MECHNICKÉ KMITÁNÍ
MECHNICKÉ KMITÁNÍ (OSCILCE) esacioáí ěj - půběh chaakeizují časově poměé veliči epeioický peioický ahamoický hamoický vuceé kmi vlasí kmi pohb hmoého bou (sousav HB ebo ělesa), při ěmž bo epřekočí koečou vzáleos o zv. ovovážé poloh v ovovážé poloze jsou všech síl působící a HB avzájem ve saické ovováze poku se opakuje půběh kmiavého pohbu po sejém časovém ievalu T (peioě) kmiavý peioický ěj
chaakeisické veliči lze vjáři ve vau ψ ( ) ψ ( ), mt ke m,,,3, hamoické kmi: ( ) si( ω ϕ ) ψ fekvece (kmioče) uává, koliká se kmi ebo jiý peioický ěj opakuje za jeoku času jeoka: s - Hz f T kmiající objek se azývají osciláo ejjeoušší jsou lieáí osciláo, při ichž se hmoý bo pohbuje po přímce (apř. ěleso a pužiě) Oscilace mohou mí ůzou fzikálí posau: mechaické, elekomageické, elekomechaické oscilace.
. VOLNÝ NETLUMENÝ HRMONICKÝ OSCILÁTOR - zojem kmiáí je hamoický osciláo jeouchý aslačí (lieáí) elasický osciláo - chaakeisika osciláou: hmoos závaží m, uhos puži k (přepoklááme, že pužia má zaebaelou hmoos opoi závaží, keé lze považova za hmoý bo) l l l l F P F G F P ovovážá poloha x mg k l F G F v mg k( l ) mg k l k k
le. Newoova zákoa: po -ové souřaice veliči: ) DYNMICKÝ POPIS KMITŮ POHYBOVÁ ROVNICE F ma F F P k Fp ma ma k m k k ke m vlasí úhlová fekvece osciláou ω p m k m ω k k ω πf f, T π m π m ω m k
B) KINEMTICKÝ POPIS KMITŮ ROVNICE VÝCHYLKY - ovice výchlk je řešeím pohbové ovice: si ( ω ϕ ) ke: okamžiá výchlka maximálí možá výchlka ampliua výchlk (bo vau) ( ) siϕ ϕ počáečí výchlka počáečí fáze ϕ ω ϕ okamžiá fáze pohbu počáečí pomík po
okamžiá výchlka: si si ω ( ω ϕ ), ke ϕ ( ϕ ) si ω, ke ϕ π chlos kmiů: v ω ( ω ϕ ) ampliua chlosi v a a ω cos v ω max zchleí kmiů: ω si( ω ϕ ) ampliua zchleí a max ω
C) FÁZOVÝ ROZDÍL -mezi ůzými veličiami popisujícími oéž kmiáí - mezi sejými veličiami popisujícími vě ůzá kmiáí ϕ ϕ ϕ je-li ϕ, π, 4π..., sejá fáze veliči (esp. kmiáí) je-li ϕ π, 3π, 5π..., opačá fáze veliči (esp. kmiáí) PŘÍKLDY STNOVENÍ FÁZOVÉHO ROZDÍLU:. okamžiá výchlka a chlos hamoického kmiáí si max cos ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) v v - fázový ozíl mezi ěmio veličiami je. okamžié výchlk vou hamoických kmiáí π si ω π si ω 4 - fázový ozíl mezi ěmio kmi je ϕ π ϕ π 4
D) GRFICKÉ VYJÁDŘENÍ fázoový iagam časový iagam x FÁZOR: oující veko v oviě x, mající počáek v počáku sousav souřaic élka fázou opovíá ampliuě veliči, keou přesavuje půmě fázou o svislé os () je ove okamžié hooě aé veliči úhel, keý svíá fázo s vooovou osou je ove okamžié fázi éo veliči
( ω ϕ ), ke ϕ si π si ω cosω siω
E) ENERGIE KMITŮ u hamoických kmiů se peioick měí kieická eegie v poeciálí eegii pužosi a aopak poeciálí eegie pužosi je číselě ova páci, keou vkoáme při vchýleí osciláou z ovovážé poloh E P F ( k ) E p k si k ( ω ϕ ) mω kieická eegie (pohbová): E K E k ( ω ϕ ) mv mω cos k cos ( ω ϕ )
ZÁKON ZCHOVÁNÍ MECHNICKÉ ENERGIE plaí u elumeého kmiáí ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). cos si si cos cos kos k E k E E E k E k m mv E K P P K ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω Celková mechaická eegie osciláou: k E
PŘÍKLD: Hmoý bo kmiá hamoick s ampliuou. Při jaké výchlce je jeho kieická eegie ova eegii poeciálí?
