; F M ) dotýká řídicí přímky d, která prochází bodem Q na řídicí přímce, který je souměrný s ohniskem podle tečny. Osa paraboly prochází ohniskem kolmo k řídicí přímce. Konstrukce: 1. l = (M; F M ) 2. Q souměrný s F podle T 3. d 1, d 2 - tečny ke kružnici l vedené z bodu Q 4. o 1, o 2 - kolmice k d 1, d 2 spuštěné z ohniska F Úloha má dvě řešení. Obr. 1.4.9 31
Sestrojme tečny t 1, t 2 paraboly ve dvou jejích různých bodech T 1, T 2, viz obr. 1.4.10. Veďme bodem R, který je průsečíkem těchto tečen, rovnoběžku o s osou paraboly. Nechť body Q 1, Q 2 jsou opět body souměrné s ohniskem F podle tečen t 1, t 2. Pak čtyřúhelník Q 1 Q 2 T 2 T 1 je lichoběžník, Q 1 T 1 Q 2 T 2. Protože úsečka Q 1 Q 2 je tětivou kružnice l(r; RF ) a přímka o je k ní kolmá, půlí ji v bodě X. Z toho plyne, že i přímka o půlí protější stranu T 1 T 2. Obr. 1.4.10 Věta 1.4.9 Spojnice průsečíku dvou tečen paraboly se středem tětivy, spojující jejich body dotyku, je rovnoběžná s osou paraboly. Příklad 1.4.3 Sestrojte parabolu, znáte-li její dvě tečny t 1, t 2 s body dotyku T 1, T 2. (Grafické zadání, viz obr. 1.4.11) Řešení: Spojíme-li střed S tětivy T 1 T 2 s průsečíkem R tečen, získáme směr o osy paraboly. Můžeme tedy sestrojit průvodiče bodů T 1, T 2, které jsou rovnoběžné s osou. Protože tečna půlí vnější úhel průvodičů, můžeme doplnit druhé průvodiče a nalézt v jejich průsečíku ohnisko F. Osa paraboly o prochází ohniskem F a je rovnoběžná s přímkou o. Řídicí přímka d prochází bodem Q 1 souměrným s ohniskem podle tečny t 1 kolmo k ose. Konstrukce: 1. R = t 1 t 2 2. S - střed úsečky T 1 T 2 3. o = SR 32
4. q i : T i q i, q i o, i = 1, 2 5. p i : T i p i, t i je osa úhlu různoběžek p i, q i, i = 1, 2, obsahující bod R. 6. F = p 1 p 2 7. o : F o, o o 8. Q 1 - souměrný s F podle t 1 9. d : Q 1 d, d o Obr. 1.4.11 33
Pro parabolu se obvykle zavádí další pojmy. Nechť U je pata kolmice spuštěné z bodu T na osu, N je průsečík normály sestrojené v bodě T s osou o paraboly a M je průsečík tečny s touto osou o. Pak úsek MU nazýváme subtangentou a úsek NU subnormálou. Obr. 1.4.12 Bod M je vrcholem kosočtverce F T QM. Pak MDQ = F UT ( DQ = UT, pravý úhel, QM F T ). Proto MD = F U. Pro parametr p platí: p = F D = MF MD = T Q MD = F N MD = F N F U = UN. V kosodélníku QT NF je F N = QT. V kosočtverci F T QM je QT = F M. Proto MF = F N. Platí tedy. Věta 1.4.10 a) Subtangenta M U je půlena vrcholem V paraboly. b) Délka subnormály NU je konstantní a rovná se parametru p. c) Součet subtangenty a subnormaly, tj. úsek MN, je půlen ohniskem F. 34
1.5 Shrnutí Kuželosečka rozděluje rovinu, ve které leží, na dvě části. Ta čast roviny, která obsahuje ohniska, se nazývá vnitřní část kuželosečky, obsahuje vnitřní body kuželosečky. Druhá část roviny je vnější část kuželosečky, obsahuje vnější body kuželosečky. Přímka t, která má s kuželosečkou společný právě jeden bod T, tzv. dotykový bod, a všechny její ostatní body jsou vnější body kuželosečky, se nazývá tečna kuželosečky. Leží-li bod T na kuželosečce, nazýváme vnějším úhlem průvodičů ten z obou úhlů průvodičů, který obsahuje hlavní vrchol kuželosečky. Druhý úhel nazýváme vnitřním úhlem průvodičů kuželosečky. Tečna t v bodě T kuželosečky