102 103 Kapitola 6 Diferenciální počet funkcí více proměnných Definice 61(derivace funkce více proměnných) Nechť f:ω RΩ R n anechť x 0 Ωjevnitřníbod množinyωnechťdále sjedanýpevnývektorjestliže existuje konečná limita f(x 0 + ts) f(x 0 ) lim t 0 t paktutolimitunazvemederivacífunkce fvbodě x 0 podle vektoru s a označíme ji s Je-li s jednotkový vektor pak tuto limitu nazýváme derivací funkce fvbodě x 0 vesměruvektoru s Je-li s=e i (tjjednotkovývektorvesměruosy x i )potom derivaci = f x i (x 0 )=f i (x 0 ) e i nazývámeparciálníderivacífunkce fvbodě x 0 podle i-té proměnnénebopodle x i 104 105 Definice 62(gradient) Věta 63(gradient a derivace podle vektoru) Buď f:ω RΩ R n otevřenáanechť fmáparciální derivace podle všech proměnných v Ω Potom vektor ( f f f ) x 2 x n nazýváme gradientem funkce f a značíme Buď f:ω R x 0 Ω R n vnitřníbod spevnývektor Pokudexistuje f s (x 0)aexistujegradf(x 0 )potomplatí f s (x 0)=(sgradf(x 0 )) grad f nebo f
106 107 Definice 64(diferenciál) Věta 65(totální diferenciál a gradient) Buď f : Ω R x 0 Ω R n vnitřní bod a h = (h 1 h 2 h n ) bod z R n Řekneme že funkce f je diferencovatelnávbodě x 0 vzhledemkhjestližeexistujevektor D=(D 1 D 2 D n )afunkce ω(h)takže f(x 0 + h) f(x 0 )=(Dh)+ω(h) Výraz ω(h) lim h 0 h =0 Je-lidf(x 0 h) = (Dh)totálnídiferenciálfunkce f v bodě x 0 je Poznámka Obvykle píšeme D j = f x j (x 0 ) j=12n (Dh)=D 1 h 1 + D 2 h 2 + +D n h n nazývámetotálnímdiferenciálemfunkce f vbodě x 0 a značímedf(x 0 h) df= f dx 1 + + f x n dx n Je-li fdiferencovatelnávkaždémbodě x Ωřekneme že fjediferencovatelnávω 108 109 Věta 66(diferencovatelnost a spojitost) Věta 67(postačující podmínka diferencovatelnosti) Je-li fdiferencovatelnávx 0 jevtomtoboděspojitá Jsou-liparciálníderivace f x j j=12nspojitévbodě x 0 jefunkce fvtomtobodědiferencovatelná Poznámka Pouhá existence parciálních derivací nezaručuje diferencovatelnost!
110 111 Věta 68(směr největšího růstu) Definice 69(tečná nadrovina) Je-li f z (x 0)derivacefunkce fvbodě x 0 vesměrugradientu z=gradfpotom f z (x 0) =max f s s (x 0) kde s je libovolný jednotkový vektor Buďdánafunkce fabod x 0 Řeknemeženadrovina y= D 1 x 1 + +D n x n + D 0 jetečnounadrovinoukegrafufunkce fvbodě(x 0 f(x 0 )) jestliže platí f(x) (D 1 x 1 + +D n x n + D 0 )=ω(x x 0 ) kde ω(x x 0 ) lim x x 0 x x 0 =0 112 113 Věta 610(diferenciál a tečná nadrovina) Věta 611(derivace složené funkce I) Funkce fmávbodě x 0 =(x 01 x 0n )totálnídiferenciálprávětehdykdyžvbodě(x 0 f(x 0 ))existujetečná nadrovina Rovnice této nadroviny je n y= (x j x 0j )+f(x 0 ) x j j=1 Normálavtomtoboděmátvar y f(x 0 ) = x 1 x 01 = = x n x 0n 1 x