. TLUMENÝ OSCILÁTOR - ampliua kmiů s časem expoeciálě klesá - pohb v opoujícím posřeí, opoová síla v F ) POHYBOVÁ ROVNICE. Newoův pohbový záko: F F ma F P po -ové souřaice: b m k b m m k m m k m v k ma ω ω vlasí úhlová fekvece osciláou součiiel lumeí ω b
B) ROVNICE VÝCHYLKY vlasí úhlová b je řešeím pohbové ovice: e ( ω ) ampliua lumeého kmiáí: si ϕ e b úhlová fekvece lumeého kmiáí: ω ω b fekvece elumeých kmiů po b osáváme elumeé kmi s peioou T T > T oba kmiu se lumeím polužuje
akiické lumeí: b >ω apeioický ěj bω bω kiické lumeí: b ω ejchlejší z apeioických ějů pokiické lumeí: b <ω peioický ěj elumeý pohb lumeý peioický pohb
pokiické lumeí: b <ω peioický ěj úbek celkové mechaické eegie
CHRKTERISTICKÉ VELIČINY TLUMENÝCH KMITŮ a) úlum (kosaí, a čase ezávislá hooa): λ b) logaimický ekeme úlumu: δ l λ bt -b e -b( T ) e e bt c) elaxačí oba ampliu: ampliua klese a e iu : τ b ) peioa lumeých kmiů: T π ω ω π b
PŘÍKLD: Za s vkoá čásice kmiů, ampliua se přiom zmeší,78ká. Učee: a) koeficie úlumu b) logaimický ekeme úlumu c) poměou čás úbku eegie za peiou
3. VYNUCENÉ KMITY vuceé vější buící silou, keá se s časem peioick měí velikos vucující síl H F V Ω si ampliua buící síl osciláo kmiá v mu buící síl a) pohbová ovice le. NPZ: V o P F F F ma F po -ové souřaice: h b Ω si ω F h m H b m m k H m m m k m H k m H v k ma Ω Ω Ω si si si ω
ehomogeí ifeeciálí ovice. řáu: b ω hsi Ω OBECNÉ ŘEŠENÍ: SOUČET obecého řešeí homogeí ovice (bez pavé sa) a paikuláího řešeí ehomogeí ovice (kopíuje pavou sau) e b ( ω ϕ ) si( Ω γ ) si ampliua uceých kmiů γ počáečí fáze uceých kmiů zakmiáváí sousav lumeé kmi hamoické kmi usáleé kmiáí sousav
b ovice výchlk e ( ω ϕ ) si( Ω γ ),ϕ,γ ( Ω) jsou iegačí kosa si získáme osazeím o pohbové ovice mpliua uceých kmiů: m ( ω Ω) 4b Ω F Počáečí fáze uceých kmiů: (fázový posu kmiů a uící síl) gγ bω ω Ω mpliua uceých kmiů závisí a fekveci uící síl: ( Ω)
zakmiáváí sousav usáleé kmiáí sousav V pví fázi zakmiáváí sousav mohou výchlk překoči maximálí výchlku usáleých vuceých kmiů sousav!!!