půlí vnější úhel průvodičů. Kolmice k tečně kuželosečky v jejím dotykovém bodě se nazývá normála kuželosečky. Normála n v bodě T kuželosečky půlí vnitřní úhel průvodičů. Všechny body Q souměrně sdružené podle tečen elipsy nebo hyperboly s ohniskem F 1 (resp.f 2 ) leží na řídicí kružnici d 2 (resp. d 1 ), která je opsaná z druhého ohniska F 2 (respa. F 1 ) s poloměrem 2a, Q d 2 (F 2 ; 2a) (resp. Q d 1 (F 1 ; 2a). U paraboly leží body Q souměrné podle tečen k ohnisku F na řídicí přímce d. Paty P všech kolmic sestrojených z ohnisek elipsy nebo hyperboly na tečny této kuželosečky leží na vrcholové kružnici ν, která má střed ve středu kuželosečky a prochází hlavními vrcholy A, B, P ν(s; a). U paraboly leží paty kolmic na vrcholové tečně v. Dotykový bod T na tečně t elipsy nebo hyperboly leží na spojnici bodu Q souměrně 35
sdruženého podle tečny k ohnisku F 1 (resp. F 2 ) s druhým ohniskem F 2 (resp. F 1 ), T QF 2 (resp. T QF 1 ) U paraboly leží dotykový bod T tečny t na přímce vedené bodem Q rovnoběžně s osou paraboly. Bod T leží na elipse nebo hyperbole právě tehdy, pokud se kružnice l 1 (T ; T F 1 ) (resp. l 2 (T ; T F 2 ) dotýká řídicí kružnice d 2 (F 2 ; 2a) (resp. d 1 (F 1 ; 2a)). Bod T leží na parabole právě tehdy, pokud se kružnice l(t ; T F ) dotýká řídicí přímky. 36
Kapitola 2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ Definice 2.1 Osová afinita v rovině je ϱ je zobrazení A : ϱ ϱ, v němž: 1. Obrazem bodu A je bod A, obrazem přímky a je přímka a ; incidence se zachovává. 2. Odpovídající si přímky a, a se protínají na pevné přímce o, zvané osa afinity, nebo jsou s ní rovnoběžné. 3. Odpovídající si body leží na rovnoběžných přímkách (určují tzv. směr osové afinity). Obr. 2.1 Obr. 2.2 Sestrojování obrazů bodů a přímek v osovém afinitě je zřejmé z obr. 2.1 a 2.2. Vezmeme-li bod Q na ose o osové afinity, platí zřejmě Q = Q (jde tedy o samodružný bod zobrazení). Platí tedy: 37
Věta 2.1 Všechny body osy afinity jsou samodružné, jiné samodružné body neexistují. Úmluva: Místo osová afinita v rovině budeme déle používat pouze termín afinita v rovině, resp. jen afinita. Z vlastností stejnolehlosti se středem S = S (obr. 2.1) na ose afinity, resp. translace (obr. 2.2), plyne bezprostředně: Věta 2.2 Afinita zachovává dělicí poměr tří bodů na přímce, tj. (ABC) = (A B C ). Jestliže vzory přímek a, b jsou rovnoběžné, pak i jejich obrazy a, b musí být rovnoběžné. Pokud by měly společný bod Q, pak z definice afinity plyne, že i přímky a, b by musely mít společný bod Q. Tedy: Věta 2.3 V afinitě odpovídají rovnoběžným přímkám a, b opět rovnoběžné přímky a, b. Jestliže směr afinity je kolmý k její ose, afinita se nazývá pravoúhlá, je-li směr kosý k ose, afinita se nazývá kosoúhlá, je-li směr dán osou afinity, afinita se nazývá elace. Vraťme se k obrázkům 2.1 a 2.2. Označme A 0, B 0 průsečíky přímek AA, BB a osou o afinity. Pak z vlastností stejnolehlosti, resp. translace, plyne bezprostředně rovnost dělicích poměrů λ = (A AA 0 ) = (B BB 0 ). Dělicí poměr λ se nazývá charakteristika afinity. Jestliže osa o neodděluje body A (vzor), A (obraz), je λ > 0, jestliže osa o odděluje body A, A, je λ < 0. Pravoúhlá afinita s λ = 1 je osová souměrnost. Věta 2.4 Afinita je určena osou a dvojicí odpovídajících si nesamodružných bodů A, A. 38
