RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni sediva@kma.zcu.cz Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty.............. 4 1 Množina a operace s množinami 5 1.1 Definice základních množinových pojmů.......................... 5 1.2 Číselné množiny........................................ 5 1.3 Intervaly............................................ 7 1.4 Operace s množinami, Vénnovy diagramy.......................... 7 1.5 Omezenost množin, maximum a minimum množiny, supremum a infimum množiny... 9 1.6 Přehled používaných symbolů................................ 13 2 Posloupnosti reálných čísel 14 2.1 Definice posloupnosti, zadávání posloupnosti, graf posloupnosti, operace s posloupnostmi 14 2.2 Operace s posloupnostmi................................... 15 2.3 Vlastnosti posloupností.................................... 15 2.4 Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti.................. 17 2.5 Algebra limit posloupností.................................. 19 2.6 Příklady limit posloupností.................................. 20 3 Nekonečné řady reálných čísel 21 3.1 Základní vlastnosti číselných řad.............................. 21 3.2 Příklady číselných řad.................................... 22 3.3 Konvergence číselných řad.................................. 24 4 Základní vlastnosti funkcí 26 4.1 Reálná funkce f reálné proměnné x............................. 26 4.2 Operace s funkcemi...................................... 26 4.3 Vlastnosti funkcí....................................... 30 4.4 Prostá funkce a inverzní funkce............................... 33 4.5 Základní typy funkcí..................................... 34 4.5.1 Lineární funkce f : y = a 0 + a 1 x.......................... 35 4.5.2 Kvadratická funkce f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2.................... 36 4.5.3 Polynomické funkce x 3, x 4, x 5,............................. 37 4.5.4 Lineární lomené funkce f : y = a 0 + a 1 x b 0 + b 1 x...................... 38 4.5.5 Exponenciální funkce f : y = a x........................... 39 1

4.5.6 Logaritmické funkce f : y = log z (x)......................... 40 4.5.7 Funkce s absolutní hodnotou............................. 41 5 Polynomy 42 5.1 Dělení polynomu polynomem................................ 45 5.1.1 Hornerovo schéma.................................. 45 5.2 Odhady kořenů........................................ 46 5.2.1 Racionální kořeny................................... 46 5.2.2 Odhad počtu reálných kořenů a jejich polohy.................... 47 5.3 Numerické metody odhadu reálných kořenů polynomu P (x)............... 49 5.4 Rozklad lomené racionální funkce na parciální zlomky................... 51 6 Vektory a vektorový prostor 53 6.1 Vektorový prostor....................................... 53 6.2 Volný a vázaný vektor, podprostor vektorového prostoru................. 55 6.3 Báze vektorového prostoru a souřadnice vektorového prostoru vzhledem k bázi..... 56 6.4 Skalární součin vektorů a norma vektoru, vektorový součin v R 3............. 59 7 Matice - základní pojmy a definice 61 7.1 Operace s maticemi...................................... 62 7.2 Determinant maticemi.................................... 65 7.3 Inverzní matice........................................ 70 7.4 Výpočet inverzní matice pomocí Jordanovy eliminace................... 70 8 Soustava lineárních rovnic 73 8.1 Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých............ 74 8.2 Elementární úpravy matic a hodnost matice........................ 75 8.3 Řešení soustav lineárních rovnic............................... 76 8.3.1 Graficky....................................... 76 8.3.2 Substituční metoda.................................. 76 8.3.3 Gaussovou eliminační metodou........................... 76 8.3.4 Cramerovým pravidlem................................ 77 8.3.5 Nalezením inverzní matice.............................. 79 8.4 Homogenní a nehomogenní soustavy............................. 81 9 Analytická geometrie 83 9.1 Analytická geometrie v rovině................................ 83 9.1.1 Směrnicová, úseková, obecná a vektorová rovnice přímky............. 83 9.1.2 Odchylka dvou přímek a vzdálenost bodu od přímky............... 85 9.1.3 Vzájemná poloha dvou přímek v rovině....................... 86 9.1.4 Transformace kartézských souřadnic......................... 86 9.2 Analytická geometrie v prostoru............................... 88 9.2.1 Obecná, úseková a parametrická rovnice roviny.................. 88 9.2.2 Odchylka dvou rovin, vzdálenost bodu od roviny, poloha dvou rovin....... 89 2

9.2.3 Přímka v prostoru.................................. 89 10 Limita funkce v bodě x 0 R { ; + } 91 10.1 Definice limity funkce..................................... 91 10.2 Vlastnosti limit funkcí.................................... 97 10.3 Některé limity vybraných funkcí............................... 98 10.4 Neurčité výrazy - speciální typy limit............................ 99 11 Spojitost reálné funkce reálné proměnné 100 11.1 Spojitost v bodě x 0...................................... 100 11.2 Body nespojitosti....................................... 101 11.3 Spojitost funkce v uzavřeném intervalu I = a; b..................... 102 12 Derivace reálné funkce reálné proměnné 103 12.1 Definice diferenčního podílu a derivace a jejich geometrická interpretace......... 103 12.2 Pravidla pro derivování.................................... 105 12.3 Přehled derivací elementárních funkcí............................ 106 13 Využití derivace 108 13.1 Stacionární body a vztah k lokálním maximům a minimům................ 108 13.2 Věty o střední hodnotě - nabývání hodnot na uzavřeném intervalu............ 110 13.3 Využití derivací pro výpočet limit - l Hospitalovo pravidlo................ 111 13.4 Využití derivací pro určování rovnice tečen a rovnice normály.............. 112 13.5 Využití derivací pro aproximaci funkce polynomem - Taylorův polynom......... 113 14 Vyšetřování průběhu funkce 115 14.1 Základní pojmy důležité pro průběh reálné funkce f.................... 115 14.2 Postup při vyšetřování průběhu funkce........................... 116 3

