1. Teoretická mechanika

Podobné dokumenty
Těleso na nakloněné rovině Dvě tělesa spojená tyčí Kyvadlo

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

2. Kinematika bodu a tělesa

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

VYBRANÉ KAPITOLY Z TEORETICKÉ FYZIKY

Diferenciální rovnice

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/

Úvod do analytické mechaniky

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární

Úvodní informace. 17. února 2018

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Parciální derivace a diferenciál

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Parciální derivace a diferenciál

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

Dodatek A Einsteinova sumační konvence a její použití

5. Lokální, vázané a globální extrémy

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Pružnost a plasticita II CD03

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

3. Obecný rovinný pohyb tělesa

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

Dynamika vázaných soustav těles

Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt

Modelování a simulace

14. Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

10 Funkce více proměnných

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

f x = f y j i y j x i y = f(x), y = f(y),

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu


Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

1 Funkce dvou a tří proměnných

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

Parametrické rovnice křivky

9 Kolmost vektorových podprostorů

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

Funkce dvou a více proměnných

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

12. Křivkové integrály

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

2 Tokové chování polymerních tavenin reologické modely

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

Elementární křivky a plochy

Základní vlastnosti křivek

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

V. Riemannův(dvojný) integrál

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

Extrémy funkce dvou proměnných

Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

ÚVOD DO TERMODYNAMIKY

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

11. cvičení z Matematické analýzy 2

Vybrané kapitoly z matematiky

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

Základy matematiky pro FEK

6 Samodružné body a směry afinity

Transkript:

1. Teoretická mechanika

16 Teoretická mechanika 1.1 Integrální principy mechaniky V teoretické mechanice se hojně používá Einsteinova sumační konvence, diferenciálu a Lagrangeova věta o přírůstku. Pokud s těmito matematickými základy čtenář není seznámen, měl by si nejprve důkladně pročíst Dodatek A, kde jsou tyto pojmy vysvětleny. Další informace ke studiu teoretické mechaniky může čtenář čerpat v učebnicích [-6]. 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky Mechanický systém Mechanickým systémem nazýváme jakoukoli soustavu částic nebo těles, kterou se rozhodneme popisovat (elektron, atom, Zeměkoule, planetární systém, ). Kartézské souřadnice Kartézské souřadnice vycházejí ze tří navzájem kolmých a přímých os. Pro souřadnice používáme označení x r (x 1, x, x 3 ) (x, y, z), resp. F (F 1, F, F 3 ) (F x, F y, F z ). Pohybová rovnice hmotného bodu má tvar m dx/ = F. Zobecněné souřadnice Za zobecněné souřadnice považujeme jakékoli parametry popisující pohyb (úhly, vzdálenosti, plochy). Označujeme je q = (q 1, q, ). Obr. : Souřadnice pro planetu obíhající kolem Slunce. Příklad 1: pohyb planety kolem Slunce q 1 = r(t) vzdálenost od Slunce, q = φ(t) úhel průvodiče a zadané polopřímky, q 3 = S(t) plocha opsaná průvodičem.

1.1 Integrální principy mechaniky 17 Zobecněné rychlosti Zobecněnou rychlostí nazýváme časovou změnu zobecněné souřadnice. Příklad v r = dr/ v φ = dφ/ v S = ds/ v x = dx/ radiální rychlost, úhlová rychlost, plošná rychlost, x-ová složka rychlosti. Vazby Těleso nebo některé jeho části se nemusí pohybovat zcela libovolně. Pak říkáme, že v systému jsou vazby. Příklad vazeb je na následujícím obrázku: Obr. 3: Vazby v systému. Stupeň volnosti Stupni volnosti rozumíme počet nezávislých údajů (parametrů), kterými lze zcela popsat pohyb systému (značíme f ). Příklad 3 volný hmotný bod f = 3, N volných hmotných bodů f = 3N, hmotný bod na nakloněné rovině f =, hmotné body spojené tyčí f = 5, prostorové kyvao f =, rovinné kyvao f = 1. Pro systém N hmotných bodů s R vazbami platí f = 3N R. Zobecněné souřadnice volíme vždy jako množinu nezávislých parametrů, které zcela popisují systém, tj. je jich právě f : q (q 1, q,...q f ). Konfigurační prostor f-rozměrný prostor, do kterého zobrazujeme hodnoty zobecněných souřadnic. od konfiguračního prostoru nazýváme konfigurací. Časový vývoj konfigurace systému q(t) nazýváme trajektorie.

18 Teoretická mechanika Stav systému V klasické mechanice je v daném čase t 0 stav popisovaného systému zcela určen konfigurací q (q 1, q,... q f ) a tendencí (zobecněnými rychlostmi) v (v 1, v,..., v f ). Reálná a virtuální trajektorie: Obr. 4. Reálná a virtuální trajektorie. 1.1. Integrální principy Příklad 4. Představme si, že v rybníku se topí člověk. Mezi zachráncem a rybníkem je bažinatý pás, ve kterém se velmi těžko pohybuje, pás oraniště a pole. Zachránce musí volit optimální cestu, aby se k tonoucímu dostal co nejrychleji (takovou cestou nemusí být nejkratší spojnice mezi tonoucím a zachráncem): Obr. 5: Jaká je optimální cesta k tonoucímu z hlediska času?

