ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

ZÁKLADY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY LADISLAV SKLENÁK OSTRAVA 5

TEORIE RELATIVITY (KFY/STREP) LS 5 6 Rozsah: // Počet kreditů: Ukončení: zkoška kombinoaná Přednášejíí: dolsklenák ČASOVÝ PLÁN Einsteinoy postláty Historiké poznámky, ýoj fyziky 9století Aberae sětla Strháaí eperimenty Postláty speiální teorie relatiity Relatiita čas a prostor Dilatae čas, relatiistiké skládání ryhlostí LORENTZOVA transformae, kontrake délky 3 Relatiita čas a prostor Inerzní a obená LORENTZOVA transformae, zobenění zákona pro skládání ryhlostí Relatiistiký ýklad aberae sětla hězd a MICHELSON-MORLEYOVA poks Relatiita čas a prostor MINKOWSKÉHO čtyřrozměrný prostoročas, prostoročasoý interal Čtyřektory, lastní čas částie, čtyřryhlost 5 Relatiita dálostí Následné dálosti, kazisočasné dálosti Geometriké znázornění MINKOWSKÉHO prostoročas 6 Relatiita dálostí Relatinost sočasnosti bodoýh dálostí, prinip kazality Maimální ryhlost signál 7 Relatiistiká dynamika Inariane fyzikálníh zákonů, koariantní ronie Pohyboá ronie částie, MINKOWSKÉHO síla 8 Relatiistiká dynamika Čtyřhybnost, čtyřektor energie-hybnosti Relatiistiká a klidoá hmotnost 9 Relatiistiká dynamika Klidoá a elkoá energie částie Síla relatiistiké mehanie a její transformae Nemehaniké proesy Důsledky speiální teorie relatiity Klidoá hmotnost a ryhlost částie Rozpad částie Důsledky speiální teorie relatiity Dokonale nepržná a dokonale pržná srážka části Důsledky speiální teorie relatiity COMPTONŮV je, ČERENKOVOVO záření Relatiistiký DOPPLERŮV je 3 Několik slo o obené teorii relatiity DOPORUČENÁ LITERATURA SKLENÁK, L Základy speiální teorie relatiity Stdijní tet KFY PřF OU, Ostraa SMÉKAL, P Teorie relatiity Skriptm PdF Ostraa 985 HORSKÝ, J Úod do teorie relatiity SNTL Praha 975 TILLICH, J Klasiká mehanika Skriptm PřF UP Olomo 973 HAVELKA, B, TILLICH, J: Teorie relatiity Skriptm PřF UP Olomo 96 BARTUŠKA, K Kapitoly ze speiální teorie relatiity SPN Praha 989 VOTRUBA, V Základy speiální teorie relatiity Aademia Praha 97 BRDIČKA, M, HLADÍK, A Teoretiká mehanika Aademia Praha 987 KVASNICA, J A KOL Mehanika Aademia Praha 988 FEYNMAN, R P, aj Feynmanoe prednášky z fyziky, díl, 5 Alfa Bratislaa 98 MALÍŠEK, V Co íte o dějináh fyziky Horizont Praha 986 EINSTEIN, A, INFELD, L Fyzika jako dobrodržstí poznání Orbis Praha 958 HALLIDAY, D, aj Fyzika Část Brno: VUTIUM, Praha: PROMETHEUS ISBN 8-- 868- (VUTIUM), ISBN 8-796-3-9 (PROMETHEUS)

Základy speiální teorie relatiity - 3 - OBSAH Strana EINSTEINOVY POSTULÁTY 5 Historiké poznámky 5 Výoj fyziky 9 století 5 Aberae sětla 6 3 FIZEAŮV poks 7 MICHELSONŮV MORLEYŮV poks 8 Postláty speiální teorie relatiity RELATIVITA ČASU A PROSTORU LORENTZOVA transformae Dilatae čas Relatiistiké skládání ryhlostí 3 3 Speiální LORENTZOVA transformae 3 Kontrake délky 5 Inerzní LORENTZOVA transformae 5 6 Obená LORENTZOVA transformae 6 7 Zobenění zákona o skládání ryhlostí 6 8 Relatiistiký ýklad aberae hězd 7 9 Relatiistiký ýklad MICHELSONOVA MORLEYOVA poks 8 MINKOWSKÉHO prostoročas 9 Prostoročasoý interal 9 Čtyřektory 3 Čtyřektor ryhlosti, lastní čas 3 RELATIVITA UDÁLOSTÍ 5 3 Bodoé dálosti 5 3 Následné dálosti 5 3 Kazisočasné dálosti 7 33 Geometriké znázornění MINKOWSKÉHO prostoročas 8 3 Relatinost sočasnosti 9 35 Prinip kazality, maimální ryhlost signál 3 RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA 33 Inariane fyzikálníh zákonů 33 Relatiistiká pohyboá ronie 3 Čtyřsíla 3 Relatiistiká hmotnost 36 3 Ekialene hmotnosti a energie 36 3 Čtyřektor energie hybnosti 38 Síla relatiistiké mehanie 38 Transformae síly 39 5 Nemehaniké proesy 5 NĚKTERÉ DŮSLEDKY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY 3 5 Transformae energie 3 5 Klidoá hmotnost a ryhlost části

- - Základy speiální teorie relatiity 53 Srážky části 5 53 Dokonale nepržná srážka části 5 53 Rozpad částie 8 533 Dokonale pržná srážka části nenloé klidoé hmotnosti 9 53 COMPTONŮV rozptyl 5 5 ČERENKOVOVO záření 53 55 Relatiistiký DOPPLERŮV je 5 6 NĚKOLIK SLOV O OBECNÉ TEORII REALTIVITY 56

Základy speiální teorie relatiity - 5 - EINSTEINOVY POSTULÁTY HISTORICKÉ POZNÁMKY, VÝVOJ FYZIKY V 9 STOLETÍ, ABERACE SVĚTLA, STRHÁVACÍ EXPERIMENTY, EINSTEINOVY POSTULÁTY HISTORICKÉ POZNÁMKY Vznik speiální a posléze i obené teorie relatiity byl podmíněn historiko sitaí, k níž došlo e fyzie e drhé poloině 9století Tyto teorie naždy spojené se jménem A EINSTEINA znamenaly pro fyzik nejen ýhodisko ze slepé ličky, ale jso také příkladem toho, jak je lidské poznání za příslšné sitae shopno setřást a zarhnot dogmata, s nimiž žilo a na nihž (a to nikoli neúspěšně) staělo stoky let Historie znik speiální teorie relatiity je elmi počná a zajímaá i tím, že elá řada špičkoýh fyziků se dloho dob snažila nejrůznějšími eperimenty a speklaemi dokázat nedokazatelné a práě negatiní ýsledky těhto eperimentů přiodily pád do té doby posátnýh a nedotkntelnýh teorií a předsta Vysloení prinip obeně platnějšího než GALILEIHO (mehaniký) prinip relatiity pro ineriální ztažné sostay bylo na přelom 9 a století již jen otázko čas (a osoby) Je nesporné, že řada poolanýh jmenjme zde předeším HENRIHO JULESE POINCARÉHO a HENDRIKA ANTOONA LORENTZE íe než tšila neyhntelný pád postlátů o absoltním čase a prostor Obaa z eřejného ysloení těhto té době kaířskýh myšlenek je šak zastaila na samotném prah noé fyzikální epohy Tak se stalo, že rok 95 se sedmnátém sazk ěhlasného odborného periodika ANNALEN DER PHYSIK objeil třietistránkoý článek pod názem K elektrodynamie pohybjííh se těles, jehož atorem byl do té doby téměř neznámý fyzik ALBERT EINSTEIN Článek byl mimořádný a pozorhodný nejen sým obsahem, ale i tím, že něm nebyly itoány žádné prameny a že se jeho pisatel neodoláal na žádné atority a zdroje Styl článk byl elmi prostý a jeho značná část byla pohopitelná i bez náročnější matematiké průpray Ueřejnění tohoto článk znamenalo definitiní rozhodntí o dalším ýoji fyziky a e sýh důsledíh možnilo (kromě jiného) yžití (i znežití) jaderné energie Ve spojení se soběžně se rozíjejíí kantoo teorií možnilo průlom i rozoji poznání o mikrosktrkře hmoty VÝVOJ FYZIKY V 9 STOLETÍ Dominjíí fyzikální disiplino během elého tohoto období byla (již téměř let stará ) NEWTONOVA mehanika zdokonalená EULEREM, LAPLACEM, LAGRANGEEM, BERNOULLIM, HAMILTONEM a dalšími elikány Věi došly tak daleko, že aiomy mehaniky a požitelnost jejího na so dob dokonalého matematikého formalism byly kritériem pro spránost a platnost noýh nemehanikýh fyzikálníh hypotéz a teorií optie, elektřině, molekloé fyzie, termodynamie apod Mehanika, poažoaná za rhol fyziky a popis sěta jak po stráne obsahoé, tak i formální, olinila také filosofii mehanistiký sětoý názor byl tomto období (alespoň intelektálníh krzíh) přeládajíí Toto králostí mehaniky začalo být ážně naršoáno (jaksi potají již před r 8, ale předeším 9 století samém) zejména ýsledky eperimentů optie a elektřině Optika, která je podstatně starší, než naka o elektřině a magnetism, se yíjela dosti atonomně a byla roněž ýznamně oliněna atorito I NEWTONA I přes nesporný a e sé době elmi ýznamný přínos (disperze, konstrke zradloého dalekohled apod)