n Nechť xayjsoureálnéfunkcejednéreálnéproměnné definovanénaokolíbodu t 0 RNechť xayjsouobě diferencovatelnévt 0 Nechť fjereálnáfunkcedvoureálnýchproměnnýchdefinovanánaokolíbodu(x 0 y 0 ) R 2 kde x 0 = x(t 0 ) y 0 = y(t 0 )Nechť fjediferencovatelnáv bodě(x 0 y 0 )Potomfunkce F(t)=f(x(t) y(t))jediferencovatelnávbodě t 0 aplatí df dt (t 0)= f(x 0 y 0 ) dx(t 0 ) + f(x 0 y 0 ) x dt y dy(t 0 ) dt
114 115 Věta 612(derivace složené funkce II) Věta 613(derivace složené funkce III) Nechť uavjsoureálnéfunkcedvoureálnýchproměnnýchdefinovanénaokolíbodu(x 0 y 0 ) R 2 Nechť ua vjsouobědiferencovatelnév(x 0 y 0 )Nechť fjereálná funkce dvou reálných proměnných definovaná na okolí bodu(u 0 v 0 ) R 2 kde u 0 = u(x 0 y 0 ) v 0 = v(x 0 y 0 ) Nechť fjediferencovatelnávbodě(u 0 v 0 )Potomfunkce F(x y) = f(u(x y) v(xy))jediferencovatelnávbodě (x 0 y 0 )aplatí F x (x 0y 0 )= f(u 0 v 0 ) u(x 0 y 0 ) + f(u 0 v 0 ) u x v F y (x 0y 0 )= f(u 0 v 0 ) u u(x 0 y 0 ) + f(u 0 v 0 ) y v v(x 0 y 0 ) x v(x 0 y 0 ) y Nechť f jefunkce nreálnýchproměnnýchkterámáv otevřenémnožiněω R n spojitéparciálníderivacepodle všechproměnnýchnechť x j = ϕ j (t 1 t r )jsoufunkce r proměnných se spojitými parciálními derivacemi podle všechproměnnýchvotevřenémnožině D R r Potom funkce F(t 1 t 2 t r )=f(ϕ 1 (t)ϕ 2 (t)ϕ n (t)) má parciální derivace podle všech proměnných v množině Daplatí F n f ϕ j = k=12 r t k x j t k j=1 116 117 Poznámka(derivace vyšších řádů) Věta 614(záměnné smíšené derivace) Analogicky jako derivace prvního řádu definujeme derivace vyšších řádů: f 11 = 2 f x 2 = ( ) f 1 ( f f 12 = 2 f x 2 = x 2 f 21 = 2 f x 2 = f 221 = 3 f x 2 2 x = 1 ( f x 2 ( x 2 2 ) ) ) Buď f funkce n proměnných definovaná na okolí bodu x 0 Nechť f mánatomtookolíparciálníderivace f i f j anechť f ij = 2 f x i x j jespojitávx 0 Potomjevbodě x 0 definovanáiderivace f ji = 2 f x j x i aplatí f ij (x 0 )=f ji (x 0 )
118 119 Poznámka(vyšší derivace složené funkce) Definice 615(diferenciál vyššího řádu) Nechť z(t)=f(x(t) y(t))pak dz dt = f dx xdt + f dy ydt Nechť má funkce f diferenciál df(x h) = (hgrad f) vzhledemkpřírůstku hvjistémokolíbodu x 0 Diferenciál funkcedf(x h)vbodě x 0 opětvzhledemkhnazýváme druhýmdiferenciálemfunkce fv x 0 aznačímed 2 f(x 0 h) Diferenciál k-tého řádu definujeme rekurentně jako d 2 z dt = 2 f 2 x 2 + 2 f y 2 ( ) 2 dx +2 2 f dt x y ( ) 2 dy + f dt x dxdy dt dt + d 2 x fd 2 x dt2+ xdt 2 Poznámka d k f(x h)=d ( d k 1 f(x h) ) d 2 f(x h)=(hh h) kde HjeHessovamatice H= x 2 1 x n x 2 x n x 2 x n x 2 n Formálně d k f(x h)=( h 1 + + x n h n ) k f 120 121 Věta 616(Taylorova věta) Definice 617(lokální a globální