MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci vše, co můžeme. A to konkrétně:. definiční obor (. cvičení) 2. spojitost (7. cvičení). sudost/lichost, periodicita (. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (0. cvičení) 5. druhá derivace, intervaly konvexity/konkávnosti (. cvičení) 6. lokální extrémy (0. cvičení) 7. ity v bodech nespojitosti, v krajních bodech definičního oboru (7. cvičení) 8. asymptoty (. cvičení) 9. průsečíky a jiné významné body, funkční hodnoty ve významných bodech (. cvičení) 0. graf (. cvičení) Nejdříve tedy dobereme to, co nám chybí a pak se poustíme do toho. 2 Konvexní a konkávní funkce Definice 2.0. Necht f je spojitá v intervalu I a necht v kaˇzdém vnitřním bodě intervalu I existuje f (x). Pak platí je-li f (x) > 0 v kaˇzdém vnitřním bodě x intervalu I, je f ryze konvexní v I je-li f (x) < 0 v kaˇzdém vnitřním bodě x intervalu I, je f ryze konkávní v I Poznámka: Hodně to zavání intervaly monotonie, no zde pracujeme s druhou derivací. Definice 2.0.2 Řekneme, ˇze funkce f má v bodě x 0 inflexi, existuje-li (konečná) derivace f (x 0 ) a ()
bud f je ryze konvexní v P (x 0 ) a ryze konkávní v P + (x 0 ) bud f je ryze konkávní v P (x 0 ) a ryze konvexní v P + (x 0 ) kde P (x 0 ) = P + (x 0 ) P (x 0 ) Poznámka: Takže v inflexních bodech se mění konvexní funkce na konkávní, nebo konkávní na konvexní. Příklad 2.0. Takový typický příklad pro inflexní bod: Funkce f(x) = x má v bodě x 0 = 0 inflexi. Skutečně druhá derivace f (x) = 6x je záporná pro x < 0, tedy funkce f je na intervalu (, 0 ryze konkávní a je kladná pro x > 0, tedy funkce f je na intervalu (, 0 ryze konvexní Příklad 2.0.2 Necht je dána funkce f(x) def = x 4 2x 2x 2 + 7x Najděte maximální intervaly, na nichž je funkce f ryze kovexní, resp. ryze konkávní, a inflexní body. Takˇze by to chtělo druhou derivaci. Nejdříve určíme první a pak tedy druhou Poloˇzíme rovno nule a nalezneme kořeny f (x) = 4x 6x 2 24x + 7 f (x) = 2x 2 2x 24 2x 2 2x 24 = 0 2(x 2 x 2) = 0 2(x + )(x 2) = 0 (kouzlo) Tedy jediné body, ve kterých se můˇze něco dít (změnit se druhá derivace kladná/záporná = zmenit se konvexnost/konkávnost) jsou kořeny druhé derivace a 2. Změna by mohla nastat i v bodech nespojitosti definičního oboru druhé derivace, ale jelikoˇz je funkce polynom, tak i druhá derivace je spojitá a očividně D f = R. Tedy definiční obor druhé derivace je rozdělen na tři disjunktní intervaly: (, ), (, 2), (2, ). A jak určit, zda je druhá derivace na těchto intervalech kladná nebo záporná? Vezměme jeden bod ze zkoumaného intervalu a dosadíme do předpisu druhé derivace. Pokud je druhá (2)
