Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní druhy: a) Disrétní náhodné veličiny, teré nabývají onečně resp spočetně mnoha hodnot b) Spojité náhodné veličiny, teré mohou nabývat libovolných hodnot z určitého (onečného popř neonečného) intervalu Přílady: - počet členů dané domácnosti - počet záazníů ve frontě - počet pousů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - vě člověa Disrétní náhodná veličina Disrétní náhodná veličina je určena za dvou předpoladů: (i) je dán obor hodnot, terých nabývá, (ii) je dána p-st výsytu těchto hodnot Záon rozdělení p-sti Funce p ( ), terá aždé hodnotě náhodné veličiny ξ přiřazuje příslušnou p-st p ( ) se nazývá záon rozdělení (p-stní funce, frevenční funce) náhodné veličiny ξ Píšeme p ( ) = P( ξ = ) Distribuční funce Funce F( ), terá aždému reálnému (, + ) přiřazuje p-st toho, že ξ < se nazývá distribuční funce náhodné veličiny ξ Píšeme F( ) = P( ξ < )
Přílad: Nechť náhodnou veličinou ξ je počet padlých líců při hodu třemi mincemi Záon rozdělení p-sti je dán tabulou Nareslete graf záona rozdělení p-sti a graf distribuční funce 0 p ( ) p( ) F ( ) 7 0 Pravděpodobnostní funce 4 0 Distribuční funce Vlastnosti distribuční funce (i) 0 F( ) (ii) F( ) = p( i ) i < (iii) Pa ( ξ < b) = Fb ( ) Fa ( ) pro a< b (iv) F je nelesající (v) F( ) = 0, F( + ) = (vi) F je spojitá zleva v bodech i a oboustranně spojitá jinde
Číselné charateristiy disrétní náhodné veličiny Počáteční momenty Počátečním momentem -tého řádu náhodné veličiny ξ rozumíme hodnotu danou vztahem μ( ξ ) = i p ( i ) i Speciálně μ ( ) ξ se nazývá střední hodnota náhodné veličiny ξ Je to hodnota, olem níž hodnoty náhodné veličiny při opaování pousu olísají Označení E( ξ ) nebo taé μ Centrální momenty Centrálním momentem -tého řádu náhodné veličiny ξ rozumíme hodnotu danou vztahem ν ( ξ) = ( i μ) p ( i ) i Speciálně ν ( ) ξ se nazývá disperze (rozptyl) náhodné veličiny ξ Je to míra rozptýlení náhodné veličiny ξ olem střední hodnoty při opaování pousu Označení D( ξ ) nebo taé σ Další užívanou charateristiou je standardní (směrodatná) odchyla σ = D( ξ) Mezi počátečními a centrálními momenty platí vztahy: ν = 0 ν = μ μ ν = μ μ μ + μ 4 ν4 = μ4 4μμ+ 6μμ μ Centrální normované momenty Centrálním normovaným momentem -tého řádu náhodné veličiny ξ rozumíme hodnotu danou vztahem ν ( ξ ) ν ( ξ ) = σ Speciálně A = ν ( ξ ) se nazývá oeficient asymetrie a e = ν ( ξ ) 4 se nazývá oeficient ecesu (špičatosti)
Přílad: Určete střední hodnotu, disperzi, standardní odchylu, oeficient asymetrie a oeficient ecesu náhodné veličiny ξ vyjadřující počet padlých líců při hodu třemi mincemi 4 p ( ) p ( ) p ( ) p ( ) p ( ) 0 0,5 0,000 0,000 0,000 0,000 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,750,500,000 6,000 0,5 0,75,5,75 0,5 sumy,000,500,000 6,750 6,500 Z posledního řádu tabuly máme μ =,5 μ = μ = 6, 75 μ4 = 6,5 S použitím výše uvedených vzorců vypočteme centrální momenty ν =,5 = 0,75 ν = 6, 75, 5 +, 5 = 0 4 ν 4 = 6,5 4 6,75,5 + 6,5,5 =,5 Tedy: střední hodnota E( ξ ) = μ =,5 disperze D( ξ ) = ν( ξ) = 0,75 standardní odchyla σ = D( ξ) = 0, 75 = 0,660 0 oeficient asymetrie A = ν( ξ) = = 0 0,660,5 oeficient ecesu e = ν 4 = =, = 0, 6667 4 ( 0,75)
