STATIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ I

VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta stavební, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Ivan Kološ, Martin Krejsa, Stanislav Pospíšil, Oldřich Sucharda STATIKA STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ I Vzdělávací pomůcka Ostrava 2013

Předmluva Učební pomůcka byla vytvořena v rámci projektu Inovace studijního programu Stavební inženýrství, který zahrnuje tvorbu výukových podkladů. Výukové materiály by měly sloužit jako doplňující studijní zdroj předmětu Statika stavebních konstrukcí I a jsou určeny zejména pro studenty bakalářského studia studijního programu Stavební inženýrství (B3607). Na přípravě těchto studijních podkladů se autorsky podíleli: Ing. Ivan Kološ, Ph.D. (kapitoly 2, 4), doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. (kapitoly 3, 7), doc. Ing. Stanislav Pospíšil, Ph.D. (kapitoly 5, 8, 9) a Ing. Bc. Oldřich Sucharda, Ph.D. (kapitoly 1, 6). V Ostravě 30. 9. 2013 Autoři i

Obsah 1 Přetvoření rovinných prutových konstrukcí řešení s využitím principu virtuálních prací 1 1.1 Příklad 1 rovinný staticky určitý nosník..................... 2 1.1.1 Svislý průhyb volného konce......................... 2 1.1.2 Pootočení volného konce........................... 3 1.2 Příklad 2 rovinný staticky určitý nosník..................... 4 1.3 Příklad 3 rovinný staticky určitý nosník..................... 5 1.4 Příklad 4 rovinný staticky určitý nosník..................... 6 1.4.1 Svislý průhyb volného konce......................... 6 1.4.2 Pootočení volného konce........................... 7 1.5 Příklad 5 rovinný staticky určitý rám....................... 8 1.5.1 Konstantní tuhost celé konstrukce...................... 8 1.5.2 Různá tuhost jednotlivých prutů konstrukce................ 9 1.6 Příklad 6 rovinný staticky určitý rám....................... 10 1.6.1 Svislý posun.................................. 10 1.6.2 Vodorovný posun............................... 11 1.7 Příklad 7 rovinný staticky určitý rám....................... 12 1.8 Příklad 8 rovinný staticky určitý rám....................... 14 1.9 Příklad 9 rovinný staticky určitý rám....................... 15 1.10 Příklad 10 příhradový nosník........................... 17 1.11 Příklad 11 příhradový nosník........................... 19 1.12 Příklad 12 příhradový nosník........................... 21 2 Staticky neurčité konstrukce 24 2.1 Stupeň statické neurčitosti.............................. 24 2.2 Příklad 1........................................ 24 2.3 Příklad 2........................................ 25 2.4 Příklad 3........................................ 25 2.5 Příklad 4........................................ 26 2.6 Příklad 5........................................ 26 2.7 Příklad 6........................................ 27 2.8 Příklad 7........................................ 27 2.9 Příklad 8........................................ 28 3 Silová metoda jednoduchého staticky neurčitého nosníku 29 3.1 Příklad 1........................................ 29 3.1.1 Základní soustava............................... 29 ii

3.1.2 Určení staticky neurčité veličiny....................... 30 3.2 Příklad 2........................................ 31 3.2.1 Určení staticky neurčité veličiny....................... 31 3.3 Příklad 3........................................ 32 3.3.1 Výsledné řešení................................ 33 4 Silová metoda řešení staticky neurčitých rámů při silovém zatížení 34 4.1 Úvodní poznámka................................... 34 4.2 Příklad 1........................................ 34 4.3 Příklad 2........................................ 41 4.4 Příklad 3........................................ 46 4.5 Příklad 4........................................ 51 4.6 Příklad 5........................................ 54 4.7 Příklad 6........................................ 57 4.8 Příklad 7........................................ 61 4.9 Příklad 8........................................ 64 5 Silová metoda řešení jednoduchého pravoúhlého staticky neurčitého uzavřeného rámu 67 5.1 Příklad 1........................................ 67 5.2 Příklad 2........................................ 71 5.3 Příklad 3........................................ 74 6 Řešení staticky neurčitých příhradových konstrukcí 79 6.1 Příklad 1........................................ 79 6.2 Příklad 2........................................ 83 6.3 Příklad 3........................................ 86 7 Rošty řešení silovou metodou 88 7.1 Příklad 1........................................ 88 7.1.1 Základní soustava............................... 88 7.1.2 Řešení soustavy rovnic a určení staticky neurčitých veličin........ 89 7.1.3 Výpočet reakcí a průběhy vnitřních sil................... 93 7.2 Příklad 2........................................ 94 7.2.1 Základní soustava............................... 94 7.2.2 Určení staticky neurčité veličiny....................... 94 7.2.3 Průběhy vnitřních sil............................. 96 7.3 Příklad 3........................................ 98 7.3.1 Základní soustava............................... 98 7.3.2 Určení staticky neurčité veličiny....................... 99 7.3.3 Průběhy vnitřních sil............................. 99 7.4 Příklad 4........................................ 100 7.4.1 Základní soustava............................... 101 7.4.2 Určení staticky neurčitých veličin...................... 103 7.4.3 Průběhy vnitřních sil............................. 104 iii

8 Přetvoření staticky neurčitých konstrukcí 112 8.1 Příklad 1........................................ 112 8.2 Příklad 2........................................ 113 8.3 Příklad 3........................................ 117 9 Řešení spojitého nosníku metodou třímomentových rovnic 119 9.1 Příklad 1........................................ 119 9.2 Příklad 2........................................ 122 9.3 Příklad 3........................................ 124 9.4 Příklad 4........................................ 126 iv

Kapitola 1 Přetvoření rovinných prutových konstrukcí řešení s využitím principu virtuálních prací 1

1.1. PŘÍKLAD 1 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ NOSNÍK 1.1 Příklad 1 rovinný staticky určitý nosník 1.1.1 Svislý průhyb volného konce Určete svislý průhyb na volném konci konzoly, která je zatížena trojúhelníkovým zatížením. Schéma konzoly a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.1 na str. 2. q 1 a b a b l l M 3 2 0 0 l -ql 3 /6l M l -l Obrázek 1.1: Zadání a řešení příkladu Prvním krokem výpočtu je určení průběhu ohybových momentů M od skutečného zatížení. Výpočet pokračuje volbou virtuální veličiny: síly nebo momentu. Virtuální sílu volíme v případě, kdy je neznámým přetvořením posunutí. Virtuální moment použijeme v případě, kdy určujeme pootočení. Velikost virtuální veličiny volíme rovnu 1. Směr volíme dle předpokládaného směru deformace. Následně se určí průběh ohybových momentů M od virtuálního zatížení. Výsledná deformace se vypočte použitím Maxwell-Mohrova vzorce 1.1: δ m = l + 0 l NN EA dx + 0 l 0 Nα t t 0 dx + κ V V GA dx + l 0 l 0 MM dx+ Mα t t 1 h dx r (R rx u r + R rz w r + M r φ r ) (1.1) Normálové a posouvající síly se mohou zanedbat, protože na výslednou deformaci mají u uvedených ohýbaných konstrukcí vliv pouze v řádu procent. Vliv posouvajících sil však nelze obecně prohlásit za zanedbatelný. Vždy je nutné zohlednit konkrétní geometrii konstrukce a zatížení. w a = l 0 MM dx = 1 1 5 ) ( ql3 ( l)l = ql4 6 30 (1.2) 2

1.1. PŘÍKLAD 1 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ NOSNÍK 1.1.2 Pootočení volného konce Určete pootočení na volném konci konzoly, která je zatížena trojúhelníkovým zatížením. Schéma konzoly a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.2 na str. 3. q 1 a b a b l l M 3 2 0 0 l -ql 3 /6l M l -1 Obrázek 1.2: Zadání a řešení příkladu ϕ a = l 0 MM dx = 1 1 4 ) ( ql2 ( l)l = ql3 6 24 Řešení se liší od předešlého příkladu pouze volbou neznámé virtuální veličiny. Při výpočtu pootočení se volí za virtuální veličinu jednotkový moment. (1.3) 3

1.2. PŘÍKLAD 2 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ NOSNÍK 1.2 Příklad 2 rovinný staticky určitý nosník Určete svislý průhyb uprostřed nosníku, který je zatížený osamělou silou, momentem a trojúhelníkovým zatížením. Schéma nosníku a zatížení je uvedeno na obr. 1.3 na str. 4. 012 456 7189 45 182 456 1 9 8 8 0 0 0 0 7 0 8 Obrázek 1.3: Zadání a řešení příkladu U tohoto příkladu je vhodné využít princip superpozice a určit svislou deformaci od jednotlivých složek zatížení. w a,m+q = w a,f = w a = l 0 m i=1 l 0 MM dx = 2 1 MM dx = 2 1 l 0 [ ] 1 2 ( 5)(1)2 = 10 ] [ 1 (8, 66)(1)2 3 MM 10, 00 + 11, 55 dx = = = 11, 55 1, 55 (1.4) (1.5) (1.6) 4