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty Mezi základní pojmy, se kterými se budeme často potkávat jsou: Definice pojmu je charakteristika nějakého matematického jevu, charakteristika (vymezení pojmu) musí být jednoznačná tak, abychom mohli rozhodnout, zda nějaký matematický objekt definici vyhovuje nebo ne. Obvykle v definici vyjmenujeme vlastnosti, které matematický objekt musí mít, abychom ho mohly označovat příslušným pojmem. Věta (matematická věta) je tvrzení, které můžeme pomocí dříve zavedených definic a jednoduchých logických úvah považovat za platné. Každá věta má svoje předpoklady a dále vlastní tvrzení. Z hlediska logiky má tedy charakter: Když jsou splněny předpoklady..., pak platí.... Jednoduché (snadno dokazatelné) věty se často nazývají tvrzení nebo lemma. Věty, které jsou založeny na základních (intuitivních) matematických pojmech, které nelze dokázat, nazýváme axiomy. Důkaz je logický postup, pomocí kterého ověřujeme platnost matematické věty. Při důkazech se opíráme o principy výrokové logiky, založené na pojmu výrok (cokoliv o čem má smysl uvažovat, zda je pravda nebo není pravda). V matematice používáme logiku využívající pouze dva stavy: výrok má smysl (pravdivý výrok) nebo výrok nemá smysl (nepravdivý výrok). Pro složené výroky budeme používat následující označení a zároveň značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme platí výrok V 1 a zároveň výrok V 2 nebo značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme platí výrok V 1 nebo výrok V 2 nebo platí oba výroky, tj. platí alespoň jeden z výroků implikace značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme když platí výrok V 1 pak platí výrok V 2, POZOR pokud výrok V 1 neplatí mohou pro výrok V 2 nastat obě situace, tedy může platit a nemusí ekvivalence značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme výrok V 1 platí právě tehdy, když platí výrok V 2 negace značíme V 1 nebo non V 1 a slovně interpretujeme není pravda, že V 1, hodnota výrazu V 1 nabývá opačných hodnot než je hodnota výrazu V 1 Poznámka: Matematické věty mají charakter implikací nebo ekvivalencí. Často při důkazech využíváme toho, že platí V 1 V 2 non V 2 non V 1 4 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 5 1 Množina a operace s množinami 1.1 Definice základních množinových pojmů Zavedení pojmu množina je velice složité, my budeme pod pojmem množina chápat souhrn matematických objektů, které mají společnou vlastnost a dokážeme tyto objekty tedy vymezit. Je nezbytně nutné, abychom VŽDY dokázali rozhodnout, zda matematický objekt je prvkem množiny nebo není prvkem množiny. Používáme značení objekt x je prvkem množiny M (objekt x náleží do množiny M): x M objekt x není prvkem množiny M (objekt x nenáleží do množiny M): x / M každý prvek x množiny M (všechny prvky x z množiny M): x M existuje (alespoň jeden) prvek x množiny M : x M existuje právě jeden prvek x množiny M :! x M Množinu vymezujeme dvěmi základními způsoby: 1. výčtem všech prvků {x 1, x 2,..., x n } 2. stanovením charakteristických vlastností {x : V (x)}, kde V (x) je vlastnost prvku, např. x je sudé číslo. Pokud nad prvky množiny zavedeme algebraické operaci (sčítání, odčítání, násobení a podobně) s prvky mluvíme obvykle o algebře. Moderní algebra studuje vlastnosti různých množin co nejobecněji, aby bylo možno dosažené závěry použít na co nejvíce konkrétních případů. 1.2 Číselné množiny Speciálním typem množiny jsou číselné množiny, kdy prvky nazýváme číslem. Pojem čísla patří k jednomu ze základních pojmů matematiky, postupně v rámci historického vývoje byl tento pojem stále rozšiřován a každé dítě zopakuje při seznamování s čísly tento historický vývoj. Přirozená čísla značíme N = {1, 2, 3,... } Přirozená čísla rozšířená o nulu značíme N 0 = {0, 1, 2, 3,... } Celá čísla značíme Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } { } p Racionální čísla značíme Q = : p, q Z, nesoudělná, q 0 q Reálná čísla značíme R (definici neuvádíme nikoliv proto, že neexistuje, ale protože je tak složitá, že to přesahuje jednu přednášku) 5 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 6 Iracionální čísla {x R : x není racionální} Komplexní čísla značíme C = {[x, y] : x, y R, uspořádaná dvojice reálných čísel} Platí N Z Q R Budeme předpokládat, že pro výše uvedené číselné množiny známe základní operace (je dobré si rozmyslet, které algebraické operace nám zachovávají množinu, tj. při kterých operacích dostaneme číslo opět ze stejné množiny : rovnost-nerovnost umíme rozhodnout, které dvě čísla jsou stejná uspořádání pro dvě čísla umíme rozhodnout, které číslo je menší <, ev. větší >, případně menší nebo rovno nebo větší nebo rovno geq sčítání pro dvě čísla umíme najít a + b násobení pro dvě čísla umíme najít a b odčítání pro dvě čísla umíme najít a b dělení pro dvě čísla umíme najít a/b Rozmyslete si, ve kterých číselných množinách platí následující tvrzení: komutativní zákon tj. a + b = b + a, resp. a b = b a asociativní zákon tj. (a + b) + c = a + (b + c), resp. (a b) c = a (b c) existence nulového prvku 0 tj. existence prvku, pro který platí a + 0 = 0 + a = a existence opačného prvku k prvku a tj. existence prvku a, pro který platí a + ( a) = 0 existence jednotkového prvku 1 tj. existence prvku, pro který platí a 1 = 1 a = a existence inverzního prvku k prvku a tj. existence prvku a 1, pro který platí a a 1 = 1 distributivní zákon tj. (a + b) c = a c + b c tranzitivnost rovnosti tj. a = b a zároveň b = c, pak a = c tranzitivnost nerovnosti tj. pokud a < b a zároveň b < c, pak a < c 6 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 7 1.3 Intervaly Pro jednoduchost zavedeme následující pojmy a označení pro speciální podmnožiny reálných čísel Omezené intervaly uzavřený interval a; b je množina {x R : a x b} a b polouzavřený interval (a; b je množina {x R : a < x b} a b polouzavřený interval a; b) je množina {x R : a x < b} a b otevřený interval (a; b) je množina {x R : a < x < b} a b Neomezené intervaly a; + ) je množina {x R : x a} (a; + ) je množina {x R : x > a} ( ; a je množina {x R : x a} ( ; a) je množina {x R : x < a} ( ; + ) je množina x R a a a a 1.4 Operace s množinami, Vénnovy diagramy Množina je tedy matematický objekt, se kterým můžeme různé množinové operace a zajímat se o vztahy mezi různými množinami. My budeme potřebovat následující množinové operace: inkluse značíme A B a slovně interpretujeme množina A je podmnožinou množiny B, platí výrok x A x B množinová rovnost (identita) značíme