- 6 - Základy speiální teorie relatiity NEWTON so premiso o korpsklární (částioé) poaze sětla zařel na dloho dob diskse, které započaly době renesane po staletíh nábožně znáanýh aristoteloskýh speklaí (i této oblasti nelze nezpomenot génia DA VINCIHO) Již NEWTONŮV sočasník, holandský fyzik CHRISTIAN HUYGENS, ysloil domněnk, že sětlo je lněním neažitelné a blíže nedefinoané sbstane éter Atorita NEWTONOVA šak byla obroská a jeho emanační (ýronoá, korpsklární, částioé) teorie sětla proto na dloho dob zítězila nad ndlační (lnoo) teorií HUYGENSOVOU Noé eperimenty prokazjíí ohyb, interfereni a polarizai sětla (YOUNG, FRAUNHOFER, FRESNEL aj) tj jey typiké pro lnění šak stále íe otřásaly předstao o tom, že sětlo je jen pohým pohybem části V poloině 9 století již nebylo pohybností o tom, že se sětlo hoá jako (příčné) lnění V zajetí mehanikýh předsta si šak fyzikoé nedoedli předstait šíření sětla e ak bez nosiče Proto byl po staletíh oprášen HUYGENSŮV pojem éter Sočasně s tím byla předstaa klidného, neažitelného a elý esmír yplňjíího éter elmi lákaá mohl totiž být ztotožněn s NEWTONOVÝM absoltním prostorem Fyzikům se tak zdánliě oteřela možnost rčení absoltního pohyb těles ůči nehybném éter optikými metodami Podstata šeh eperimentů, které byly k tomto účel konány, spočíala požití klasikého (a jak se později kázalo tomto případě prinipiálně nespráného) mehanikého předpoklad o skládání ryhlosti pohyb sětla s ryhlostí pohyb jeho zdroje nebo pozoroatele Kromě disksí o podstatě sětla byl zájem fyziků zaměřen také na přesné rčení ryhlosti jeho šíření Poksy tomto směr podnikl již GALILEI (667) O ROEMER r 675 zjistil z astronomikýh pozoroání zatmění jednoho z měsíů planety Jpiter, že sětlo potřebje k ražení dráhy roné průměr trajektorie Země při jejím pohyb kolem Slne asi mint Z těhto dat bylo možno stanoit ryhlost sětla (e ak) jako asi 8, m s Četné další eperimenty tento údaj postpně zpřesňoaly na dnes šeobeně přijímano konenčně prao hodnot 99 79 58 m s (přesně) Jedna z nejstaršíh nepřímýh metod měření ryhlosti sětla yházela z je, nazýaného ABERACE SVĚTLA Tento je (nazýaný česky odhylka sětelného paprsk) zjistil popré r 78 angliký astronom J BRADLEY Pozoroal, že stálie (hězdy) opisjí na obloze během rok elmi malé elipsy, jejihž hlaní poloosy jso ronoběžné s ekliptiko a mají nezáisle na zdálenosti jednotliýh hězd stejno délk přibl Toto zjištění plynlo z během rok se měníí polohy optiké osy jeho astronomikého dalekohled, ztažené na úhloměrno stpnii peně spojeno se Zemí při přesném zaměření stálie Při tehdejším ýklad tohoto je bylo ntno yjít z konečné elikosti ryhlosti sětla, která se (klasiky) skládá s ryhlostí pohyb Země kolem Slne Vezměme jako ryhlost sětla e ak hodnot 8 3 ms Ryhlost Země zhledem k Slni je Z 3 ms Při sém pohyb dalekohledem (obr ) msí sětelný paprsek (foton) razit dráh τ Za stejný čas razí dalekohled dráh Zτ Aby paprsek ( tentýž foton) prošel středem objekti i středem oklár, msí být optiká osa dalekohled skloněna o rčitý úhel, jehož hodnot rčíme ze ztah tg ε Z ε,5 Tato hodnota je tedy e elmi dobrém solad s eperimentálně zjištěno hodnoto aberae

Základy speiální teorie relatiity - 7 - S ε S ε D τ τ D ε τ Z Z prosine Obr čeren Z τ Z 3 FIZEAŮV POKUS Tento poks, patříí mezi tz strháaí eperimenty, yházel z předstay, že ryhlost sětla pohybjíím se látkoém prostředí (prostopeném éterem) se skládá s ryhlostí pohyb tohoto prostředí Zároeň měl objasnit, nakolik je éter pohybjíím se látkoým prostředím strháán Prinip poks je patrný z obr Jako pohybjíího se látkoého prostředí požil FIZEAU (85) od prodíí trbií T ryhlostí 5 m s T Paprsek sětla se po sém průhod Z H polopropstno destičko P pohybje l trbií T před i po odraze na stěnáh Zd P hranol H sohlasným směrem jako oda Ryhlost paprsk má naopak + trbii ůči ryhlosti prodíí ody směr opačný Int V době poks již bylo známo, že Obr ryhlost šíření sětla klidné odě je menší než e ak, takže absoltní inde lom klidné ody je n 5 km s 3 Podle FIZEAUOVÝCH předpokladů se prodíí odě ( ) měla ryhlost sětla zětšit nebo zmenšit o elo ryhlost nebo o její část k na hodnoty : + k; : k ; < k ; k je tz strháaí koefiient, informjíí o tom, nakolik je éter prodíí odo strháán Rozdílná ryhlost obo paprsků trbii měla ést k jejih časoém posntí zorném poli interferometr Int l l kl kl kl n + t k k V důsledk toho, že ( ), byl člen k << ( k ) e jmenoateli zanedbán Vzhledem k předpokládaném časoém a tím i fázoém posntí tedy byla očekáána interferene paprsků a, pozoroatelná interferometrem Int Interferenční prožky t

- 8 - Základy speiální teorie relatiity byly sktečně zjištěny a zpětným ýpočtem bylo pro strháaí koefiient k získáno yjádření k n Pro ryhlost sětla prodíí (a částečně éter strháajíí) odě tedy z ýsledk poks dostááme ± k ± n n Tento ýsledek šak přinášel elký a neřešitelný problém Strháaí koefiient k by měl záiset na inde lom a inde lom přitom záisí na frekeni sětla (disperze) Pro přijetí tohoto yjádření byhom proto mseli ysloit hypotéz o eisteni nikoli jediného, ale nekonečně mnoha éterů pro každo bar sětla jiného Vzhledem k této sitai nebylo možno edeným poksem předpoklad o skládání ryhlostí a o částečném strháání éter potrdit Tepre později byl znik sktečně pozoroanýh interferenčníh prožků při FIZEAUOVĚ poks ysětlen hybo metody zejména nemožností dokonalé adjstae elého zařízení Ani četné další poksy tohoto typ další tzstrháaí eperimenty nesplnily očekáání a fyzikoé s napětím očekáali ýsledky, které měl přinést MICHELSONŮV MORLEYŮV POKUS V době, ktero popisjeme, se zdála fyzikálně zela spráno (mehaniká) předstaa, že ryhlost sětla šíříího se klidným éterem je záislá na ryhlosti a směr pohyb pozoroatele O sém (absoltním) pohyboém sta ůči klidném éter by tedy pozoroatel mohl rozhodnot podle jím naměřené ryhlosti sětla Z této úahy yšel ameriký fyzik ALBERT ABRAHAM MICHELSON (85 93) a poksil se poronat časoé interaly, nihž sětlo razí dě stejné dráhy různě orientoané zhledem k pohyb Země klidným éterem Eperimentální spořádání jeho poks bylo prinipiálně jednodhé a důmyslné (obr 3) Z Obr 3 L Z Zd Z L Z L Ζ Z Z Int Sětlo yhází ze zdroje Zd a polopropstným zradlem Z je rozděleno na da nazájem kolmé paprsky, které spol po odraz na zradleh Z, Z interferjí zorném poli interferometr Int

