Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté zobrazení z této množiny na tuto množinu Permutaci vyjadřujeme zápisem 2 3 n π π π2 π3 πn Množina všech permutací množiny {,, n} se značí S n Bud π S n Inverze v permutaci π je dvojice čísel i < j taková, že πi > πj Permutace π se nazývá sudá, je-li počet jejích inverzí sudý, a nazývá se lichá, je-li počet inverzí lichý Znaménko permutace je číslo počet inverzí Značí se sgn π
Determinanty Výpočet determinantu z definice 3 / 8 determinantu Determinantem čtvercové matice A a ij rozumíme reálné číslo sgn π a π a 2π2 a nπn π S n Determinant se značí a det a n a n a nn nebo a a n a n a nn Gerolamo Cardano 50 576 642 708 Seki Kōwa Determinanty Výpočet determinantu z definice 4 / 8 Determinanty malých matic Příklad Mějme matici a V množině S je jediná permutace det a a Příklad Mějme matici a a 2 a 2 a 22 Permutace v S 2 jsou 2 2 a 2 2 a a 2 a 2 a 22 + a a 22 a 2 a 2
Determinanty Výpočet determinantu z definice 5 / 8 Sarrusovo pravidlo Příklad Mějme matici 2 3 2 3, 2 3 3 2 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 2 3 3 2 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 Permutace v S 3 jsou 2 3 2 3, 2 3 2 3, 2 3 3 2, a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 2 a 2 a 33 a a 23 a 32 a 3 a 22 a 3 a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 + + + 798 86 Pierre Frédéric Sarrus Determinanty Výpočet determinantu z definice 6 / 8 Výpočet determinantu Sarrusovým pravidlem Spočtěte determinant matice 5 2 3 6 2 Řešení: 5 2 3 6 2 5 2 2 2 + 5 6 4 + 3 3 [3 2 4 + 6 + 5 3 2] 4 + 20 + 9 [24 6 + 30] 25 48 77
Determinanty Výpočet determinantu pomocí elementárních úprav 7 / 8 Elementární úpravy a determinanty Věta Bud te A a B dvě čtvercové matice Dostaneme-li matici B z matice A prohozením dvou řádků, pak det B 2 Dostaneme-li matici B z matice A vynásobením jednoho řádku číslem r R, pak det B r 3 Dostaneme-li matici B z matice A tím, že přičteme násobek jednoho řádku k jinému řádku, pak det B Věta Mějme čtvercovou matici A a ij stupně n Platí-li a ij 0, kdykoliv i > j, pak a a 22 a nn Determinanty Výpočet determinantu pomocí elementárních úprav 8 / 8 Výpočet determinantu Gaussovou eliminací Důsledek Čtvercová matice A je regulární právě tehdy, když 0 Spočtěte determinant matice Řešení: 5 2 3 6 2 7 0 2 7 77 0 0 7 5 2 3 6 2 0 7 2 0 5 4 7 77 7 7 0 2 7 0 5 4 77
Determinanty Výpočet determinantu pomocí elementárních úprav 9 / 8 Transponovaná matice Bud A a ij matice rozměru m n Matice A T a ji je matice rozměru n m a nazývá se matice transponovaná k matici A Tvrzení Bud A čtvercová matice Pak T Důsledek Jakékoliv pravidlo pro výpočet determinantu, vyslovené vzhledem k řádkům matice, platí i vzhledem ke sloupcům matice Determinanty Výpočet determinantu pomocí elementárních úprav 0 / 8 Rozvoj determinantu podle řádku Bud A a ij čtvercová matice stupně n Algebraickým doplňkem prvku a ij, pro nějaká i, j n, je číslo A ij i+j det M ij, kde M ij je matice stupně n, kterou dostaneme z matice A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce Věta Necht je A čtvercová matice stupně n a i < n Pak a i A i + a i2 A i2 + + a in A in
Determinanty Výpočet determinantu pomocí elementárních úprav / 8 Výpočet determinantů vyššího stupně Spočtěte determinant matice 3 5 2 2 0 3 4 2 0 2 2 Řešení: 3 5 2 4 0 4 2 0 3 4 2 0 2 0 3 2 3 4 2 0 0 +3 2 2 4 2 2 2 2 2 +0 2+3 4 4 4 2 +0 3+3 4 4 2 2 2 3 + 4+3 4 4 2 2 2 3 4 2 Determinanty Výpočet determinantu pomocí elementárních úprav 2 / 8 Výpočet determinantů vyššího stupně 4 4 2 3 4 4 4 2 0 7 0 8 7 + 7 8 7 7 8 7 [ 7 7 8] [9 98] 79
Determinanty Výpočet inverzní matice pomocí determinantu 3 / 8 Adjungovaná matice Věta Necht je A čtvercová matice Pak A A ij T Fakt Mějme matici A A a b Matice A c d se spočte T A A 2 A 2 A 22 T d c b a d b c a Determinanty Výpočet inverzní matice pomocí determinantu 4 / 8 Hledání inverzní matice 2 3 Najděte inverzní matici k matici A 3 2 2 3 Řešení: 0 3 7 2 7 2+ 3 0 3 3 7 3 3 42 A 2 3 7 A 2 3 2 3 7 A 3 3 2 2 7 A 2 3 3 6 A 22 2 3 2 3 2 A 23 2 2 0 A 3 3 2 5 A 32 2 3 3 A 33 2 3 2 7 A 7 7 7 42 6 2 0 5 7 T 7 6 5 42 7 2 7 0 7
Determinanty Použití determinantů k řešení soustav 5 / 8 Cramerovo pravidlo Věta Cramer Mějme soustavu lineárních rovnic a x + a 2 x 2 + + a n x n b a n x + a n2 x 2 + + a nn x n b n, která má jediné řešení x,, x n Pak pro každé i mezi a n platí x i i, kde A je matice a ij a matice A i vznikne z matice A tím, že i-tý sloupec nahradíme sloupcem pravých stran Determinanty Použití determinantů k řešení soustav 6 / 8 Důkaz Cramerova pravidla Gabriel Cramer 704 752 Důkaz Soustavu můžeme přepsat ve tvaru AX B Pak X A B Aij T B Takže pro x i platí x i Ai b + A 2i b 2 + + A ni b n i
Determinanty Použití determinantů k řešení soustav 7 / 8 Použití Cramerova pravidla Pomocí Cramerova pravidla nalezněte řešení soustavy x + 2y 4z 5 3x + y + 2z 3 2x 3y + z Řešení: x 2 4 3 2 2 3 5 2 4 3 2 3 2 4 0 7 0 7 0 0 7 9 7 9 63 70 7 0 7 9 0 8 5 7 9 3 8 5 85 72 3 Determinanty Použití determinantů k řešení soustav 8 / 8 Použití Cramerova pravidla y z 5 4 3 3 2 2 4 2 0 2 0 2 0 0 9 9 9 9 9 2 0 8 2 5 3 3 2 4 2 3 0 7 2 7 2 0 7 9 7 9 7 9 + 2 2 x x 3 7 y y 8 7 z z 3