A B a slovně interpretujeme množina A je ekvivalentní s množinou B, platí výrok x A x B sjednocení značíme A B a slovně interpretujeme sjednocení množin A a B, platí A B {x : x A x B} n též používáme symboly A i pro sjednocení konečného počtu množin, i=1 nekonečného počtu množin a i I A i pro sjednocení množin z indexové množiny I A i pro sjednocení i=1 7 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 8 průnik značíme A B a slovně interpretujeme průnik množin A a B, platí A B {x : x A x B} n též používáme symboly A i pro průnik konečného počtu množin, A i pro průnik nekonečného i=1 i=1 počtu množin a i I A i pro průnik množin z indexové množiny I rozdíl značíme A\B a slovně interpretujeme rozdíl množin A a B,resp. doplněk množiny B v množině A platí A \ B {x : x A x / B} kartézský součin značíme A B a slovně interpretujeme kartézský součin množin A a B (ZÁLEŽÍ NA POŘADÍ) platí A B {[x; y] : x A y B} Užitečné je grafické znázorňování množinových vztahů a operací pomocí tzv. Vénnových diagramů, kdy množiny znázorňujeme pomocí obrázků. Množina B je podmnožina množiny B Sjednocení množin A B 8 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 9 Průnik množin A B Vztahy mezi dvěmi a více množinami se zabývá matematická analýza. Základním pojmem je v této matematické oblasti pojem zobrazení množiny A do množiny B. Speciálním případem jednoznačného zobrazení z množiny reálných čísel do množiny reálných jsou reálné funkce reálných proměnných. 1.5 Omezenost množin, maximum a minimum množiny, supremum a infimum množiny V této kapitole se budeme zabývat pouze podmnožinami množiny R. Pod pojmem množina M tedy v následujícím textu chápeme M R. Mohli bychom pracovat i v obecnějších množinách, ale potřebujeme především tyto dvě základní vlastnosti reálných čísel. Na reálných číslech máme definovanou relaci uspořádání, tj. pro dvě různá reálná čísla a, b R nastane vždy právě jedna z možností a < b nebo b < a. V reálných číslech platí Cantorův axiom spojitosti. Pro každé dvě různá reálná čísla a, b R, a < b, existuje reálné číslo c tak, že platí a < c < b. Definice 1.1 Množina M se nazývá shora omezená množina, pokud existuje reálné číslo a R tak, že x M x < a. (pro každé číslo x z množiny M platí, že x je menší než číslo a) Definice říká, že musí existovat číslo a R, takových čísel může ale existovat i více. Definice 1.2 Množina M se nazývá zdola omezená množina, pokud existuje reálné číslo b R tak, že x M b < x. (pro každé číslo x z množiny M platí, že x je větší než číslo b) Definice 1.3 Množina M se nazývá omezená množina, pokud je omezená shora a zároveň je omezená zdola. 9 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 10 Definice 1.4 Číslo a R se nazývá supremem množiny M, pokud 1. x M x < a nebo x = a (zkráceně x a) 2. číslo a je nejmenší číslo splňující podmínku (1.) Supremum množiny M značíme sup M, supremum množiny je číslo, které může, ale nemusí ležet v množině M. Supremum množiny je vždy určeno jednoznačně, tj. neexistují dvě suprema. Definice 1.5 Číslo b R se nazývá infimem množiny M, pokud 1. x M x > a nebo x = a (zkráceně x a) 2. číslo a je největší číslo splňující podmínku (1.) Infimum množiny M značíme inf M, infimum množiny je číslo, které může, ale nemusí ležet v množině M. Infimum množiny je určeno jednoznačně. Definice 1.6 Číslo a M se nazývá maximem množiny M, pokud x M x a Maximum množiny M značíme max M, maximum množiny je vždy prvkem množiny M. Maximum množiny je určeno jednoznačně. Definice 1.7 Číslo b M se nazývá minimem množiny M, pokud x M x b Maximum množiny M značíme min M, maximum množiny je vždy prvkem množiny M. Minimum množiny je určeno jednoznačně. Věta 1.1 Necht M R je podmnožina reálných čísel, pak platí následující tvrzení: Jestliže množina M je shora omezená, pak množina M má supremum. Jestliže množina M je zdola omezená, pak množina M má infimum. Jestliže množina M má maximální prvkem, pak množina M má supremum a max M = sup M. Jestliže množina M má minimální prvkem, pak množina M má infimum a min M = inf M. Jestliže množina M má konečný počet prvků, pak množina M je omezená (shora i zdola) a má maximum i minimum a supremum i infimum. Příklady: Pro uzavřený interval 1; 100 platí množina je omezená shora, číslo a z definice je například číslo 101 nebo číslo 100.00001 množina je omezená zdola množina má maximum a minimum max M = 100 a min M = 1 množina má supremum a infimum sup M = 100 a inf M = 1 10 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 11 Pro otevřený interval ( 1; 100) platí množina je omezená shora, číslo a z definice je například číslo 101 nebo číslo 100.00001 množina je omezená zdola množina nemá maximum a nemá minimum max M = a min M = množina má supremum a infimum sup M = 100 a inf M = 1 Pro interval ( 1; + ) platí množina není omezená shora množina je omezená zdola množina nemá maximum a nemá minimum max M = a min M = množina nemá supremum ale má infimum sup M = a inf M = 1 { } 1 Pro množinu M = n : n N = {1; 12 ; 13 ; 14 } ;... platí množina je omezená shora, například číslem 2 množina je omezená zdola, například číslem 0 množina má maximum ale nemá minimum max M = 1 a min M = množina má supremum a má infimum sup M = 1 a inf M = 0 Pro množinu M = { n 2 : n N } = {1; 4; 9; 16;... } platí množina není omezená shora množina je omezená zdola, například číslem 0 množina nemá maximum ale má minimum max M = a min M = 1 množina nemá supremum ale má infimum sup M = a inf M = 1 množina M může být zobrazena též graficky množina M- silně vyznačená část a a = inf M = min M b b = sup M 11 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 12 12 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 13 1.6 Přehled používaných symbolů V 1 V 2 jestliže platí V 1, pak platí V 2 V 1 V 2 obecně neplatí tato implikace V 1 V 2 V 1 platí právě tehdy, když platí V 2 V 1 V 2 platí výrok V 1 a zároveň platí výrok V 2 V 1 V 2 platí výrok V 1 nebo platí výrok V 2 (nebo platí oba výroky) V 1 negace (opak) výroku V 1 M = {x : V (x)} množina M zadána pomocí výroku V x M objekt x je prvkem množiny M x / M objekt x není prvkem množiny M x M pro každý prvek množiny M x M existuje prvek množiny M! x M existuje právě jeden prvek množiny M neexistuje A B sjednocení množin A a B Ai A B sjednocení více množin A i průnik množin A a B Ai A B A B A B N průnik více množin