Je-li totiž mimo osu dán bod X A, dovedeme sestrojit jeho obraz X následovně: a) Není-li bod X bodem přímky AA (obr 2.3), pak jsou přímky XX a AA rovnoběžné a bod X leží na obrazu přímky m = AX. Protíná-li přímka XA osu v bodě Q, je Q = Q a obrazem přímky AX je přímka m = QA = A X. Je-li přímka XA s osou o rovnoběžná, je s osou o rovnoběžná i Obr. 2.3 přímka A X. b) Je-li bod Y A (obr. 2.4) bodem přímky AA, zvolíme bod Z, který neleží ani na ose, ani na přímce AA. Sestrojíme jeho obraz Z a bod Y musí ležet na obraze m přímky m = ZY. Obr. 2.4 Konstrukce prováděné na obr.2.3 a 2.4 jsou stejné, je-li afinita elací. Kromě určení afinity osou a dvojicí odpovídajících si bodů může být afinita určena i jinak. Afinita může být určena například (zadání afinity je demonstrováno na obr. 2.5. a obr. 2.6 ): a) osou o, směrem s a dvojicí odpovídajících si přímek, b) třemi páry odpovídajících si bodů A A, B B, C C, přičemž AA BB CC, c) dvěma páry odpovídajících si přímek a a, b b, ad a) ad b) ad c) Obr. 2.5 39
d) dvojicí odpovídajících si bodů A A a dvojicí odpovídajících si přímek b b, které těmito body neprocházejí, e) osou, směrem a charakteristikou. ad d) ad e) Obr. 2.6 Z uvedených zadání vždy dovedeme sestrojit osu o afinity a dvojici odpovídajících si bodů. (Proveďte jako cvičení.) Příklad 2.1 Sestrojte obraz trojúhelníka ABC v osové afinitě dané osou o a dvojicí odpovídajících si bodů L, L. (Grafické zadání i řešení viz Obr. 2.7) Řešení: Nejprve sestrojíme bod B (přímky LB a L B se protínají na ose o). Ke konstrukci jsou dále použity samodružné body 1,2. Obr. 2.7 40
Příklad 2.2 Určete afinitu s danou osou o tak, aby obrazem daného rovnoběžníku ABCD byl čtverec A B C D. (Grafické zadání i řešení viz Obr. 2.8) Řešení: Z vlastností čtverce plyne, že úhel BAC se musí zobrazit do úhlu B A C o velikosti 45 o, přičemž se přímky AB, A B ; AC, A C musí protnout na ose o v bodech 1,2. Všechny body A, pro něž platí, že úhel 1A 2 má velikost 45 o leží na kružnici k 1 (plyne z vlastností středového a obvodového úhlu kružnice), jejíž střed O leží na Thaletově kružnici sestrojené nad úsečkou 12. Analogicky se úhel BAD musí zobrazit do pravého úhlu, tj. jeho vrchol musí ležet na Thaletově kružnici k 2 sestrojené nad úsečkou 13 (bod 3 je průsečíkem přímky AD s osou o). Průsečíkem kružnic k 1, k 2 je bod A. Další postup je zřejmý z vlastností afinity. (Na obr. 2.8 je sestrojeno pouze jedno řešení.) Obr. 2.8 41
Kapitola 3 KUŽELOSEČKY V OSOVÉ AFINITĚ 3.1 Obraz kružnice v afinitě Nechť je dána kružnice k (viz obr. 3.1.1) o středu S a poloměru r a afinita určená osou o a dvojicí odpovídajících si bodů S, S (S je obrazem S). Zvolíme dvě kartézské soustavy souřadnic K 1 = {S, x, y} a K 2 = {S, ξ, η} tak, aby K 2 = {S, ξ, η} byla obrazem K 1 = {S, x, y} v dané afinitě. Poněvadž si osy x, ξ odpovídají v dané afinitě, protínají se na o v bodě 1, analogicky se y, η protínají na ose o v bodě 2 (body 1, 2 jsou průsečíky Thaletovy kružnice se středem Q na o, procházející body S, S ). Na ose x, resp. y, zvolíme body P, resp. R, tak, aby SP = SR = 1. Bodům P, R odpovídají v afinitě