Něterá rozdělení disrétní náhodné veličiny Alternativní rozdělení A( p ) - má náhodná veličina s pravděpodobnostní funcí p pro = p ( ) = p pro = 0 Obor hodnot {0,}, charateristiy E( ξ ) = p, D( ξ ) = p Rovnoměrné rozdělení R( n ) -má náhodná veličina s pravděpodobnostní funcí p ( ) =, de n je počet možných hodnot n Binomicé rozdělení Bi( np, ) - má náhodná veličina s pravděpodobnostní funcí n n p ( ) = p( p) 0,,,, n, charateristiy E( ξ ) = np, D( ξ ) = np( p) Obor hodnot { } Nechť výsledem nějaého pousu je jev A, pravděpodobnost nastoupení jevu je PA ( ) = p Binomicá náhodná veličina udává počet nastoupení jevu A v n nezávislých pousech Hypergeometricé rozdělení H ( N, M, n ) - má náhodná veličina s pravděpodobnostní funcí M N M n p ( ) =, N n de N je počet prvů záladního souboru; M je počet prvů v záladním souboru, teré mají požadovanou vlastnost; n je počet pousů a je počet vybraných prvů, teré mají zoumanou vlastnost ma 0, M N + n min n, M, Obor hodnot { } { } M M M N n charateristiy E( ξ) = n, D( ξ) = n N N N N
Poissonovo rozdělení Po( λ ) - má náhodná veličina s pravděpodobnostní funcí p( ) = λ λ e! Obor hodnot { } 0,,,, charateristiy E( ξ ) = D( ξ) = λ Poissonovsá náhodná veličina udává počet výsytů nějaého jevu v daném jednotovém úseu (časovém, délovém, plošném apod), přičemž výsyty jsou na sobě nezávislé, současně nenastane dva a více jevů a p-st výsytu jevů v daném dostatečně malém dílčím úseu je přímo úměrná veliosti tohoto úseu a je v celém jednotovém úseu stejná
Spojitá náhodná veličina Pro spojitou náhodnou veličinu nemá smysl definovat pojem p-stní funce stejným způsobem jao v případě disrétní náhodné veličiny, protože P( ξ = ) = 0 Zavedeme jinou funci, terou nazveme hustotou p-ti Definujme, stejně jao v disrétním případě, pojem distribuční funce F( ) = P( ξ < ) ta, aby byla zachována vlastnost (iii) Pa ( ξ < b) = Fb ( ) Fa ( ) pro a < b Tuto vlastnost můžeme zapsat jao P ( ξ < + h) = F ( + h) F ( ) Odtud P ( ξ < + h) F ( + h) F ( ) = h h P ( ξ < + h) F ( + h) F ( ) lim = lim = f ( ) h 0 h h 0 h Funci f ( ) nazýváme hustotou p-ti náhodné veličiny ξ Je zřejmé, že poslední limita je definicí derivace funce F( ), tedy f ( ) = F ( ) a platí Pa ( ξ b) Fb ( ) Fa ( ) f( d < = = ) b a f ( ) F( ) P( a < b) a Funce hustoty b Distribuční funce
Číselné charateristiy spojité náhodné veličiny Počáteční momenty Počátečním momentem -tého řádu náhodné veličiny ξ rozumíme hodnotu danou vztahem μ ( ξ) = f( ) d Speciálně μ ( ) ξ se nazývá střední hodnota náhodné veličiny ξ Je to hodnota, olem níž hodnoty náhodné veličiny při opaování pousu olísají Označení E( ξ ) nebo taé μ Centrální momenty Centrálním momentem -tého řádu náhodné veličiny ξ rozumíme hodnotu danou vztahem ν ( ξ) = ( μ) f( ) d Speciálně