A i množina A je podmnožina množiny B množina A je podmnožina množiny B (množiny mohou být ekvivalentní) množina A je podmnožina množiny B (množiny nejsou ekvivalentní) množina všech přirozených čísel N 0 množina všech přirozených čísel rozšířená o prvek 0 Z Q R R + (R ) R + 0 (R 0 ) a = b a b a. = b a b a b max M (min M) sup M (inf M) množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel množina všech reálných čísel množina všech kladných (záporných) reálných čísel množina všech nezáporných (nekladných) reálných čísel číslo a je rovno číslu b číslo a není rovno číslu b číslo a je po zaokrouhlení rovno číslu b číslo a je přibližně rovno číslu b číslo a je mnohem (řádově) menší než číslo b maximum (minimum) množiny M supremum (infimum) množiny M 13 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 14 2 Posloupnosti reálných čísel 2.1 Definice posloupnosti, zadávání posloupnosti, graf posloupnosti, operace s posloupnostmi Definice 2.1 Posloupností reálných čísel (číselnou posloupností) nazýváme každé zobrazení množiny všech přirozených čísel N do množiny reálných čísel R. N R n a n Pro posloupnosti čísel používáme značení {a n } + n=1, případně značení (a n) + n=1, případně {a 1; a 2 ; a 3 ;... } nebo (a 1 ; a 2 ; a 3 ;... ) Posloupnost je dána slovním vyjádřením například- každému přirozenému číslu je přiřazena jeho druhá mocnina; tabelárně (výčtem všech členů), pokud je jasný princip konstrukce posloupnosti, například {1; 4; 9; 16, ; 25;... } analyticky (vzorem pro n-tý člen, například a n = n 2 + 3 rekurentně (je dáno několik prvních členů posloupnosti a je dán předpis, jak se vypočte další člen na základě předcházejících členů), například a 1 = 1, a 2 = 4 a a n 2a n 1 = 2 Graf posloupnosti musí odpovídat situaci, kdy definiční obor posloupnosti jsou přirozená čísla. TAKTO ANO TAKTO NE!!! 14 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 15 Vybranou posloupností z posloupnosti {a n } + n=1 nazýváme posloupnost {b n} + n=1, k níž existuje taková rostoucí posloupnost přirozených čísel {k n } + n=1, že b n = a kn. Posloupnost { n 2} + je vybranou posloupností z posloupnosti {n}+ n=1 n=1. 2.2 Operace s posloupnostmi S posloupnostmi můžeme provádět základní algebraické operace tak, že například součet dvou posloupností je posloupnost, která má členy odpovídající součtu příslušných členů původních posloupností. {a n } + n=1 + {b n} + n=1 = {a n + b n } + n=1 Obdobným způsobem zavedeme odčítání posloupností, součin posloupností a podíl posloupností (pokud mají všechny podíly smysl). 2.3 Vlastnosti posloupností Definice 2.2 Posloupnost {a n } + n=1 se nazývá rostoucí, pokud pro každé n N platí a n a n+1 ; ostře rostoucí, pokud pro každé n N platí a n < a n+1 ; klesající, pokud pro každé n N platí a n a n+1 ; ostře klesající, pokud pro každé n N platí a n > a n+1. Souhrnně nazýváme rostoucí, ostře rostoucí, klesající a ostře klesající posloupnosti jako posloupnosti monotónní. Konstantní posloupnost nazýváme takovou posloupnost, pro kterou platí a n = konstanta pro n N Definice 2.3 Posloupnost {a n } + n=1 se nazývá omezená shora, pokud existuje reálné číslo K H takové, že pro každé n N platí a n K H ; omezená zdola, pokud existuje reálné číslo K D takové, že pro každé n N platí K D a n ; omezená, pokud existuje reálné číslo K takové, že pro každé n N platí a n K. Někdy používáme místo termínu omezená posloupnost termín posloupnost ohraničená. Věta 2.1 Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená zdola a zároveň je omezená shora. Speciálním případem posloupností jsou posloupnosti aritmetické a geometrické. POZOR většina posloupností není ani aritmetická ani geometrická. 15 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 16 Aritmetická posloupnost je posloupnost, pro kterou platí a n a n+1 = d = konstanta pro n N. Číslo d se nazývá diferencí aritmetické posloupnosti. Pokud diference aritmetické posloupnosti je kladná, pak posloupnost je ostře rostoucí. Pokud diference aritmetické posloupnosti je záporná, pak posloupnost je ostře klesající. Pokud diference aritmetické posloupnosti je rovna nule, pak posloupnost je konstantní. Geometrická posloupnost je posloupnost, pro kterou platí Číslo q se nazývá kvocientem geometrické posloupnosti. a n a n+1 = q = konstanta pro n N. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je q > 1 a a 1 > 0, pak posloupnost je ostře rostoucí. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je q > 1 a a 1 < 0, pak posloupnost je ostře klesající. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je 0 < q < 1 a a 1 > 0, pak posloupnost je ostře klesající. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je 0 < q < 1 a a 1 < 0, pak posloupnost je ostře rostoucí. Pro q < 0 je geometrická posloupnost alternující, tj. a n = ( 1) n b n (posloupnost se střídavými znaménky). Pro q = 1 je geometrická konstantní. Definice 2.4 Necht je dána posloupnost {a n } + n=1, označme A = {a R; existuje n N tak, že a = a n } pak definuje pojmy maximum posloupnosti, minimum posloupnosti, infimum posloupnosti a supremum posloupnosti následujícím způsobem max {a n } + n=1 = max A; min {a n } + n=1 = min A; sup {a n } + n=1 = sup A; inf {a n } + n=1 = inf A. Věta 2.2 Z každé posloupnosti lze vybrat posloupnost monotónní. 16 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 17 2.4 Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti Definice 2.5 Řekneme, že číslo a R je vlastní (konečnou) limitou posloupnosti {a n} + n=1, jestliže ɛ > 0 n 0 N; n > n 0 (n N) = a n a < ɛ Tuto skutečnost stručně zapisujeme lim a n = a nebo stručněji a n a pro n n Ilustrační obrázek vlastní limity posloupnosti. Definice 2.6 Řekneme, že posloupnost {a n} + n=1 má nevlastní limitou posloupnosti +, jestliže Tuto skutečnost stručně zapisujeme Řekneme, že posloupnost {a n } + n=1 Tuto skutečnost stručně zapisujeme K > 0 n 0 N; n > n 0 (n N) = a n > K lim a n = + nebo stručněji a n + pro n n má nevlastní limitou posloupnosti, jestliže L < 0 n 0 N; n > n 0 (n N) = a n < L lim a n = nebo stručněji a n pro n n Definice 2.7 Posloupnost, která má vlastní (konečnou) limitu se nazývá posloupnost konvergentní. Posloupnost, která není konvergentní se nazývá divergentní. Divergentní posloupnost může mít limitu rovnu + nebo nebo limita neexistuje. 