Definice: Lineární funkce je dána předpisem (k, q jsou reálná čísla) f: y = kx + q, k, q R

@045 4. Lineární funkce Lineární funkci znáte ze základní školy. Je to funkce, která je nejznámější a nejvíce používaná (i zneužívaná). Definice: Lineární funkce je dána předpisem (k, q jsou reálná čísla) f: y = kx + q, k, q R Zvláštní případ: Je-li k=0, funkce se nazývá konstantní y = q. Je-li navíc q=0, funkce se nazývá nulová y = 0. Poznámka: Ze základní školy víte, že grafem lineární funkce je přímka. Prozkoumejme trochu blíže vliv jednotlivých koeficientů na průběh lineární funkce. Úkol: Načrtněte následující funkce a pokuste se na základě grafů zformulovat vliv koeficientu k. a: y = 0,5x + 1 b: y = 0x + 1 c: y = 1x + 1 d: y = 2x + 1 e: y = 3x + 1 f: y = - x/2 + 1 g: y = - x/3 + 1 h: y = - 1x + 1 i: y = - 2x + 1 j: y = - 3x + 1 výsledek

@048 Úkol: Určete za jakých podmínek (hodnot k a q) je lineární funkce sudá resp. lichá. pokračování

@049b Vyšetřete extrémy, monotónnost, omezenost lineární (+konstantní) funkce. Jak víme z předchozí kapitoly monotónnost a extrémy nejsnáze odhalíme pomocí derivace. y = kx + q => y'(x) = k možné extrémy mohou být v bodech kdy je derivace rovna nule tedy pro k = 0, což je konstantní funkce, její graf je rovnoběžka s osou x konstantní funkce je omezená zdola i shora pro k > 0 je lineární funkce na celém definičním oboru rostoucí není tedy omezená pro k < 0 je lineární funkce na celém definičním oboru klesající není tedy omezená Poznámka: Stačí-li nám náčrtek grafu, využijeme výše uvedených znalostí, aniž bychom cokoli dalšího počítali. Pokud potřebujeme přesnější graf, využijeme toho, že grafem je přímka. Přímka je určena dvěma body, proto stačí dvě funkční hodnoty, které snadno spočítáme zpaměti (Nejšikovnější je použít úseku na ose y [0; q] a bodu [-1; f(-1)] nebo [1; f(1)]. Naše znalosti použijeme ke kontrole správnosti. pokračování

@053 Z grafického vyjádření vyplývá, že první obchodník bude prodávat brambory po kilech výhodněji. Proto za ním půjdeme, když budeme potřebovat brambory k nedělnímu obědu a naše zásoby dojdou. Druhý obchodník vsadil na dodávání brambor ve velkém. Zásobovat se na zimu se vyplatí právě u něj. Na 50 kg pytli ušetříme 20 Kč. Hraniční množství, kdy výhodnost nákupu přechází z prvního obchodníka na druhého, určuje průsečík obou grafů. Přesně jej spočítáme řešením systému dvou lineárních rovnic: y = 10x y = 9x + 30 => x = 30 Koupit si 30 kg brambor najednou můžeme u prvního i u druhého - nemůžeme na tom ani vydělat ani prodělat. V obou případech zaplatíme 300 Kč. pokračování

@056 Jste realista. Skutečně v praxi nemůže na dané dráze získat více než dvě minuty, protože není reálné řítit se po celou dobu rychlostí 120 km/hod. Přísně vzato však má příklad jiné řešení. pokračování

@059 Příklad: Dělníci položili při teplotě 10 o C 10timetrové kolejnice pro vlak s dilatační spárou (tj. kousek od sebe právě kvůli tepelné roztažnosti) 5 milimetrů. Sestavte lineární funkci vyjadřující velikost dilatační spáry D na teplotě. Jak velká bude dilatační spára při 20 o C? Při kolika stupních se začnou koleje vybočovat, protože ztratí prostor pro prodlužování? Koeficient roztažnosti pro ocel = 0,000012 milimetrů na teplotní stupeň. výsledek

@061 Zvukový a světelný signál z místa vzniku vyrazí k nám současně, ale rychlost světla je pro nás tak veliká, že můžeme brát start zvukového signálu od okamžiku, kdy jsme viděli záblesk. Dráhu, kterou zvukový signál (hřmění) urazí, popisuje známá lineární funkce Dosadíme zadané hodnoty a vypočítáme Bouřka je tedy vzdálena přibližně 2,5 km. s = vt s = 330.8 = 2640 m Jestli se stihneme včas doma schovat, záleží na mnoha dalších faktorech (jak máme domů daleko, jakým směrem bouřka postupuje, jaká je rychlost větru, atd.). Tuto otázku ze zadání nedokážeme zodpovědět. Úkol: Proč jsme výsledek zaokrouhlili na 2,5 km a použili slova "přibližně"? výsledek