1.3. PŘÍKLAD 3 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ NOSNÍK 1.3 Příklad 3 rovinný staticky určitý nosník Určete svislý průhyb na volném konci konzoly, která je zatížena osamělou silou a spojitým zatížením s konstantním a lineárním průběhem. Schéma nosníku a zatížení je uvedeno na obr. 1.4 na str. 5. q=15 kn/m F=10 kn 1 M g 2 a g=15 kn/m 3 M M F 2 M q M 1 Obrázek 1.4: Zadání a řešení příkladu w a,f = w a,q = w a = w a,g = m i=1 l 0 l 0 l 0 l 0 MM dx = 1 MM dx = 1 MM dx = 1 [ ] 1 3 ( 20)( 2)2 = [ 1 ] ( 6, 67)( 2)2 5 ] [ 1 2 ( 5)( 2)2 = MM 26, 67 + 5, 34 + 10, 00 dx = = 26, 67 5, 34 10, 00 = 42, 01 (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) U rovinného lomeného nosníku je postup výpočtu obdobný jako u spojitých nosníků. Výpočet deformace se rozdělí na jednotlivé pruty, kde se opět násobí příslušné momentové obrazce od skutečného zatížení a virtuální veličiny. 5

1.4. PŘÍKLAD 4 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ NOSNÍK 1.4 Příklad 4 rovinný staticky určitý nosník 1.4.1 Svislý průhyb volného konce Určete svislý průhyb na volném konci konzoly, která je zatížena silou a momentem. Schéma konzoly a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.5 na str. 6. F 1 M a b a b l l -M-F.l -l M -F.l l -M M l l l Obrázek 1.5: Zadání a řešení příkladu w a = l 0 MM dx = 1 [( 12 ) ( (F )(l)(l) 23 ) l + (( M)(l)) ( 12 )] l = F l3 3 + Ml2 2 (1.11) U uvedeného příkladu je vhodné využít princip superpozice a určit svislou deformaci postupně od jednotlivých složek zatížení. 6

1.4. PŘÍKLAD 4 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ NOSNÍK 1.4.2 Pootočení volného konce Určete pootočení na volném konci konzoly, která je zatížena silou a momentem. Schéma konzoly a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.6 na str. 7. F 1 M a b a b l l -M-F.l M -F.l l -M M l -1 l l Obrázek 1.6: Zadání a řešení příkladu ϕ a = l 0 MM dx = 1 [( 12 ) ] (F )(l)(l) ( l) + (( M)(l)) ( 1) = F l2 2 + Ml (1.12) U řešení deformace příkladu je vhodné využít princip superpozice a určit pootočení od jednotlivých složek zatížení. 7

1.5. PŘÍKLAD 5 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM 1.5 Příklad 5 rovinný staticky určitý rám 1.5.1 Konstantní tuhost celé konstrukce Určete svislý průhyb v bodě c na rámové konstrukci. Schéma konstrukce a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.7 na str. 8. M M q=10 kn/m F=10 kn 2 0 1 d b c d b c 3 a a 1 2 Obrázek 1.7: Zadání a řešení příkladu w c = l 0 MM dx = 1 [ ( )] 1 (( 10)( 2)(3)) + 4 ( 20)( 2)(2) = 60 + 20 = 80 (1.13) Postup výpočtu deformace u rovinného rámu je obdobný jako u spojitých nosníků. Výpočet deformace se rozdělí na jednotlivé pruty, kde se opět násobí příslušné momentové obrazce od skutečného zatížení a virtuální veličiny. 8

1.5. PŘÍKLAD 5 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM 1.5.2 Různá tuhost jednotlivých prutů konstrukce Určete svislý průhyb v bodě c na rámové konstrukci. Schéma konstrukce a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.8 na str. 9. M M q =10 kn/m F=10kN 2 0 1 d I b 2I c d b c 3I 3 a a 1 2 Obrázek 1.8: Zadání a řešení příkladu w c = l 0 MM dx = 1 3 [( 10)( 2)(3)] + 1 [ ] 1 2 4 ( 20)( 2)(2) = 20 + 10 = 30 (1.14) V případech, kdy je tuhost jednotlivých prutů na konstrukci rozdílná, je nutné příslušné tuhosti prutů zohlednit ve výpočtu. 9

1.6. PŘÍKLAD 6 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM 1.6 Příklad 6 rovinný staticky určitý rám 1.6.1 Svislý posun Určete svislý průhyb v bodě a na rámové konstrukci. Schéma konstrukce a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.9 na str. 10. M=10 knm F=20 kn w a q=10 kn/m 3 1 2 1 M M Obrázek 1.9: Zadání a řešení příkladu w a = l 0 MM dx = 1 [( 14 ) ] ( 20)( 2)(2) + ((10)(2)(3)) = 20 + 60 = 80 (1.15) 10

1.6. PŘÍKLAD 6 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM 1.6.2 Vodorovný posun Určete vodorovný posun v bodě a na rámové konstrukci. Schéma konstrukce a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.10 na str. 11. M=10 knm F=20 kn u a q=10 kn/m 3 1 2 1 M M Obrázek 1.10: Zadání a řešení příkladu u a = l 0 MM dx = 1 [ ] 1 2 (10)( 3)(3) = 45 (1.16) 11

1.7. PŘÍKLAD 7 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM 1.7 Příklad 7 rovinný staticky určitý rám Určete svislý průhyb v bodě a na rámové konstrukci. Schéma konstrukce a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.11 na str. 12. F=20 kn M M q=10 kn/m M=10 knm w a 1 1 1,5 1,5 1500 1500 3 1 Obrázek 1.11: Zadání a řešení příkladu w a,q1 = w a,f = l 0 w a,m = l 0 MM dx = 1 MM dx = 1 l 0 MM dx = 1 [ ] 1 11, 25 (11, 25)( 1)(3) = 3 ] [ 1 [( 1)(15)(3 + 1, 5)] (6) [ ] 1 3 ( 10)( 1)(3) = 11, 25 = 10, 00 (1.17) (1.18) (1.19) 12

1.7. PŘÍKLAD 7 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM w a,q2 = l 0 MM dx = 1 [( ) ( )] 1 1 3 ( 5)( 1)(3) + 4 ( 5)( 1)(1) = 6, 25 (1.20) w a = m i=1 l 0 MM 11, 25 11, 25 + 10 + 6, 25 dx = 6, 25 = (1.21) 13

1.8. PŘÍKLAD 8 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM 1.8 Příklad 8 rovinný staticky určitý rám Určete vodorovný posun v bodě a na rámové konstrukci. Schéma konstrukce a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.12 na str. 14. u a q=10 kn/m 3 3 3 3 M M Obrázek 1.12: Zadání a řešení příkladu u a = l 0 MM dx = 1 [( ) ( )] 1 1 3 ( 67, 5)( 3) (3 2 + 3 2 ) + 4 ( 45)( 3)(3) = (1.22) = 286, 38 + 101, 25 = 387, 63 (1.23) 14

1.9. PŘÍKLAD 9 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM 1.9 Příklad 9 rovinný staticky určitý rám Určete svislý průhyb v bodě a na rámové konstrukci. Schéma konstrukce a zatížení je uvedeno v levé části na obr. 1.13 na str. 15. 345678 45678 945678 1 2 0 0 Obrázek 1.13: Zadání a řešení příkladu 15

1.9. PŘÍKLAD 9 ROVINNÝ STATICKY URČITÝ RÁM w a,m = w a,g = l 0 w a,q = l w a = 0 l 0 MM dx = 1 MM dx = 1 MM dx = 1 m i=1 l 0 [ ] 1 11, 25 (11, 25)( 1)(3) = 3 ] [ 1 ( 1) [( 20) + (2)( 6, 66)(3)] 6 ) [( 1 3 ( 10)( 1)(1) = 3, 33 + 15, 00 = + 18, 33 ( 1 2 ( 10)( 1)(3) MM 11, 25 16, 665 + 18, 33 dx = (1.24) 16, 67 = (1.25) )] = (1.26) 23, 75 = (1.27) (1.28) 16

1.10. PŘÍKLAD 10 PŘÍHRADOVÝ NOSNÍK 1.10 Příklad 10 příhradový nosník Určete svislý posun uprostřed rozpětí příhradového nosníku. Průřezy jsou tvořeny ocelovým trubkovým profilem s oceli S235 průměru 20 mm, tloušt ka stěny je 2 mm. Modul pružnosti oceli je E = 210 GPa. Schéma příhradového nosníku a zatížení je uvedeno na obr. 1.14 na str. 17. 1,5 2,0 2,0 F 2,0 2,0 F 1,5 15,716 Obrázek 1.14: Schéma konstrukce Schéma zatížení jednotkovou silou je zobrazeno na obr. 1.15 na str. 17. 1 1,5 1,5 2,0 2,0 2,0 2,0 15,716 Obrázek 1.15: Schéma konstrukce zatížení jednotkovou silou U příhradové konstrukce nosníku jsou v případě styčníkového zatížení vnitřní síly pouze normálové. Posouvající síly a ohybové momenty jsou nulové. V tomto případě se opět použije Maxwell-Mohrův vzorec (1.1) pro výpočet deformace, ale použijeme pouze člen, který zahrnuje normálové síly. Protože jsou v důsledku přijatých výpočtových předpokladů (zatížení působí ve styčnících, styčníky jsou považovány na kloubové) normálové síly na prutech po celé jejich délce konstantní, můžeme určitý integrál součinu funkcí normálových sil ze vztahu (1.1) převést v součet součinů příslušných veličin, jak je uvedeno ve výrazu (1.29). Výpočet ve výhodné realizovat v tabulce. 17