derivace v tomto bodě kladná, pak je kladná v celém intervalu. (stejné pozorování jako u intervalů monotonie, viz minulé cvičení). I f f (, + konvexní, 2 konkávní 0, ) + konvexní Krajní body byli včleněny do intervalů díky spojitosti definičního oboru původní funkce. Tedy funkce má dva inflexní body - a 2. Poznámka: Pokud Vám tento postup něco připomíná (konkrétně hledání intervalů monotonie), tak ano. Je to to samé, akorát jiné - pracujeme s druhou derivací. Příklad 2.0. Tak ještě jeden - určete maximální intervaly, na nichˇz je funkce f(x) def = x 2 ryze kovexní, resp. ryze konkávní, a inflexní body. První derivace druhá derivace a poloˇzíme rovno nule f (x) = 2x + x 2 = (2x + x 2 ) f (x) = (2 + 2x) + (2x + x 2 ) = (x 2 + 4x + 2) (x 2 + 4x + 2) = 0 Součin je nulový pokud alespoň jeden z činitelů je nulový. Funkce je nenulová, tedy jediná moˇznost je ten polynom - kvadratická rovnice - diskriminant, získáme x,2 = 4 ± 6 8 2 = 2 ± 2 Jelikoˇz definičním oborem funkce a druhé derivace je R, získáváme tři intervaly I f f (, 2 2} + konvexní 2 2, 2 + 2 konkávní 2 + 2, ) + konvexní Volil jsem tyto body: f ( 4) = e 4 (( 4) 2 + 4.( 4) + 2) = e 4 2 > 0 f ( 2) = e 2 (( 2) 2 + 4.( 2) + 2) = e 4 ( 2) < 0 f ( 4) = e 0 (0 2 + 4.0 + 2) = e 4 2 > 0 Tedy funkce má dva inflexní body a to 2 2 a 2 + 2. ()
Asymptoty Asymptoty - přímky ke kterým se funkce blýží, ale nikdy je nedosáhne. Asymptoty rozlišujeme svislé a šikmé.. Svislé asymptoty Definice.. Přímka x = x 0, x 0 R se nazývá svislá asymptota grafu funkce f, jestliˇze je alespoň jedna jednostranná ita funkce f v bodě x 0 nevlastní, tj. f(x) = ± nebo f(x) = ± x x 0 + x x 0 Poznámka: Pozorování: Funkce nemůže mít šikmou asymptotu v bodě, ve kterém je spojitá (ita by se přímo rovnala funkční hodnotě - a ta nemůže být ± ). Tedy až budeme pátrat po šikmých asymptotách, rozhodně sáhneme po bodech nespojisti funkce. Příklad.. Například funkce je nespojitá v bodě 0, kuk na ty ity x 0+ x 0 f(x) = x tedy funkce f má v bodě 0 svislou asymptotu. x = x =.2 Šikmé asymptoty Ono se občas může stát, že jak se blýžíme k nekonečnu, tak se funkce blýží k nějaké přímce. Nevěříte? Definice.2. Přímka y = ax + b, a, b R se nazývá asymptota grafu funkce f v plus nekonečnu, jestliˇze Pro konstanty a, b platí (f(x) (ax + b)) = 0 f(x) a = x b = f(x) ax Obdobně pro asymptotu grafu f v minus nekonečnu (nahrad te v itách). Poznámka: Všimněte si, že a, b R. Tedy žádné nekonečno. Pokud je to nekonečno, žádná šikmá asymptota není. (4)
Příklad.2. Nalezněte šikmé asymptoty funkce f(x) def = x2 x Takˇze nalezneme konstanty a, b at to můˇzeme do předpisu y = ax + b dosadit. Nejdříve plus nekonečno x 2 x x = x 2 H 6x l x 2 x =l = H 6 = 2x 2 = Supr, takˇze je to reálné číslo, tedy a =. Pokračujeme x 2 x = x x x = Tedy funkce má šikmou asymptotu v plus nekonečnu s předpisem y = x +. Ted tedy mínus nekonečno: x 2 x x = x 2 x 2 x =l H = x 2 x x = 6x l H = 2x x x = 6 2 = Tedy funkce f má šimkou asymptotu v minus nekonečnu s předpisem y = x +. Příklad.2.2 Určete asymptoty funkce f(x) def = ex x + Svislé Definičním oborem funkce je D f = R \ { }, takˇze jediná svislá asymptota můˇze být akorát v bodě. x + x x + = e x + = e Šikmá asymptota v plus nekonečnu a = x+ x = x + x l H = x 2 + x Tedy šikmá asymptota v plus nekonečnu není. x + = e x + = e y 0+ y 0 l H = 2x + y = y = 2 = (5)
