TROJÚHELNÍK Trojúhelník, vlstnosti trojúhelníků Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; přitom ody A, B, C jsou různé neleží v jedné příme. Trojúhelník ABC zpisujeme symoliky ABC. Symoliky píšeme: ABC ABC BCA CAB A, B, C jsou vrholy trojúhelníku ABC. Úsečky AB, BC, AC nzýváme strny trojúhelníku ABC. Oznčujeme je i mlými písmeny, ovykle stejnými, jko je oznčení protějšího vrholu.(,, ) Někdy píšeme 6 m. Potom oznčuje velikost strny BC trojúhelníku ABC neo tké délku strny. Sjednoení všeh strn trojúhelníku tvoří jeho ovod (hrnii). Body trojúhelníku, které neleží n hrnii, jsou vnitřní ody trojúhelníku. Množin všeh vnitřníh odů tvoří vnitřek trojúhelníku. Konvexní úhly BAC, ABC, BCA jsou vnitřní úhly trojúhelníku ABC. Místo <BAC, <ABC, < BCA užíváme tké oznčení <A, <B, <C, slovy: úhel při vrholu A, úhel při vrholu B, úhel při vrholu C. Oznčujeme je tké,,. Vedlejší úhly k vnitřním úhlům trojúhelníku ABC nzýváme vnější úhly trojúhelníku ABC oznčujeme je,,. V trojúhelníku ABC pltí 80. Součet liovolného vnitřního úhlu jemu odpovídjíího vnějšího úhlu je úhel přímý. / / / Pltí 80, 80, 80 Součet vnějšíh úhlů v trojúhelníku je / / / Pltí 60. 60. Vnější úhel je roven součtu vnitřníh úhlů při zývjííh vrholeh. Tedy pltí:,, 60 Podle délek strn rozlišujeme trojúhelníky: různostrnné, v nihž žádné dvě strny nejsou shodné, tj. pltí. Různostrnné trojúhelníky, které nejsou prvoúhlé, se nzývjí oené. rovnormenné, které mjí spoň dvě strny (rmen) shodné; třetí strn se nzývá zákldn. Úhly při zákldně mjí stejnou velikost. Vrhol proti zákldně se nzývá hlvní vrhol. Výšk těžnie n zákldnu splývjí nví přímk, n které leží, je osou úhlu při hlvním vrholu i osou souměrnosti rovnormenného trojúhelníku. rovnostrnné, které jsou zvláštním přípdem rovnormennýh trojúhelníků; mjí všehny strny shodné, tj.. Všehny tři vnitřní úhly mjí stejnou velikost ( 60 ). Výšky, těžnie, osy strn osy vnitřníh úhlů splývjí. V rovnostrnném trojúhelníku splývá ortoentrum, těžiště, střed kružnie opsné i střed kružnie vepsné. Trojúhelník... Strn
Podle velikosti vnitřníh úhlů dělíme trojúhelníky n ostroúhlé se všemi ostrými úhly tupoúhlé s jedním tupým úhlem prvoúhlé mjí jeden prvý úhel Máme-li zdány tři úsečky o velikosteh,,, pk je možné sestrojit trojúhelník s tkto dlouhými strnmi právě tehdy, když pltí trojúhelníková nerovnost,, Proti shodným strnám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly; proti větší strně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel nopk, proti většímu vnitřnímu úhlu leží větší strn. Střední příčk trojúhelníku je úsečk spojujíí středy dvou strn trojúhelníku. Kždá střední příčk trojúhelníku je rovnoěžná s tou strnou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje. Její délk je rovn polovině délky této strny (). Výšk trojúhelníku je úsečk, jejímiž krjními ody jsou vrhol trojúhelníku pt kolmie vedené tímto vrholem k příme určené zývjíími vrholy trojúhelníku, tj. ke strně trojúhelníku, která proti tomuto vrholu leží. Výšky oznčujeme ovykle v, v, v (). Zákldní vlstnosti výšek: výšk určuje