Základy speiální teorie relatiity - 9 - Předpokládejme, že rameno L ZZ leží e směr pohyb Země zhledem k éter Čas, za který sětelný paprsek razí dráh ZZZ, by tedy měl být L L L L t + Z + Z Z ( β ) Celé zařízení se pohybje spol se Zemí a drhý paprsek se proto pohybje po dráze ZZ Z Ćas k tom potřebný dostaneme požitím PYTHAGOROVY ěty jako L t Z t L + t Časoý rozdíl mezi oběma paprsky bde tedy ( ) β L L t t t β β Otočíme-li elé zařízení o 9, je e směr pohyb Země rameno L a analogikým ýpočtem získáme časoý rozdíl obo paprsků jako L L β β ( t) Při otočení elého zařízení by tedy mělo dojít k posntí interferenčníh prožků, odpoídajíím časoém rozdíl t ( t) ( t) ( L + L ) β β L + L β Z optiky bylo známo, že k posntí o jeden interferometriký prožek dojde tehdy, je-li časoý rozdíl t paprsků řád λ Má-li být t λ, msí platit L + L λ β, ož při předpokládanýh hodnotáh β 7 ; 5 m λ yžadoalo, aby L+ L 5 m Tto podmínk bylo možno splnit íenásobnými odrazy paprsků na zradleh Prní série poksů konanýh MICHELSONEM r 88 Postpimi byla nepožitelná, neboť předpokládaný interferenční posn byl mezíh hyby měření (deformae při otáčení zařízení, ibrae apod) Dostatečno přesnost měla až drhá série poksů, konanýh společně s amerikým hemikem EMORLEYM Cleeland (887) K překapení eperimentátorů i napjaté fyzikální eřejnosti šak ani při opakoání poks nedošlo k žádném posntí interferenčníh prožků Pro ysětlení negatiního ýsledk MICHELSONOVA MORLEYOVA poks (i dalšíh důmyslnýh eperimentů podobného typ) byla ymyšlena a zkonstroána řada hypotéz Žádná z nih šak neobstála před seriózními fyzikálními argmenty a bylo ntno je nestále obohaoat o další, později ždy napadntelné předpoklady Po formální stráne byli ysětlení negatiního ýsledk MICHELSONOVA MORLEYOVA poks elmi blízko zejména holandský fyzik LORENTZ a Franoz POINCARÉ Nejen oni, ale i řada dalšíh fyziků tšila podstat problém, žádný z nih se šak neodhodlal naplno ji ysloit

- - Základy speiální teorie relatiity Po šeh stránkáh yhojíí řešení i ysětlení elého problém proto podal tepre 6 letý a e fyzikálníh krzíh téměř neznámý zaměstnane patentního úřad Bern ALBERT EINSTEIN r 95 Jeho teorie, postaená na do základníh postláteh, byla nazána speiální teorie relatiity POSTULÁTY SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY Hlboká analýza tehdejšíh předsta o prostor a čase, která přiedla AEINSTEINA k jeho ýsledkům, yolala obroský otřes nejen e fyzie, ale i e filosofii EINSTEIN naždy pohřbil hypotéz absoltního čas a prostor a dospěl k záěr, že prinipiálně není možné fyzikálními prostředky od sebe odlišit žádné dě různé ineriální sostay postlát STR EINSTEINŮV prinip relatiity Pro formlai šeh fyzikálníh zákonů jso šehny ineriální sostay ekialentní postlát STR prinip konstantní ryhlosti sětla Sětelné signály se šíří prázdném prostor přímočaře konstantní ryhlostí e šeh časeh, e šeh směreh a e šeh ineriálníh sostaáh; ryhlost sětla nezáisí na pohyb zdroje nebo pozoroatele

Základy speiální teorie relatiity - - RELATIVITA ČASU A PROSTORU DILATACE ČASU, LORENTZOVA TRANSFORMACE, KONTRAKCE DÉLKY RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ, MINKOWSKÉHO ČTYŘROZMĚRNÝ PROSTOROČAS, ČTYŘVEKTORY LORENTZOVA TRANSFORMACE Uažjme da pozoroatele A a B (e ak) peně spojené se sořadnioými sostaami Pozoroatel A je spojen s klidno ineriální sostao S, pozoroatel B pak se sostao S, která se ůči sostaě S pohybje konstantní ryhlostí Oba pozoroatelé jso ybaeni stejnými hodinami ( A t ; B t ), které si okamžik setkání seřídí na údaj t t Celo další sitai můžeme geometriky znázornit následjíím způsobem (obr ) (A) (B)( ) τ (A) (B) l Obr l Na sislo os nanášíme délk τ t ( je ryhlost sětla daném izotropním prostředí), která je přímo úměrná hod hodin pozoroatele A, na odorono os pak zdálenost pozoroatelů l t Pro úhel ε platí tgε (A) τ 3T T T T T (B) 3T T T 3T k T T 3T Obr l t ε t Pro pohyb sětelného signál (foton) ryhlostí směrem prao od (klidného) pozoroatele A je zřejmě ε ma 5, čemž odpoídá čárkoaná polopřímka na obr Pozoroateli B, jehož ryhlost je menší než, příslší tedy poze sětlejší sektor ( ε<5 ) Pozoroatel A ysílá okamžiíh T, T,3 T, na sýh hodináh sětelné signály ( pátraí fotony) směrem k pozoroateli B Pozoroatel B přijímá tyto signály podle sýh hodin okamžiíh T, T,3 T, Z obr je zřejmé, že časoý údaj, odečítaný na hodináh pozoroatele B, je úměrný údaji na hodináh pozoroatele A T kt Sočinitel úměrnosti koefiient " k" je fnkí ryhlosti pozoroatele B zhledem k pozoroateli A Najdeme nyní epliitně záislost k

- - Základy speiální teorie relatiity Sětelný signál (foton) yslaný pozoroatelem A okamžik T je přijat pozoroatelem B okamžik T kt a okamžitě ráen (odražen) k pozoroateli A, který jej přijme okamžik T k T k T (obr 3) t (A) τ T T T (B) Obr 3 t l Okamžik přijetí signál pozoroatelem z hlediska pozoroatele A roen T + T T + k T t T( k + ) Pozoroatel B je okamžik t od pozoroatele A zdálen t T( k + ) Sětelný signál (foton) potřebje k ražení této zdálenosti (podle pozoroatele A ) dob t T T( k + ) T T( k ), a podle pozoroatele A msí být zdálenosti t a t ( T) stejné B je T( k + ) T( k ) k + k k kab + DILATACE ČASU Zkomejme nyní soislost mezi údaji hodin, které témž ději přiřazjí oba pozoroatelé Vyjdeme přitom opět z obr 3 Přijetí signál pozoroatelem B nastáá podle pozoroatele A okamžik t, podle pozoroatele B okamžik T kt Pro podíl β tt dostááme ( ) + ( ) t T k + + k t + T kt k + T T T t β t T > () ož je ztah pro dilatai (prodložení) čas pohybjíí se (ineriální) sostaě S, pozoroano pozoroatelem A peně spojeným se sostao S, ůči níž se sostaa S pohybje ryhlostí konst Upozorněme již na tomto místě, že písmeno β bde dalším zásadně požíáno pro poměr, němž je (konstantní) ryhlost sostay S ůči sostaě S Zároeň eďme, relatiistiké ztahy msí limitním přehod, tj pro β, přejít nerelatiistiké ztahy klasiké newtonoské mehaniky

