1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/ 1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. p: A[a 1 ; a 2 ; a 3 ], u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ): x = a 1 + t.u 1 y = a 2 + t.u 2 y = a 3 + t.u 3, t R. kde [x; y, z] jsou souřadnice všech bodů ležících na přímce p Příklad: Určete parametrické vyjádření přímky AB, je-li A[2; 3; -1] a B[0; -1; 5]. Příklad: Zjistěte, zda body A[1; 5; -2], B[2; 3; 0] a C[0; 7; -3] leží na jedné přímce.
Analytická geometrie v prostoru 2/7 2. Parametrické vyjádření roviny Rovina je určena: třemi nekolineárními body (body neležícími na 1 přímce), nebo dvěma různými přímkami, které nejsou mimoběžné, nebo ρ: A[a 1 ; a 2 ; a 3 ], u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ), v = (v 1 ; v 2 ; v 3 ): x = a 1 + s.u 1 + t.v 1 y = a 2 + s.u 2 + t.v 2 y = a 3 + s.u 3 + t.v 3, s, t R. kde [x; y, z] jsou souřadnice všech bodů ležících v rovině ρ Příklad: Určete parametrickou rovnici roviny ABC, jestliže A[0; 2; 1], B[-1; 3; 2] a C[4; -1; 3]. Příklad: Rozhodněte, zda bod K[3; 2; 0] leží v rovině určené bodem A[2; 1; 5] a přímkou p(b, u), jestliže B[2; -1; 2] a u = (1; 3; 3). 3. Obecná rovnice roviny Vektor n, který je kolmý ke všem vektorům ležícím v rovině, nazýváme normálovým vektorem této roviny. V obecné rovnici ax + by + cz + d = 0 roviny ρ, určené bodem P[p 1 ; p 2 ; p 3 ] a normálovým vektorem n = (n 1 ; n 2 ; n 3 ), odpovídají koeficienty a, b, c souřadnicím jejího normálového vektoru n = (a, b, c). Příklad: Určete obecnou rovnici roviny ABC, kde A[2; -2; 1], B[1; -1; 4] a C[0; 0; 1]. normálový vektor roviny: vektorový součin vektorů AB a AC. AB = ( ; ; ), AC = ( ; ; ) AB x AC a = b c a = b = c =
Analytická geometrie v prostoru 3/7 Příklad: Převeďte obecnou rovnici roviny: 5x - 8y - 6z + 11 = 0 na parametrické vyjádření. Příklad: Určete obecnou rovnici roviny, která je dána parametricky: x = 2 + 2t - s, y = 3 - t + 3s, z = -1-2t s. 4. Vzájemná poloha přímek v prostoru Dvě přímky p, q v prostoru mohou mít 4 vzájemné polohy a) p q = rovnoběžné různé žádný společný bod a u = k.v, kde u, v jsou směrové vektory přímek mimoběžné žádný společný bod a zároveň nejsou rovnoběžné (neleží v 1 rovině), b) p q = {P} různoběžné jeden společný bod, bod P, c) p q = p totožné společná je celá přímka. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímek p(a, u) a q(b, v), je-li A[1; 3; 5], B[-1; -2; 2], u = (2; 1; 1) a v = (-1; 2; 1).
Analytická geometrie v prostoru 4/7 5. Vzájemná poloha přímky a roviny V prostoru rozlišujeme tři možné vzájemné polohy roviny ρ a přímky p. a) p ρ = přímka p je s rovinou ρ rovnoběžná různá žádný společný bod, b) p ρ = {P} přímka p a rovina ρ jsou různoběžné jeden bod, bodě P, c) p ρ = p přímka p leží v rovině ρ. všechny body přímky p. Příklad: Určete vzájemnou polohu přímky p(a, u) a roviny δ určené bodem B a jejím normálovým vektorem n, je-li A[1; 4; 2], B[4; 1; 0], u = (1; 1; 2) a n = (1; -1; 2). Jsouli různoběžné, najděte jejich průsečík. 6. Vzájemná poloha dvou rovin Vzájemné polohy dvou rovin ρ a ψ jsou stejné jako u přímek v rovině. 1. ρ ψ = rovnoběžné různé. žádný společný bod, 2. ρ ψ = p různoběžné. přímka p průsečnice, 3. ρ ψ = ρ totožné celá rovina.