17 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 18 Nyní uvedeme několik základních vět o limitách. Důkazy těchto vět budou pouze naznačeny. Věta 2.3 Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz věty sporem: Omezím se pouze na vlastní limity. Budu předpokládat, že existují dvě různá a b čísla lim a n = a a lim a n = b. Pak zvolím 0 < ɛ <. Podle definice limity musí existovat index n n 2 n 0 (a) pro hodnotu a a index n 0 (b) pro hodnotu b, vezmu větší z těchto hodnot. Pak musí platit n > max(n 0 (a); n 0 (b)) (n N) = a ɛ < a n < a + ɛ a zároveň b ɛ < a n < b + ɛ A to je spor, protože intervaly (a ɛ; a + ɛ) a (b ɛ; b + ɛ) jsou disjunktní (mají prázdný průnik). Věta 2.4 Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz: Zvolíme si ɛ = 1 a najdeme příslušný index n 0 a pak musí platit pro všechny n > n O (n N) a 1 < a n < a + 1 Jestliže zvolím K H = max {a 1 ; a 2 ;... ; a n0 1; a + 1} a K D = {a 1 ; a 2 ;... ; a n0 1; a 1} dostanu omezující konstanty pro posloupnost. POZOR: obrácená implikace neplatí. Existuje posloupnost, které je omezená, ale nemá konečnou limitu, například a n = ( 1) n. Platí však následující věty. Věta 2.5 Každá omezené monotónní posloupnosti je konvergentní. A pro klesající posloupnost platí lim a n = inf {a n } + n n=1 a pro rostoucí posloupnost platí lim a n = sup {a n } + n n=1 Věta 2.6 Z každé omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která je konvergentní. 18 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 19 2.5 Algebra limit posloupností Pod pojmem algebra limit chápeme operace sčítáním, odčítáním,... limit. V této části se omezíme pouze na vlastní (konečné) limity. Věta 2.7 Necht jsou dány dvě konvergentní posloupnosti {a n } + n=1 a {b n} + n=1, přičemž lim a n = a a n lim b n = b, pak platí n lim n a n + b n = a + b; lim n a n b n = a b; lim n K a n = K a, kde K je libovolné reálné číslo (včetně nuly); lim n a n b n = a b; a n lim = a, pokud b 0. n b n b Věta 2.8 Věty o limitování posloupností 1. Necht lim a n = a a lim b n = b n n a necht existuje index n 0 takový, že pro všechny n > n 0 N platí pak také platí a n b n lim a n lim b n n n 2. Necht lim a n = a a lim b n = b a necht a < b, pak exituje index n 0 takový, že pro všechny n n n > n 0 N platí a n < b n. POZOR: { Neostré } nerovnosti při limitě zůstávají! Ostrá nerovnost může přejít v neostrou. + { } + 1 2 Příklad a, platí a n < b n, ale lim a n = lim b n. n n=1 n n n n=1 Věta 2.9 Věta o sevření, věta o dvou policistech Necht jsou dány tři posloupnosti {a n } + {b n } + n=1 a {c n} + n=1, kde lim a n = a a lim c n = a n n a necht existuje index n 0 takový, že pro všechny n > n 0 N platí a n b n c n, n=1, pak také lim b n = a n 19 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 20 2.6 Příklady limit posloupností 1. lim n q n =, pro q ( ; 1 0, pro q ( 1; 1) 1, pro q = 1 +, pro q (1; + ) P k (n) 2. lim n Q m (n) = lim a 0 + a 1 n + + a k n k n b 0 + b 1 n + + b m n m 3. lim (1 + a ) n = e a n n 4. limita typu konst. ± 5. limita typu konst. 0 6. limita typu ± ± je rovna 0 a k, b m pro k = m 0, pro k < m ±, pro k > m může být rovna + nebo nebo nemusí existovat může být cokoliv, často můžeme použít následujících vztahů 4 n 3 n n n n 2 n 3 ( ) n 1 4 ( ) n 1 1 (2) n (4) n 2 ln n n e n n! n n 20 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 21 3 Nekonečné řady reálných čísel V dalším budeme zkoumat význam symbolu a 1 + a 2 + a 3 + = nekonečné (a případně konečné) řady se často používají pro vyjádření očekávaných příjmů nebo plateb v budoucích obdobích. 3.1 Základní vlastnosti číselných řad Definice 3.1 Bud {a n } + n=1 n=1 posloupnost reálných (komplexních) čísel. Označme s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4......... a n s n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + + a n. Číslo s n nazveme n-tým částečným součtem řady částečných součtů dané řady. Symbol a n = a 1 + a 2 + a 3 +... se nazývá řada. n=1 n=1 a n a posloupnost {s n } + n=1 nazveme posloupnost Jestliže existuje (vlastní nebo nevlastní) limita posloupnosti částečných součtů, tj. existuje s tak, že pak číslo s nazveme součtem řady a píšeme Pokud s je konečné číslo, tj. Pokud s je ±, tj. lim s n = s, n a n = s n=1 a n = s R říkáme, že řada konverguje. n=1 a n = ± říkáme, že řada diverguje. n=1 Pokud lim n s n neexistuje, říkáme, že řada osciluje. 21 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 22 3.2 Příklady číselných řad Geometrická řada konverguje pro q < 1 Řadu a + aq + aq 2 + aq 3 + = aq n, kde a a q jsou daná čísla (a je první člen řady a q je kvocient řady), nazveme geometrickou řadou. Pro částečné součty platí s n = a 1 qn 1 q a limita částečných součtů pro n je pro q < 1 rovna a 1, pro ostatní případy je limita 1 q rovna +, - nebo neexistuje. Celkově tedy platí, že geometrická řada pro konverguje pro q < 1 n=0 a + aq + aq 2 + aq 3 + = aq n = n=0 a 1 q pro q < 1 Příklad: Je dána nekonečná číselná řada n=0 a n, kde a n = 1 4 2n+4 1. Určete pro n tý člen posloupnosti částečných součtů s n. 2. Sečtěte prvních 10,15 a 16 členů posloupnosti a n. 3. Vypočtěte součet nekonečné číselné řady. Pro členy této řady platí a n == 1 4 2n+4 = 1 4 2n 4 4 = 1 256 n=0 a n = 1 ( 1 256 16 + 1 16 + 1 ) 2 16 +... 3 kde první člen řady a má hodnotu a kvocient řady q má hodnotu a = = 1 256 1 256 16 = 1 4096 q = 1 16. 1, tedy jedná se o geometrickou řadu 16n 1 16 ( 1 + 1 16 + 1 ) 16 +..., 2 Podle předcházejících vztahů víme, že pro částečné součty platí s n = a 1 qn 1 q pro q < 1 k hodnotě s = a 1 q. a řada konverguje 22 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 23 Řada 1. Pro n tý člen posloupnosti částečných součtů s n platí ) n s n = a 1 qn 1 q = 1 1 ( 1 16 4096 1 ( ) 1 16 2. Sečtěte prvních 10,15 a 16 členů posloupnosti a n. s 10 = 1 1 ( 1 16 4096 1 ( 1 s 15 = 1 1 ( 1 16 4096 1 ( 1 s 16 = 1 1 ( 1 16 4096 s = a 1 q = ) 10 ) 16 ) 15 ) 16 ) 16 1 ( 1 16 ). = 0.00026. = 0.00026. = 0.00026 3. Vypočtěte součet nekonečné číselné řady, kde q = 1 16 a 1 16 < 1 ( 1 ) 4096 n=0 1 n(n + 1) konverguje Použijeme následující trik 1 n(n + 1) = 1 n 1 n + 1 1 ( 1 16 ) = 1 3840 a dostáváme posloupnost částečných součtů s 1 = 1 1 1 2 s 2 = 1 1 1 2 + 1 2 1 3 s 3 = 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4 s 4 = 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4 + 1 4 1 5......... s n = 1 1 1 n + 1 Pro limitu částečných součtů pak platí lim 1 1 n n + 1 = 1, 23 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 24 tedy řada n=0 1 n(n + 1) konverguje a součet řady je roven jedné. n=0 1 n(n + 1) = 1 Řada n=0 1 n diverguje, harmonická řady 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 +... n=0 = 1 + 1 ( 1 2 + 3 + 1 ) ( 1 + 4 5 + 1 6 + 1 7 + 1 )... 