Základy speiální teorie relatiity - 3 - RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ K odození relatiistikého ztah pro skládání ryhlostí připojíme k pozoroatelům A a B ještě dalšího pozoroatele C, který se pro jednodhost pohybje e směr sohlasném s pohybem pozoroatele B ryhlostí zhledem k pozoroateli B a ryhlostí zhledem k pozoroateli A obr Ryhlost B zhledem k A je ; Ryhlost C zhledem k B je ; Ryhlost C zhledem k A je A A T T B T k T C T k T AB BC T k T k T k k T k k k ; AC BC BC AB AC AB BC C T k T AC (A) τ (B) (C) k AB + + + ; k ; k BC AC T Obr + + + kac kab kbc T T + + () B zhledem k A C zhledem k B C zhledem k A l Obdrželi jsme relatiistiký zákon pro skládání ryhlostí Připomeňme, že podle klasiké předeinsteinoské mehaniky by tomto jednodhém případě skládanýh paralelníh ryhlostí a platil (limitní) ztah + 3 SPECIÁLNÍ LORENTZOVA TRANSFORMACE Zolme nyní kartézsko sosta sořadni tak, že os l ztotožníme s prní (A) sořadnioo oso ( l ; i ) Obr 5 τ (B) obr 5 T T t T P T 3 T T P Pozoroatel A he ohmatat náhodně zolený bod P sětelným signálem (fotonem), který yšle okamžik T Tento signál (foton) je pozoroatelem B zaregistroán okamžik T kt V bodě P se signál (foton) odráží a raí zpět k pozoroateli A Vraejíí se signál (foton) zaregistrje pozoroatel B okamžik T a pozoroatel A okamžik T kt l

- - Základy speiální teorie relatiity Pozoroatel A na základě údajů sýh hodin přiřadí bod P následjíí prostoroo a časoo sořadnii T T ; T + t T (3) Pozoroatel B rčí na základě údajů na sýh hodináh prostoroo a časoo poloh bod P sořadniemi T T ; t T + T T T ; T + T t T T kt T ; T kt (3) k T t ; T t + ; () T T kt kt + k ; t k T T kt ; kt + t T k t k ; T t + ; (5) k k k k k t (), (5) t kt ; t + + k k t k t + kt + k k ; t t t + + kt k t t k k Speiální LORENTZOVA transformae sořadni při přehod mezi děma ineriálními sostaami S a S, které se ůči sobě pohybjí konstantní (relatiní) ryhlostí konst, ronoběžno se sořadnioými osami, i i, má tar ( ) t t ; y y; z z; t (6) KONTRAKCE DÉLKY Vraťme se zno k obr 5 Předpokládejme, že body P a P předstají (okamžité) polohy začátk a kone praítka, které se pohybje s pozoroatelem B Tyto polohy rčí pozoroatel A tak, že yšle signály okamžiíh T,T3 a odražené je přijme okamžiíh T, T Proes měření poloh obo konů praítka msí (při jeho pohyb) z hlediska pozoroatele A proběhnot jediném okamžik t ( T+ T) ( T3+ T) T k T 3 (7)

Základy speiální teorie relatiity - 5 - Signál yslaný pozoroatelem A okamžik T zaregistrje pozoroatel B okamžik T kt, signál odražený od P pak okamžik T T k Délk praítka rčí B jako (zhledem k něm stálo) sořadnii bod P pozoroatel ( ) T kt T T P l k B ( T k T) (8) k Pozoroatel A rčí délk měřítka pomoí (okamžitýh) sořadni jeho konoýh bodů T T 3 P ; T T P jako la P P ( T ) ( ) ( ) ( T T T3 T T T3 k ) (9) T+ T (7) T+ T T3+ k T3 T3 (9) k + T+ T la ( T T) ( k ) k + l ( T k T A k + ); () klb (8) T k T () l l l l l A B B β A< B () Praítko pohybjíí se s pozoroatelem B se tedy pozoroateli A jeí kratší než pozoroateli B dohází ke ( klidné sostaě pozoroané) kontraki (zkráení) délky (rozměr) tělesa e směr jeho pohyb 5 INVERZNÍ LORENTZOVA TRANSFORMACE Speiální LORENTZOVA transformae pro přehod z klidné ineriální sostay S do ;; má (čárkoané) ineriální sostay S pohybjíí se ůči sostaě S ryhlostí ( ) tar [(6)] t ; y y t ; z z; t Inerzní LORENTZOVU transformai pro přehod do sostay S dostaneme, když předhozíh ztazíh zaměníme eličiny čárkoané za nečárkoané a ezmeme úah, že sostaa S se ůči sostaě S pohybje ryhlostí ( ;;) Dostááme tedy t + + t ; y y ; z z ; t ()

- 6 - Základy speiální teorie relatiity Položme β a ( ) ( ) můžeme zapsat jako β γ LORENTZOVU transformai (6) pak ( ); ; ; ( ) γ β t y y z z t γ t β Inerzní LORENTZOVA transformae má tar ( ); ; ; ( ) γ +β t y y z z t γ t +β 6 OBECNÁ LORENTZOVA TRANSFORMACE r S ( ) α r r Jde o LORENTZOVU transformai mezi ineriálními sostaami S a S případě, že S se zhled em k S pohybje obeným směrem ryhlostí konst (ektory a i jso obeně různoběžné) Polohoý ektor r liboolného bod rozložíme na složk r kolmo k ektor ryhlosti a na složk r s ektorem ronoběžno (obr 6) Obr 6 Platí r r r rosα rosα r r ( r ) ; r r r r r ; r r + r ( ) Při přehod do sostay S se složka r sořadnie, takže ; ( ) r + r ( r ) ( r ) (3) nemění a složka r se transformje jako β β γ ( r ) ( r ) ( r ) r t + r ; t t ( ) ( ) r r r r+ γ γ t; t γ t () Inerzní obeno LORENTZOVU transformai byhom opět získali záměno čárkoanýh a nečárkoanýh eličin a položením 7 ZOBECNĚNÍ ZÁKONA PRO SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ Vztah () ( + ) ( + ) r ( S ) pro skládání ryhlostí byl odozen pro speiální případ, kdy pozoroatel C (nebo částie) se zhledem k sostaě S pohybje stejným i i směrem jako sostaa S ( )

Základy speiální teorie relatiity - 7 - Bdeme i nadále předpokládat stejný pohyb sostay S zhledem k S konstantní ryhlostí ( ;;) C nebo částie šak bde tomto případě mít ryhlost, pozoroatel ( ) zela obeného směr, rčeno d dy dz dt dt dt sostaě S ektorem,, (, y, z), d dy dz sostaě S ektorem,, (, y, S z) dt dt dt Z inerzní (speiální) LORENTZOVY transformae dostááme dt d d + + dt d ; dy d y ; dz d z ; dt Složky ektor ryhlosti částie sostaě S pak rčíme pomoí složek ektor sostaě S jako d d d + t dt dt + d + ; + y dy dy dt dt + d y y + ; z dz dz dt dt + d z z + + ; y y ; z z + + + (5) Položíme-li ; y y z z, dostaneme ze ztah (5) již dříe + + i odozený ztah () ( ) ( ) pro ( ) 8 RELATIVISTICKÝ VÝKLAD ABERACE SVĚTLA HVĚZD S - klidná sostaa spojená s hězdo, S sostaa spojená se Zemí, která se zhledem k S pohybje ryhlostí ( i ) obr 7 Z Nehť t je okamžik, němž sětelný signál z hězdy H dorazí práě do počátk klidné sostay S V sostaě S má tedy zdroj signál (hězda) tyto prostoroé a časoé sořadnie: ros α ; y rsin α ; t r (znaménko míns časoé sořadnie yjadřje sktečnost, že sětlo bylo hězdo ysláno před okamžikem t )

- 8 - Základy speiální teorie relatiity H Obr 7 ε r Z α α, Při přehod do pohybjíí se sostay S požijeme LT a dostááme r γ( t) γros α+ Z ; y y rsin α Z obr 7 je dále zřejmé, že sin y rsinβ β α Z tg α ; β r Z os os γr α+ α+ Z Vzhledem k požití LORENTZOVY transformae je toto již relatiistiký ztah pro aberai α Položíme-li tomto ztah απ při liboolné poloze hězdy sostaě S ( ) (hězda je seerním sětoém pól) a π α α ε ε, dostaneme π sin ε π os ε tg α tg ε otg ε π sinε os ε π Z os + tg Z ε tg ε otg ε tg α π β sin β Při pohyb Země kolem Slne je je proto možno položit β Vzhledem k přesnosti astronomikýh měření tg β Z ε a obdržet tak klasiký ýraz, požíaný pro ýklad aberae sětla stáli době před znikem speiální teorie relatiity 9 RELATIVISTICKÝ VÝKLAD MICHELSON MORLEYOVA POKUSU Z hlediska sostay S (Země), s níž se elé zařízení pohybje, je ysětlení negatiního ýsledk poks jednodhé Předpokládejme pro jednodhost, že L L (obr 3) Vzhledem k prinip konstantní ryhlosti sětla se sětlo šíří e směr ZZ stejno Z