vzdálenost vrholu od přímky, v níž leží protější strn výšk je kolmie z vrholu k protější strně Průsečík výšek od O se nzývá ortoentrum. V rovnostrnném trojúhelníku pltí v v v. V rovnormenném trojúhelníku pltí, že výšky n rmen mjí stejnou velikost. V prvoúhlém trojúhelníku pltí, že odvěsny jsou zároveň jeho výškmi. V tupoúhlém trojúhelníku pltí, že některé výšky leží vně trojúhelníku. V tupoúhlém trojúhelníku leží ortoentrum O vně trojúhelníku. Těžnie trojúhelníku je úsečk spojujíí vrhol trojúhelníku se středem jeho protější strny. Těžnie oznčujeme ovykle t, t, t (). Těžnie trojúhelníku se protínjí v jednom odě zvném těžiště trojúhelníku. Znčíme ho T. Vzdálenost těžiště od vrholu trojúhelníku je rovn dvěm třetinám délky příslušné těžnie. Pltí tedy: A T t AT t, BT t BT t, CT t CT t Můžeme tké říi, že těžiště dělí těžnii v poměru : Kždému trojúhelníku můžeme opst i vepst kružnii. Kružnie opsná trojúhelníku je kružnie proházejíí všemi vrholy trojúhelníku. Její poloměr zprvidl oznčujeme r. Osy strn trojúhelníku se protínjí v jednom odě, který je středem kružnie trojúhelníku opsné. Kružnie prvoúhlému trojúhelníku opsná Thletov kružnie Trojúhelník... Strn
Kružnie vepsná trojúhelníku je kružnie, která se dotýká všeh strn trojúhelníku. Její poloměr zprvidl oznčujeme. Osy vnitřníh úhlů trojúhelníku se protínjí v jednom odě, který je středem kružnie trojúhelníku vepsné. Shodnost trojúhelníků Řekneme, že dv trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když je možno jeden přemístit tk, že splynou. Řekneme-li o trojúhelnííh ABC A B C, že jsou shodné, znmená to, že při přemístění přejde od A do odu A, od B do odu B od C do odu C. Shodnost trojúhelníků ABC, A B C zpisujeme ABC A B C. Při zápisu shodnosti dvou trojúhelníků záleží n pořdí jejih vrholů! Kždé dvě k soě příslušné strny kždé dv k soě příslušné úhly jsou shodné. Vět sss : Dv trojúhelníky, které se shodují ve všeh třeh strnáh, jsou shodné. Vět usu : Dv trojúhelníky, které se shodují v jedné strně úhleh přilehlýh k této strně, jsou shodné. Vět sus : Dv trojúhelníky, které se shodují ve dvou strnáh úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. Vět Ssu : Dv trojúhelníky, které se shodují ve dvou strnáh úhlu proti větší z nih, jsou shodné. K větám o shodnosti trojúhelníků pltí i věty oráené. Podonost trojúhelníků Trojúhelník A B C je podoný trojúhelníku ABC, právě tehdy když existuje kldné reálné číslo k tk, že pro jejih strny pltí: A B k AB, B C k BC, C A k CA neoli / k, / k, / k Číslo k je koefiient (poměr) podonosti trojúhelníků ABC, A B C. Je-li k, jde o zmenšení, je-li k, jde o zvětšení, je-li k =, jsou o trojúhelníky shodné. Podonost trojúhelníků ABC, A B C zpisujeme ABC A B C. (Záleží n pořdí vrholů). Je-li trojúhelník A B C podoný trojúhelníku ABC (s koefiientem podonosti k), je tké trojúhelník ABC podoný trojúhelníku A B C (s koefiientem podonosti k ). Trojúhelník... Strn