body P, R. Označme S P = p, S R = q. Zvolíme-li nyní na kružnici libovolný bod M = [x, y], odpovídá u v afinitě bod M = [ξ, η]. Protože afinita zachovává dělicí poměr, musí platit x 1 = ξ p, y 1 = η q, a tedy ξ = px, η = qy, tj. x = ξ p, y = η q. Daná kružnice má v soustavě souřadnic K 1 rovnici x 2 + y 2 = r 2. Po dosazení za x, y z posledních dvou rovnic obdržíme rovnici ξ 2 (pr) 2 + η2 (qr) 2 = 1, což je rovnice obrazu kružnice k zapsaná v soustavě souřadnic K 2. Jde o rovnici elipsy (pokud p q) nebo kružnice (pokud p = q). Platí tedy věta: Věta 3.1.1 Obrazem kružnice v afinitě je elipsa nebo kružnice. 42
Obr. 3.1.1 Analogicky bychom dokázali větu: Věta 3.1.2 Ke každé elipse e lze vyhledat afinitu tak, že jí odpovídá kružnice e. Poznámka Můžeme tedy mluvit o tom, že kružnice a elipsa si navzájem odpovídají v afinitě (A, A 1 ). Průměrem kružnice, resp. elipsy, rozumíme úsečku, která prochází jejím středem a má koncové body na kružnici, resp. elipse. Dvojici kolmých průměrů kružnice nazýváme dvojicí sdružených průměrů kružnice a dvojici průměrů elipsy, pro které platí, že tečny v koncových bodech jednoho průměru jsou rovnoběžné s druhým průměrem se nazývají sdružené průměry elipsy. Je zřejmé, že sdružené průměry elipsy se navzájem půlí (viz obr 3.1.2) a osy elipsy jsou jedinou dvojicí navzájem kolmých sdružených průměrů. 43
Z vlastností afinity bezprostředně plyne věta (viz obr. 3.1.2): Věta 3.1.3 Odpovídá-li elipsa k kružnici k v osové afinitě, pak 1) středu kružnice S odpovídá střed elipsy S, 2) tečně t kružnice v bodě T odpovídá tečna t elipsy v bodě T, 3) sdruženým, tj. vzájemně kolmým, průměrům kružnice odpovídají sdružené průměry elipsy. Obr. 3.1.2 Dále platí (viz obr. 3.1.3): Věta 3.1.4 Odpovídají-li si kružnice k a elipsa k v osové afinitě, pak vždy existují jejich společné tečny, které jsou rovnoběžné se směrem afinity. Obr. 3.1.3 Přímky rovnoběžné se směrem afinity s jsou slabě samodružné (invariantní). Sestrojímeli tečnu t A kružnice k rovnoběžně se směrem afinity, má jediný společný bod s kružnicí k. Její obraz t A má proto také jen jediný společný bod A s elipsou k, tj. t A = t A s. 44
Konstrukce 3.1 Sestrojte osy elipsy k, která je obrazem dané kružnice k(s; r) v osové afinitě A(o; S S ). Řešení (viz obr. 3.1.4): V kružnici k zvolíme dvojici sdružených průměrů AB CD tak,aby jejich obrazem v afinitě byla dvojice sdružených průměrů elipsy A B, C D, které na sebe budou také kolmé, tj.budou to osy elipsy k. Odpovídající si průměry AB A B, CD C D se musí protínat na ose o (v bodech 1 = 1, 2 = 2 ). Body 1,2 tedy musí ležet na Thaletově kružnici k T se středem Q = Q na ose o (kružnice prochází body S, S ). Obr. 3.1.4 45
Konstrukce 3.2 Jsou dány vrcholy A, B, C, D elipsy e. Určete afinitu, v níž elipse e odpovídá kružnice e. Řešení (viz obr. 3.1.5): Na obrázku 3.1.5a) je za osu o afinity zvolena hlavní osa elipsy. Pak A = A, B = B, S = S. Odtud plyne konstrukce kružnice e a bodů C, D. Na obrázku 3.1.5b) je za osu o afinity zvolena vedlejší osa elipsy. Elipse pak odpovídá kružnice e procházející body C = C, D = D. Obě afinity jsou pravoúhlé. a) b) Obr. 3.1.5 46
