II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

Transkript

1 . NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál obdobně, tk bhom zhovli jeho vlstnosti. b b + Obr. 9.1 Obr. 9.2 ntegrál v R 2 z z = f(, Obr ntervl jeho objem Definie. ntervl v R n. ntervlem v R n nzýváme množinu ( = 1, b 1 2, b 2... n, b n. Definie. Objem intervlu Je-li R n intervl tvru (, pk jeho n rozměrným objemem (objemem nzýváme číslo ( v n ( = v( = (b 1 1 (b (b n n. 1

2 Poznámk. Je zřejmé,že pro n = 1 : v( = b 1 1 je délk intevlu; n = 2 : v( = (b 1 1 (b 2 2 je obsh obdélník; n = 3 : v( = (b 1 1 (b 2 2 (b 3 3 je obsh kvádru. ntervl v R 2 b b 1 Obr. 9.4 Definie. Dělení intervlu Jestliže v intervlu tvru ( rozdělíme kždý z intervlů i, b i, 1 i n pomoí dělííh bodů i = 0 i < 1 i < 2 i <... < k i i = b i, 1 i n, pk tento proes nzýváme dělením intervlu. Budeme jej oznčovt D. Původní intervl je sjednoením konečného počtu intervlů tvru m 1 1, m mn n, mn+1 n, 0 m i k i 1, 1 i n. ntervlů z dělení je konečný počet, budeme v dlším tetu jejih sstém oznčovt {J 1, J 2,..., J m } budeme psát Je pk Dělení intervlu R 2 b 2 2 ( D = {J 1, J 2,..., J m }. = m J i. 1 b 1 2 Obr. 9.5

3 Vět. Je-li D = {J 1, J 2,..., J m } dělení intervlu, pk pro jeho objem pltí v( = v(j i. 10. Konstruke integrálu Definie. ntegrální součt Je-li R n intervl funke f : R je omezená D = {J 1, J 2,..., J m } dělení intervlu, pk oznčíme m i = inf{f(; J i } Potom nzýváme součt dolním integrálním součtem, horním integrálním součtem M i = sup{f(; J i }, 1 i n. S(f; D = m i v(j i S(f; D = M i v(j i S(f; D = f(z i v(j i, z i J i, integrálním součtem funke f v intervlu, které přísluší dělení D. Vět. Je-li m f( M pro, pk je mv( S(f; D S(f; D S(f; D Mv( pro libovolné dělení D intervlu. Definie. Zjemnění dělení Je-li D dělení intervlu, ve kterém dále rozdělíme některé z intervlů i, b i, 1 i n, pk získáme dělení D intervlu, které nzýváme zjemněním dělení D. Zjemnění dělení intervlu R 2 b b 1 Obr

4 Vět. Je-li D dělení intervlu, které je zjemněním dělení D, pk pro integrální součt pltí S(f; D S(f; D S(f; D S(f; D. m i M i J i Obr. 9.7 Obr. 9.8 Protože jsou dolní horní integrální součt zdol shor omezené, pk pltí Vět. Je sup{s(f; D; D} inf{s(f; D; D}. Obená situe J i S(f; D S(f; D mv( S(f; D M v( Obr. 9.9 ntegrovtelná funke S(f; D S(f; D mv( J M v( Obr Definie. ntegrál funke. Jestliže je J = sup{s(f; D; D} = inf{s(f; D; D}, pk funki f nzýváme integrovtelnou v intervlu číslo J nzýváme integrálem funke f v intervlu. Znčíme jej některým ze smbolů J = f = f dv = f( d. Vět. Je-li funke f spojitá v intervlu, pk je tké integrovtelná v intervlu. Vět. Podmínk integrovtelnosti Funke f je integrovtelná v intervlu J = f dv, jestliže ke kždému číslu ε > 0 kždému dělení D eistuje integrální součet S(f; D tkový, že S(f; D J < ε. Terminologie znčení. Pro n = 1 =, b píšeme f dv = b f( d jedná se o určitý integrál funke jedné reálné proměnné. 4

5 Pro n = 2 budeme obvkle psát f dv = integrál nzýváme dvojným integrálem. Pro n = 3 budeme obvkle psát f dv = f(, dd f(,, z dddz integrál nzýváme trojným integrálem. Vět. Vlstnosti integrálu. Jsou-li funke f g integrovtelné v intervlu, pk pltí: Je-li m f( M pro, pk mv( f dv Mv(. b Pro libovolná čísl α β je Je-li f( g( pro, pk (αf + βg dv = α f dv f dv + β g dv. g dv. Speiálně pro f( 0 je Je f dv 0. dv f dv. d Je-li D = {J 1, J 2,..., J m } dělení intervlu, pk f dv = J i f dv. Výpočet dvojného integrálu Funke f : =, b, d R je omezená integrovtelná v intervlu. Rozdělíme ob intervl pomoí dělííh bodů: oznčme dělení kde J i,j = i 1, i j 1, j. Potom je objem intervlů J i,j roven = 0 < 1 <... m = b, = 0 < 1 <... < k = d D = {J i,j : 1 i m, 1 j k}, v(j i,j = i j = ( i i 1 ( j j 1. 5