Základy speiální teorie relatiity - 9 - ryhlostí jako e směr ZZ Uažoané dráhy razí tedy sětelné paprsky za stejno dob a nemůže proto dojít k jejih fázoém posntí Z hlediska sostay S (Slne), ůči níž se sostaa S pohybje ryhlostí Z konst, msíme zít úah kontraki délky ZZ L, takže e ztah ( β ) t L je ntno psát L β místo L L β L β β t Pro L L ( sostaě S ) je toto yjádření čas ( sostaě S ) shodné s časem t, takže t a jakékoli očekáané posntí interferenčníh prožků je tedy neopodstatněné MINKOWSKÉHO PROSTOROČAS V roe 97, da roky po pblikoání základů speiální teorie relatiity, zaedl němeký matematiký fyzik HERMANN MINKOWSKI (86 99) pojem čtyřrozměrného prostoročasoého kontina možňjíí noo form zápis eličin a fyzikálníh zákonů e čtyřsořadnioém (čtyřsložkoém ) tar MINKOWSKÉHO prostoročas možnil zajímao geometriko interpretai LORENTZOVY transformae a ybdoání matematikého aparát, díky němž se speiální teorie relatiity stala elmi přehledno MINKOWSKI pokázal na to, že Prostoroé a časoé údaje jso zájemně neoddělitelné a proázané Každá dálost msí tedy být popsána třemi prostoroými a jedno časoo sořadnií Těmito čtyřmi,,, je jednoznačně rčen bod (sětobod, sořadniemi ( ) 3 bodoá dálost) abstraktním čtyřrozměrném prostor tz MINKOWSKÉHO PROSTOROČASE M Pro zahoání stejného rozměr šeh čtyř sořadni (,, 3, ) má časoá sořadnie tar it (i je imaginární jednotka a je ryhlost sětla e ak) Podle MINKOWSKÉHO je tedy sět čtyřrozměrným soborem bodů bodoýh dálostí, sětobodů o prostoročasoýh sořadniíh, y, 3 z, it (6) Přítomnost imaginární jednotky e yjádření čtrté sořadnie (ortogonálnost imaginární a reálné číselné osy) možňje požít formální analogii s třírozměrno eklidosko geometrií (říkáme proto, že MINKOWSKÉHO prostoročas je psedoeklidoský) PROSTOROČASOVÝ INTERVAL Uažjme dě bodoé dálosti a o prostoročasoýh sořadniíh () () () () ( ) y z t : (,,, ),,,i, : (,,, ),,,i 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y z t 3

- - Základy speiální teorie relatiity Analogie s třírozměrno eklidosko geometrií můžeme požít k zaedení metriky čtyřrozměrného prostoročas M ztahem ( ) ( ) ( ) ( ) + + s y y z z t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( µ µ ) µ µ ( ) ; µ,,3, s, (7) definjíím tz prostoročasoý interal s mezi děma bodoými dálostmi, Abyhom při požití EINSTEINOVA sčítaího praidla formálně odlišili abstraktní čtyřrozměrný prostoročas M od reálného třírozměrného eklidoského prostor E 3, požíáme M pro označení inde proměnného hodnotáh,,3, malá písmena řeké abeedy Uplatníme-li e yjádření (7) (pro jednodhost speiální) LORENTZOVU transformai, dostaneme (proeďte důkaz) ( ) ( ) ( ) ( ) s + y y + z z t t ( ) ( ) ( ) ( ) + y y + z z t t s s s Prostoročasoý interal ( ) ( ) ( ) ( ) s + y y + z z t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( µ µ ) ( µ µ ); µ,,3, do bodoýh dálostí e čtyřrozměrném prostoročase je s s inariantem LORENTZOVY transformae ( ) Inariantem LORENTZOVY transformae je i elementární posntí ds( d µ ) M infinitesimální interal mezi děma (prostoroě i časoě!!) nekonečně blízkými ds d µ M yjadřjeme opět kadrátem bodoými dálostmi Elementární posntí ( ) + + µ (8) ds dµ dµ d dy dz d t ;,,3, Připomeňme, že nerelatiistiké mehanie jso ýrazy + + resp y z, d + dy + dz a t, resp dt, samy o sobě inarianty GALILEIHO transformae Ve speiální teorii relatiity tyto ýrazy inariantnost tj neměnnost ůči LORENTZOVĚ transformai ztráejí a inariantem ůči LORENTZOVĚ transformai je tepre jejih spojení do jediného ýraz e tar + y + z t, resp d + dy + dz dt ČTYŘVEKTORY Dosadíme-li prostoročasoé sořadnie (6) do speiální LORENTZOVY transformae β, ( β ) γ βt t β ; y y; z z; t, β β dostaneme ( t i i, t i)

Základy speiální teorie relatiity - - Zaeďme imaginární úhel ϕ ztahy i i +β ; ; 3 3; β (9) β β iβ os ϕ γ ; sin ϕ iβγ β β ( ) ( ) Speiální LORENTZOVA transformae pak nabýá tar os ϕ+ sin ϕ, 3 3,, sin ϕ+ os ϕ () Výrazy () jso transformačními ztahy pro otočení sostay sořadni roině o úhel ϕ Přehod z ineriální sostay S do ineriální sostay S, která se ůči sostaě S pohybje ryhlostí M odpoídá otočení o úhel ϕ roině konst e směr osy ( i ) ; pro úhel ϕ platí tg ϕ iβ E 3, tedy Příkladem matematikého zjednodšení při zaedení čtrté imaginární sořadnie a imaginárního úhl ϕ je odození EINSTEINOVA ztah pro skládání ryhlostí Sostaa S se ůči klidné sostaě S pohybje ryhlostí konst ( i ) Částie má ůči sostaě S ryhlost, i Jak bylo odozeno již dříe [ztah ()], je složka ektor ryhlosti částie zhledem k sostaě S dána ztahem + + K tomto ztah můžeme dojít e čtyřrozměrném prostoročase M jednodho úaho i ýpočtem Transformai z S do S přiřadíme (imaginární) úhel otočení ϕ ; tgϕ i Transformai ze sostay S do sostay S, peně spojené s pohybjíí se částií přiřadíme (imaginární) úhel otočení ϕ ; tgϕ i Přímo transformai ze sostay S do sostay S pak lze složit z obo dílčíh předhozíh transformaí, takže jí náleží imaginární úhel otočení ϕϕ +ϕ Platí tedy S S S S + S S i tgϕ+ tgϕ tg ϕ ϕϕ +ϕ tg ϕ tg ( ϕ +ϕ ) tgϕ tgϕ i + i i + + + S odoláním na poznatky o transformai kartézskýh tenzorů můžeme transformai sořadni e čtyřrozměrném prostoročase M yjádřit matií, jejímiž prky jso směroé

- - Základy speiální teorie relatiity kosiny úhlů, síranýh příslšnými čárkoanými a nečárkoanými osami sostay sořadni Speiální LORENTZOVĚ transformai (9), resp () tedy odpoídá matie γ iβγ βγ i γ () Jednodhým ýpočtem se můžeme přesědčit, že prky této matie (i matie obené LORENTZOVY transformae) splňjí relae ortogonality aµν a µλ δνλ Vzhledem k této i dalším analogiím s eklidoským prostorem ( E 3) nám MINKOWSKÉHO formalisms dáá možnost rozšířit definii tenzorů i do čtyřrozměrného prostoročas M Složkami čtyřektor A µ (čtyř)tenzor řád M nazýáme eličiny, které se transformjí podle zákona A µ aµνaν Rozepíšeme-li tento ztah pro transformai dano matií (), dostaneme (z jejíh řádků) A γ A + i β A ; A A ; A A ; A γ iβ A + A () ( ) ( 3 3 Definie (čtyř)tenzorů yššíh řádů M je analogiká definii těhto kartézskýh tenzorů E 3 Čtyřektor µ polohy o složkáh, y, 3 z, it je analogií polohoého ektor a harakterizje poloh bodoé dálosti M zhledem k sostaě S Pohybje-li se částie E 3 po nějaké reálné trajektorii, pohybje se bod (bodoá dálost) odpoídajíí této částii M po tz sětočáře Sětočáro částie, která je zhledem k nějaké ineriální sostaě E 3 klid, je M přímka, ronoběžná s časoo oso (iz dále) Čtyřektor ds( d µ ) elementárního posntí o složkáh d d, d dy, d3 dz, d idt harakterizje (elementární, nekonečně malo) změn polohy bodoé dálosti při jejím (elementárním) posntí po sětočáře M (zhledem k sostaě S ) 3 ČTYŘVEKTOR RYCHLOSTI, VLASTNÍ ČAS Ryhlost částie M získáme jako prní deriai čtyřektor elementárního posntí ds d µ částie sostaě S podle inariant, který je relatiistiko analogií ( ) ( absoltního ) čas nerelatiistiké fyzie V nerelatiistiké kinematie je čas t (i jeho nekonečně malá změna dt ) inariantem (GALILEIHO transformae) Deriaí liboolného tenzor podle inariant se řád tenzor nemění deriaí polohoého ektor podle čas nerelatiistiké kinematie je tedy (opět) ektor (okamžité) ryhlosti o složkáh d d i,, 3 t ( ) V relatiistiké kinematie ztratil čas lastnost inariane a i jeho nekonečně malá změna d t je nyní poze jedno ze (čtyř) složek čtyřektor posntí Deriae podle čas je tedy deriaí podle sořadnie a proto při ní dohází ke zýšení řád derioaného i )