8 1 + 1 ( ) ( 1 1 2 + + 2 4 + 1 )... 4 = 1 + 1 ( ) ( ) 1 1 2 + +... 2 2 3.3 Konvergence číselných řad Věta 3.1 Nutná podmínka konvergence číselné řady Necht konverguje, pak lim n a n = 0. Poznámky: a n = a 1 + a 2 + a 3 +... jedná se nutnou podmínku, tedy: pokud lim n a n je různá od nuly, pak řada nemůže být konvergentní nejedná se o podmínku postačující: příkladem je harmonická řada lim a n = 0 je splněna, ale řada je divergentní n n=1 n=0 1, kde podmínka n Rozhodnutí o konvergenci číselné řady je v konkrétních situacích velmi složité, pomáhají nám různá kritéria konvergence. Jednodušší je situace pro řady s nezápornými členy, kdy můžeme používat například následující kritéria Srovnávací kritérium: Bud a n a n=0 b n dvě řady s nezápornými členy a necht existuje k tak, n=0 že pro všechna n > k platí a n b n, potom platí: je-li b n konvergentní, je n=0 a n také konvergentní n=0 24 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 25 je-li a n divergentní, je n=0 b n také divergentní n=0 Příkladem použití je řada n=0 Cauchyho (odmocninové) kritérium Bud lim n n an = A, potom platí: je-li A < 1, je je-li A > 1, je a n konvergentní; n=0 a n divergentní; n=0 1 1, která je divergentní (srovnám ln n ln n > 1 n ) a n řada s nezápornými členy a necht existuje limita je-li A = 1, nemohu o konvergenci na základě tohoto kritéria rozhodnout. D Alembertovo (podílové) kritérium Bud a n+1 lim n a n = A, potom platí: je-li A < 1, je je-li A > 1, je a n konvergentní; n=0 a n divergentní; n=0 n=0 a n řada s kladnými členy a necht existuje limita je-li A = 1, nemohu o konvergenci na základě tohoto kritéria rozhodnout. n=0 25 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 26 4 Základní vlastnosti funkcí 4.1 Reálná funkce f reálné proměnné x zobrazení f : A B, kde A R a B R zobrazení, které ke každému x A přiřazuje právě jedno y = f(x) B x A! y B : y = f(x) x - argument funkce f; y - funkční hodnota funkce f D (f) = A: definiční obor funkce f H (f) = B: obor (funkčních) hodnot funkce f maximální (existenční) definiční obor je taková podmnožina reálných čísel, pro která má analytický vzorec funkce smysl graf funkce: množina všech bodů {[x, y]; x D (f), y = f(x)} ve zvolené soustavě souřadnic (kartézské souřadnice Oxy, sférické souřadnice,... ) způsoby zadání funkce analytické (vzorec, rovnice, několik rovnic pro různé části definičního oboru + definiční obor) Např. f : y = 2x { + 3 x 2 pro x ( 3, 3) f(x) := 9 jinak grafickým zadáním výčtem funkčních hodnot {(1; 1), (2; 4), (3; 9), (4, 16)} 4.2 Operace s funkcemi ekvivalence funkcí rovnost funkcí f 1 a f 2 : f 1 f 2 D (f 1 ) = D (f 2 ) x D (f 1 ) : f 1 (x) = f 2 (x) upořádání funkcí funkce f 1 je větší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : f 1 f 2 x M : f 1 (x) f 2 (x) funkce f 1 je ostře větší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : f 1 > f 2 x M : f 1 (x) > f 2 (x) 26 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 27 funkce f 1 je menší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : f 1 f 2 x M : f 1 (x) f 2 (x) funkce f 1 je ostře menší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : algebraické operace s funkcemi f 1 < f 2 x M : f 1 (x) < f 2 (x) sčítání (odčítání) funkcí f 1 a f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ): g = f 1 ± f 2 x M : g(x) = f 1 (x) ± f 2 (x) násobení funkcí f 1 a f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ): g = f 1 f 2 x M : g(x) = f 1 (x) f 2 (x) dělení funkcí f 1 a f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ): skládání funkcí g = f 1 f 2 x M; f 2 (x) 0 : g(x) = f 1(x) f 2 (x) g = f 1 f 2 : g(x) = f 1 (f 2 (x)), pokud je splněno, že H (f 2 ) D (f 1 ) D (g) D (f 2 ) H (g) H (f 1 ) g: složená funkce f 1 : vnější funkce f 2 : vnitřní funkce opačným postupem dostáváme rozklad složené funkce na elementární funkce 27 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 28 transformace grafu funkcí (speciální typy skládání) g(x) = f(x): graf funkce g je souměrný s grafem funkce f podle osy x g(x) = f( x): graf funkce g je souměrný s grafem funkce f podle osy y g(x) = f(x) + K: graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunutý o konstatnu K ve směru osy y 28 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 29 g(x) = f(x + K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunutý o konstatnu K ve směru osy x g(x) = f(x K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovaný směru osy x (body průniku grafu s osou y zůstávají zachovány) g(x) = K f(x): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovaný směru osy y (body průniku grafu s osou x zůstávají zachovány) 29 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 30 4.3 Vlastnosti funkcí sudá (lichá) funkce sudá funkce: x D (f) : x D (f) f( x) = f(x) sudá funkce je souměrná podle osy y x 2, x 1/2, cos(x), x,... lichá funkce: x D (f) : x D (f) f( x) = f(x) lichá funkce je souměrná podle počátku 0 1/x, x 3, sin(x),... periodická funkce p R \ {0} : x D (f) : x ± p D (f) f(x ± p) = f(x) p je perioda funkce základní (primitivní) perioda: existuje-li pro funkci f nejmenší kladná perioda p goniometrické funkce - sin, cos, tg, cotg,... funkce omezená funkce f je omezená zdola na množině M D (f): d R : x M platí d f(x) funkce f je omezená shora na množině M D (f): h R : x M platí f(x) h funkce f je omezená na množině M D (f): 30 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 31 d: dolní mez funkčních hodnot h: horní mez funkčních hodnot extrémy funkcí d, h R : x M platí d f(x) h funkce f má v bodě x min minimum na množině M D (f): x M platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré minimum na množině M D (f): x M platí f(x min ) < f(x) funkce f má v bodě x min maximum na množině M D (f): x M platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré maximum na množině M D (f): x M platí f(x min ) > f(x) pokud M = D (f), jedná se o globální extrém funkce f (globální minimum, globální ostré minimum, globální maximum, globální ostré maximum) funkce f má