@046 pokračování

@049 Shrnutí do atlasu funkcí: 1 konstantní funkce název: konstantní funkce předpis: y = k zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R obor hodnot: jednoprvková množina {k} graf: křivka: přímka rovnoběžná s osou x asymptoty: nemá symetrie: funkce je sudá funkce inverzní: konstantní funkce není prostá, funkce inverzní neexistuje derivace: y = 0 užití: viz lineární funkce poznámka: protože grafem je přímka - linea, je konstantní funkce zahrnována pod funkce lineární zvláštní případ: funkce y = 0 se nazývá nulová, grafem je osa x 2 lineární funkce název: lineární funkce (přímá úměra) předpis: y = kx + q, k 0 zařazení: patří do skupiny polynomických funkcí definiční obor: celá množina reálných čísel R obor hodnot: celá množina reálných čísel R graf: sklon přímky k ose x určuje znaménko koeficientu k (směrnice)

křivka: přímka asymptoty: nemá symetrie: funkce není ani sudá pro q = 0 je funkce lichá funkce inverzní: lineární funkce je prostá, funkce inverzní je opět lineární 1 y k x q k derivace: y = k průsečíky osami: průsečík s osou y je bod [0; q], proto se q nazývá úsek na ose y průsečík s osou x je bod [-q/k; 0] užití: velmi pestré; lze říci, když nevíme jak na to, použijeme lineární funkci; lineární interpolace; všude tam, kde jsou jevy spolu svázány přímo úměrně poznámka: a) grafem je přímka - linea, odtud název; b) z důvodu podobnosti grafu k ní bývá připojena také konstantní funkce jako součást c) žádná lineární funkce nemá za graf přímku rovnoběžnou s osou y Úkol: Vyšetřete extrémy, monotónnost, omezenost lineární (+konstantní) funkce. pokračování

@050 A teď se zaměříme na použití lineárních funkcí v praxi. Příklad: Dva prodejci uvažovali, jak stanovit cenu brambor, aby na tom, co nejvíce vydělali. Jeden stanovil pevnou cenu 10 Kč/kg. Druhý se rozhodl dát cenu vyšší 12 Kč/kg a zároveň stanovil množstevní cenu: každý kilogram nad 10 kg bude cena pouze 9 Kč/kg. Vyplatí se vůbec kupovat u druhého prodejce? A jestli ano, od kolika kg? Úkol: Pokuste se nejprve příklad vyřešit sami. Nepodaří-li se vám to, nic se neděje - je to první příklad svého druhu. výsledek

@054 Poznámka: Nejvíce matematických modelů chování reálného světa má vypracováno fyzika. Jedním z nich je známý rovnoměrný přímočarý pohyb. Dráha s je svázána s časem t lineární funkcí s = vt + s 0 kde v je rychlost (směrnice) a s 0 je počáteční dráha (úsek na ose y), tj. dráha uražená tělesem před tím, než jsme začali sledovat čas. Příklad: Silnice Štěchovice - Praha je standardní silnice s povolenou maximální rychlostí 90 km/hod. Vzdálenost těchto měst je 30 km. Silnice je v relativně dobrém stavu a tak svádí k sešlápnutí plynového pedálu. Proto se mnohá auta řítí i rychlostí 120 km/hod a kličkují mezi kolonou aut vracejících se z víkendu. Však také dochází k mnoha dopravním nehodám. Úkol: Kolik minut může maximálně (prakticky nemůže jet stále 120 km/hod) získat tento pirát silnic na uvedeném úseku? čtvrthodiny pět minut dvě minuty

@057 Správně. Začneme-li počítat čas od okamžiku odjezdu ze Štěchovic, pak řidič ctící pravidla silničního pořádku urazí dráhu r: s = 90t pirát p: s = 120t Vzdálenost mezi Prahou a Štěchovicemi se s časem nemění, proto ji lze zapsat jako konstantní funkci v: s = 30 Pro čitelné zobrazení musíme použít nestejného měřítka na osách x a y. Výpočet: Řádný řidič dojede do Prahy za 30 = 90t => t = 1/3 hod = 20 min Pirátovi trvá cesta 30 = 120t => t = 1/4 hod = 15 min Rozdíl je tedy 5 minut. Poznámka: Uvážíme-li, že pirát nemohl celou cestu jet rychlostí 120 km/hod, je reálný zisk asi 2 minuty. Pro tyto 2 minuty riskuje život svůj a hlavně jiných. A přitom za 2 minuty ani nevykouří cigaretu, ani se mnohdy nestihne vyčůrat. pokračování