Základy speiální teorie relatiity - 3 - tenzor o jednotk K tom, aby bylo možno definoat eličin (čtyřryhlost), která by limitním přehod do nerelatiistiké mehaniky ( β ) přešla e ektor ryhlosti, je proto ntno pro derioání zkonstroat (skalární) inariant, který má rozměr čas Tyto požadaky splňje ýraz d τ definoaný ztahem τ, (3) d d d µ µ který je zhledem k platnosti (8) inariantem LORENTZOVY transformae Že tom tak je a že takto definoaná eličina dτ má rozměr čas, se můžeme přesědčit jejím yjádřením e lastní sostaě částie tj sostaě S, níž je tato částie klid Ve sé lastní sostaě, níž má částie stálo poloh ( d d d ) 3 tomtéž místě z hlediska E 3, je jejím posntím M (po sětočáře ronoběžné s oso ) čtyřektor d (,,,idt Pro ýraz dτ tedy dostááme µ ) Z tohoto ýsledk je patrné, že dτ d d idt idt dt µ µ dτ dt je stále na Inariant dτ má ýznam časoého interal, měřeného hodinami peně spojenými s ažoano částií τ je proto tz lastní čas částie (čas e lastní sostaě částie sostaě, níž je částie klid) Najděme nyní ztah mezi inariantem dτ a časoým interalem d t, měřeným hodinami spojenými s klidno ineriální sostao S, ůči níž se částie pohybje ryhlostí (, y, z) ; d dt, y Čtyřektor ds( d µ ) posntí částie sostaě S má obeně šehny složky různé od nly Je tedy dτ d µ dµ ( d) + ( dy) + ( dz) ( dt) d dy dz + y + z dt dt + + dt dt dt dτ dt, () ož je naprostém solad s dilataí čas pohybjíí se sostaě, registroano pozoroatelem spojeným s klidno sostao S Pomoí čtyřektor posntí ds( d µ ) a inariant dτ yjádřeného ztahem () již můžeme definoat čtyřektor ryhlosti neboli čtyřryhlost µ µ částie jako d µ µ ;,,3, dτ µ (5)

- - Základy speiální teorie relatiity Čtyři složky čtyřektor µ ryhlosti M získáme jako deriae složek d,d,d,i y z dt čtyřektor d µ posntí podle inariant dτ () Dostááme d d d ; ; dτ dt dt i dt dt y z i ; ; 3 ; ; (6), y, z jso složky ryhlosti E 3 jso to složky tříektor sostaě S Velikost čtyřryhlosti je konstantní, neboť µ µ + + y z ( ) µ µ (7) To šak znamená, že elikost čtyřektor µ ryhlosti je inariantem LORENTZOVY transformae Tento ýsledek můžeme zobenit a říi, že (jak dále idíme i dalšíh čtyřektorů) Velikost liboolného čtyřektor je inariantem LORENTZOVY transformae Tato sktečnost má zajímao analogii se sitaí E 3, němž se při otočení sostay sořadni elikost ektorů zahoáá Deriaí ýraz (7) podle dτ obdržíme důležitý ztah (iz dále) d ( ) dτ d µ dτ µ µ µ d µ µ Podobně jako čtyřryhlost byhom mohli definoat čtyřzryhlení w µ ztahem dτ (8) dµ dµ w µ (9) dτ dt

Základy speiální teorie relatiity - 5 - RELATIVITA UDÁLOSTÍ NÁSLEDNÉ A KVAZISOUČASNÉ UDÁLOSTI, GEOMETRICKÉ ZNÁZORNĚNÍ MINKOWSKÉHO PROSTOROČASU, RELATIVNOST SOUČASNOSTI, PRINCIP KAUZALITY, MAXIMÁLNÍ RYCHLOST SIGNÁLU 3 BODOVÉ UDÁLOSTI Bod o sořadniíh ( yz,,,it) nazýáme bodoo dálostí e čtyřrozměrném MINKOWSKÉHO prostoročase M Prostoročasoý interal s mezi děma bodoými dálostmi a o sořadniíh (, y, z,it ), (, y, z,it ) je definoán ztahem ( ) ( ) ( ) ( ) s + y y + z z t t, který je inariantem LORENTZOVY transformae 3 NÁSLEDNÉ UDÁLOSTI A t A, B [ B ;;;it B] Prostoročasoý interal mezi dálostmi A, B je pak podle předhozího možno yjádřit jako Uažjme dě bodoé dálosti A, B, popsané sořadniemi A [ ;;;i ] t A A t Obr 3 A ( ) ( ) AB B A B A s t t (3) Předstame si, že bodě o sořadniíh [ A;;] sostaě S, je pozoroatel ( A ), který pomoí pátraíh fotonů zkomá dění bodě o sořadniíh [ B ;;] Dále předpokládejme, že dálostí B může být třeba změna zhled (např bary) bod [ ;;] B okamžik t B (obr 3) Aby pozoroatel ( ) A zaregistroal dálost B, proběhnší bodě [ B ;;] okamžik t, msí B jeho prní pátraí foton, yslaný okamžik t A (dálost A ), razit zdálenost B A a odrazit se od bod [ B ;;] před dálostí B tomto bodě tj před okamžikem t B Poze tomto případě přinese tento (prní) odražený foton A informai o půodním zhled bod [ B ;;] Informai o změně pozoroateli ( ) B B t t B ] okamžik B zhled bod [ A ;; t pak přineso tepre další, pozoroatelem ( A ) po okamžik t A yslané, od bod [ B ;;] odražené a k pozoroateli ( A ) se rátiší pátraí fotony Proběhne-li pátrání pozoroatele ( A ) práě popsaným způsobem, může tento pozoroatel říi, že dálost A nastala dříe než dálost B Následnost bodoé dálosti B po bodoé dálosti A je tedy možno yjádřit podmínko ( ) t t > A (3) B A B

- 6 - Základy speiální teorie relatiity A t ta t B;; Zela analogiko úaho (obr 3) byhom dospěli k záěr, že následnost bodoé dálosti A po bodoé dálosti B je možno yjádřit podmínko t t > (33) Přemístěme nyní pozoroatele do bod [ ] ( ) A B B A Obr 3 Uplatníme-li neronosti (3) a (33) e yjádření (3) prostoročasoého interal dálostí A a B, dostaneme B tb ( ) ( ) AB B A B A s t t < (3) A B Událostem A a B, jejihž prostoročasoý interal je imaginární ( s AB < ), říkáme dálosti NÁSLEDNÉ Speiální LORENTZOVA transformae pro prostoroo sořadnii délkoý interal A má tar B B A ( ) t t B A B A Jso-li A, B následné dálosti, je možno ztahy (3) a (33) spojit do jediné neronie B A e tar < t t B A Zolme jako ineriální sosta S práě t, která se ůči klidné ineriální sostaě S t t Dosadíme-li za do LT, dostááme pohybje ryhlostí ( ) ( ) B A B A + B A B A B A A B Jso-li dálosti A a B klidné ineriální sostaě S následné ( s AB < ), lze ždy najít (jedino) pohyblio ineriální sosta S, níž tyto dálosti proběhno tomtéž bodě (jso této sostaě SOUMÍSTNÉ) Vzhledem k tom, že (poze této) sostaě platí B AB B A B A prostoročasoý interal ( ) ( s i( t t ) i τ Proto říkáme, že AB B A A, redkje se sostaě S s t t ) dálostí A, B na ýraz Prostoročasoé interaly následnýh dálostí jso ČASUPODOBNÉ