v bodě x min lokální minimum: ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré lokální minimum: ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) < f(x) funkce f má v bodě x min lokální maximum: ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré lokální maximum: POZOR NA ZNAČENÍ ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) > f(x) max f(x) je funkční hodnota v bodě maxima - leží na ose y x max = argmax f(x) je bod, ve kterém funkce svého maxima nabývá - leží na ose x monotóní funkce funkce f je na množině M D (f) ostře rostoucí: x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) < f(x 2 ) funkce f je na množině M D (f) ostře klesající: 31 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 32 funkce f je na množině M D (f) rostoucí: funkce f je na množině M D (f) klesající: funkce monotóní: funkce klesající, rostoucí x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) > f(x 2 ) x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) funkce ryze monotóní: funkce ostře rostoucí, ostře klesající vzájemné vazby mezi omezeností, existencí lokálních a globálních extrémů a monotónií pokud má funkce globální minimum, pak je omezená zdola pokud má funkce globální maximum, pak je omezená shora lokální extrémy k omezenosti nepostačují každý globální extrém je i extrém lokální existují funkce omezené zdola, které nemají globální minimum existují funkce omezené shora, které nemají globální maximum pokud má funkce v bodě x min ostré lokální minimum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x min ɛ, x min ) ostře klesající a v intervalu (x min, x min + ɛ) ostře rostoucí pokud má funkce v bodě x min lokální minimum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x min ɛ, x min ) klesající a v intervalu (x min, x min + ɛ) rostoucí pokud má funkce v bodě x max ostré lokální maximum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x max ɛ, x max ) ostře rostoucí a v intervalu (x max, x max + ɛ) ostře klesající pokud má funkce v bodě x max lokální maximum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x max ɛ, x max ) rostoucí a v intervalu (x max, x max + ɛ) klesající existují funkce f, které jsou v intervalu (a ɛ, a) monotónní a v intervalu (a, a + ɛ) opačně monotónní, ale nemají v bodě a extrém 32 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 33 4.4 Prostá funkce a inverzní funkce funkce f je prostá: funkce f je prostá na množině M D (f): x 1, x 2 D (f), x 1 x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) x 1, x 2 M, x 1 x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) funkce f 1 je inverzní k funkci f: pokud funkce f je prostá a platí D (f 1 ) H (f) D (f) H (f 1 ) x D (f) : x = f 1 (f(x)) f 1 f(x) 1 y = f(x) x = f 1 (y) pokud je funkce f prostá prostá na množině M D (f), existuje inverzní funkce na této množině M každá ryze monotóní funkce je prostá ke každé ryze monotóní funkci existuje funkce inverzní grafy inverzních funkcí jsou symetrické podle osy prvního a třetího kvadrantu 33 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 34 4.5 Základní typy funkcí lineární funkce f : y = a 0 + a 1 x kvadratické funkce f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 grafem je přímka grafem je p parabola mocninné funkce f : y = x α přirozený mocnitel α N celý mocnitel α Z racionální mocnitel α = p g Q iracionální mocnitel α R lineární lomené funkce f : y = a 0 + a 1 x b 0 + b 1 x grafem je hyperbola algebraické funkce (vznikne z lineární funkce pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování) polynomické funkce stupně n (polynom P n ) f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n lomené racionální funkce f : y = P n Q m iracionální funkce (obsahuje odmocniny x) exponenciální funkce f : y = a x logaritmické funkce (inverzní k exponenciálním) f : y = log a (x) funkce s absolutní hodnotou goniometrické funkce f : sin, cos, tg, cotg cyklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým) f : arcsin, arccos, arctg, arccotg 34 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 35 4.5.1 Lineární funkce f : y = a 0 + a 1 x definiční obor i obor hodnot jsou reálná čísla monotónní funkce, a 1 > 0 ostře rostoucí a 1 < 0 ostře klesající a 1 = 0 konstanta, nerostoucí, neklesající neomezená funkce (pro a 1 0) inverzní funkce existuje pokud a 1 0 grafem je přímka grafem inverzní funkce je opět přímka Příklady Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = x + 3 a f 2 : y = 2x 1 a najděte k funkcím funkce inverzní Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = 1 3 x 2 a f 2 : y = 3 2x 2 Sestrojte graf funkce f 1 : y = 4x2 5x 2x a najděte k funkcím funkce inverzní 35 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 36 4.5.2 Kvadratická funkce f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 definiční obor jsou reálná čísla funkce omezená zdola pokud a 2 > 0 funkce omezená zhora pokud a 2 < 0 existují dvě větve inverzní funkce grafem je parabola, parabola protíná osu x v nulových bodech f 1 : y = x 2 4 f 2 : y = x 2 x + 6 = (x + 3)(x 2) Příklady Sestrojte graf funkce f : y = x 2 5x+6 pro x 5; 7, určete obor funkčních hodnot, sestrojte graf funkce g(x) = f(x) a sestrojte graf funkce h(x) = x 2 5 x + 6 Sestrojte graf funkce f : y = x 2 5x + 6, určete průsečíky funkce f s osami, najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f na intervalu 0; 4 36 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 37 4.5.3 Polynomické funkce x 3, x 4, x 5,... x 2, x 4, x 6 x, x 3, x 5 Příklady Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = x 4 a f 2 : y = x 6 a na grafech vyznačte body funkčních hodnot pro x = 1 14 Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = x 3 a f 2 : y = x 5 a na grafech vyznačte body funkčních hodnot pro x 1 = 1 32 a pro x 2 = 0, 25 37 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 38 4.5.4 Lineární lomené funkce f : y = a 0 + a 1 x b 0 + b 1 x definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě bodu b 0 b 1 obor hodnot jsou všechna reálná čísla kromě bodu a 1 b 1 grafem je hyperbola inverzní funkcí je opět lineární lomená funkce 1 x a x + 2 x 1 Příklady Sestrojte graf funkce f : y = 2x 2 a vypočtěte průsečíky s osami, určete definiční obor a obor x + 1 hodnot Sestrojte graf funkce f : y = 3x + 5 a vypočtěte průsečíky s osami, vypočtěte funkční hodnoty x + 2 f( 1), f( 1/3), f(1) 38 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 39 4.5.5 Exponenciální funkce f : y = a x 2 x, 1 2 x = 2 x, 2 x 1 2 x, 2 x Příklady Sestrojte grafy funkcí 3 x, 3 x, 3 x, 3 x + 1, 3 x+1 Sestrojte grafy funkcí 1 2 x, 1 x 2 Sestrojte grafy funkcí 3 x, 4 x a sestrojte k funkcím grafy funkcí inverzních 39 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 40 4.5.6 Logaritmické funkce f : y = log z (x) Logaritmické funkce jsou inverzní k exponenciálním funkcím Definiční obor (0; ), obor hodnot jsou všechna reálná čísla log 10 (x), log e (x), 10 x log 2 (x), log 1/2 (x), 2 x 40 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 41 4.5.7 Funkce s absolutní hodnotou 2x + 1, 2x + 1, 2x x 2 2x 8, x 2 2 x 8, x 2 2x 8 41 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy 42 5 Polynomy Definice 5.1 Necht a 0,..., a n jsou prvky množiny T, n 0 přirozené číslo. Polynomem (mnohočlenem) P proměnné x T nazýváme předpis P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 x, a n 0 Stupeň polynomu P (x) je nejvyšší mocnina proměnné x u níž je nenulový koeficient, značíme st(p ). Nulový polynom je polynom, který má všechny koeficienty rovny 0. Stupeň nulového polynomu není definován. Někdy je vhodné dodefinovat stupeň nulového polynomu číslem 1. V dalším budeme předpokládat, že pracujeme s reálnými T = R (případně komplexními polynomy T = C), tj. x R resp. x C. Příklady polynomů: 5x 2 + 4x + 6 JE polynom stupně 2 7x 10 + 23.2x JE polynom stupně 10 5 JE polynom stupně 0 4x 3 + πx 19 JE polynom stupně 3 sin x + 7x 5 NENÍ polynom 0 JE polynom, stupeň není definován 4 3 x3 + x 7 + 2 JE polynom stupně 3 5x 6 + x 5 NENÍ polynom (4 + 2i )x 2 + i x 7 JE polynom stupně 7 Definice 5.2 Polynomy P (x) a Q(x) se rovnají (P (x) = Q(x)), pokud platí P (α) = Q(α) α Věta 5.1 Polynomy P (x) = a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 1 x+a 0 a Q(x) = b m x m +b m 1 x m 1 +...+b 1 x+b 0 se rovnají právě tehdy, když mají stejný stupeň a rovnají se jejich koeficienty, tj. n = m a a i = b j i = 0, 1,..., n. Příklad: Určete koeficienty A, B, C, D polynomu P (x) = A(x + 1) + B(x 3 + x 2 ) + Cx 2 3D tak, aby byl roven polynomu x 3 + 2x + 5. Bx 3 + (B + C)x 2 + Ax + (A 3D) = 1x 3 + 0x 2 + 2x + 5 B = 1 B + C = 0 A = 2 A 3D = 5 A = 2 B = 1 C = 1 D = 1 42 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy 43 Definice 5.3 Operace s polynomy Necht jsou dány dva polynomy a P (x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 = Q(x) = b m x m + b m 1 x m 1 +... + b 1 x + b 0 = n a i x i i=0 m b j x j j=0 1. Součet dvou polynomů P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) je polynom stupně max {n; m} P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) = max{n;m} i=0 (a i + b i )x i 2. Násobení polynomu nenulovým číslem λ R je polynom stupně n λ P (x) = n (λ a i )x i i=0 3. Násobení polynomu polynomem je polynom stupně n + m P (x) Q(x) = n+m k=0 c k x k, kde c k = n m a i b j i=0 j=0 4. Dělení polynomu polynomem NENÍ OBECNĚ POLYNOM, ale racionální lomená funkce. Pokud Q(x) nenulový, pak existují jednoznačně určené polynomy S(x) a R(x) tak, že P (x) = S(x) Q(x) + R(x), kde R(x) nazýváme zbytek po dělení a st(r) < st(q). Definice 5.4 Necht je dán polynom P (x) = (nulovým bodem polynomu) P (x), jestliže platí P (c) = n a i x i. Řekneme, že číslo c je kořenem polynomu i=0 n a i c i = 0. i=0 Poznámka: Polynom s reálnými koeficienty nemusí mít obecně žádný reálný kořen - například polynom p(t) = 1 + t 2 nemá žádný reálný kořen, má však dva imaginární kořeny i a i. 43 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy 44 Věta 5.2 Vlastnosti kořenů polynomů s reálnými koeficienty ZÁKLADNÍ VĚTA ALGEBRY Každý polynom stupně n 1 má v C alespoň jeden kořen. Jestliže c je kořenem polynomu P (x), pak polynom x c dělí polynom P (x) beze zbytku, tj. P (x) = (x c) S(x); Jestliže c = a + i b je komplexním kořenem polynomu P (x), pak kořenem polynomu je také komplexně sdružené číslo c = a i b a platí P (x) = (x (a + i b)) (x (a i b)) S(x) = ( x 2 2 ax + a 2 + b 2) S(x); Definice 5.5 Necht je dán polynom P (x) = n a i x i. Řekneme, že číslo c je k-násobným kořenem polynomu (nulovým bodem polynomu) P (x), jestliže existuje S(x) 0 tak, že platí i=0 P (x) = (x c) k S(x) Věta 5.3 DŮSLEDEK ZÁKLADNÍ VĚTY ALGEBRY Každý polynom stupně n 1 s reálnými nebo komplexními koeficienty má v tělese komplexních čísel právě n kořenů, jestliže každý kořen počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Označíme-li c 1, c 2,... c r všechny navzájem různé (komplexní) kořeny polynomu P a označíme-li k j násobnost j tého kořenu, pak k 1 + k 2 + + k r = n a platí P (x) = a n (x c 1 ) k1 (x c 2 ) k2 (x c r ) kr. Polynomy (x c j ) k j nazýváme kořenovými činiteli polynomu P a předchozímu vztahu říkáme rozklad polynomu na (komplexní) součin kořenových činitelů. Pokud využijeme skutečnosti, že pro komplexní kořenem polynomu platí, že kořenem je též komplexně sdružené číslo a označíme c 1, c 2,..., c r reálné kořeny a c r+1, c r+1,..., c r+s, c r+s komplexní kořeny polynomu P dostáváme reálný rozklad na kořenové činitele tvaru P (x) = a n (x c 1 ) k1 (x c r ) kr (x 2 (c r+1 +c r+1 )x+c r+1 c r+1 ) k r+1 (x 2 (c r+s +c r+s )x+c r+s c r+s ) k r+s 44 10. září 2010

KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy 45 5.1 Dělení polynomu polynomem Algoritmus dělení polynomu polynomem je obdobný algoritmu dělení reálných čísel a ukážeme ho na příkladu dělení polynomu P (x) = 2x 4 3x 3 5x + 6 polynomem Q(x) = x 2 + 1 (2x 4 3x 3 5x +6) : (x 2 +1) = 2x 2 vydělím nejvyšší mocniny 2x 4 /x 2 = 2x 2 (2x 4 +2x 2 ) vynásobím 2x 2 (x 2 + 1) odečtu celkově 3x 3 2x 2 5x +6 a pokračuji analogicky 3x 3 /x 2 = 3x (2x 4 3x 3 5x +6) : (x 2 +1) = 2x 2 3x 2 (2x 4 +2x 2 ) 3x 3 2x 2 5x +6 ( 3x 3 3x) 2x 2 2x +6 ( 2x 2 2) 2x +8 Tedy platí P (x) Q(x) = 2x4 3x 3 5x + 6 x 2 + 1 = (2x 2 3x 2) + 2x + 8 x 2 + 1 5.1.1 Hornerovo schéma n Pro dělení polynomu P (x) = a i x i lineárním dvojčlenem (x α) lze použít Hornerovo schéma. Na základě následující rovnosti i=0 a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = (x α) (b n 1 x n 1 + + b 1 x + b 0 ) + P (α) lze dokázat, že pro koeficienty b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 platí b n 1 = a n b n 2 = a n 1 + αb n 1......... b 1 = a 2 + αb 2 b 0 = a 1 + αb 1 45 10. září 2010