Vět sss : Dv trojúhelníky, které se shodují ve všeh poměreh velikostí soě odpovídjííh strn, jsou podoné. Vět uu : Dv trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhleh, jsou podoné. Vět sus : Dv trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou strn úhlu jimi sevřeném, jsou podoné. Vět Ssu : Dv trojúhelníky, které se shodují v poměreh délek dvou strnáh úhlu proti větší z nih, jsou podoné. Ke všem větám pltí i věty oráené. V podonýh trojúhelnííh jsou odpovídjíí si těžnie v témže poměru jko délky odpovídjííh si strn. Totéž pltí pro výšky, poloměr kružnie opsné vepsné. Konstrukční úlohy n zákldě podonosti trojúhelníků Rozdělení úsečky v dném poměru :. Nrýsujeme úsečku AB. Nrýsujeme polopřímku s počátečním odem A (úsečk AB n ní neleží) nneseme n ni + stejnýh dílů.. Bod ve vzdálenosti dílů od A oznčíme Y od ve vzdálenosti dílů od Y oznčíme Z. 4. Bodem Y vedeme rovnoěžku s přímkou BZ t protne AB v hledném odě, který dělí úsečku AB v poždovném poměru :. Zvětšení úsečky v dném poměru : (>). Nrýsujeme úsečku AB. Nrýsujeme polopřímku s počátečním odem A (úsečk AB n ní neleží) nneseme n ni stejnýh dílů.. Bod ve vzdálenosti dílů od A oznčíme Z od ve vzdálenosti dílů od A oznčíme Y. 4. Bodem Y vedeme rovnoěžku s přímkou BZ t protne polopřímku AB v hledném odě X. Zmenšení úsečky v dném poměru : (<). Nrýsujeme úsečku AB. Nrýsujeme polopřímku s počátečním odem A (úsečk AB n ní neleží) nneseme n ni stejnýh dílů.. Bod ve vzdálenosti dílů od A oznčíme Z od ve vzdálenosti dílů od A oznčíme Y. 4. Bodem Y vedeme rovnoěžku s přímkou BZ t protne polopřímku AB v hledném odě X. Trojúhelník... Strn 4
Rozdělení úsečky n n shodnýh částí. Nrýsujeme úsečku AB. Nrýsujeme polopřímku s počátečním odem A (úsečk AB n ní neleží) nneseme n ni n stejnýh dílů.. Bod ve vzdálenosti n dílů od A oznčíme Y spojíme jej s odem B. 4. Kždým vyznčeným odem n polopříme AY vedeme rovnoěžku s přímkou BY, t protne AB v odeh, které dělí úsečku AB n n stejnýh dílů. Pythgorov vět V liovolném prvoúhlém trojúhelníku ABC ( C 90 ) oznčme, délky odvěsen, délku přepony Pythgorov vět V kždém prvoúhlém trojúhelníku je druhá monin délky přepony rovn součtu druhýh monin délek oou odvěsen: Geometriký význm: Osh čtvere sestrojeného nd přeponou prvoúhlého trojúhelníku se rovná součtu oshů čtverů sestrojenýh nd oěm odvěsnmi. Oráená vět k větě Pythgorově : Pltí-li pro délky strn trojúhelníku ABC vzth délk přepony. Konstruke pomoí Pythgorovy věty, je tento trojúhelník prvoúhlý je Pokud jsou dány úsečky délek,, kde >, pk pomoí Pythgorovy věty lze sestrojit. úsečku délky, která ude odvěsnou prvoúhlého trojúhelníku s přeponou, druhou odvěs-. úsečku délky nou., která ude přeponou prvoúhlého trojúhelníku s odvěsnmi Eukleidovy věty V liovolném prvoúhlém trojúhelníku ABC ( C 90 ) sestrojíme výšku CP k přeponě AB. Oznčme, délky odvěsen, délku přepony, v výšku k přeponě,, délky úsečky BP AP. Úsečk BP ( BP ) se nzývá úsek přepony přilehlý k odvěsně BC ( BC ); odoně úsečk AP ( AP ) se nzývá úsek přepony přilehlý k odvěsně AC ( AC ). Eukleidov vět o výše V kždém prvoúhlém trojúhelníku je druhá monin výšky k přeponě rovn součinu délek oou úseků přepony. v Trojúhelník... Strn 5