3 KVAZISOUČASNÉ UDÁLOSTI Základy speiální teorie relatiity - 7 - Všimněme si nyní případ, kdy prní pátraí foton, yslaný pozoroatelem bodě [ A,,] ( sostaě S ) okamžik t A, dorazí do bod [ B,,] později, než okamžik t B Pozoroatel bodě [ A,,] se tedy důsledk konečné ryhlosti foton nemůže o dálosti (změně) B bodě [ B,,] doědět a tím spíše proto nemůže rozhodnot o nějaké následnosti dálostí A, B Tato sitae je ronoenná platnosti neronosti B A B A ( > t t ) (35) Důsledkem této neronosti je reálnost prostoročasoého interal dálostí A, B ( ) ( ) AB B A B A s t t > (36) Speiální LORENTZOVA transformae pro časoo sořadnii časoý interal t B t A má tar tb ta ( B A) t B t A Zkomejme ýraz ( B A) ( ) t t B A Ze ztah (35) plyne ( B A) ( ) t t B A < Zolme jako S práě t ineriální sosta, která se ůči S pohybje ryhlostí ( tb ta) ( B A) Dosadíme-li za do LORENTZOVY transformae, dostááme tb ta tb + ta t B t A t B t A V (jediné) sostaě S tedy ažoané dálosti A, B, pro jejihž sořadnie sostaě S platí neronie (35), proběhno sočasně Všimněme si ještě jedno neronie (35), která má tar tb ta < ( B A) Vyjdeme-li opět z obr 3, můžeme říi, že praá strana tohoto ýraz je (konečné) kladné číslo Hodnoty rozdíl tb t A tedy obeně moho být jak čísla kladná, tak i záporná Tento sta ošem znamená, že pojmy jako dříe nebo později jso pro ažoané dálosti A, B ireleantní (nepatřičné), neboť některýh ineriálníh sostaáh je následnost A před B ( t B t A t t < > ), jinýh pak následnost B před A ( B A ) Nelze tedy obeně říi, která z obo dálostí nastala dříe

- 8 - Základy speiální teorie relatiity Proto tedy s >, Událostem A a B, jejihž prostoročasoý interal je reálný ( AB ) říkáme dálosti KVAZISOUČASNÉ Jso-li dálosti A a B kazisočasné, lze najít (jedino) ineriální sosta S, níž tyto dálosti proběhno tomtéž okamžik (jso této sostaě sočasné) V této sostaě S platí t t B A a prostoročasoý interal s AB ( B A ) ( t B t A ) dálostí A a B má tar s AB B A Proto říkáme, že prostoročasoé interaly následnýh dálostí jso PROSTORUPODOBNÉ Ve speiální teorii relatiity se tedy dojie dálostí dělí podle sého ztah k následnosti čase na následné a kazisočasné Toto rozdělení nezáisí na olbě ineriální sostay, neboť prostoročasoé interaly těhto dálostí jso inarianty LORENTZOVY transformae Prostoročasoý interal mezi dálostmi, které se týkají téže částie s nenloo klidoo hmotností (iz dále), je ždy časpodobný ( s < ), neboť dráha částie je ždy menší než dráha sětla za tentýž časoý interal Události, týkajíí se téže částie, jso tedy ždy následné 33 GEOMETRICKÉ ZNÁZORNĚNÍ MINKOWSKÉHO PROSTOROČASU V MINKOWSKÉHO sořadnioém systém eistje zhledem ke čtyřem sořadnioým osám elkem šest sořadnioýh ploh Plohy, 3, 3 mají lastnosti eklidoskýh roin sořadnie jso reálné a platí zde PYTHAGOROVA ěta Sořadnioé plohy,, 3 lastnosti eklidoskýh roin nemají l t D absoltně zdálené Obr 33 A absoltně bdoí absoltně minlé t l t Β absoltně zdálené C l Vzhledem k tom, že nejčastěji požíáme speiální LORENTZOVU transformai pro i, můžeme drho a třetí (prostoroo) sořadnioo os ynehat a jedino zbylo sořadnioo ploh zobrazit jako roin s praoúhlo sostao sořadni, (obr 33) Nesmíme šak zapomenot, že MINKOWSKÉHO sořadnioá ploha není eklidoská prostoročasoo zdálenost do bodoýh dálostí nemůžeme na obr 33 měřit praítkem! Počátkem praoúhlé sostay sořadni je ždy nějaká (liboolně zolená) bodoá dálost o sořadniíh l t Přímky AB a CD jso sětočárami do fotonů ( m iz dále), které se (e ak) pohybjí opačnýh směreh po ose a okamžik t se oba naházejí počátk

Základy speiální teorie relatiity - 9 - Sětočáry šeh obyčejnýh části ( m < iz dále), naházejííh se okamžik t počátk, yplňjí tmaý sektor sořadnioé roiny Prostoročasoý interal mezi kterokoli bodoo dálostí z těhto tmašíh oblastí a dálostí počátk je ždy imaginární s < ( l < t ), ož znamená, že interaly mezi těmito dálostmi jso časpodobné a tyto dálosti samy následné Ke kterékoli dálosti z těhto tmašíh oblastí lze tedy najít sosta S, níž tyto dálosti proběhno tomtéž bodě Naopak nelze najít ineriální sosta S, níž by tyto dálosti proběhly tomtéž okamžik Pro dálosti z tmaší oblasti nad odorono oso je t >, takže tyto dálosti proběhno až po dálosti počátk tmaší oblast DB (nad) odorono oso předstaje tedy dálosti absoltně bdoí zhledem k dálosti počátk Tmaší oblast AC pod odorono oso předstaje naopak zhledem k dálosti počátk dálosti absoltně minlé Interal mezi liboolno dálostí ze sětlýh oblastí AD a CB na obr 33 a dálostí počátk je ždy prostorpodobný s > ( l > t ) a tyto dálosti jso proto kazisočasné Dají se tedy najít ineriální sostay, nihž tyto dálosti a dálost počátk proběhno s různo následností i ineriální sostaa, níž tyto dálosti proběhno témže okamžik Proto jso pojmy jako sočasně, dříe, později, bdonost, minlost e ztah těhto dálostí a dálosti počátk poze relatiní V žádné ineriální sostaě šak nemoho tyto dálosti proběhnot tomtéž místě jako dálost počátk Proto se sětlé oblasti AD a CB nazýají oblastmi dálostí absoltně zdálenýh od dálosti počátk Dorozměrné zobrazení na obr 33 můžeme (myšlenkoě) přenést i do kompletního prostor M, němž je časoá osa imaginární Pohyb sětelného signál yházejíího z rčitého bod (bodoé dálosti) odpoídá M sětelný kžel hyperkželoá ploha, rozděljíí prostoročas na oblasti absoltní minlosti a absoltní bdonosti a na oblast dálostí absoltně zdálenýh to še zhledem k dálosti počátk e rhol sětelného kžele 3 RELATIVNOST SOUČASNOSTI Disktjme nyní podrobněji pojem sočasnosti do dálostí z hlediska STR Zkomejme opět dě bodoé dálosti A,B, které jso klidné ineriální sostaě S rčeny prostoročasoými sořadniemi A ( A,,, ta), B ( B,,, tb) Z LORENTZOVY transformae čas (S se ůči S pohybje ryhlostí konst, i ) plyne ( ) β, γ β > tb ta ( B A) t B t A t B t A γ tb ta ( B ) A (37) Nehť t B t A dálosti A a B nastaly podle údaje hodin sostaě S sočasně jso tedy kazisočasné a platí tedy

