emi - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 4. října 2012
Obsah emi 1 2 3 emi 4 5 6
emi Proč povídat o ích v kurzu? ové modely se používají v populační ekologii téměř nejčastěji bude snažší porozumět práci s emi které se v přednáškách objevují
emi Vektor je veličina charakterizovaná velikostí a směrem, zn. x, je to uspořádaná n-tice čísel x i. Např.: x 31, y 21, z 14 3 ( ) x = a b 0, y =, z = (5 3 9 1) 0 i je charakterizovaná počtem řadků a sloupců. Skládá se z vektorů. Např. A 32, E 33 3 1 1 0 0 A = 1 0, E = 0 1 0 1 8 0 0 1 Jednotlivé prvky e se odkazují indexy, a ij je prvek na i-tém řádku a v j-tém sloupci. Hodí se na zápis lineárního zobrazení, řešení obyčejných δr, k vyjádření soustavy lineárních rovnic,...
emi Typy dle velikosti vektor - počet řádků nebo sloupců je 1 čtvercová - jinak, kde počet řádků a sloupců je stejný obdélníková - jinak Typy dle prvků jednotková (E, I) - jedničky na diagonále, jinak samé nuly nulová - samé nuly
Vyjádření soustavy linearních rovnic, např. emi 3 x y +z = 3 x z = 2 x +8 y 2 z = 0 ově (neznámé a pravé strany jsou vektory) 3 1 1 x 3 1 0 1 y = 2 1 8 2 z 0 (1) Zkrácený zápis A n = b. Když jsou pravé strany nulové, říkáme že je soustava homogenní.
emi a vektory emi Vektory jdou a 21 + b 21 = x 21 sčítat, jsou-li kompatibilní a 31 c = x 31 násobit skalárem, x m1 y 1n = A mn, x 1n y n1 = c násobit mezi sebou,... jdou A mn + B mn = C mn sčítat jsou-li stejných rozměrů A mn c = C mn násobit skalárem (číslem) A mn b n1 = c m1 násobit kompatibilním vektorem A mn B nk = C mk násobit mezi sebou mají-li společný rozměr (A mn ) T = A nm transponovat (převracet) A 1 invertovat (hledat opačnou i),...
emi emi Sčítání je komutativní. A mn + B mn = C mn 3 1 1 1 0 0 4 1 1 1 0 1 + 0 1 0 = 1 1 1 1 8 2 0 0 1 1 8 3 Násobení e skalárem je komutativní. A mn c = C mn 3 2 0 2 1 5 3 3 1 3 = 9 6 0 6 3 15 9 9 3
emi emi Násobení e vektorem není komutativní. Pro A mn b n1 = c m1 je definováno jako c ij = n k=1 a ik b kj ( ) 2 ( 5 2 ) ( ) 10 4 = 1 5 2 ( ) 2 ( ) 3 1 1 1 5 = 1 0 1 2 0 3 1 1 0 1 8 ( 2 1 ) = 5 2 10 Násobení e vektorem je speciální případ násobení dvou. Vzorec pro výpočet zůstává stejný. http://wims.unice.fr/wims/en_ tool linear matmult.html
Maticové normy emi Hrubá charakteristika e, využívané v pokročilejších metodách práce s emi. Řádková norma - Maximum ze součtů absolutních hodnot prvků v jednotlivých řádcích e A R = max i a ij Sloupcová norma - Maximum ze součtů absolutních hodnot prvků v jednotlivých sloupcích e A S = max j a ij Euklidova norma - Odmocnina ze součtů čtverců všech prvků e A E = aij 2 i j i j
Co nás u zajímá emi Determinant zn. det A, A čtvercové i n x n přiřadíme číslo (skalár), absolutně odpovídá objemu n-rozměrného rovnoběžnostěnu daného vektory a znaménko odpovídá orientaci vektorů počítá se pomocí Sarrusova pravidla (jen velikost 2x2,3x3), Leibnizovým vzorecem (libovolná) Charakteristická rovnice je dána A λ E = 0, např. ( ) 3 1 A = 2 0 0 = A λ E = 3 λ 1 2 λ = λ2 3 λ + 2
Vlastní čísla a vlastní vektory emi Vlastní čísla (charakteristická čísla) jsou kořeny charakteristické rovnice, zn. λ i Vlastní vektor je vektor u který vyhovuje rovnici (A λ E) u = 0 Vlastní číslo má svůj vlastní vektor. Nebo jinak A u = λ u u 0 je vlastní vektor a λ je vlastní číslo. Vlastní vektory se v ekologii používají jako charakteristika stabilní (věkové) struktury pro danou přechodovou i.
Vlastní čísla a vlastní vektory emi ( ) 3 1 A = 2 0 0 = A λ E = 3 λ 1 2 λ = λ2 3 λ + 2 Kořeny rovnice jsou λ 1 = 2, λ 2 = 1, a vlastní vektory ( ) ( ) 3 λ1 1 1 1 u 2 λ 1 = u 1 2 2 1 ( ) 2 řešením je např. vektor u 1 =. Podobně je třeba 2 dopočítat vlastní vektor pro λ 2.
Power method emi Metoda počítající vlastní čísla a vektory bez rozkladu (nepočítá determinant). Tato metoda najde jen dominantní (největší) vlastní číslo a k němu náležící vlastní vektor. Výpočet probíhá v iteracích b k+1 = Ab k Ab k Začíná se nenulových b 0 a v každém kroku se výsledek normalizuje. Jde použít i na velké e, ale může konvergovat pomalu. Používá ji Šuspa a Google.
emi se skládá z řádků a sloupců S emi jdou provádět základní aritmetické operace které ale často nesplňují komutativní zákon nebo nejsou vůbec definovány kvůli nekompatibilní velikosti S emi jde lehce pracovat v matekém softu Vlastní vektory a vlastní čísla charakterizují i (v ekologii označují stabilní strukturu).
a odkazy emi http: //www.kwon3d.com/theory/vectmat.html On-line výpočet http://wims.unice.fr/wims/ en_tool linear matmult.html http: //www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/ elessonshtml/circuit/matvecmultiply.htm