1.10. PŘÍKLAD 10 PŘÍHRADOVÝ NOSNÍK Hodnoty normálových sil od skutečného zatížení a pro jednotkovou sílu jsou uvedeny v tab. 1.1 na str. 18. Prut N i [kn] N i [kn] l i [m] N i N i l i 1-30,527-2,667 2,000 162,81 2-30,527-2,667 2,000 162,81 3-23,979-2,667 2,000 127,89 4-22,104-2,667 2,000 117,89 5 0 0 1,500 6 9,823 0 1,500 7-6,548 0 4,000 8-4,093 0 2,500 9 4,063 0 2,500 10-4,093 0 2,500 11-12,278 0 2,500 12-27,722-2,667 2,000 147,85 13-27,722-2,667 2,000 147,85 14-25,847-2,667 2,000 137,85 15-25,847-2,667 2,000 137,85 16 0 0 1,500 17 0 0 1,500 18-13,097 0 4,000 19 8,186 0 2,500 20 8,186 0 2,500 21-8,186 0 2,500 22-8,186 0 2,500 Σ N i N i l i 1142,78 Tabulka 1.1: Normálové síly pro skutečné a jednotkové zatížení Výsledná deformace se dopočte: w = 1 n=21 N i N i l i = i=1 1142, 78 1000 = (1.29) 210000 10 6 176, 715 10 6 = 0, 050946 m = 50, 946 mm (1.30) 18

1.11. PŘÍKLAD 11 PŘÍHRADOVÝ NOSNÍK 1.11 Příklad 11 příhradový nosník Určete svislý posun na spodní pásnici uprostřed rozpětí příhradového nosníku. Průřezy jsou tvořeny ocelovým trubkovým profilem s oceli S235 průměru 20 mm, tloušt ka stěny je 2 mm. Modul pružnosti oceli je E = 210 GPa. Schéma příhradového nosníku a zatížení je uvedeno na obr. 1.16 na str. 19. F F 1,0 1,5 1,5 1,5 1,5 Obrázek 1.16: Schéma konstrukce Schéma zatížení jednotkovou silou je zobrazeno na obr. 1.17 na str. 19. 1,0 1 1,5 1,5 1,5 1,5 Obrázek 1.17: Schéma konstrukce zatížení jednotkovou silou 19

1.11. PŘÍKLAD 11 PŘÍHRADOVÝ NOSNÍK Hodnoty normálových sil od skutečného zatížení a pro jednotkovou sílu jsou uvedeny v tab. 1.2 na str. 20. Prut N i [kn] N i [kn] l i [m] N i N i l i 1-11,250-0,750 1,500 12,66 2 13,520 0,901 1,803 21,97 3-7,500-0,500 1,000 3,75 4 11,250 0,750 1,500 12,66 5 22,530 0,901 1,803 36,62 6-18,750-0,750 1,500 21,09 7-22,500-1,500 1,500 50,63 8-12,500-0,500 1,000 6,25 9-10 0 1,000 10 18,750 0,750 1,500 21,09 11-22,500-1,500 1,500 50,63 12 4,510 0,901 1,803 7,33 13 13,520 0,901 1,803 21,97 Σ N i N i l i 266,64 Tabulka 1.2: Normálové síly pro skutečné a jednotkové zatížení Výsledná deformace se dopočte: w = 1 n=13 N i N i l i = i=1 266, 64 1000 = (1.31) 210000 10 6 176, 715 10 6 = 0, 0112267 m = 11, 2267 mm (1.32) 20

1.12. PŘÍKLAD 12 PŘÍHRADOVÝ NOSNÍK 1.12 Příklad 12 příhradový nosník Určete svislý a vodorovný posun na převislém konci příhradového nosníku. Průřezy jsou tvořeny ocelovým trubkovým profilem z oceli S235 průměru 38 mm, tloušt ka stěny je 4 mm. Modul pružnosti oceli je E = 210 GPa a velikost síly je F = 30 kn. Schéma příhradového nosníku a zatížení je uvedeno na obr. 1.18 na str. 21. F 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Obrázek 1.18: Schéma konstrukce Schéma zatížení jednotkovou silou pro svislý a vodorovný směr je zobrazeno na obr. 1.19 na str. 22. 21

1.12. PŘÍKLAD 12 PŘÍHRADOVÝ NOSNÍK 1 1 Obrázek 1.19: Schéma konstrukce zatížení jednotkovou silou ve svislém a vodorovném směru 22

1.12. PŘÍKLAD 12 PŘÍHRADOVÝ NOSNÍK Hodnoty normálových sil od skutečného zatížení a pro jednotkovou sílu ve svislém a vodorovném směru jsou uvedeny v tab. 1.3 na str. 23. Prut N i [kn] N i, svis. [kn] N i, vod. [kn] l i [m] N i. svis. N i l i N i. vod. N i l i 1 0 0 1,000 1,000 2 60 2,000 3,000 1,000 12 18 3 0 0-1,414 1,414 4-90 -3,000-2,000 1,000 27 18 5 0 0 0 1,000 6 0 0 1,414 1,414 7-90 -3,000-2,000 1,000 27 18 8 60 2,000 1,000 1,000 12 6 9 0 0 0 1,000 10 0 0-1,414 1,414 11 60 2,000 1,000 1,000 12 6 12-90 -3,000 0 1,000 27 13-60 -2,000 1,000 1,000 12-6 14 84,853 2,828 0 1,414 339,36 15-60 -2,000 0 1,000 12 16 60 2,000 0 1,000 12 17-42,426-1,414 0 1,414 84,84 18-30 -1,000 1,000 1,000 3-3 19 0 0 0 1,000 20 42,426 1,414 0 1,414 84,84 21-30 -1,000 1,000 1,000 3-3 Σ N i N i l i 2 099,04 54 Tabulka 1.3: Normálové síly pro skutečné a jednotkové zatížení Výsledná deformace ve svislém a vodorovném směru se dopočte: w = 1 n=21 N i N i l i = i=1 u = 1 n=21 N i N i l i = i=1 2099, 04 1000 = (1.33) 210000 10 6 427, 257 10 6 = 0, 0233944 m = 23, 3944 mm (1.34) 540, 0 1000 = (1.35) 210000 10 6 427, 257 10 6 = 0, 0060184 m = 6, 0184 mm (1.36) 23

Kapitola 2 Staticky neurčité konstrukce 2.1 Stupeň statické neurčitosti Stupeň statické neurčitosti n s prutové soustavy, v níž střednice prutů vytvářejí uzavřené obrazce příhrady (obdélník, čtverec, trojúhelník, lichoběžník, kruh aj.), lze podle [1] vyjádřit např. vztahem n s = 3u p k + (a 3), (2.1) kde u je počet uzavřených příhrad, p k je počet vnitřních kloubových připojení přepočtených na jednoduché vnitřní klouby a a je počet složek reakcí vnějších vazeb. Stupeň statické neurčitosti kloubové prutové soustavy (tzv. příhradové konstrukce) získáme z výrazu n s = p + a 2b, (2.2) kde p je počet prutů, b počet (kloubových) styčníků a a je počet složek reakcí vnějších vazeb. 2.2 Příklad 1 Určete stupeň statické neurčitosti rámu dle obr. 2.1. Obrázek 2.1: Příklad 1 24

2.3. PŘÍKLAD 2 Řešení Rám tvoří jeden uzavřený obrazec, jeden jednonásobný vnitřní kloub (spojuje jen 2 pruty) a jeden trojnásobný vnitřní kloub (spojuje 4 pruty). Je podepřen 2 vetknutími (každé z nich má 3 složky reakcí) a jedním neposuvným kloubem (2 složky reakcí). K řešení využijeme vztah (2.1): 2.3 Příklad 2 n s = 3 1 4 + (8 3) = 4 Určete stupeň statické neurčitosti oblouku se dvěma táhly dle obr. 2.2. Obrázek 2.2: Příklad 2 Řešení Jednou z možností je řešit úlohu následující úvahou: Odmyslíme-li si obě kloubově připojená táhla, dostaneme staticky určitou konstrukci ve formě prostě podepřeného oblouku. Víme, že v každém z táhel vzniká pouze normálová tahová síla. Tyto 2 normálové síly představují staticky neurčité veličiny, které nejsme schopni určit přímo ze tří statických podmínek rovnováhy. Jedná se tedy o 2 staticky neurčitou úlohu. Druhou možnost řešení představuje využití vztahu (2.1): Táhla nám v konstrukci vymezují 2 uzavřené oblasti. Každý ze 4 kloubů na koncích táhel je kloubem jednonásobným, v kloubových podporách oblouku vznikají 3 složky reakcí. 2.4 Příklad 3 n s = 3 2 4 + (3 3) = 2 Určete stupeň statické neurčitosti spojitého nosníku s klouby dle obr. 2.3. Řešení Dosazením do vztahu (2.1): n s = 3 0 2 + (6 3) = 1 25