Konstrukce 3.3 Jsou dány sdružené průměry elipsy e koncovými body M, N, P, Q. Určete afinitu, v níž elipse e odpovídá kružnice e. Řešení (viz obr. 3.1.6): Zvolme za osu o afinity přímku MN. Pak S = S, M = M, N = N jsou střed a body kružnice e. Poněvadž dvojici sdružených průměrů elipsy odpovídá v afinitě dvojice kolmých průměrů kružnice e, musí body P, Q ležet na kolmici k přímce M N procházející bodem S = S. Afinita je pak určena osou o a dvojicí P P, resp. Q Q ( přímka P P, resp. QQ, určuje její směr). Obr. 3.1.6 Poznámka: Je zřejmé, že druhou afinitu vyhovující úloze je možno volit tak, že bodu P přiřadíme jako obraz bod P 2, který je na obrázku označen Q. Změní se tím ovšem směr afinity. 47
Konstrukce 3.4 - trojúhelníková Nechť je dána elipsa s hlavními vrcholy A, B a vedlejšími vrcholy C, D (obr. 3.1.7). Sestrojte libovolný bod bod M této elipsy. Řešení: Užijme obě afinity z konstrukce 3.2 s osami o 1, o 2. Kružnice přiřazené elipse v afinitách s uvedenými osami označíme e, e. Bodem S vedeme libovolnou přímku m. Ta protne kružnici e v bodě M, kružnici e v bodě M. Body M, M odpovídají bodu M elipsy v afinitách s osami o 1, o 2. Poněvadž obě afinity jsou pravoúhlé, leží bod M elipsy na kolmici vedené bodem M k ose o 1 a na kolmici vedené bodem M k ose o 2. Opakováním konstrukce (pro další volby přímky m) získáme další body elipy. Obr. 3.1.7 48
Konstrukce 3.5 - proužková Nechť je dána elipsa s hlavními vrcholy A, B a libovolným dalším bodem M. Určete vedlejší vrcholy C, D (obr. 3.1.8). Řešení: Vedeme-li modem M elipsy (obr 3.1.7) rovnoběžku s přímkou m, protne osy elipsy v bodech Q, R. Z rovnoběžníku MM SR plyne MR = M S = BS = a (velikost hlavní poloosy elipsy), z rovnoběžníku MM SQ plyne MQ = M S = CS = b (velikost vedlejší poloosy elipsy). To vede k následující tzv. proužkové konstrukci elipsy o poloosách a, b (obr. 3.1.8). Známe-li hlavní vrcholy A, B elipsy a její další bod M, sestrojíme bod R na vedlejší ose elipsy tak, aby MR = a. Spojnice MR protne hlavní osu elipsy v bodě Q a QM = b. Vedlejší vrcholy sestrojíme tak, že SC = SD = b. Konsrukce vrcholů A, B z daných vrcholů C, D a bodu elipsy je z téhož obrázku zřejmá. Obr. 3.1.8 Z předchozího zřejmě platí: Pohybují-li se krajní body úsečky RQ konstantní délky po dvou k sobě kolmých přímkách o 1, o 2 tak, že bod Q leží stále na přímce o 1 a bod R na přímce o 2, opisuje libovolný bod M ležící na spojnici RQ (vně úsečky RQ) elipsu. Její osy leží na přímkách o 1, o 2 a délky poloos jsou rovny velikosti úseček MR, MQ. 49
Konstrukce 3.6 - Rytzova Je dána elipsa s hlavními vrcholy A, B, vedlejšími vrcholy C, D (středem S a poloosami a, b). K odvození konstrukce použijeme obrázek 3.1.9. Stejně jako v konstrukci 3.4 sestrojíme bod elipsy M a na přímce m body M, M. Středem elipsy vedeme přímku n kolmou k přímce m a sestrojíme NN N. Z afinity mezi kružnicí e a elipsou e pak plyne, že body M, N jsou koncovými body sdružených průměrů M Q, N P dané elipsy. Obr. 3.1.9 Otočíme-li pravoúhlý trojúhelník NN N o devadesát stupňů okolo středu S, přejdou body N, N do bodů M, M a bod N do bodu N 0. Vznikne tak obdélník o vrcholech N 0 M MM. Jeho střed označme X. Úhlopříčka N 0 M tohoto obdélníka protne osy elipsy v bodech Y, Z. Druhá úhlopříčka prochází středem S. Pak platí XN 0 : XZ = XM : XS = XM : XY, a poněvadž XN 0 = XM = XM = XM platí XY = XS = XZ. Bod X je tedy středem přepony pravoúhlého trojúhelníka Y SZ (body Y, Z leží na Thaletově kružnici se středem X a poloměrem XS ). Z rovnoramenného lichoběžníka SM MY plyne, že MY = b a ze vztahů XZ = XS, XM = XM, XS + XM = a plyne, že MZ = a. Uvědomme si, že úsečky SN a SN 0 jsou na sebe kolmé (plyne z otočení o pravý úhel). 50