MPLITUDOVÁ REZONNCE -sav osciláou, k ampliua uceých kmiů je maximálí -asává při Ω ω b ezoačí úhlová fekvece osciláou Pavá ezoace: v ieálím osciláou bez lumeí b Ω ω Ω Ω ω b F mbω F Ω ezoačí fekvece maximálí hooa ezoačí ampliu V paxi b<<ω Ω ω
REZONNČNÍ KŘIVK MPLITUDY
Výchlka i eegie začě aůsají i při epaé vucující síle: E m k
SUPERPOZICE HRMONICKÝCH KMITŮ sklááí kmiů u osciláoů sjeím supěm volosi lze ealizova je sklááí kmiů éhož směu řešeí aalické (počeí), gafické či geomeické (pomocí časového esp. fázoového iagamu), ebo expeimeálí izochoí kmi: kmi sejé fekvece ( a e i peio aizochoí kmi ozkla kmiáí
. SUPERPOZICE IZOCHRONNÍCH HRMONICKÝCH KMITŮ TÉHOŽ SMĚRU -mějme N izochoích hamoických kmiů: ( ) si ke,,n ( ω ϕ ) - výsleé kmiáí: N N si si ( ) ω ϕ ( ω ϕ )
Př. po vojici izochoích sejosměých kmiů Gafické řešeí uveeého poblému: cos ( ϕ ) ϕ ϕ acg siϕ cosϕ siϕ cosϕ
DISKUSE MPLITUDY max a) maximálí ampliua kmiů: plaí za přepoklau, že fázový ozíl ϕ ϕ, π, 4... π zv. KMITÁNÍ SE STEJNOU FÁZÍ b) miimálí ampliua kmiů: max plaí za přepoklau, že fázový ozíl ϕ ϕ π, 3π, 5... π zv. KMITÁNÍ S OPČNOU FÁZÍ je-li, je výsleá ampliua kmiáí se vzájemě vuší
. SUPERPOZICE NIZOCHRONNÍCH HRMONICKÝCH KMITŮ TÉHOŽ SMĚRU -aizochoí kmi mají ůzé fekvece ( ) si ( ω ϕ ) -výsleé kmiáí N () () si( ω ϕ ) N N ( cosϕ siω siϕ cosω) ZÁKLDNÍ pomíka peioičosi: ω T m π T π ω m ω, eboť T ω T,m,,3, EKVIVLENTNÍ pomíka peioičosi: ω m ω m T T zv. souměřielé peio (fekvece)
Výsleé kmi buou peioické (ale obecě ehamoické) je eh, kž poíl peio a fekvecí skláaých hamoických kmiů je á poměem celých klaých čísel. Splěí pomíek peioičosi: Výsleé kmiáí: () si( ω ϕ ) N pom je výsleý ěj hamoický s úhlovou fekvecí ω m
Supepozice aizochoích hamoických kmiů se souměřielými fekvecemi: RÁZY (ZÁZNĚJE)
3. SUPERPOZICE HRMONICKÝCH KMITŮ RŮZNÉHO SMĚRU -ejjeoušší přípa po sklááí vou izochoích kmiů vzájemě kolmých (ve směu souřaých os x a ) o výchlkách: x x ( ) si( ω ϕ ) () si( ω ϕ ) paameické ovice výsleého oviého kmiáí převeďme a obecou ovici křivk (elimiací paameu čas): x siω cosϕ cosω siϕ siω cosϕ cosω siϕ ( siϕ ) ( cosϕ ) ( siϕ ) ( cosϕ ) sečeme ovice
ROVNICE TRJEKTORIE VÝSLEDNÉHO KMITÁNÍ x x cos ϕ ( ϕ ϕ ) si ( ϕ ) obecá ovice elips -sře elips vpočáku souřaic -její os souměosi obecě esplývají se souřaými osami -os leží v oviě (x,) -hlaví osa smeie je ochýlea o os x o úhel α gα cos ( ϕ ϕ )
DISKUSE: x x a) ϕ ϕ kπ ke k,,, ± ± x lieáí hamoické kmi (elipsa přechází v přímku) π b) ϕ ϕ kπ x kuhové kmi (HB se pohbuje ovoměě po kužici)
Jsou-li skláaá kmiáí eizochoí a peio jsou v poměu celých čísel, osáváme jejich složeím Lissajousov obazce.
KYVDL
FYZICKÉ KYVDLO kažé zavěšeé ěleso o hmoosi m oáčivé kolem vooové pevé os ěžišě je po osou oáčeí ve vzáleosi mome sevačosi vzhleem k éo ose je J vieálím přípaě při malých úhlových výchlkách poukuje volé elumeé oačí hamoické kmi θ θ 4,5
Po vchýleí ělesa z ovovážé poloh se vací zpě vlivem momeu íhové síl: M mgh siθ mghθ Dle pohbové ovice M Jε osáváme: θ θ J mghθ mgh θ J vlasí úhlová fekvece ω Pohbová ovice fzického kvala po malé výchlk: θ ωθ Vlasí oba kmiu: T π J mgh
moel fzického kvala MTEMTICKÉ KYVDLO HB o hmoosi m zavěšeý a ehmoém vlákě élk l J ml, x l T ml π π mgl -eukovaá élka fzického kvala: aková élka maemaického kvala, keé má sejou obu kmiu jako aé fzické kvalo. l g
TORZNÍ KYVDLO při vchýleí vziká vaý silový mome T π J κ M κθ ozí uhos (uhos ve zkuu)