2.5. PŘÍKLAD 4 Obrázek 2.3: Příklad 3 2.5 Příklad 4 Určete stupeň statické neurčitosti nosníku s klouby dle obr. 2.4. Obrázek 2.4: Příklad 4 Řešení Po dosazení do vztahu (2.1): n s = 3 0 2 + (4 3) = 1 Stupeň statické neurčitosti vychází n s = 1, jedná se tedy o staticky přeurčitou konstrukci, mechanismus, který je ve stavební praxi nepoužitelný. 2.6 Příklad 5 Určete stupeň statické neurčitosti kosoúhlého rámu dle obr. 2.5. Obrázek 2.5: Příklad 5 Řešení Dosazením do vztahu (2.1): n s = 3 0 1 + (5 3) = 1 26

2.7. PŘÍKLAD 6 2.7 Příklad 6 Určete stupeň statické neurčitosti pravoúhlého rámu dle obr. 2.6. Obrázek 2.6: Příklad 6 Řešení Dosazením do vztahu (2.1): n s = 3 0 1 + (8 3) = 4 2.8 Příklad 7 Určete stupeň statické neurčitosti uzavřeného rámu dle obr. 2.7. Obrázek 2.7: Příklad 7 Řešení Rám obsahuje jednu uzavřenou oblast. Vnitřní kloub spojuje 4 pruty (přepočtením na jednonásobné klouby dostáváme p k =3). Dosazením do vztahu (2.1) dostáváme n s = 3 1 3 + (6 3) = 3. 27

2.9. PŘÍKLAD 8 2.9 Příklad 8 Určete stupeň statické neurčitosti konstrukce na obr. 2.8. Obrázek 2.8: Příklad 8 Řešení Dosazením do vztahu (2.1): n s = 3 0 1 + (6 3) = 2 28

Kapitola 3 Silová metoda jednoduchého staticky neurčitého nosníku Jednoduchý staticky neurčitý nosník tvoří přímý prut, podepřený více než třemi vnějšími vazbami. Zatížení nosníku může být silové nebo deformační, kam spadá změna teploty nebo popuštění podpor. 3.1 Příklad 1 Určete reakce na jednostranně vetknutém nosníku, jehož statické schéma je zobrazeno na obr. 3.1. Proved te obecné řešení. Ohybová tuhost =konst. Obrázek 3.1: Statické schéma staticky neurčitého nosníku z příkladu 1 3.1.1 Základní soustava Konstrukce je jedenkrát staticky neurčitá. Pro řešení lze zvolit dva způsoby uvolnění přebytečné vazby. Na obr. 3.2 a 3.3 je zobrazena základní soustava, která souvisí s uvolněním přebytečné svislé vazby v pravé podpoře. Na obr. 3.2 a 3.3 jsou zobrazeny rovněž průběhy ohybových momentů na základní soustavě od zatěžovacího stavu 1 a p, kdy na konstrukci působí jednotková síla X 1 = 1 v místě a směru staticky neurčité veličiny X 1 = R bz, resp. skutečné zatížení. 29

3.1. PŘÍKLAD 1 Obrázek 3.2: Průběh ohybových momentů od zatěžovacího stavu 1 Obrázek 3.3: Průběh ohybových momentů od zatěžovacího stavu p 3.1.2 Určení staticky neurčité veličiny V dalším výpočtu je nutno sestavit a vyřešit rovnici o neznámé X 1 : δ 11 X 1 + δ 1p = 0. (3.1) Veličiny označené δ 11 a δ 1p jsou tzv. přetvární součinitelé, které lze získat integrací příslušných momentových ploch z obr. 3.2 a 3.3 podle vztahů 4.2, 4.3: δ 11 = 1 [l2 2 2 l3 l] = 3 3, (3.2) 30

3.2. PŘÍKLAD 2 δ 1p = 1 [1 l2 q l l] = q l4 4 2 8. (3.3) Po dosazení přetvárných součinitelů (3.2) a (3.3) do rovnice (3.1) a jejím vyřešení lze získat výslednou staticky neurčitou veličinu: X 1 = R bz = q l4 8 3 = 3 q l [kn] ( ). (3.4) l 3 8 Zbývající reakce ve vnějších vazbách se určí z podmínek rovnováhy: R az = 5 q l [kn] ( ) 8 a M ay = 1 q 8 l2 [knm] ( ). 3.2 Příklad 2 Na nosník z příkladu č.1 nechte působit rovněž popuštění podpor w a = 15 [mm] ( ) a w b = 20 [mm] ( ). Ohybová tuhost je rovna = 32000 [knm 2 ], zatížení q = 6 kn/m a rozpětí nosníku l = 5 m. 3.2.1 Určení staticky neurčité veličiny V dalším výpočtu je nutno sestavit a vyřešit rovnici o neznámé X 1, která obsahuje na rozdíl od rovnice (3.1) také členy, vyjadřující popuštění podpor: δ 11 X 1 + δ 1p + δ 10p = d 1. (3.5) V rovnici (3.5) se člen d 1 váže k popuštění podpory v místě uvolněné vazby, v daném případě je tedy: d 1 = w b. (3.6) Znaménko mínus znamená, že popuštění je opačného směru než navržený směr staticky neurčité veličiny X 1 = R b. Člen δ 10p se pak váže k levé podpoře základní soustavy, tedy k vetknutí. Rovná se: δ 10p = r R r,i δ r. (3.7) i=1 Výraz (3.7) obsahuje součet součinů reakcí v podpoře základní soustavy R r,i a příslušných složek popuštění podpory δ r (r je rovno násobnosti vazby). Znaménko u prvku δ r souvisí se směrem příslušné reakce. Pro příklad 2 je tedy: δ 10p = 1 w a, (3.8) jelikož popuštění w a má shodný směr jako reakce R az1 na základní soustavě od zatěžovacího stavu 1. Výsledný tvar rovnice (3.5) pak je: l 3 3 X 1 q l4 8 w a = w b. (3.9) 31

3.3. PŘÍKLAD 3 Po úpravě lze získat výslednou staticky neurčitou veličinu X 1 = R b : X 1 = R bz = ( w b + q l4 8 + w a) 3 l 3 [kn] ( ). (3.10) Po dosazení konkrétních hodnot do (3.10) pak vychází skutečné hodnoty reakcí: R az = 22, 59 [kn] ( ), R bz = 7, 41 [kn] ( ) a M ay = 37, 95 [knm] ( ). Detailnější pohled na vliv popuštění podpor na velikosti a směr reakcí poskytnou i následující změny v zadání příkladu 2: Varianta 1: Na nosník působí pouze silové zatížení q = 6 kn/m (w a = 0, w b = 0). Výsledné reakce ve vnějších vazbách pak vychází R az = 18, 75 [kn] ( ), R bz = 11, 25 [kn] ( ) a M ay = 18, 75 [knm] ( ). Varianta 2: Nosník je namáhán pouze popuštěním podpory w a = 15 mm ( ) (q = 0 kn/m a w b = 0). Výsledné reakce ve vnějších vazbách pak vychází R az = 11, 52 [kn] ( ), R bz = 11, 52 [kn] ( ) a M ay = 57, 6 [knm] ( ). Rozbor chování nosníku při tomto zatížení je zobrazen na obr. 3.4. Obrázek 3.4: Rozbor chování nosníku ve variantě 2 Varianta 3: Nosník je namáhán pouze popuštěním podpory w b = 15 mm ( ) (q = 0 kn/m a w a = 0). Výsledné reakce ve vnějších vazbách pak vychází R az = 11, 52 [kn] ( ), R bz = 11, 52 [kn] ( ) a M ay = 57, 6 [knm] ( ). Rozbor chování nosníku při tomto zatížení je zobrazen na obr. 3.5. 3.3 Příklad 3 Určete reakce na jednostranně vetknutém nosníku, jehož statické schéma je zobrazeno na obr. 3.6. Nosník je namáhán popuštěním podpor w a = 30 mm ( ) a ϕ a = 0, 0015 rad ( ). Proved te nejprve obecné řešení, pak dosad te F = 6 kn, l = 6 m, = 24000 knm 2. 32

3.3. PŘÍKLAD 3 Obrázek 3.5: Rozbor chování nosníku ve variantě 3 Obrázek 3.6: Statické schéma jedenkrát staticky neurčitého nosníku z příkladu 3 3.3.1 Výsledné řešení Staticky neurčitá veličina se po odvození rovná: X 1 = M ay = (ϕ a + 3 48 F l2 w a l ) 3 [knm] ( ). (3.11) l Po dosazení se momentová reakce ve vetknutí rovná M ay = 35, 25 knm ( ). Silové reakce mají velikost R az = 2, 875 [kn] ( ) a R bz = 8, 875 [kn] ( ). 33