Získaných poznatků užijeme při provedení následující konstrukce: Rytzova konstrukce os elipsy ze zadaných sdružených průměrů. Jsou dány sdružené průměry elipsy s koncovými body N P, M Q. Sestrojte její osy a vrcholy. Řešení (obr. 3.1.10): K průměru P N sestrojíme kolmici v bodě S a na ní bod N 0 tak, aby SN 0 = SN. Na spojnici bodů N 0 M sestrojíme střed X úsečky N 0 M. Dále sestrojíme kružnici k se středem X, procházející bodem S. Průsečíky této kružnice s přímkpou p = N 0 M označíme Y, Z. Body Z, Y prochází osy elipsy. Poněvadž MY = b, MZ = a, sestrojíme snadno vrcholy A, B, C, D elipsy. (Hlavní osa leží v ostrém úhlu daných sdružených průměrů.) Obr. 3.1.10 51
Konstrukce 3.7 - příčková konstrukce bodů elipsy Obr. 3.1.11 Z obr. 3.1.11 snadno zjistíme, že R1M XM N. Odtud plyne, že M XN je pravý a dle Thaletovy věty je bod X bodem kružnice k. Poněvadž afinita zachovává dělicí poměr a rovnoběžnost, odpovídá obrázku 3.1.11 po transformaci afinitou obrázek 3.1.12 (čtverci odpovídá rovnoběžník) a bodům X odpovídají body elipsy dané sdruženými průměry M N, P Q. dílů V obrázku 3.1.12 je sestrojena část elipsy pomocí dělení na stejný počet (body 0, 1, 2, 3, 4). Konstrukce dalších částí elipsy je zřejmá. Obr. 3.1.12 52
3.2 Užití afinity k řešení úloh o elipse Afinitu mezi kružnicí a elipsou můžeme užít k řešení úloh o zadané elipse nebo ke konstrukci elipsy z daných prvků. a) Řešení úloh o zadané elipse Postupujeme tak, že elipse afinitou přiřadíme kružnici; zadání převedeme touž afinitou. Řešíme úlohu o kružnici a výsledek afinitou převedeme k elipse. Příklad 3.1 Sestrojte tečny z bodu R k elipse e dané vrcholy A, B, C, D. Řešení (viz obr. 3.2.1): Elipse e přiřadíme kružnici e, dle konstrukce 3.2, v afinitě s osou AB a dvojicí odpovídajících si bodů C C. Bodu R v této afinitě odpovídá bod R. Nyní sestrojíme tečny kružnice e ; označíme je t 1, t 2 a jejich body dotyku T 1, T 2. Tečnám t 1, t 2 odpovídají v afinitě tečny t 1, t 2 elipsy, bodům dotyku T 1, T 2 odpovídají body dotyku T 1, T 2 tečen elipsy. Analogicky bychom postupovali, pokud by elipsa byla dána dvojicí sdružených průměrů. (Afinita by byla určena dle konstrukce 3.3.) Obr. 3.2.1 53
Příklad 3.2 Sestrojte průsečík přímky p s elipsou, která má sdružené průměry MN, P Q. Řešení (viz obr. 3.2.2): Konstrukcí 3.2 přiřadíme elipse e kružnici e, jež jí odpovídá v afinitě určené osou o = MN a dvojicí přidružených bodů P, P. Přímce p odpovídá v této afinitě přímka p, která protíná kružnici e v bodech X, Y. Těmto bodům odpovídají průsečíky X, Y přímky p s elipsou e. Obr. 3.2.2 54
