Předmě: Ročník: Vvořil: Daum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr Tomáš MAŇÁK 5 srpna Název zpracovaného celku: DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE DERIVACE A MONOTÓNNOST FUNKCE je monoónní na celém svém deiničním oboru D ( ) nebo jesliže je klesající D( ) Říkáme, že unkce : ( ) rosoucí D( ) Příklad monoónních unkcí: a) rosoucích:, jesliže je = b) klesajících: =(/)
U unkcí, keré nejsou monoónní na celém deiničním oboru, nás zajímá, zda jsou monoónní alespoň na čásech deiničního oboru Zjišění monoónnosi unkce ed znamená, urči, ve kerých inervalech je daná unkce : ( ) rosoucí a ve kerých inervalech je klesající K omuo účelu nám mohou poslouži vlasnosi první derivace unkce = () α α α < α < ( ) k g je rosoucí pro ( ; ) ( ; ) < α < ( ) k g je klesající pro ; ) ( SHRNUTÍ!!!, pak je unkce (), pak je unkce () ) Je-li ( ) ) Je-li ( ) v bodě rosoucí v bodě klesající Jesliže má unkce () v omo inervalu rosoucí (klesající) v každém bodě inervalu ( a; b) kladnou (zápornou) první derivaci, pak je
Řešené příklad: Příklad Určee, pro kerá D( ) daná unkce rose (klesá) (Určee inerval : monoónnosi dané unkce) Řešení: ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R ) Vpočeme první derivaci unkce - použijeme vzorec pro derivaci podílu dvou unkcí g g g g ( ) ( ( ) ( )( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Dále můžeme posupova dvěma různými způsob: způsob: ) Určíme, pro kerá D( ) a) (unkce rose) ( )( ) ( ) je (unkce rose) a pro kerá je (unkce klesá) ( )( ) ( ) (;) R (;) Funkce rose pro (; )
b) (unkce klesá) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ; ) (; ) R 4) Vslovíme závěr: ( ; ) (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (; ) Funkce rose pro (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (; ) způsob: ) Určíme, pro kerá D( ) je (unkce rose) a pro kerá je (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod (bod, v nichž se mění zakřivení křivk viz obrázek výše) ( )( ) ( ) ( )( ) zlomek je roven nule, je-li roven nule jeho čiael nulové bod Dále pokračujeme již známou meodou nulových bodů (Nakreslíme číselnou osu; vznačíme na ni nulové bod; nulové bod rozdělí číselnou osu na jednolivé inerval; zvolíme libovolné číslo (v omo případě např číslo ), ale nikoliv krajní bod inervalů; zvolené číslo dosadíme do výsledku první derivace a zjisíme, zda výsledkem je kladná nebo záporná hodnoa; nad daný inerval s námi zvoleným číslem pak napíšeme kladné nebo záporné znaménko, podle výsledku výpoču (po dosazení zvolené hodno, jsme získali číslo, j číslo kladné, proo nad prosřední inerval zapíšeme znaménko +); znaménka v dalších inervalech věšinou prosřídáme (hodnou první derivace můžeme zjišťova i v každém inervalu zvlášť, dosazením libovolného prvku ze vzniklých inervalů do výsledku první derivace); na základě kladné nebo záporné hodno první 4
derivace určíme, ve kerých inervalech je unkce rosoucí ) a ve kerých je klesající : + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li - (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (; ) Příklad Zjisěe, ve kerých inervalech rose a ve kerých klesá unkce : Řešení: ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R ) Vpočeme první derivaci unkce pomocí základních vzorců pro derivaci unkčního mnohočlenu ( 4) ( )( ) Dále můžeme posupova opě dvěma různými způsob: způsob: ) Určíme, pro kerá D( ) a) (unkce rose) 4 ( ; ) (; ) je (unkce rose) a pro kerá je Funkce rose pro ( ; ) (; ) (unkce klesá) 5
b) (unkce klesá) 4 (;) Funkce klesá pro (;) 4) Vslovíme závěr: Funkce rose pro ( ; ) (; ) Funkce klesá pro (;) způsob: je (unkce rose) a pro kerá je ) Určíme, pro kerá D( ) (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod Pokračujeme sejným způsobem jako v řešeném příkladu ( )( ) nulové bod : + + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li Příklad (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro ( ; ) (; ) Funkce klesá pro (;) 4 4 Určee inerval monoónnosi unkce : ( 4 6 ) Řešení: ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R - 6
) Vpočeme první derivaci unkce pomocí vzorce pro derivaci ( c ) c ; c kons 4 ( 4 ( 4 4 6) 6 ) ( 4 4 ( 4 6) 4 6 ) ( )( ) ( 4 7) Dále budeme posupova způsobem řešení je (unkce rose) a pro kerá je ) Určíme, pro kerá D( ) (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod Pokračujeme sejným způsobem jako v předchozích řešených příkladech ( )( ) nulové bod : + + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro ( ;) (; ) Funkce klesá pro ( ; ) (;) - Příklad 4 Určee inerval monoónnosi unkce Řešení: : ) Určíme deiniční obor unkce D( ) R ) Vpočeme první derivaci unkce - použijeme vzorec pro derivaci podílu dvou unkcí g g g g 7
( ) ( ) ( ) 4 ( 4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) je (unkce rose) a pro kerá je ) Určíme, pro kerá D( ) (unkce klesá) Vužijeme meod nulových bodů Výsledek první derivace položíme roven nule a nalezneme zv nulové bod Pokračujeme sejným způsobem jako v předchozích řešených příkladech ( 4) ( ) 4 nulové bod zlomek je roven nule, je-li roven nule jeho čiael; (podm) Na číselné ose vznačíme kromě nulových bodů derivace aké číselnou hodnou, pro kerou derivace neeisuje (podmínk pro derivaci) i podmínku eisence dané unkce (krok - D ( ) ) Dále pak posupujeme známými krok meod nulových bodů Dáváme si pozor na získané hodno derivace v jednolivých inervalech (znaménka se nesřídají z důvodu podmínk vloučení někerých číselných hodno z množin reálných čísel) : + + 4) Vslovíme závěr podle vě: Je-li (kladná), pak je unkce v daném inervalu rosoucí a je-li (záporná), pak je unkce v daném inervalu klesající Funkce rose pro ( ;) (4; ) Funkce klesá pro ( ;) (;4) 4 Úloh k procvičování ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : 4 8 48 5 4) Určee inerval monoónnosi unkce : 4 5) Určee inerval monoónnosi unkce : 8
5 6) Určee inerval monoónnosi unkce : 7) Určee inerval monoónnosi unkce 8) Určee inerval monoónnosi unkce : : 9) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ) Určee inerval monoónnosi unkce : ( )( ) ) Určee inerval monoónnosi unkce : 4 4) Určee inerval monoónnosi unkce : 4 4 5) Určee inerval monoónnosi unkce : 9 6) Určee inerval monoónnosi unkce : 5 6 4 7) Určee inerval monoónnosi unkce : 8) Určee inerval monoónnosi unkce : 9) Určee inerval monoónnosi unkce : Použiá lieraura: Výukové maeriál a úloh a cvičení jsou auorsk vvořen pro učební maeriál M Dosálová, D Pešaová: Maemaika 7 čás - učební maeriál SPŠ Osrava Víkovice D Hrubý, J Kubá: Maemaika pro gmnázia - Dierenciální a inegrální poče, Promeheus 997 I Dušek: Řešené mauriní úloh z maemaik, SPN 988 9