Kapitola 4 Silová metoda řešení staticky neurčitých rámů při silovém zatížení 4.1 Úvodní poznámka Kapitola si neklade za cíl ozřejmit podstatu Silové metody, její teoretická východiska a obecné principy aplikace. Tato témata jsou kvalitně zpracována v dostupné odborné literatuře, např. v [1], [2]. Zde je předložen soubor původních příkladů, dosud nikde nepublikovaných, na nichž je ukázáno použití Silové metody ve výpočetní praxi. Příklady 1 až 3 obsahují kompletní výpočet, vč. komentářů a postupných kroků vedoucích k požadovanému výsledku. Příklady 4 až 8 poskytují větší prostor k samostatnému procvičování, přičemž jsou pro snazší kontrolu a nalezení případných chyb vybaveny některými klíčovými mezivýsledky. Navíc je v příkladech 4 až 8 nabídnut výběr mezi 2 až 3 alternativními statickými schématy základní soustavy, což čtenáři umožní tříbit jeho odborný úsudek při volbě optimální strategie řešení. V souladu se zvyklostmi, uplatňovanými ve výuce, je ve výpočtech deformací zohledněn pouze vliv ohybových momentů na jejich velikost. Vliv posouvajících sil a normálových sil je v řešených příkladech považován za nevýznamně malý, proto je zanedbán. 4.2 Příklad 1 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.1. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. =konst. Řešení Prvním krokem výpočtu je určení stupně statické neurčitosti n s. V tomto případě n s = 1. Znamená to, že bude potřeba uvolnit jednu z vazeb (vnějších či vnitřních), abychom získali základní, staticky a kinematicky určitou soustavu. Jednou z možností je např. uvolnit jednonásobnou vazbu v bodě a (viz obr. 4.2). Posuvný kloub v bodě a bránil posunutí pouze ve svislém směru, vznikala v něm vertikální reakce. Staticky neurčitou veličinou tedy v tomto případě musí být svislá síla (viz obr. 4.4). Směr této síly (nahoru, dolů) volíme libovolně, zpravidla však ve směru očekávané výsledné reakce. Označme staticky neurčitou veličinu X 1 a nechejme ji působit na statické 34

4.2. PŘÍKLAD 1 Obrázek 4.1: Příklad 1 zadání Obrázek 4.2: Příklad 1 základní soustava schéma základní soustavy. Takto vytvořený zatěžovací stav nazvěme 1. zatěžovacím stavem (ve zkratce 1. ZS). Ze statických podmínek rovnováhy můžeme určit reakce a následně vykreslit průběh ohybových momentů M 1 (viz obr. 4.4). K výpočtu deformací δ 10, δ 11, uvedených v podmínce (4.1), využijeme Metodu jednotkových sil (pozn.: nezaměňovat se Silovou metodou). To si vyžaduje zavedení virtuální jednotkové síly na prázdné statické schéma do místa počítané deformace. S výhodou zvolíme směr této virtuální síly shodně se směrem staticky neurčité veličiny. Virtuální jednotkovou sílu označíme X 1. Tento postup umožňuje zpřehlednění výpočtu, nebot schéma 1. ZS (obr. 4.4) představuje de facto 2 různé zatěžovací stavy zakreslené v jednom obrázku (tzn. zatížení skutečnou silou X 1 a zatížení virtuální silou X 1 ). Dále aplikujme na základní staticky určitou soustavu dle obr. 4.2 původní zatížení konstrukce. Takto vytvořený zatěžovací stav nazvěme 0. zatěžovacím stavem (ve zkratce 0. ZS). S podporovými reakcemi a příslušným průběhem ohybových momentů M 0 je uveden na obr. 4.3. Dále formulujme deformační podmínku ve tvaru δ 10 + δ 11 X 1 = 0 (4.1) Deformační podmínka (4.1) vyjadřuje superpozici deformací 0. ZS a 1. ZS v bodě a, v němž 35

4.2. PŘÍKLAD 1 byla odebrána podpora (na obr. 4.3 a 4.4 není bod a označen). Podpora neumožňovala vertikální posunutí, proto je na pravé straně rovnice 0. K výpočtu deformačních součinitelů δ 10 a δ 11 využijeme Maxwell-Mohrových vztahů (4.2), (4.3) δ 10 = L δ 11 = L M 0 M 1 ds (4.2) M 1 M 1 ds (4.3) kde: M 0 je funkce ohybového momentu v 0. ZS, M 1 je funkce ohybového momentu v 1. ZS od staticky neurčité veličiny, M 1 je funkce ohybového momentu v 1. ZS od virtuální jednotkové síly X 1 (zpravidla bývá totožná s veličinou X 1 ), E je modul pružnosti v tahu a tlaku, I je moment setrvačnosti průřezu k jeho těžištní ose, L, ds vyjadřuje integraci po délce konstrukce vztažené ke střednici prutu. Integrály momentových funkcí ve vztazích (4.2) a (4.3) je možné řešit různými způsoby, např. přímou integrací, pomocí Vereščaginova pravidla nebo pomocí tabulek. V příkladech této kapitoly je upřednostněna integrace tabulkami. Jsou zde využívány vztahy uvedené např. v tab. 14.3. z učebnice [1]. Některé z operací, které jsou při řešení příkladů prováděny, zohledňují zvolený způsob integrace tabulkami a reflektují možnosti konkrétních tabelovaných vztahů. Přitom je kladen důraz na přesnost řešení, jeho přehlednost a eliminaci typických chyb, ke kterým při nedostatečném porozumění řešeného problému mnohdy dochází. S ohledem na tvar funkce ohybových momentů M 0 (obr. 4.3), ve vztahu k výše řečenému, bude praktické rozdělit 0. ZS na dva dílčí zatěžovací stavy: 0a. ZS a 0b. ZS (obr. 4.5, 4.6). Deformační součinitele δ 11, δ 10 pak můžeme spočítat následovně: δ 11 = L = 1 ds = 1 ( ) = ) M 1 M 1 ( 4 3 4 4 + 2 4 4 = 53, 333 (4.4) 36

4.2. PŘÍKLAD 1 Obrázek 4.3: Příklad 1 0. zatěžovací stav (0. ZS) s obrazcem ohybových momentů Obrázek 4.4: Příklad 1 1. zatěžovací stav (1. ZS) s obrazcem ohybových momentů 37

4.2. PŘÍKLAD 1 Obrázek 4.5: Příklad 1 0a. ZS Obrázek 4.6: Příklad 1 0b. ZS 38

4.2. PŘÍKLAD 1 Obrázek 4.7: Příklad 1 výsledné reakce δ 10 = L = 1 = 1 M 0 M 1 ds = L + 1 M 0a M 1 ds + L + 1 M 0b M 1 ds = ( ) ( 4 6 4 ( 2 + 2 14) + 2 ) 4 (14 + 18) + 2 ( 2 4 ( 10)2 + 2 [( 10)(2 2 + 4) + ( 30)(2 + 2 4)] + 2( 30)4 6 = 1 1 179, 333 (69, 333 + 128) + ( 10 126, 666 240) = Pak dosadíme δ 11, δ 10 do deformační podmínky (4.1) a dostáváme ) = = (4.5) X 1 = δ 10 ( 179, 33) = = 3, 3625 kn ( ) δ 11 53, 333 R az = X 1 = 3, 3625 kn ( ). (4.6) Poté ze statických podmínek rovnováhy dopočteme zbylé reakce R bx, R bz, M by. Velikosti a směry reakcí jsou zakresleny v obr. 4.7, průběhy vnitřních sil na obr. 4.8. 39

4.2. PŘÍKLAD 1 7, 3625 5x = 0 7, 3625 x = 5 = 1, 4725 m M max = 2 + 7, 3625 1, 4725 5 (1, 4725)2 2 = 3, 4206 knm Obrázek 4.8: Příklad 1 průběhy vnitřních sil (normálových N, posouvajících V, ohybových momentů M) 40

4.3. PŘÍKLAD 2 4.3 Příklad 2 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.9. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. =konst. Obrázek 4.9: Příklad 2 zadání Řešení Nejprve určíme stupeň statické neurčitosti n s. V této úloze je n s = 1. Vytvořme základní, staticky a kinematicky určitou, soustavu uvolněním např. vodorovné vazby v podpoře a (viz obr. 4.10). Podobně jako u Příkladu 1 oddílu 4.2 vytvořme dva zatěžovací stavy (obr. 4.11 a 4.12). Směr staticky neurčité veličiny X 1 volíme libovolně, charakterem však musí odpovídat odebrané vazbě (tzn. musí to být vodorovná síla). Dále formulujme deformační podmínku ve tvaru (4.7) δ 10 + δ 11 X 1 = 0 (4.7) Obrázek 4.10: Příklad 2 základní soustava 41

4.3. PŘÍKLAD 2 Obrázek 4.11: Příklad 2 0. ZS s obrazcem ohybových momentů Obrázek 4.12: Příklad 2 1. ZS s obrazcem ohybových momentů a pomocí vztahů (4.2) a (4.3) vypočtěme hodnoty deformačních součinitelů δ 10 a δ 11 (viz výrazy (4.8), (4.9)). δ 11 = L = 1 ( ) ds = 1 = M 1 M 1 ( 3 3 ( 3)( 3) + 3 [( 3) (2( 3) + ( 4)) + ( 4)( 3 + 2( 4))] + 6 + 4 3 ( 4)( 4) ) = 1 67, 333 (9 + 37 + 21, 333) = (4.8) 42