b) Sestrojení elipsy z daných prvků Postupujeme tak, že vyhledáme afinitu, která elipse e zadané danými prvky přiřazuje kružnici e. Sestrojíme tuto kružnici a pak elipsa e odpovídá, v nalezené afinitě, kružnici e. Při hledání afinity volíme buď osu nebo směr. Příklad 3.3 Jsou dány přímky p, q, na nichž leží dvojice sdružených průměrů elipsy e a její tečna t a bodem dotyku T. Sestrojte elipsu e. Řešení (viz obr. 3.2.3): Zvolíme tečnu t elipsy e za osu o afinity. Pak je t = t = o, přičemž T je bod dotyku kružnice e přiřazené elipse s její tečnou t. Střed S kružnice e tedy musí ležet na kolmici vedené bodem T k tečně t. Sdruženým průměrům p, q elipsy musejí odpovídat sdružené průměry p, q kružnice, které jsou na sebe kolmé a protínají se s nimi na ose afinity v bodech 1, 2. Jejich průsečík S musí tedy ležet na Thaletově kružnici sestrojené nad průměrem 1, 2. Hledaná afinita je určena osou a dvojicí odpovídajících si bodů S, S. Přímky p a q protnou kružnici e v bodech M, N, P, Q, které odpovídají v nalezené afinitě koncovým bodům sdružených průměrů MN, P Q elipsy e. Osy elipsy můžeme sestrojit buď pomocí Rytzovy konstrukce nebo pomocí konstrukce 3.1. Obr. 3.2.3 55
Příklad 3.4 Sestrojte elipsu e, která se dotýká dvou rovnoběžných tečen t 1 t 2 a prochází body M, N, P. Řešení (viz obr. 3.2.4): Vyhledáme opět osovou afinitu, která elipse přiřadí kružnici e. Tentokrát zvolíme směr afinity určený rovnoběžnými tečnami t t 2. Pak t 1 = t 1, t 2 = t 2. Přímky t 1, t 2 jsou (podle věty 3.1.4) tečnami kružnice e. Kružnici e tedy zvolíme tak, aby se těchto přímek dotýkala. Obrazy bodů M, N, P, tj. body M, N, P, pak musí ležet na kružnici e a na přímkách náležejících směru afinity. Odpovídající si přímky MN M N a NP N P se protnou v bodech 1, 2 na ose afinity. Osy elipsy e, která odpovídá kružnici e nalezneme pomocí konstrukce 3.1. Obr. 3.2.4 Poznámka: Za bod M můžeme volit i druhý z průsečíků přímky MM s kružnicí e, podobně i pro body N, P (získáme tak ovšem jinou afinitu). 56
3.3 Hyperbola a parabola v osové afinitě Poněvadž k provedení důkazů následujících tvrzení by byly potřeba znalosti tzv. projektivní geometrie, která není předmětem této publikace, uvedeme je bez důkazu. Věta 3.3.1 Obrazem paraboly v afinitě je opět parabola, obrazem hyperboly v afinitě je hyperbola. Tečně kuželosečky odpovídá tečna jejího obrazu, bodu dotyku tečny odpovídá bod dotyku jejího obrazu. Obrazem středu hyperboly je střed jejího obrazu. Na obr. 3.2.5 je naznačen postup, kterým můžeme sestrojit obraz hyperboly se středem S, vrcholy A, B, ohnisky F 1, F 2 a asymptotami a I, a II. Osová afinita je určena osou o a dvojicí odpovídajících si bodů S S. Můžeme postupovat např. takto: sestrojíme obrazy a I, a II asymptot a obraz M libovolného bodu M hyperboly h. Obraz h hyperboly h můžeme sestrojit pomocí věty 1.3.10. Pozor! Vrcholům a ohniskům hyperboly neodpovídají vrcholy a ohniska jejího obrazu. Obr. 3.2.5 57
Obraz paraboly v afinitě sestrojíme snadno, známe-li dvě její tečny s body dotyku. Na obr. 3.2.6 je parabola určena tečnami t 1, t 2 s body dotyky T 1, T 2. Afinita je určena osou o a dvojicí odpovídajících si bodů R, R. Sestrojíme obrazy tečen t 1, t 2, tj. přímky t 1, t 2, a bodů dotyku T 1, T 2, tj. body T 1, T 2. Nyní máme parabolu určenou tečnami t 1, t 2 s body dotyku T 1, T 2. Parabolu pak můžeme sestrojit pomocí konstrukce z příkladu 1.4.3. (Opět pozor! Vrcholu a ohnisku paraboly neodpovídá vrchol a ohnisko jejího obrazu.) Obr. 3.2.6 58