Analytická geometrie v prostoru 5/7 Příklad: Určete vzájemnou polohu rovin ρ: x - y + z = 0 a σ: 2x - 3y + z - 1 = 0. Jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici. 7. Odchylka 2 přímek Stejné jako odchylka 2 přímek v rovině: Odchylka přímek p(p, u), q(q, v) je číslo φ <0, π/2>, pro které platí: cos ϕ = u. v u. v Příklad: Spočítejte odchylku dvou přímek p(a; u) a q(b; v), je-li A[-9; -8; 7], B[6; 6; -4], u = (3; 0; 1) a v = (8; -9; -8). 8. Odchylka přímky a roviny Odchylka přímky p(p, u) a roviny ρ danou obecnou rovnicí (normálovým vektorem n) je číslo u. n φ <0, π/2>, pro které platí: sin ϕ = u. n Příklad: Spočítejte odchylku přímky p(a; u) a roviny ρ: 8x - 7y + 5z - 4 = 0, je-li A[-6; 2; 9], a u = (-8; 4; 9). 9. Odchylka 2 rovin n1. n2 Odchylka roviny ρ(a, n 1 ) a ψ(b, n 2 ) je číslo φ <0, π/2>, pro které platí: cosϕ = n. n Příklad: Spočítejte odchylku rovin ρ: 4x - 9y + 5z - 2 = 0 a σ: -3x + 3y - 7y - 1 = 0. 1 2
Analytická geometrie v prostoru 6/7 10. Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost d bodu B od přímky p(a, u) hledáme kolmici, tj. najdeme bod X přímky p, pro který platí (B - X)u = 0. Vzdálenost bodu B od přímky p je potom rovna XB. Příklad: Určete vzdálenost bodu B od přímky p(a, u), je-li A[3; 0; -1], B[1; 2; 1] a u = (-1;0;1). 11. Vzdálenost bodu od roviny Vzdálenost d bodu P[p 1 ; p 2 ; p 3 ] od roviny ρ: ax + by + cz + e = 0 je vyjádřena vzorcem: ap1 + bp2 + cp3 + e d = 2 2 2 a + b + c Příklad: Spočítejte vzdálenost bodu B[9; 6; -7] od roviny ρ: 6x - 1y - 3y - 3 = 0. Příklady: 1. Určete obecnou roviny ρ, která je dána body A[2; 1; 3], B[-1; 2; -1], C[3; 4; 2]. 2. Určete obecnou rovnici roviny ρ, která prochází bodem B[3; 2; -3] a která je kolmá na přímku x = 1 - t, y = 2 + 2t, z = -t; t. 3. Jsou dány body A[-1; 0; 3], B[-1; 3; -2] a vektory u = (1; 2; 2) a v = (-2; 3; 1). Určete vzájemnou polohu přímek p(a, u) a q(b, v). 4. Určete vzájemnou polohu přímky p(a, u) a roviny δ: 3x - y + 2z - 4 = 0, je-li A[2; -1; 2] a u = (2; 3; 2). 5. Určete vzájemnou polohu přímky p(a, u) a roviny ρ: 3x - 2y - z + 2 = 0, je-li A[1; 2; 1] a u = (3; 3; 3). 6. Určete vzájemnou polohu rovin ρ: 2x - 6y + z + 1 = 0 a φ: x + 3y + 2z - 4 = 0. 7. Najděte průsečnici p rovin ρ: x - 4y + 4z = 0 a φ: 2x - y + z - 7 = 0. 8. Spočítejte odchylku dvou přímek p(a; u) a q(b; v), je-li A[3; -5; -6], B[3; 0; 1], u = (-6; - 3; 7) a v = (7; 2; -7).
Analytická geometrie v prostoru 7/7 9. Spočítejte odchylku přímky p(a; u) a roviny ρ: -4x - 5y + 2z - 9 = 0, je-li A[-4; 5; 2], a u = (-7; 9; 8). 10. Spočítejte odchylku rovin ρ: -2x + 4y - 7y - 7 = 0 a σ: -9x + 6y + 1z + 2 = 0. 11. Určete vzdálenost bodu B od přímky p(a, u), jestliže A[-2; 1; -2], B[3; 4; -3] a u = (2; 1; 1). 12. Spočítejte vzdálenost bodu B[-9; 4; -6] od roviny ρ: -5x - 8y - 7y + 2 = 0. 13. Vypočítejte vzdálenost rovin ρ: 2x - y + z - 5 = 0 a ψ: 4x - 2y + 2z - 13 = 0. 14. Vypočítejte vzdálenost přímek p(a, u), q(b, v), jestliže A[2; -1; -1], B[5; 1; 3], u = (2; 0; 1) a v = (4; 0; 2). 15. Vypočítejte vzdálenost přímek p(a, u), q(b, v), je-li A[2; 2; 0], B[4; -1; 3], u = (-2; 3; 1) a v = (-1; 2; 1). Výsledky: 1. 11x - 7y - 10z + 15 = 0 2. ρ: x - 2y + z + 4 = 0. 3. mimoběžky 4. různoběžné P[0; -4; 0] 5. přímka p leží v rovině ρ 6. různoběžné, průsečnice p: x = -2 + 5t, y = t, z = 3-4t 7. p: x = 4, y = t, z = -1 + t 8. φ 8 9. φ 1 10. φ 67 11. d = 35 12. d 4,85 13. d 1,63 14. d = 3 4 3 d = 15. 3