1.1 Integrální principy mechaniky 19 Celkový čas, po který se bude pohybovat zachránce, určíme takto: v v t t x dx dy 1 y T d x. v v( xy, ) v( xy, ) ta ta xa Předpokládáme, že známe prostorovou závislost rychlosti v (x, y). Ta je dána typem terénu (pole, oraniště, bažina). Nyní hledáme takovou křivku y (x ), aby předchozí integrál měl minimální hodnotu. Řešením úloh tohoto typu se zabývá variační počet. Příklad 5: brachystochrona. Řešme následující úlohu. Těleso má klouzat po nakloněné rovině obecného tvaru mezi dvěma body A a, které jsou v různé výšce. Úkolem je nalézt rovnici tvaru nakloněné roviny tak, aby se těleso do bodu dostalo za nejkratší čas. Název křivky pochází z řečtiny (βραχιστος = nejkratší, χρονος = čas). Obr. 6: rachystochrona. Výpočet je obdobný předchozímu: v v dx dy 1 y T v( y) v( y) v( y) t t x ta ta xa Rychlost určíme ze zákona zachování energie 1 mgy mv mgh. Výsledná doba pohybu je x 1 y T d x. (1.1) gh ( y) xa Nyní je nutné nalézt křivku y(x), pro kterou nabývá integrál (1.1) svého minima jde opět o typickou úlohu variačního počtu. Dokončení řešení naleznete na konci kapitoly 1..3. Variačně lze zformulovat i základní zákony mechaniky, teorii elektromagnetic- d x.

0 Teoretická mechanika kého pole i další fyzikální disciplíny. V této kapitole se budeme zabývat jedním z integrálních principů mechaniky tzv. Hamiltonovým principem. 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší akce Oba dva úvodní příklady vey na optimalizaci integrálu typu x T( x, x ) F x, y( x), y( x) dx. (1.) A xa Integrand je funkcí nezávislé proměnné x, hledané funkce y (x) a její první derivace y' (x). Výsledkem optimalizace by měla být hledaná trajektorie či křivka y (x). V úvodním příkladu zachránce volil trajektorii tak, aby celkový čas byl nejkratší. Všechny ostatní trajektorie (tzv. virtuální nerealizované) jsou sice v principu možné, ale zachránce se po nich bude pohybovat delší dobu. Obdobně je tomu v příkladu s klouzajícím tělesem. Integrály výše uvedeného typu se nazývají funkcionály. Funkcionál je zobrazení, při kterém funkci přiřadíme číslo (v našem případě celkový čas). Základní myšlenka integrálních principů mechaniky je velmi podobná. Ze všech možných trajektorií systému se realizovala jen ta, která je nějakým způsobem výhodnější než ostatní. Hledisko výhodnosti se uvažuje obdobné úvodnímu příkladu, jen je ale nezávislou proměnnou čas, protože hledáme křivku q(t). Hamiltonův princip udeme předpokládat, že existuje funkce času t, zobecněných souřadnic a jejich prvních derivací (tj. stavu) Ltq (, 1,, qf, q1,, qf ) taková, že ze všech možných závislostí q k (t) = f k (t) se v přírodě realizuje ta, pro kterou má integrál t A 1 f 1 f ta St (, t ) Ltq (,,, q, q,, q ) (1.3) extrém (minimum). Funkci L(t, q, dq/) nazýváme Lagrangeovou funkcí (lagranžiánem) a integrál S (t A, t ) integrálem akce. Hamiltonův princip je základní axiom teorie. 1.1.4 Lagrangeovy rovnice Zaveďme virtuální posunutí qk qk,virt () t qk,real(), t resp. q q () t q () t virt real (1.4) jako infinitezimální rozdíl virtuální (myšlené) trajektorie a reálné (uskutečněné) trajektorie. ody na obou trajektoriích si odpovídají ve stejném čase (tzv. izochronní variace). Uveďme základní vlastnosti virtuálních posunutí:

1.1 Integrální principy mechaniky 1 1) q( t ) q ( t ) 0, (1.5) A d ) q q. (1.6) První vlastnost vyjadřuje, že virtuální i reálné trajektorie začínají a končí ve stejném bodě konfiguračního prostoru. Druhá vlastnost vyjadřuje záměnnost operací derivace d/ a variace δ. Obr. 7: K definici virtuálního posunutí. Poznámka: Vazby jsou v daném systému zahrnuty volbou zobecněných souřadnic jejich celkový počet je roven počtu stupňů volnosti. Virtuální posunutí jsou posunutí ve shodě s vazbami v daném čase. Odvoďme nyní nutné podmínky extremálnosti integrálu akce: t t t L L Lt (,, ) 0 Lt (,, ) 0 qk qk 0, q k q qq qq k ta ta ta kde jsme z důvodu izochronnosti vynechali diferenciaci poe času. Druhý člen nyní za pomoci (1.6) integrujeme per partes: t L d L L qk qk qk 0. q q q ta k k k ta Poslední člen je vzhledem k (1.5) nulový, a proto t ta L d L qk 0. qk q k Tato rovnost musí platit pro každé dva časy t A, t a pro každé virtuální posunutí δq k. Vzhledem k tomu, že δq k jsou nezávislá (počet zobecněných souřadnic je roven počtu stupňů volnosti systému), musí být závorka v předchozím vztahu pro každé k nutně nulová, tj.: d L L 0; k 1,, f. (1.7) q k qk t