Na závěr uvedeme (opět bez důkazu) praktickou konstrukci paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku, jakožto obálky jejích tečen (obr. 3.2.7). Parabola je dána tečnami t 1, t 2 s body dotyku T 1, T 2. Obr. 3.2.7 Úseky na tečnách, od jejich průsečíku 0 k bodům dotyku tečen, rozdělíme na stejný počet dílků a očíslujeme (viz obr. 3.2.7). Pak spojnice bodů o stejných číslech obalí parabolu. 59
Kapitola 4 PERSPEKTIVNÍ KOLINEACE 4.1 Nevlastní prvky roviny Nevlastními prvky roviny rozumíme: a) nevlastní bod - označujeme dolním indexem, např. A, b) nevlastní přímka - označujeme dolním indexem, např. a. Rozšíříme-li euklidovskou rovinu E 2 o nevlastní prvky, dostaneme tzv. rozšířenou euklidovskou rovinuã2. Nevlastní bod Mějme v rovině přímku p a mimo ni bod Q (viz obr. 4.1.1). Zaveďme zobrazení, které každé přímce m, procházející bodem Q, přiřadí jednoznačně bod M přímky p tak, že M = m p. Neníli přímka m rovnoběžná s přímkou p, získáme body "klasické" euklidovské roviny, tzv. vlastní body. Rozšíření roviny o nevlastní body provedeme tak, že i přímce m 0 p přiřadíme jediný bod přímky p. Protože Obr. 4.1.1 m 0 p, bod přiřazený přímce m 0 se nezobrazí na žádný vlastní bod přímky p, označíme ho jako M a nazveme nevlastním bodem přímky p. Na obr. 4.1.1 je označen šipkou. 60
Ze zavedení rozšířené přímky plyne, že všechny rovnoběžné přímky mají společný nevlastní bod (obr. 4.1.2) Poznámka: Při grafickém znázornění nezáleží na tom, na který "konec" přímky umístíme šipku znázorňující nevlastní bod. Obr. 4.1.2 V rozšířené rovině se libovolné dvě různé přímky a, b protínají v jednom bodě. V případě, že různoběžek je to vlastní bod roviny (obr. 4.1.3a), v případě rovnoběžek jde o nevlastní bod roviny (obr. 4.1.3b). Obr. 4.1.3a Obr. 4.1.3b Nevlastní přímka Dva různé body určují přímku, dva nevlastní body U, V určují nevlastní přímku u = U V. Nevlastní přímka obsahuje všechny nevlastní body roviny (obr. 4.1.4). Obr. 4.1.4 61
4.2 Perspektivní kolineace Definice 4.2.1 Kolineací v rovině ϱ je zobrazení K : ϱ ϱ, v němž: 1. Obrazem bodu A je bod A, obrazem přímky a je přímka a ; incidence se zachovává. 2. Odpovídající si přímky se protínají na pevné přímce o, zvané osa kolineace. Jejich průsečík je vlastní bod osy kolineace, je-li přímka s touto osou různoběžná (obr. 4.2.1 přímka a) a nevlastní bod, je-li přímka s touto osou rovnoběžná (obr. 4.2.1 přímka b). 3. Odpovídající si body leží na přímkách procházejících pevným bodem S (středem kolineace). Obr. 4.2.1 Poznámky: 1. Kolineace, jejíž střed S leží na ose kolineace o se nazývá elace (obr. 4.2.2). 2. Kolineace s nevlastním středem S a nevlastní osou o je posunutí v rovině (obr. 4.2.3). 62
Obr. 4.2.2 Obr. 4.2.3 3. Kolineace s nevlastní osou o a vlastním středem S je stejnolehlost (obr. 4.2.4). 4. Kolineace s vlastní osou o a s nevlastním středem S je osová afinita (obr. 4.2.5). Obr. 4.2.4 Obr. 4.2.5 5. Kolineace s vlastní osou o a vlastním středem S je perspektivní (středová, centrická) kolineace. Dále se budeme zabývat vlastnostmi pouze perspektivní kolineace; budeme ji krátce nazývat pouze kolineace. 63