6 Oznčme Postupně dostneme pro (ξ i, J i,j : m i,j = inf{f(, ; (, J i,j }, M i,j = sup{f(, ; (, J i,j }. m i,j j m i,j f(ξ i, M i,j, j Sečteme-li nerovnie podle j dostneme: Jestliže oznčíme F ( = k k m i,j j j=1 j=1 d j 1 f(ξ i, d M i,j j. j j 1 f(ξ i, d = d k = f(ξ i, d M i,j j. j=1 f(, d potom můžeme nerovnii zpst ve tvru k k m i,j j F (ξ i M i,j j. j=1 j=1 Jestliže ji násobíme i sečteme podle i dostneme nerovnie: m i,j i j F (ξ i i i,j i,j M i,j i j, ted S(f; D F (ξ i i S(f; D. b Prostřední člen je integrální součet integrálu F ( d. Nerovnie pltí pro všehn integrální součt tohoto integrálu, ted i pro horní dolní integrální součet. Je ted Vzore zpisujeme obvkle ve tvru f(, dd = f(, dd = b ( b d F ( d. f(, d Pořdí proměnnýh v odvození můžeme ovšem vměnit dostneme vzore ( d b f(, dd = f(, d d. ntegrál n prvé strně vzorů se nzývjí dvojnásobné vzore uvádějí, že můžeme dvojný integrál vpočítt pomoí postupného integrovní podobně jko můžeme sčítt obdélníkovou tbulku čísel nejdříve po sloupíh pk po řádíh. 6 d.

7 Při odvození jsme nikde nepoužili skutečnosti, že jsou intervl jednorozměrné. Použili jsme pouze obené vlstnosti objemu. Tvrzení zůstává v pltnosti i pro víerozměrné intervl. Uvedeme jeho formuli. Vět. Fubini Nehť jsou 1 R n 2 R m intervl. Je-li funke f : 1 2 R omezená integrovtelná, pk fdv n+m = 1 2 fdv n + 1 fdv m. 2 Vzore čstěji zpisujeme ve tvru f(, dd = 1 2 = 2 ( 1 1 ( 2 f(, d d. f(, d d = ntegrál z omezené funke Je-li f : R omezená funke, která je definovná n omezené množině R, pk integrál této funke v množině sestrojíme tkto. Oznčme si intervl tkový, že. Definujme funki f v tkto: f(,, f ( = 0,. Potom definujeme integrál funke f přes množinu vzthem ( f( d = f ( d. Funke f je integrovtelná v množině, jestliže je funke f integrovtelná v intervlu. Je zřejmé, že hodnot integrálu z definie nezávisí n volbě intervlu. ntegrál v množině 2 1 f = 0 1 f = f Obr Obr Výpočet integrálu v množině Je-li f : R, kde množin R n je omezená množin, pk zvolíme intervl tk, že. Oznčme =, b, d. Podle vzthu ( z definie je f(, dd = f (, dd = ( b d f (, d d = 7 ( d b f (, d d.

8 Funke f (, je při pevné hodnotě, resp. někde rovn funki f(, někde je rovn 0. Znmená to, že ve vnitřním integrálu není integrčním oborem intervl, d, resp., b, le pouze jeho část, resp.. Podobně při výpočtu vnějšího integrálu neintegrujeme přes elý intervl, b, resp., d, le pouze přes intervl, ve kterém jsou hodnot vnitřního integrálu nenulové. Tím je projeke množin do první, resp. druhé os. V souldu s tím oznčme: = {; (, } řez množinou ve směru os ; π 1 ( = {; } projeki množin do první os; = {; (, } řez množinou ve směru os ; π 2 ( = {; } projeki množin do druhé os. π 1 ( π 2 ( Je ted Obr Obr π 1 ( f(, dd = ( f(, d d = π 2 ( f (, dd = ( f(, d Poznámk. Připomeňme, že se vlstnosti integrálu v intervlu přenáší i n integrál přes množinu. Zákldní oblst v R 2 Množin R 2 bývá zdán soustvou nerovni ve dvou proměnnýh. Pokud se nám podří tto nerovnie rozřešit vzhledem k některé z proměnnýh dostneme popis množin ve tvru zákldní oblsti. T má jedno ze dvou vjádření: d. ( = {(, ; φ( ψ(, b}, nebo Je pk ( ( Znázorníme situe n obrázku: Zákldní oblst v R 2 = {(, ; φ( ψ(, d}. = φ(, ψ(, π 1 ( =, b }; ( = φ(, ψ(, π 2 ( =, d }. 8