4.3. PŘÍKLAD 2 δ 10 = L = 1 M 0 M 1 ds = 1 = = = 1 ( 3 4 ( 9)( 3) + 2 [ 9(2( 3) 3, 66) 4, 33( 3 + 2( 3, 66))] + 6 + 1 6 [ 4, 33(2( 3, 67) 4) 12( 3, 67 + 2( 4))] + 3 ( 6)( 4 + 4( 1)) + 20 + 3 6 [ 12(2( 4) + ( 1)) + 6( 4 + 2( 1))] ) = = 1 138, 8864 (20, 25 + 43, 92085 + 31, 516 + 7, 2 + 36) = * TVAR ODPOVÍDÁ NOSNÍKU OVŠEM VZOREC V TABULKÁCH (4.9) PRO PŘEDPOKLÁDÁ NOSNÍK ZATÍŽENÝ TAKTO: DANÉMU TVARU FUNKCE ODPOVÍDÁ NOSNÍK VETKNUTÝ VPRAVO S TÍMTO ZATÍŽENÍM DEKOMPOZICI DO DÍLČÍCH ZATĚŽOVACÍCH STAVŮ LZE PROVÉST NÁSLEDOVNĚ: V DALŠÍ INTEGRACI JSOU UŽITY TYTO TVARY FUNKCÍ 43

4.3. PŘÍKLAD 2 Obrázek 4.13: Příklad 2 výsledné reakce δ 11, δ 10 dosadíme do deformační podmínky (4.7) a dostáváme X 1 = δ 10 138, 8864 = δ 11 67, 333 = 2, 06267 =. 2, 06 kn ( ) R ax = X 1 = 2, 06 kn ( ). (4.10) Dopočteme zbylé reakce R bx, R az, R bz. Velikosti a směry reakcí jsou zakresleny v obr. 4.13, průběhy vnitřních sil na obr. 4.14. 44

4.3. PŘÍKLAD 2 3, 94 q x 3 x 2 = 0 2 3, 94 3 x = 4 = 2, 431043 m M max, = 3, 75 + 3, 94 2, 43 4 (2, 43)3 6 3 = 2, 636 knm Obrázek 4.14: Příklad 2 průběhy vnitřních sil 45

4.4. PŘÍKLAD 3 4.4 Příklad 3 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.15. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. E=konst., momenty setrvačnosti prutů I jsou uvedeny v obrázku zadání. Obrázek 4.15: Příklad 3 zadání Řešení Řešení opět zahájíme určením stupně statické neurčitosti. Jeho hodnota je n s = 2. Vytvořme základní, staticky a kinematicky určitou, soustavu např. uvolněním vazby proti pootáčení v podpoře a a vodorovné vazby v podpoře b (viz obr. 4.16). Tentokrát bude zapotřebí vytvořit tři zatěžovací stavy, nebot máme 2 staticky neurčité veličiny (obr. 4.17). Charakter staticky neurčitých veličin musí odpovídat odebraným vazbám, takže X 1 reprezentuje momentovou reakci v podpoře a a X 2 představuje horizontální reakci v pevné kloubové podpoře b. Neznámé staticky neurčité veličiny vypočítáme ze soustavy deformačních podmínek (4.11). Deformační součinitele δ ij vypočteme podobně jako v předchozích příkladech. δ 10 + δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = 0 δ 20 + δ 21 X 1 + δ 22 X 2 = 0 (4.11) Obrázek 4.16: Příklad 3 základní soustava 46

4.4. PŘÍKLAD 3 Obrázek 4.17: Příklad 3 0., 1. a 2. zatěžovací stav 47

4.4. PR I KLAD 3 M1 M1 1 1 3 0, 714 = = ds = ( 1)( 1) = 1, 4 1, 4 3 L Z M2 M1 1 1 ds = = δ21 = + = 1, 4 L 3 1 1, 0714 1 ( 1)( 3) + 0= = 1, 4 6 Z M2 M2 1 1 = ds = + = 1, 4 L 3 1 3 15, 429 1 ( 3)( 3) + 3 3 = = 1, 4 3 3 Z δ11 δ12 δ22 Z δ10 = (4.12) (4.13) (4.14) M0 M1 1 ds = 1, 4 = L! 1 = 1, 4 = 1 1, 5 1, 5 = ( 8, 38)(2( 0, 5) + ( 1)) + ( 0, 5)(2( 8, 38) + ( 16, 75)) + 1, 4 6 6 6, 085 1, 5 ( 2, 25)( 0, 5) = (4.15) + 12 * TVAR PRO INTEGRACI TABULKAMI ROZLOŽÍME NA JEDNODUŠŠÍ OBRAZCE. TENTO PRŮBĚH OHYBOVÝCH MOMENTŮ ODPOVÍDÁ NAPŘ. NOSNÍKU ZATÍŽENÉMU TAKTO: ROZKLAD: 48

4.4. PŘÍKLAD 3 δ 20 = L ( ) ( ) M 0 M 2 ds = 1 + 1 = 1, 4 zde je rovněž uplatněn rozklad obrazců - viz výše červená * ( ) ( ) = 1 + 1 = 1, 4 = 1 ( 1, 5 1, 5 ( 8, 38)( 1, 5) + 1, 4 3 6 + 1, 5 12 ( 2, 25)( 1, 5 + 3( 3) ) ) + 1 1 5(3 + 2) = 2 = 1 1 50, 510 (6, 285 + 43, 97625 + 2, 953) + 12, 5 = 1, 4 Dosad me do soustavy deformačních podmínek (4.11): [ 8, 38 ( 2( 1, 5) + ( 3) ) 16, 75 ( 1, 5 + 2( 3) )] + (4.16) 0, 714X 1 + 1, 0714X 2 = 6, 085 1, 0714X 1 + 15, 429X 2 = 50, 510 (4.17) Řešením (4.17) dostaneme: X 1 = M ay = 4, 029 knm ( ) X 2 = R bx = 2, 994 knm ( ) (4.18) Dopočteme zbylé reakce R ax, R az, R bz. Velikosti a směry reakcí jsou zakresleny v obr. 4.18, průběhy vnitřních sil na obr. 4.19. 49

4.4. PŘÍKLAD 3 Obrázek 4.18: Příklad 3 výsledné reakce Obrázek 4.19: Příklad 3 průběhy vnitřních sil 50

4.5. PŘÍKLAD 4 4.5 Příklad 4 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.20. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. =konst. Obrázek 4.20: Příklad 4 zadání Řešení Jedná se o 2 staticky neurčitou konstrukci. Základní soustavu můžeme zvolit vytvořit např. tak, že uvolníme vazby v podporách a a c. Další možnost řešení spočívá v uvolnění vazeb v podporách b a c. Jsou zde představena obě možná schémata na obr. 4.21 a 4.22, vč. příslušných výsledků (4.19) a (4.20). Obrázek 4.21: Příklad 4 varianta A základní soustavy 51

4.5. PŘÍKLAD 4 Obrázek 4.22: Příklad 4 varianta B základní soustavy Výsledky pro variantu A δ 10 = δ 20 = 136, 333 190, 100 δ 11 = 18, 667 δ 12 = 24 δ 21 = δ 12 δ 22 = 45 X 1 = 5, 956 kn X 2 = 1, 047 kn (4.19) Výsledky pro variantu B δ 10 = δ 20 = 18, 167 22, 601 δ 11 = 4, 667 δ 12 = 2 δ 21 = δ 12 δ 22 = 15 X 1 = 3, 44 knm X 2 = 1, 047 kn (4.20) 52

4.5. PŘÍKLAD 4 Obrázek 4.23: Příklad 4 výsledné reakce Obrázek 4.24: Příklad 4 průběhy vnitřních sil 53

4.6. PŘÍKLAD 5 4.6 Příklad 5 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.25. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. =konst. Obrázek 4.25: Příklad 5 zadání Řešení Opět jde o 2 staticky neurčitou konstrukci. Podobně jako v předešlém příkladě jsou připraveny výsledky pro dvě možné varianty řešení dle obr. 4.26 a 4.27. Řešení je uvedeno ve vztazích (4.21) a (4.22). Výsledky pro variantu A δ 10 = δ 20 = 148, 163 80, 85 δ 11 = 45 δ 12 = 22, 5 δ 21 = δ 12 δ 22 = 18 Obrázek 4.26: Příklad 5 varianta A základní soustavy 54

4.6. PŘÍKLAD 5 Obrázek 4.27: Příklad 5 varianta B základní soustavy Obrázek 4.28: Příklad 5 výsledné reakce X 1 = 2, 347 kn X 2 = 1, 891 kn (4.21) Výsledky pro variantu B δ 10 = δ 20 = 32, 85 19, 688 δ 11 = 18 δ 12 = 4, 5 δ 21 = δ 12 δ 22 = 18 X 1 = 2, 238 kn X 2 = 1, 653 kn (4.22) 55

