Příklad 1 Určete poloměr a obor bodové konvergence mocninných řad: a) 1 8 b) +1 c) 3 d) +2+1 e)! f)! 3 g) +2 +3 h) 2 2 1 =8, = 7,9 =1, = 1,1 =3, = 3,3 =1, = 2,0 =+, =,+ =0, =3 =1, = 3,1 = 1 2, = 1 2,1 2 Řešení 1a 1 8 Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 1. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme 1 +18 8 1 1 1 = lim +18 1= lim +18 8 = lim 1 1 +1 1 = 1 8 8 1 <1 8 Tuto podmínku můžeme upravit 1 <8 1
Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =8. = 7,9 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 7. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 7 1 8 = 8 8 = 1 8 8 = 1 Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = 7 patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =9. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 9 1 8 = 8 8 2 = 8 8 = 1 Tato řada je, jak známo, divergentní. Proto bod =9 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 7,9. Řešení 1b +1 +1+1 +1 +2 = lim +1 +1 = lim +2 +2+1 1 1 +2+1 = lim 1 1 +1 = <1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =1. = 1,1 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar +1 1 = 1 1+ 1 = 1 1+ 1 1 = 1 1+ 1 1
První řada je zjevně divergentní. Druhá je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Jejich součet je tedy divergentní. Proto bod = 1 nepatří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar +1 1 =1 1+ 1 =1+ 1 =1+ 1 Obě řady jsou zjevně divergentní. Obě jsou kladné. Jejich součet je tedy divergentní. Proto bod =1 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 1,1. Řešení 1c 3 +13 3 = lim +13 3 3 <1 +13 = lim 1 1 +1 3 = 3 Tuto podmínku můžeme upravit <3 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =3. = 3,3 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 3. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 3 3 = 1 3 3 = 1 Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = 3 patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =3. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 3 3 = 1 Tato řada je, jak známo, divergentní. Proto bod =3 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 3,3. 3
Řešení 1d +2+1 Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 1. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme +1+3+1 +2+1 = lim +4+3 2+3 +1 1+ +2 +2 +1 =+1 +1 <1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =1. = 2,0 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 2. Naše řada bude mít v tomto případě tvar +2 2+1 =+2 1 Tato řada je zřejmě divergentní. Proto bod = 2 nepatří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =0. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 4 +20+1 =+21 =+2 Tato řada je zřejmě divergentní. Proto bod =0 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 2,0. Řešení 1e! +1 +1!!+1 +1! = lim = lim = lim +1! +1! =0=0!
0 <1 Tuto podmínku splňuje každé. 1 <8 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =+. Odtud =,+. Řešení 1f! 3 Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 3. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme +1! +1 3 +1! +1! = lim 3 3! 3 +1! +1! 3 =+ 3 + 3 <1 Tato podmínka není splněna pro žádné, pro =3 není výraz korektní. Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =0. Obor bodové konvergence této řady je tedy jednoprvková množina =3. Řešení 1g +2 +3 Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 2. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme +2 +2 +1+1+3 +1+4 +3+2 +2 = lim +2 = lim +1+4+2 +3 +3 +3 +3 = lim +2 +1+4 +5+4 +2 2+4 = lim 1 +5+4 +2=+2 +2 <1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =1. 5
= 3, 1 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 3. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 3+2 = 1 +3 +3 Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = 3 patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro = 1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar Tuto řadu můžeme rozepsat 1 +3 To můžeme napsat i jinak 1 +3 Vytkneme 1 +3 1+2 = 1 = 1 +3 +3 +3 = 1 1 4 + 1 2 5 + 1 3 6 + 1 4 7 + 1 5 8 + 1 6 9 + + 1 +3 + = 1 3 1 1 1 4 +1 3 1 2 1 5 +1 3 1 3 1 6 +1 3 1 4 1 7 + +1 3 1 1 +3 + = 1 3 1 1 1 4 +1 2 1 5 +1 3 1 6 +1 4 1 7 + +1 1 +3 + Po vyrušení stejně velkých sčítanců v posledním součtu dostáváme = 1 = lim +3 1 3 1 1 +3 =1 3 lim 1 1 +3 =1 3 1=1 3 Řada je tedy konvergentní. Z toho důvodu bod = 1 patří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 3, 1. Řešení 1h 2 2 1 2 2 2+1 1 2 = lim 2+1 2 2 1 2 = lim 2 2+1 = lim 2 1 2+1 2 2 1 2 1 = lim 1 2 2+1 2=2 6
2 <1 Tuto podmínku můžeme upravit Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =. < 1 2 = 1 2,1 2 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro =. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 2 1 2 1 1 = 1 2 2 = 1 2 = 1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 2 1 2 1 = = 2 = 1 = 1 2 1 2 1 22 1 4 2 Nyní uplatníme porovnávacím kritériem. Od druhého sčítance počínaje (první by vedl k problémům ve 2 1 2 2 1 jmenovateli prvního členu porovnávané řady) platí 1 > 1 = 1 4 2 4 4 4 1 = 1 1 4 1 = 1 1 4 1 1 Poslední řada je ale jiným způsobem zapsaná harmonická řada. Takže platí 1 > 1 4 2 4 1 = 1 1 4 1 Protože, jak známo, je harmonická řada divergentní, je divergentní i zkoumaná řada. Proto bod = nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je =,. 7