Šikmá asymptota v minus nekonečnu a = x+ x = Pokračujme ve výpočtu b b = l H = x 2 + x 0.x == x + 2x + = ex x + = 0 Tedy přímka y = 0x + 0 = 0 je šikmou asymptotou v minus nekonečnu. 2x + = 0 4 Průběh funkce Tedy všechny body ohledně průběhu funkce máme v malíčku a ted hurá na to. Příklad 4.0. Vyšetřete průběh funkce f(x) def = x x 2 + x + 9. definiční obor D f = R 2. spojitost polynomy jsou spojité na celém D f, funkce je tedy spojitá v kaˇzdém bodě D f. sudost/lichost, periodicita Funkce není periodická (nemá být proč :) Co takhle sudá/lichá? f( x) = ( x).( x) 2 +.( x) + 9 = x x 2 x + 9 f(x) f(x) Funkce není sudá a není lichá. 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie f (x) = x 2 26x + Poloˇzíme rovno nule a nalezneme stacionární body x,2 = 26 ± 26 2 4.. 6 Dostaneme dva stacionární body = 26 ± 8. 0 6 = ± 4. 0 x = + 4. 0, x 2 = 4. 0, komu vadí tak šílená čísla a nedokáˇze si pod nima představit konkrétní hodnotu, tak uˇzije kalkulačku x 8.55, x 2 0.2 - tyto hodnoty vyuˇzijeme pouze pro uspořádání důleˇzitých bodů (6)
které dělí definiční obor první derivace na tři intervaly kde jsem volil tyto body I f f (, 4. 0 + rostoucí 4. 0, +4. 0 klesající +4. 0, ) + rostoucí f (0) =, f (6) = 45, f (0) = 4 5. druhá derivace, intervaly konvexity/konkávnosti f (x) = 6x 26 poloˇzíme rovno nule, existuje jediné řešení a to x =. Tedy definiční obor druhé derivace je rozdělen na dva intervaly: I f f (, konkávní, ) + konvexní kde jsem volil f (0) = 26, f (0) = 4 6. lokální extrémy Jediné lokální extrémy mohou být v stacionárních bodech, rozhodne hodnota druhé derivace v tomto bodě - dosazovat však nemusíme, víme do kterého intervalu konvexnosti a konkávnosti patří daný stacionární bod - víme tedy, jestli tato hodnota je kladná či záporná. V bodě 4. 0 je lokální maximum, v bodě +4. 0 je lokální minimum. 7. ity v bodech nespojitosti, v krajních bodech definičního oboru Funkce je spojitá na celém D f. Zbývá se juknout na ±. x x 2 + x + 9 = x ( x + x 2 + 9 x ) = x x 2 + x + 9 = x ( x + x 2 + 9 x ) = 8. asymptoty Svislé asyptoty uˇz máme za sebou - funkce je spojitá na celém D f, ˇzádné svislé asymptoty se nekonají. Zkusíme ty šikmé: x x 2 + x + 9 a = = x x2 x + + 9 x = x2 ( x + x 2 + 9 x ) = V plus nekonečnu nic (koeficient b ani nebudeme počítat), co takhle minus nekonečno? a = x x 2 + x + 9 = x x2 x++ 9 x = x2 ( x + x 2 + 9 x ) = Funkce nemá ˇzádné šikmé asymptoty. (7)
9. významné body, funkční hodnoty ve významných bodech Významnými body jsou jistě průsečíky s osami, konkrétně plůsečíky s x-ovou osou získáme jako řešení rovnice (hledáme body, které mají y-ovou sloˇzku nulovou) x x 2 + x + 9 = 0 Jedním řešením j 4 =. Další řešení získáme dělením polynomů (x x 2 + x + 9) : (x ) = x 2 2x 9 A získáme další kořeny (diskriminant) x 5 = 6 + 5, x 6 = 6 5. Průsečík s y-ovou osou je mnohem snaˇzší - je to bod, který má x-ovou souřadnici nulovou. Jelikoˇz 0 D f lze snadno dosadit f(0) = 9 Dopočítáme funkční hodnoty ve všech významných bodech x f(x) +4. 0 :) 4. 0 :) :) 0 6 + 5 0 6 5 0 0 9 0. graf Nyní přichází velké finále našeho snaˇzení. Graf není nutno kreslit přesně a trápit se s pravítkem - jde hlavně o kvalitativní vlastnosti funkce (8)