4.6. PŘÍKLAD 5 Obrázek 4.29: Příklad 5 průběhy vnitřních sil 56

4.7. PŘÍKLAD 6 4.7 Příklad 6 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.30. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. E=konst., momenty setrvačnosti prutů I jsou uvedeny v obrázku zadání. Obrázek 4.30: Příklad 6 zadání Řešení n s = 2. Tentokrát jsou zpracovány tři varianty řešení (obr. 4.31, 4.32, 4.33). Příslušné hodnoty deformačních součinitelů jsou uvedeny ve vztazích (4.23), (4.24) a (4.25). Výsledky pro variantu A δ 10 = δ 20 = 109, 125 119, 208 δ 11 = 22, 5 δ 12 = δ 21 = δ 12 δ 22 = 12, 75 27, 166 Obrázek 4.31: Příklad 6 varianta A základní soustavy 57

4.7. PŘÍKLAD 6 Obrázek 4.32: Příklad 6 varianta B základní soustavy Obrázek 4.33: Příklad 6 varianta C základní soustavy X 1 = 3, 219 kn X 2 = 2, 877 kn (4.23) Výsledky pro variantu B δ 10 = δ 20 = 172, 209 20, 375 δ 11 = 38, 166 δ 12 = 6, 75 δ 21 = δ 12 δ 22 = 2, 5 X 1 = 5, 877 kn X 2 = 7, 718 knm (4.24) 58

4.7. PŘÍKLAD 6 Obrázek 4.34: Příklad 6 výsledné reakce Výsledky pro variantu C δ 10 = δ 20 = 0, 125 57, 709 δ 11 = 2, 5 δ 12 = δ 21 = δ 12 δ 22 = 6, 75 38, 166 X 1 = 7, 718 knm X 2 = 2, 877 kn (4.25) 59

4.7. PŘÍKLAD 6 Obrázek 4.35: Příklad 6 průběhy vnitřních sil 60

4.8. PŘÍKLAD 7 4.8 Příklad 7 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.36. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. =konst. Obrázek 4.36: Příklad 7 zadání Řešení Tato konstrukce je 1 staticky neurčitá. K řešení se nabízejí 2 možné varianty základní soustavy dle obr. 4.37 a 4.38. Výsledky jsou uvedeny ve vztazích (4.26) a (4.27). Výsledky pro variantu A δ 10 = 1483, 5 δ 11 = 118, 807 X 1 = 12, 487 kn (4.26) Obrázek 4.37: Příklad 7 varianta A základní soustavy 61

4.8. PŘÍKLAD 7 Obrázek 4.38: Příklad 7 varianta B základní soustavy Obrázek 4.39: Příklad 7 výsledné reakce Výsledky pro variantu B δ 10 = 71, 603 δ 11 = 4, 752 X 1 = 15, 068 kn (4.27) 62

4.8. PŘÍKLAD 7 ( ) x l q q q = 1 2 ( ) 0 49 2 5 0 833 0 2 3 5 5 49 2 0 2 49 2 0 2 49 2 0 2 2 1 2 1 1 = + = = = =,,,,, * ) ( x x x x x x l q q x q x q x q V x 462 m 0 46 6 0 833 2 49 2 0 833 4 5 5 2 1 2 2 1,, ), (, ), ( ) ( ) (, = + = ± = x x x 15 56 knm 3 3 2 462 0 5 2 462 0 5 462 0 49 2 14 97 3 2, ), ( ), (,,, max max = + = M M Obrázek 4.40: Příklad 7 průběhy vnitřních sil 63

4.9. PŘÍKLAD 8 4.9 Příklad 8 Řešte silovou metodou rovinný rám dle obr. 4.41. Určete reakce v podporách a průběh vnitřních sil. =konst. Obrázek 4.41: Příklad 8 zadání Řešení n s = 2. Opět jsou čtenáři nabídnuty k procvičení tři varianty řešení (obr. 4.42, 4.43, 4.44). Příslušné hodnoty deformačních součinitelů jsou uvedeny ve vztazích (4.28), (4.29) a (4.30). Obrázek 4.42: Příklad 8 varianta A základní soustavy 64

4.9. PŘÍKLAD 8 Obrázek 4.43: Příklad 8 varianta B základní soustavy Výsledky pro variantu A δ 10 = δ 20 = 361, 153 415, 007 δ 11 = 45 δ 12 = 42 90, 666 δ 21 = δ 12 δ 22 = X 1 = 6, 612 kn X 2 = 1, 514 kn (4.28) Výsledky pro variantu B δ 10 = δ 20 = 12, 601 113, 213 δ 11 = 5 δ 12 = 14 90, 666 δ 21 = δ 12 δ 22 = X 1 = 1, 719 knm X 2 = 1, 514 kn (4.29) Výsledky pro variantu C δ 10 = δ 20 = 21, 841 173, 053 δ 11 = 5 δ 12 = 14 90, 666 δ 21 = δ 12 δ 22 = X 1 = 1, 719 knm X 2 = 2, 174 kn (4.30) 65

4.9. PŘÍKLAD 8 Obrázek 4.44: Příklad 8 varianta C základní soustavy Obrázek 4.45: Příklad 8 výsledné reakce Obrázek 4.46: Příklad 8 průběhy vnitřních sil 66

Kapitola 5 Silová metoda řešení jednoduchého pravoúhlého staticky neurčitého uzavřeného rámu 5.1 Příklad 1 Zadání: Stanovte průběhy ohybových momentů na rámu zatíženém podle obrázku 5.1. Řešení: Obrázek 5.1: Uzavřený rám. a) Soustava je 3 + 3 = 6 staticky neurčitá. Všimněme si symetrie konstrukce, kterou velmi vhodně využijeme při řešení. 67

5.1. PŘÍKLAD 1 b) Vytvoříme základní soustavu přerušením horní příčle a vložením náhradních sil (viz obr. 5.2). Obrázek 5.2: Základní staticky určitá soustava s neznámými veličinami. c)...a vykreslíme momenty od jednotkových sil (obr. 5.3, 5.4). Obrázek 5.3: Průběhy momentů od jednotkových sil X 1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1. d)...a momenty na základní soustavě od zatížení (obr. 5.5). e) Sestavíme soustavu rovnic pro neznámé X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6. X 1 δ 11 + X 2 δ 12 + X 3 δ 13 + X 4 δ 14 + X 5 δ 15 + X 6 δ 16 = 1p X 1 δ 21 + X 2 δ 22 + X 3 δ 23 + X 4 δ 24 + X 5 δ 25 + X 6 δ 26 = 2p X 1 δ 31 + X 2 δ 32 + X 3 δ 33 + X 4 δ 34 + X 5 δ 35 + X 6 δ 36 = 3p X 1 δ 41 + X 2 δ 42 + X 3 δ 43 + X 4 δ 44 + X 5 δ 45 + X 6 δ 46 = 4p X 1 δ 51 + X 2 δ 52 + X 3 δ 53 + X 4 δ 54 + X 5 δ 55 + X 6 δ 56 = 5p X 1 δ 61 + X 2 δ 62 + X 3 δ 63 + X 4 δ 64 + X 5 δ 65 + X 6 δ 66 = 6p a využijeme symetrii a antisymetrii, ze které plyne: 68

5.1. PŘÍKLAD 1 Obrázek 5.4: Průběhy momentů od jednotkových sil X 4 = 1, X 5 = 1, X 6 = 1. Obrázek 5.5: Průběhy momentů od zatížení na základní soustavě. f) z čehož vyplyne nová soustava: δ 15 = δ 16 = δ 25 + δ 26 = δ 35 = δ 36 = δ 45 = δ 46 = 0. X 1 δ 11 + X 2 δ 12 + X 3 δ 13 + X 4 δ 14 + 1p = 0 X 1 δ 21 + X 2 δ 22 + X 3 δ 23 + X 4 δ 24 + 2p = 0 X 1 δ 31 + X 2 δ 32 + X 3 δ 33 + X 4 δ 34 + 3p = 0 X 1 δ 41 + X 2 δ 42 + X 3 δ 43 + X 4 δ 44 + 4p = 0 X 5 δ 55 + X 6 δ 56 + 5p = 0 X 5 δ 65 + X 6 δ 66 + 6p = 0 g) Z (ne)symetrie M 5 a M p obdržíme: M5 M p = 0 5p = 0 a z (ne)symetrie M 6 a M p obdržíme: M6 M p = 0 6p = 0. Z posledních dvou řádek soustavy pak platí: X 5 = X 6 = 0. 69