- 3 - Základy speiální teorie relatiity ( t B t A γ B ) A (38) Ze ztah (38) je patrné, že pozoroateli sostaě S se dálosti A,B nejeí sočasné ( t t ), je-li B A ( ra rb) B A Tak např pro B > A ze ztah (38) yhází t B < t A, ož znamená, že dálost bodě B nastala podle hodin sostaě S dříe, než dálost A Je roněž zřejmé, že sostaě S, pohybjíí se ůči S ryhlostí i platí opak, tj t > t Všimněme si nyní důležitého důsledk LORENTZOVY transformae prostoroé sořadnie ( ) B A tb ta B A t B ta B A γ( ) (39) B A B A Z tohoto ztah je patrné, že rozdíl prostoroýh sořadni naših dálostí A,B má e šeh ineriálníh sostaáh totéž znaménko Dále idíme, že (prostoroá) zdálenost míst, nihž nastaly dálosti A,B, je nejmenší práě pro pozoroatele sostaě S, neboť pro je γ> Spojíme-li ztah (38) se ztahem (39), dostaneme (pro < ) B A ( B A) ( B A) B A B A t t γ γ t t < t t < r r, (3) B A B A neboť B A r B r A To znamená, že signál, který by byl yslán z místa a okamžik té dálosti, která je dané ineriální sostaě dříější, a měl by dospět do místa drhé dálosti čas (tj ne později, než tato drhá dálost nastane), by msel postpoat ryhleji než sětlo (e ak) Vztah (3) také říká, že jso-li dě (kazisočasné) dálosti A, B některé ineriální sostaě S sočasné, pak žádné ineriální sostaě S nemůže být jejih časoý rozdíl ětší než doba, ktero potřebje sětlo, aby dospělo z místa jedné dálosti do místa drhé dálosti Spráné je i obráené trzení: Platí-li nějaké ineriální sostaě S mezi prostoroými sořadniemi a okamžiky do dálostí A a B neronost t B ta < rb ra, lze nalézt ineriální sosta S, níž se tyto dálosti jeí jako sočasné ( tb ta) Stejně tak lze nalézt ineriální sosta S, níž dálosti A a B proběhno obráeném pořadí než sostaě S Podobnými úahami byhom dospěli roněž k dalším důležitém trzení Platí-li ineriální sostaě S mezi sořadniemi a okamžiky do následnýh dálostí C a D neronost t t r r, je jejih D C D C časoé pořadí stejné e šeh ineriálníh sostaáh

Základy speiální teorie relatiity - 3-35 PRINCIP KAUZALITY, MAXIMÁLNÍ RYCHLOST SIGNÁLU Sočasnost do (nebo íe) dálostí je NEWTONOVĚ mehanie pojem absoltní Je to lastnost těmito dálostmi úplně rčená a na ničem jiném nezáislá Hodiny, měříí čas liboolné sostaě, jso jedno proždy spojeny s absoltním prostorem (později s klidným éterem ) Ve speiální teorii relatiity je sitae jiná Podle EINSTEINOVA prinip relatiity jso šehny ineriální sostay fyzikálně zela ronoenné O žádné z nih proto nelze trdit, že její hodiny jdo spráněji než hodiny spojené s jino sostao Proto msíme sočasnost dálostí zjištěno měřením sostaě S pokládat za stejně pradio, sktečno a objektiní, jako jejih nesočasnost sostaě S nebo S Ve speiální teorii relatiity je tedy i sočasnost dálostí pojmem relatiním Tento (e sé době reolční a nepohopitelný) důsledek speiální teorie relatiity pobořil ědeko eřejnost a s elkým odporem se setkal zláště některýh filozofů Vyolal také skepsi i řady renomoanýh fyziků Všimněme si proto pojm relatinosti sočasnosti ještě poněkd podrobněji Je jasné, že ztahy ta tb; t A > t B; t A < t B neodporjí matematiké logie, neboť to jso ztahy mezi údaji různýh hodin, i když se e šeh třeh případeh týkají téže dojie dálostí A,B Není šak již tak zřejmé, zda logiká ronoennost těhto ztahů neodporje jiným, obeně znáaným fyzikálním prinipům Jedním z těhto prinipů je tz prinip kazality (příčinnosti) Tento prinip má přímý ztah k časoém sled dálostí a yžadje, aby následek nemohl nikdy nastat dříe než jeho příčina I bez tohoto prinip byhom např pokládali za protismyslné, kdyby signál dorazil do místa sého rčení dříe, než by byl yslán r r V naših předhozíh úaháh o dojii (kazisočasnýh) dálostí A, B ( ) byhom se sktečně dostali do rozpor s prinipem kazality, kdybyhom jedn z těhto dálostí poažoali apriorně za příčin a drho za následek Z hlediska jednoho z pozoroatelů ineriálníh sostaáh S a S, které jso ronoenné s ineriální sostao S, by pak sktečně doházelo k nepřípstném obráení časoého sled obo ažoanýh dálostí Aby k tomto rozpor nedošlo je ntné a stačí, aby byla prinipiálně yločena možnost přímé příčinné soislosti do kazisočasnýh dálostí, jejihž sořadnie a časy splňjí neronost (3) Jako příčina a následek spol moho soiset poze následné dálosti (typ C, D ), jejihž prostoroé a časoé sořadnie splňjí e šeh ineriálníh sostaáh neronost t t r r D C D C A B Aby byla znemožněna příčinná soislost kazisočasnýh dálostí je ntné a stačí, aby jakékoli liy, působení nebo implsy nebylo možno přenášet ryhlostí ětší, než je ryhlost sětla e ak Vzájemné působení (interake) mezi materiálními objekty může probíhat poze ryhlostí, jejíž elikost není ětší, než ryhlost sětla e ak ( )

- 3 - Základy speiální teorie relatiity Takoá je tedy obená (prinipiální) ntná a postačjíí podmínka, při níž se EINSTEINOVA speiální teorii relatiity snáší s prinipem kazality Praktiky to znamená, že např nemoho eistoat newtonoské síly, působíí okamžitě na jakokoli zdálenost Nemůže tedy přesně platit ani NEWTONŮV graitační zákon a nemoho eistoat (ideálně) thá tělesa Shrntí Událostem typ A, B, splňjíím podmínk t t < r r B A B A říkáme kazisočasné, neboť lze najít ineriální sosta, níž jso ( přesně ) sočasné Jakékoli dě kazisočasné dálosti spol nemoho příčinně soiset, moho šak být (obě dě) následkem jedné a téže třetí dálosti Časoé pořadí následnýh dálostí typ C, D, splňjííh podmínk t t r r, D C je absoltní (stejné e šeh ineriálníh sostaáh) Platí-li pro tyto dálosti naí také podmínka t < t C D, je D ůči C dálostí absoltně bdoí a C ůči D dálostí absoltně minlo Následné dálosti typ C, D tedy splňjí prinip kazality jedna z nih proto může být příčino a drhá následkem Konstantní ryhlost sětla e ak (půodně jen ryhlost sětla ůči klidném éter ) má hlboký fyzikální ýznam Všehny dosaadní zkšenosti sědčí o tom, že je to maimální možná ryhlost přenos signál a interake a proto harakterizje základní lastnosti nejen eškeré hmoty, ale také prostor a čas Proto se ryhlosti sětla e ak říká FUNDAMENTÁLNÍ ryhlost D C,

Základy speiální teorie relatiity - 33 - RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA INVARIANCE FYZIKÁLNÍCH ZÁKONŮ, KOVARIANTNÍ ROVNICE, POHYBOVÁ ROVNICE ČÁSTICE, MINKOWSKÉHO SÍLA, RELATIVISTICKÁ A KLIDOVÁ HMOTNOST, KLIDOVÁ A CELKOVÁ ENERGIE, TRANSFORMACE SÍLY, NEMECHANICKÉ PROCESY INVARIANCE FYZIKÁLNÍCH ZÁKONŮ Podle speiální teorie relatiity jso šehny ineriální ztažné sostay ekialentní pro popis fyzikálníh dějů Zákony popisjíí tyto děje tedy msí mít e šeh ineriálníh sostaáh stejný matematiký tar msí být inariantní ůči LT Všimněme si nejdříe obeně, o znamená požadaek inariane fyzikálního zákona ůči (nějaké) transformai sořadni Předpokládejme nejpre, že rčitý fyzikální zákon je popsán skalární ronií a b Obě strany ronie jso skaláry a tedy inarianty proto Zákon yjádřený skalární ronií je ždy inariantní ůči (jakékoli) transformai Má-li matematiké yjádření fyzikálního zákona tar ektoroé ronie A B Ai B, () i je sitae složitější, neboť při transformai (např otočení E 3 ) se mění složky obo ektorů na hodnoty A, B ( i,, 3) Protože šak ýraz () yjadřje ronost do i i ektorů, a protože se složky ektorů při dané transformai transformjí podle stejného zákona, zůstane ronost ektorů A a B zahoána i noé sostaě A B A B zákon popsaný ektoroo ronií je roněž inariantem dané i transformae i Inariane fyzikálního zákona je tedy zajištěna případě, že obě strany (zákon yjadřjíí) ronie se transformjí stejným způsobem jako ektory, nebo obeněji jako TENZORY STEJNÉHO ŘÁDU Ronii, jejímiž stranami jso tenzory stejného řád, nazýáme koariantní Fyzikální zákon je inariantní, je-li jeho matematikým yjádřením koariantní ronie Klasiká NEWTONOVA pohyboá ronie částie, která má tar d p F dt, není z hlediska speiální teorie relatiity koariantní, neboť jejími stranami jso tenzory různýh řádů Je tom tak proto, že čas podle NEWTONA inariant není e speiální