Nezapomeňte do grafu zaznačit všechny důležité hodnoty Příklad 4.0.4 Vyšetřete průběh funkce. definiční obor D f = R \ {, } (nulou se nedělí) 2. spojitost funkce je spojitá v kaˇzdém bodě D f f(x) def = x x 2. sudost/lichost, periodicita Funkce není periodická (nemá být proč :) Co takhle sudá/lichá? f( x) = ( x) ( x) 2 = x x 2 = f(x) Funkce je lichá. Tak stačí vyšetřit průběh funkce na intervalu 0, a pak vyuˇzijeme symetrie. Pro jednoduchost označme definiční obor na této polovině D f = 0, ) (, ) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie f (x) = x2 (x 2 ) x 2x (x 2 ) 2 = x4 x 2 (x 2 ) 2, D f = D f Poloˇzíme rovno nule a nalezneme stacionární body Dostaneme tři stacionární body x 4 x 2 (x 2 ) 2 = 0 x4 x 2 = 0 x 2 (x 2 ) = 0 x 0 =, x = 0, x 2 = Jelikoˇz uvaˇzujeme pouz 0 a definiční obor Df, budeme uvaˇzovat tři intervaly: I f f (0, ) klesající (, klesající, ) + rostoucí kde jsem volil tyto body f ( 2 ) = 9, f ( 2 ) = 27 25, f (2) = 4 9 (9)
5. druhá derivace, intervaly konvexity/konkávnosti f (x) = (4x 6x)(x 2 ) 2 (x 4 x 2 )2(x 2 )2x (x 2 ) 4 =... = 2x + 6x (x 2 ), D f = D f poloˇzíme rovno nule 2x + 6x (x 2 ) = 0, 2x(x2 + ) = 0 Existuje jediné řešení a to 0. Tedy definiční obor druhé derivace je rozdělen na dva intervaly: I f f 0, ) konkávní (, ) + konvexní kde jsem volil f ( 2 ) = 208 27, f (2) = 28 27 6. lokální extrémy Jediné lokální extrémy mohou být v stacionárních bodech. Co se týče - zde je lokální minimum, druhá derivace v tomto bodě je kladná. V nule lokální extrém není - jak se ukáˇze později, je zde inflexní bod (dle symetrie se zde mění funkce z konvexní na konkávní) 7. ity v bodech nespojitosti, v krajních bodech definičního oboru Funkce není spojitá v bodě, tak se podíváme na ty jednostranné ity x + x x x 2 = x + x x 2 = x x (x )(x + ) = x + x (x )(x + ) = x x (x + ) x + x (x + ) x x (x ) = 2 = x (x ) = ( ) = 2 8. asymptoty Svislé asyptoty už máme za sebou - funkce f má na x > 0 jedinou šikmou asyptotu x =. Zkusíme ty šikmé (a jelikoˇz uvaˇzujeme pouz > 0 budeme počítat jen v plus nekonečnu): b = a = x x 2 x = x 2 x 2 = x x 2 x = x x + x x 2 = Funkce má tedy šikmou asymptotu v plus nekonečnu y = x. x 2 x 2 ( x 2 ) = x 2 x x 2 ( x 2 ) = 0 9. významné body, funkční hodnoty ve významných bodech Významnými body jsou jistě průsečíky s osami, ale funkce f má jediný průsečík a tím je [x, f(x)] = [0, 0]. Dále je důleˇzitý bod - zde se mění funkce z klesající na rostoucí, proto určíme funkční hodnotu f( ) = 2 (0)
0. graf Nyní přichází velké finále našeho snaˇzení. Graf není nutno kreslit přesně a trápit se s pravítkem - jde hlavně o kvalitativní vlastnosti funkce Nezapomeňte do grafu zaznačit všechny důleˇzité hodnoty 5 Reference [] Matematická analýza ve Vesmíru - soubor přednáškových slidů Bouchala J., 2000 a něco [2] Diferenciální počet jedné proměnné Kuben J., Šarmanová P., ESF, 2007 ()