5.1. PŘÍKLAD 1 Poznámka: V případě zatížení na konstrukci, které by bylo antisymetrické, by byly všechny symetrické členy nulové. h) Z Vereščaginova pravidla vypočteme δ 11, δ 12, δ 13, δ 14, δ 22, δ 23, δ 24, δ 33, δ 34, δ 44, 1p, 2p, 3p a 4p. δ 11 : h 1 h1 2 3 2 h 1 2 + h 1 2l h 1 = 3h3 1 2 + 2lh2 1 δ 12 : h 1 h1 2 1 2 + h 1 2l 1 = h 2 1 + 2lh 1 δ 13 : h 1 2 l 2 = lh 1 δ 14 : h 1 2l h 2 = 2lh 1 h 2 δ 22 : 2 1 2l 1 + 2h 1 1 1 = 4l + 2h 1 δ 23 : 1 2 l 2 = l δ 24 : 1 2l h 2 = 2lh 2 δ 33 : δ 34 : 2 l 2 l 1 2 2 3 l 2 = 1 6 l3 2 l 2 l h 2 = l 2 h 2 δ 44 : h 2 h 2 + 2 h 2 h 2 1 2 2 3 h 2 = 2h 2 2 + 2 3 h3 2 a 1p : 2h 1 h1 2 P l 2 2 P l 2 l h 1 2 2ql2 2 l 3 h 1 = plh2 1 2 P l2 h 1 2 3 ql3 h 1 2p : 2 P l 2 l 2 1 2 1 2P l 2 h 1 1 2 P l 2 l 1 2 ql2 2 l l2 1 = 5P P lh 1 2ql3 3 4 3 3p : P l 2 l l 2 2 4ql2 2 l 1 3 3 8 l 2 l3 = P 2 ql4 8 4p : P l 2 2l h 2 4 ql2 2 l1 3 h 2 = P l 2 h 2 2 3 ql3 h 2 i) Dosadíme skutečné hodnoty P, l, h 1, h 2, q a vyřešíme rovnice pro X 1, X 2, X 3... X 6. Známe-li již tyto síly, stanovíme ohybové momenty na základní (staticky určité) soustavě. 70

5.2. PŘÍKLAD 2 5.2 Příklad 2 Obrázek 5.6: Uzavřený rám. Zadání: Vyřešte průběhy ohybových momentů na uzavřeném rámu podle obrázku 5.6. Uvažujte příčel A jako nekonečně tuhou. Řešení: a) Využijeme toho, že jak pro zatížení, tak rám, jsou dvě osy symetrie o 1 a o 2, a uvažujeme za účelem řešení pouze 1/4 konstrukce podle obrázku 5.6. Vazby nahradíme náhradní soustavou sil (obr. 5.7). Předpoklad o neposuvném vetknutí vychází z deformace prutu, při kterém tečna v koncových řezech k deformační čáře zachovává svoji polohu i při zatěžování. Obrázek 5.7: Využití symetrie a náhradní soustava sil. b) X 1 vypočteme z rovnováhy ve směru X 1. X 1 = q l 2 c) Pro síly X 2 a X 3 je nutné stanovit odpovídající deformační podmínky - nulový posun u 2 a nulové natočení ϕ 3 : (5.1) 71

5.2. PŘÍKLAD 2 u 2 = X 2 δ 22 + X 3 δ 23 + 2P = 0 ϕ 3 = X 2 δ 32 + X 3 δ 33 + 3P = 0 d) Sestrojíme průběhy ohybových momentů od zatížení a jednotkových sil (obr. 5.8). Obrázek 5.8: Průběhy ohybových momentů od jednotkových zatížení a od zatížení na základní soustavě. e) Koeficienty δ ij spočteme např. pomocí Vereščaginova pravidla: δ 22 = l2 2 2l 3 + l2 l 2 = 5l3 6 δ 23 = l2 2 1 l2 2 1 = l2 δ 33 = l 2 1 + l 1 = 3l 2 δ 21 = l2 8 l δ 31 = = l3 8 l3 2 4 1 = l2 8 f) Je-li příčel nepoddajná, je nutné uvažovat ke stanovení 2P jako vnější zatížení i síly od příčle (uvedené jako X 1 ): 2P = X 1 δ 21 + 1 2P = ql ) ( 2 l3 8 1 48 ql3 l + 1 48 ql4 = ql4 24 g) Obdobně musíme zohlednit pro výpočet 3P i vliv příčle (uvedené jako X 1 ): 3P = X 1 δ 31 + 1 3P = ql ( ) l 2 2 8 1 48 ql3 1 1 48 ql4 = ql4 24 72

5.2. PŘÍKLAD 2 h) Nyní již dosadíme do deformačních podmínek: a tudíž: 5l 3 X 2 6 X l 2 3 = l 2 + X 3 X 2 ql4 24 3l 2 = ql3 24 X 2 5l 6 X 3 = ql4 24 X 2 l + X 3 3 2 = ql2 24 Výsledné hodnoty neznámých X 2 a X 3 již lehce stanovíme: X 2 = q l 12 X 3 = q l2 36 i) Pozn.: Bude-li příčka rámu poddajná, pak lze pro deformaci 2P stanovit: 2P = X 1 δ 21 + 1 1 48 ql3 l + el. kde pro el., tedy stlačení příčky od X 2, platí: el. = X 2 j) Momenty již laskavý čtenář stanoví z principu superpozice podle následující rovnice: l EA M = M P + M 1 X 1 + M 2 X 2 + M 3 X 3 neboli (viz obr. 5.9) M = M P + M 1 + M 2 + M 3 73

5.3. PŘÍKLAD 3 Obrázek 5.9: Výsledné průběhy momentů. 5.3 Příklad 3 Zadání: Vypočtěte ohybové momenty na konstrukci dvoupatrového rámu s rozměry a vlastnostmi podle obrázku 5.10. Obrázek 5.10: Dvoupatrový rám. Řešení: a) jedná se o 6 staticky neurčitou soustavu se třemi vnitřními a třemi vnějšími nadbytečnými vazbami. b) Určíme základní soustavu podle obrázku 5.11. Využijeme při tom nejen symetrii rámu, ale i nesymetrii zatížení. 74

5.3. PŘÍKLAD 3 Obrázek 5.11: Základní soustava. c) Stanovíme momenty na jednotlivých jednotkových stavech (obr. 5.12, 5.13). Obrázek 5.12: Momenty od jednotkových sil na základní soustavě. d) Využijeme symetrii základní soustavy k eliminaci některých deformací δ ij. δ 11 = δ 15 = 0; δ 21 = δ 51 = 0; δ 23 = δ 24 = 0; δ 32 = δ 42 = 0; δ 35 = δ 53 = 0; δ 45 = δ 54 = 0; δ 56 = δ 65 = 0; δ 26 = δ 62 = 0; e) Sestavíme kanonické rovnice soustavy. X 1 δ 11 + X 2 δ 12 + X 3 δ 13 + X 4 δ 14 + X 5 δ 15 + X 6 δ 16 = 1p X 1 δ 21 + X 2 δ 22 + X 3 δ 23 + X 4 δ 24 + X 5 δ 25 + X 6 δ 26 = 2p X 1 δ 31 + X 2 δ 32 + X 3 δ 33 + X 4 δ 34 + X 5 δ 35 + X 6 δ 36 = 3p X 1 δ 41 + X 2 δ 42 + X 3 δ 43 + X 4 δ 44 + X 5 δ 45 + X 6 δ 46 = 4p X 1 δ 51 + X 2 δ 52 + X 3 δ 53 + X 4 δ 54 + X 5 δ 55 + X 6 δ 56 = 5p X 1 δ 61 + X 2 δ 62 + X 3 δ 63 + X 4 δ 64 + X 5 δ 65 + X 6 δ 66 = 6p 75

5.3. PŘÍKLAD 3 Obrázek 5.13: Momenty od jednotkových sil a od zatížení na základní soustavě. f) S přihlédnutím k symetrii (bod d) dostáváme upravenou soustavu rovnic: X 1 δ 11 + X 3 δ 13 + X 4 δ 14 + X 6 δ 16 + 1p = 0 X 1 δ 31 + X 3 δ 33 + X 4 δ 34 + X 6 δ 36 + 3p = 0 X 1 δ 41 + X 3 δ 43 + X 4 δ 44 + X 6 δ 46 + 4p = 0 X 1 δ 41 + X 3 δ 63 + X 4 δ 64 + X 6 δ 66 + 6p = 0 X 2 δ 22 + X 5 δ 25 + 2p = 0 X 2 δ 52 + X 5 δ 55 + 5p = 0 g) Ke stanovení součinitelů δ ik využijeme Mohrovy integrály (a Vereščaginova pravidla). Můžeme vynásobit rovnice součinitelem 1, rovnice se nám nezmění. (Je třeba však být obezřetný při násobení různými tuhostmi.) δ 11 = 4 4 2 2 3 4 2 1 + 6 ( 2 4 2 + 2 10 2 + 2 4 10 ) 2 6 2 δ 13 = 4 4 2 1 2 1 + 6 4 + 10 1 2 2 2 δ 14 = 4 6 2 δ 16 = 4 + 10 2 (4 + 23 6 ) 6 1 2 2 2 2 = 354, 7 = 58, 0 = 144, 0 = 42, 0 δ 22 = 3 3 2 2 3 31 2 2 + 4 3 3 2 + 6 3 22 = 135, 0 1 δ 25 = 3 6 3 1 2 2 = 54, 0 δ 55 = 3 3 2 2 3 3 1 4 2 + 6 3 31 2 2 = 58, 5 δ 33 = 6 1 1 1 2 + 4 1 12 1 + 6 1 12 2 = 17, 0 δ 34 = 6 6 2 1 2 2 = 18, 0 δ 36 = 1 6 1 2 2 = 6, 0 76