extrémy) Nechťfunkce f:ω Rmánaokolí U(x 0 ) Ωdiferenciálřádu k+1nechť h R n jetakovéže x 0 +h U(x 0 ) Potomexistuje θ (01)takže f(x 0 + h)=f(x 0 )+ 1 1! df(x 0 h)+ 1 2! d2 f(x 0 h)+ 1 k! dk f(x 0 h)+ 1 + (k+1)! dk+1 f(x 0 + θhh) }{{} zbytek Buď ffunkcedefinovanánamnožiněω R n Řekneme žečíslo f(x 0 )jelokálnímminimem(respmaximem)funkce fnamnožiněωjestližeexistujeokolí U(x 0 )bodu x 0 takové že x U(x 0 ) Ω: f(x 0 ) f(x) (resp f(x 0 ) f(x)) Pokudplatíostrénerovnostiřeknemeže f mávbodě x 0 ostrélokálníminimum(respmaximum) Zapisujeme: f(x 0 )= min x U(x 0 ) Ω f(x) (resp f(x 0)= max x U(x 0 ) Ω f(x)) Řeknemeže f(x 0 )jeglobálnímminimem(respmaximem)funkce fnamnožiněωjestližeplatí x Ω: f(x 0 ) f(x) (resp f(x 0 ) f(x)) Zapisujeme: f(x 0 )=min x Ω f(x) (resp f(x 0)=max x Ω f(x))
122 123 Věta 618(nutná podmínka extrému) Definice 619(stacionární bod) Nechťmáfunkce f:ω R n Rvevnitřnímbodě x 0 Ω lokální extrém a nechť je v tomto bodě diferencovatelná Potom h R n : df(x 0 h)=0 Bod x 0 Ω pro který je gradf(x 0 ) = 0 nazýváme stacionárním bodem diferencovatelné funkce f respektive gradf(x 0 )=0 124 125 Věta 620(postačující podmínka extrému) Definice 621(řešení rovnice) Nechťjefunkce f :Ω RΩ R n dvakrátdiferencovatelnávevnitřnímbodě x 0 Ωanechťprovšechna h R n jedf(x 0 h)=0potomplatí 1Je-li h R n h 0: d 2 f(x 0 h) >0máfunkce fv x 0 ostrélokálníminimum Buď F(x y)=f(x 1 x 2 x n y)funkce(n+1)proměnnýchauvažujmerovnici F(x y)=0funkci y= f(x)pro x Ω R n nazveme(globálním)řešenímtétorovnicena Ωjestližeprovšechna x Ωplatí F(x f(x))=0 2Je-li h R n h 0: d 2 f(x 0 h) <0máfunkce fv x 0 ostrélokálnímaximum 3Jestližeexistují h 1 h 2 R n takžed 2 f(x 0 h 1 ) > 0d 2 f(x 0 h 2 ) <0nemáfunkce f v x 0 extrémale sedlový bod Jestližeprovšechna x U(x 0 ) R n je F(x f(x))=0 pak y= f(x)nazvemelokálnímřešenímdanérovnice
126 127 Definice 622(implicitní funkce) Věta 623(existence globálního řešení) Funkci y=f(x)kterájeřešenímrovnice F(x y)=0 nazveme implicitní funkcí nebo funkcí danou implicitně Buďfunkce F(x y)definovanánamnožiněω ab R n+1 anechťprovšechnapevná x Ωje F(x y)spojitá funkce proměnné y Jestliže pro všechna x Ω platí F(x a)f(x b) 0pakexistujealespoňjednafunkce y= f(x)definovanánaωtakže x Ω F(x f(x))=0 128 Věta 624(existence lok řešení věta o implicitní funkci) Buď F(x y) funkce která má spojité parciální derivace aždo k-téhořáduvjistémokolíbodu(x 0 y 0 )anechť Potom platí: F(x 0 y 0 )=0 F(x 0 y 0 ) y 0 1Existujeokolí U(x 0 ) R n bodu x 0 afunkce y= f(x) kterájejedinýmřešenímrovnice F(x y)=0na U(x 0 ) tj x U(x 0 ): F(x f(x))=0 2Funkce y=f(x)máspojitéparciálníderivaceaždo k-téhořádupro x U(x 0 )