Její geometriký význm je: Osh čtvere sestrojeného nd výškou prvoúhlého trojúhelníku se rovná oshu odélníku sestrojeného z oou úseků přepony. Eukleidov vět o odvěsně V kždém prvoúhlém trojúhelníku je druhá monin délky odvěsny rovn součinu délek přepony přilehlého úseku: neo tké Její geometriký význm je: Osh čtvere sestrojeného nd odvěsnou prvoúhlého trojúhelníku se rovná oshu odélníku sestrojeného z přepony přilehlého úseku. Konstruke pomoí Eukleidovýh vět Konstruke pomoí Eukleidovy věty o výše Pokud jsou dány úsečky délek,, kde >, pk lze pomoí Eukleidovy věty o výše sestrojit úsečku délky jko výšku n přeponu prvoúhlého trojúhelníku s úseky přepony o velikosteh. Konstruke pomoí Eukleidovy věty o pdvěsně Pokud jsou dány úsečky délek,, kde >, pk lze pomoí Eukleidovy věty o odvěsně sestrojit úsečku délky jko odvěsnu prvoúhlého trojúhelníku s přeponou úsekem přepony přilehlým k hledné odvěsně o velikosti. Konstruke n zákldě výpočtu Při řešení konstrukčníh úloh někdy používáme metodu lgerikou neo metodu využívání výpočtu. V rozoru řešení konstrukční úlohy hledáme vzth mezi délkmi dnýh úseček délkmi úseček hledného útvru. Tento vzth vyjádříme užitím známýh geometrikýh vět, rovnií neo soustvou rovni. Rovnie řešíme. Pro úsečky, jejihž délky odpovídjí vypočteným kořenům, určíme konstrukční předpis. Je-li tře, uděláme zkoušku. Diskusi provádíme v souvislosti s řešitelností rovni. Nejjednodušší jsou konstrukční úlohy, v nihž máme sestrojit úsečku, jejíž délk závisí n délkáh jinýh úseček tto závislost je dán jednoduhým lgerikým výrzem. x Výrz x (neoli ) je délkou úsečky, která se nzývá x čtvrtá geometriká úměrná úseček o délkáh,,. (Or. ) Úsečk o déle o délkáh,. x se nzývá geometriký průměr úseček Trojúhelník... Strn 6
Goniometriké funke ostrého úhlu PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK, odvěsny přepon v výšk ke strně t - těžnie vedená vrholem C trojúhelníku O střed úsečky AB 90 90 Sinus je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu délky přepony prvoúhlého trojúhelníku. délk protilehlé odvěsny sin délk přepony Kosinus je poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu délky přepony prvoúhlého trojúhelníku. délk přilelé odvěsny os délk přepony Tngens je poměr délek odvěsny protilehlé k úhlu odvěsny přilehlé prvoúhlého trojúhelníku. délk protilehlé odvěsny tg délk přilehlé odvěsny Kotngens je poměr délek odvěsny přilehlé k úhlu odvěsny protilehlé prvoúhlého trojúhelníku. délk přilehlé odvěsny ot g délk protilehlé odvěsny Pltí: sin 90 os os 90 α sinα tg 90 α ot g α ot g 90 α tg os sin sin os ot g tg tg ot g α Úhel 90 se nzývá doplňkovým úhlem úhlu. Ovod osh trojúhelníku dlší důležité vzthy TROJÚHEKNÍK OBECNÝ Ovod Osh o S v S v v ss s s, kde s S S s sin γ sin α s, kde... Heronův vzore sin β Trojúhelník... Strn 7
S 4r TROJÚHEKNÍK PRAVOÚHLÝ Velikosti vnitřníh úhlů Výšky v Osh v S v γ 90, α β 90 Poloměr kružnie trojúhelníku opsné TROJÚHELNÍK ROVNOSTRANNÝ Délky strn Velikosti vnitřníh úhlů α β γ 60 Výšk v v v v v Osh S 4 Poloměr kružnie opsné r Poloměr kružnie vepsné ρ 6 r t Trojúhelník... Strn 8