ν ( ) ξ se nazývá disperze (rozptyl) náhodné veličiny ξ Je to míra rozptýlení náhodné veličiny ξ olem střední hodnoty při opaování pousu Označení D( ξ ) nebo taé σ Další užívanou charateristiou je standardní (směrodatná) odchyla σ = D( ξ) Mezi počátečními a centrálními momenty platí vztahy: ν = 0 ν = μ μ ν = μ μ μ + μ 4 ν 4 = μ4 4μμ+ 6μμ μ Centrální normované momenty Centrálním normovaným momentem -tého řádu náhodné veličiny ξ rozumíme hodnotu danou vztahem ν ( ξ ) ν ( ξ ) = σ Speciálně A = ν ( ξ ) se nazývá oeficient asymetrie a e = ν ( ξ ) 4 se nazývá oeficient ecesu (špičatosti)
Něterá rozdělení spojité náhodné veličiny Rovnoměrné rozdělení R( ab, ) -má náhodná veličina s funcí hustoty pro ab, f( ) = b a 0 pro ab, ( ) Charateristiy E( ξ) = a+ b, D( ξ) = b a Graf hustoty pravděpodobnosti: Distribuční funce 0 pro, a ( ) a F = pro a, b b a pro ( b, ) Graf distribuční funce ( ) F ( ) a b
Eponenciální rozdělení E( λ ) -má náhodná veličina s funcí hustoty λe λ pro 0 f( ) = 0 pro < 0 Charateristiy E( ξ) =, D( ξ) = λ λ Graf hustoty pravděpodobnosti: Distribuční funce má tvar λ e pro 0 F( ) = 0 pro < 0 Graf distribuční funce: Toto rozdělení má spojitá náhodná veličina ξ, terá představuje interval čeání na poissonovsý jev resp interval mezi dvěma poissonovsými jevy (např doba čeání na obsluhu, vzdálenost mezi dvěma azy v balíu láty) Závisí na parametru λ, což je převrácená hodnota střední hodnoty doby čeání do nastoupení sledovaného jevu
Normální rozdělení N( μ, σ ) -má náhodná veličina s funcí hustoty ( μ ) = e σ π σ ( ) pro (-,+ ) f Charateristiy E( ξ ) μ, ( ξ) σ = D = Grafem hustoty pravděpodobnosti je tzv Gaussova (Gaussova-Laplaceova, zvonová) řiva: Graf distribuční funce: Normální rozdělení používáme v případě, že náhodná veličina je výsledem působení velého počtu nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů Normálním rozdělením se dají mnohá jiná používaná rozdělení nahradit
Normované normální rozdělení N (0,) Normální rozdělení se střední hodnotou μ = 0 a disperzí σ normované normální rozdělení Hustota p-sti má tvar = se nazývá = e π ( ) pro (-,+ ) ϕ Graf funce hustoty: Graf distribuční funce: Hodnoty funce hustoty a distribuční funce normovaného normálního rozdělení jsou tabelovány Dá se doázat následující věta Věta: Má-li náhodná veličina ξ normální rozdělení ξ μ τ = má rozdělení N (0,) σ N μ σ (, ), náhodná veličina
Přílad: Nechť náhodná veličin ξ má rozdělení N (;0,64) Určete, s jaou p-stí padne do intervalu (5,6) Řešení: Platí 5 ξ 6 P(5 < ξ < 6) = P < < = P(,5 < τ <,75) =Φ(,75) Φ (,5) = 0,64 0,64 0,64 = 0,9999 0,99790 = 0,006 Hodnoty distribuční funce Φ byly nalezeny v tabulách Aproimace binomicého rozdělení Vzhledem obtížnosti výpočtu ombinačních čísel pro velá n používá se často aproimace binomicého rozdělení rozdělením Poissonovým nebo rozdělením normálním Pro p < 0, nebo p>0,7 aproimujeme rozdělení Bi( np, ) rozdělením Po( λ), λ = np, pro p 0,;0, 7 pa rozdělením N( μσ, ), μ= np, σ = np( p)