@060 Dělníci položili při teplotě 10 o C 10timetrové kolejnice pro vlak s dilatační spárou (tj. kousek od sebe právě kvůli tepelné roztažnosti) 5 milimetrů. Sestavte lineární funkci vyjadřující velikost dilatační spáry D na teplotě. Jak velká bude dilatační spára při 20 o C? Při kolika stupních se začnou koleje vybočovat, protože ztratí prostor pro prodlužování? Koeficient roztažnosti pro ocel = 0,000012 milimetrů na teplotní stupeň. Řešení: Předně si srovnejme fyzikální jednotky: = 0,000012 mm/grad tedy délka kolejnice při 10 o C je l 0 = 10000 mm dosadíme do odvozeného vzorečku l = 0,12 (t - 10) O co se zvětší kolejnice, o to se zmenší dilatační spára D (pro 10 o C je 5 mm) D = 5 - l = 5-0,12 (t - 10) D = 6,2-0,12t Pro jakou teplotu se dilatační spára zaplní (bude D = 0)? 0 = 6,2-0,12t t = 51,67 o C To je teplota, kterou v našich šířkách neočekáváme. Ano, teplotu vzduchu vskutku ne. Ale pevné předměty pohlcují sluneční záření (zvláště tmavé barvy) a teplota předmětu může dosáhnout mnohem vyšší teploty. A to je příčina vybočování kolejí a vykolejování vlaků. Funkce vyjadřující velikost dilatační spáry z příkladu na teplotě je tedy 6,2 0,12t D 0 t ( 216,54; 51,67 t 51,67 Snadno spočítáme velikost dilatační spáry pro 20 o C. To už pěkně drncá :-) D = 6,2-0,12(-20) = 8,6 mm

Úkol: V létě bývají bouřky. Jsme na koupališti a v dálce vidíme úder blesku. Bouřka se blíží, začneme počítat. Napočítali jsme 8 vteřin, než jsme uslyšeli burácet hrom. Rychlost světla je 300 000 km/sec, rychlost zvuku je 330 m/sec. Jak daleko je bouřka? Stihneme doběhnout domů, aniž bychom zmokli? ano ne

@047 Věta: Nechť f je lineární funkce s předpisem y = kx + q. Koeficient k se nazývá směrnice a ovlivňuje úhel, který graf funkce (přímka) svírá se osou x. Parametr q se nazývá úsek na ose y. Úkol: Načrtněte následující funkce a pokuste se na základě grafů zformulovat vliv koeficientu q. a: y = x + 0 b: y = x + 1 c: y = x + 2 d: y = x + 3 e: y = x + 4 f: y = x + 1/2 g: y = x - 1/3 h: y = x - 3 i: y = x - 2 j: y = x - 1 výsledek

@052 Dva prodejci uvažovali, jak stanovit cenu brambor, aby na tom, co nejvíce vydělali. Jeden stanovil pevnou cenu 10 Kč/kg. Druhý se rozhodl dát cenu vyšší 12 Kč/kg a zároveň stanovil množstevní cenu: každý kilogram nad 10 kg bude cena pouze 9 Kč/kg. Vyplatí se vůbec kupovat u druhého prodejce? A jestli ano, od kolika kg? Řešení: Celková cena y, kterou zaplatíme, závisí na množství kupovaných brambor x. U prvního prodejce je to jednoduché A: y = 10x pro x 0 Druhý prodejce stanovil cenu složitěji, nestačí nám na to jeden předpis B: y = 12x pro x <0,10> a B: y = 9x + q pro x>10 Kolik je q určíme z faktu, že pro x = 10 musí cena navazovat - za 10kg zaplatíme 120Kč 120 = 9.10 + q => q = 30 Úkol: Sestrojte grafy obou funkcí A a B v jedné společné soustavě souřadnic. A: y 10x y 12x B : y 9x 30 pro pro pro x 0 x 0;10 x 10 výsledek

@055 Bohužel. Jste na nejlepší cestě stát se pirátem silnic. Máte velké oči - ale skutečnost je jiná. pokračování

@058 Poznámka: Roztažnost látek podléhá také lineárnímu modelu. Označíme-li L základní délku (třeba kolejnice) při 0 o C a l t délku při t o C, pak lze psát l t = kt + L k je materiálová konstanta. Tedy délka l 0 při t 0 o C se vyjádří l 0 = kt 0 + L Obě rovnice od sebe odečteme a označíme l = l t l 0, což představuje přírůstek délky při zvýšení teploty z t 0 na t. l = l t l 0 = k(t t 0 ) Ve fyzice se provádí úprava, která směrnici k rozloží na součin délky l 0 a koeficientu roztažnosti, který závisí již jen na druhu materiálu nikoli na geometrických rozměrech předmětu. Jde jen o šikovnou úpravu. Tedy zde je cílová úprava pokračování l = l 0 (t - t 0 )

@062 Proč jsme výsledek zaokrouhlili na 2,5 km a použili slova "přibližně"? Protože naše schopnost určit čas je omezená. Počítali jsme: dvacet jedna, dvacet dva,... dvacet osm, a z toho usoudili na 8 vteřin. Jenže třeba jsme počítali rychleji a je to ve skutečnosti jen 7,4 s (2442 m) nebo naopak pomaleji a je to 8,6 s (2838 m). Lidské smysly jsou tak nedokonalé. KONEC LEKCE