9 = ψ( d = φ( φ( π 1 ( b Obr Obr ntegrál přes neomezenou množinu Je-li R 2 neomezená množin, pk definujeme integrál přes množinu jko f(, dd = lim f(, dd, n (n π 2 ( ψ( kde (n = n, n n, n, pro n N, pokud limit eistuje. O integrálu mluvíme jko o nevlstním. Trojný integrál ntegrál přes množinu R 3 počítáme obdobně postupným integrováním. Rozdělíme množin řez rovinmi rovnoběžnými se souřdniovými rovinmi tk, bhom dostli zákldní obsti. To jsou množin tvru Potom je {(,, z; h(, z g((,, (, B}. ( g(, f(,, zdddz = f(,, zdz dd B h(, Substitue v integrálu Definie. Trnsforme souřdni Zobrzení Φ = (Φ 1, Φ 2,..., Φ n : G R n, kde G R n je otevřená množin nzýváme trnsformí souřdni, jestliže pltí: Priální derive Φ i u j (u, u G, 1 i, j n, jsou spojité v G. b Determint det Φ Φ i (u = det (u 0, u G. u j Zobrzení Φ je prosté v množině G. Vět. O substitui v integrálu Nehť Φ : G R n je trnsforme souřdni. Pk pro integrál pltí : f( d = f(φ(u det(φ (u du, Φ(G G pokud jeden z integrálů eistuje. Poznámk. Výrz det(φ je limit poměru objemů množin, které si při zobrzení Φ odpovídjí, pokud se jejih objem blíží k nule. Tuto skutečnost ukážeme pro trnsformi do polárníh souřdni. 9

10 Trnsforme do polárníh souřdni má tvr Φ : = ρ os ϕ, ρ > 0 = ρ sin ϕ, α < ϕ < α + 2π. Množin G = (0, (α, α + 2π ted det Φ = ρ 0. Potom Φ = (, ρ, ρ ϕ ϕ ( os ϕ, ρ sin ϕ = sin ϕ, ρ os ϕ, ϕ ϕ 2 ϕ P 1 ϕ 1 ρ ρ 1 ρ 2 Obr Obr P 1 = ρ. ϕ P 2 = 1 2 (ρ2 2 ρ 2 1 ϕ = ρ 2+ρ 1 2 ρ ϕ ρ ϕ 2 P 2 ϕ 1 ρ 2 ρ 1 lim ρ ϕ 0 P 2 P 1 = lim ρ ϕ 0 ρ 2 + ρ 1 2 = ρ. Podle tvrzení pltí pro trnsformi do polárníh souřdni vzore Φ(G f(, dd = G f(ρ os ϕ, ρ sin ϕρ dρdϕ Zákldní oblst v polárníh souřdniíh má jeden z popisů: = {(ρ, ϕ; h(ϕ ρ g(ϕ, α ϕ β}; B = {(ρ, ϕ; h(ρ ϕ g(ρ, ρ 1 ϕ ρ 2 }. 10

11 Zákldní oblst β g(ϕ α h(ϕ g(ρ ρ 1 h(ρ ρ 2 Obr Obr Vzore pro výpočet integrálu má tvr f(, dd = ( β g(ϕ = f(ρ os ϕ, ρ sin ϕρdρ dϕ; α h(ϕ f(, dd = B ( ρ2 g(ρ = f(ρ os ϕ, ρ sin ϕρdϕ dρ. h(ρ ρ 1 11

12 Válové (lindriké souřdnie Trnsforme souřdni (,, z (ρ, ϕ, z Φ : = ρ os ϕ, ρ (0,, = ρ sin ϕ, ϕ (α, α + 2π, z = z, z (,. det(φ = ρ z (,, z z ρ ϕ Obr

13 Sfériké (kulové souřdnie Trnsforme souřdni Φ : Φ : (,, z (r, θ, ϕ, (r, θ, ϕ = r sin θ os ϕ, = r sin θ sin ϕ, z = r os θ, = r os θ os ϕ, = r os θ sin ϕ, z = r sin θ, r (0,, θ (0, π, ϕ (α, α + 2π; r (0,, θ ( π/2, π/2, ϕ (α, α + 2π; det(φ = r 2 sin θ = r 2 os θ z θ ϕ r (,, z θ Obr