Statiké a dynamiké harakteristiky Úvod : Základy Laplaeovy transformae dále LT: viz lit. hlavní užití: - převádí difereniální rovnie na algebraiké (nehomogenní s konstantními koefiienty - usnadňuje řešení tehnikýh problémů. Předpis: 0 _ e pt (p f ( t dt, p + jω nejsou zde uvedeny všehny vlastnosti viz lit. Tento předpis převádí časovou funki f(t do operátorové oblasti p funke (p f(t se nazývá originál a (p se nazývá obraz funke f(t. Základní vlastností: násobení konstantou a součet funkí ponehává. Derivae v originále se v obraze násobí operátorem p y (t p. Y(p f(+0 Y ( p a obdobně při integrai y( t dt p Při řešení úkolů y(t Y(p používá se slovník (originál obraz př: Vstupní jednotkový skok: y(t má obraz p, a polopřímka ( pro 0 < t < : y(t a*t má obraz p a další funke viz operátorový slovník. Obraz existuje jen pro kladný čas, čili LT řeší problémy od současna do budouna. Přenos Definie přenosu: Obeně je přenos podíl výstupní veličiny (signálu ke vstupní. U členu na obr. x a x jsou signály ( v příslušném druhu transformae. x x x (p (p x Při řešení tehnikého problému pro lineární systémy získáme difereniální rovnii: n m an x +... + a x + a0x bm x+... b0 x kde x je výstupní veličina a její derivae a x je vstupní veličina a její derivae. S využitím LT přejde rovnie na tvar: (a n p n + + a p + a 0 x (b m p m + +b 0 px a nyní lze velmi snadno napsat přenos v oblasti p (podíl polynomů: m x( p bm p +... + b0 ( p x( p n an p +... + a p + a0
Pro získávání harakteristik (vlastností členu se snažíme operátorový přenos převést do frekvenčního tak, že dosadíme za p veličinu jω. x ( ( p x jω (p (j ( jω x ( p x operátorový přenos frekvenční přenos omplexní funke omplexní funke s komplexním s reálným parametrem ω parametrem p Různé vyjádření komplexního přenosu (komplexní funke kartézské, polární, j argument A( + jb( R(.e j ϕ ( ω Re ((j + ji m ((j ( ( jω Máme-li frekvenční přenos, můžeme jej nakreslit do grafu jako frekvenční harakteristiku. 3 Druhy harakteristik:. statiké : závislost výstupní veličiny na vstupní v ustáleném stavu. dynamiké: v časové čase oblasti- závislost veličiny (vstupní i výstupní na ve frekvenční frekveni jω e Příklady : statiké lineární zubová vůle omezení (nasyení dioda x x x I x x x U : a v časové oblasti x x x 63% 0 0 0 t t T t jednotkový skok odezva integr. členu odezva prop. členu se zpož.. řádu b ve frekvenční oblasti 0log((j Im((j Re((j log ω ω ω0 ϕ R( ω zl reslení harakteristik - 45 Nejčastěji používaný způsob kreslení je: ϕ ( - do komplexní roviny -90 - amplituda a fáze do logaritmikýh souřadni v závislosti na frekveni
(Boodeho křivky Nejsnáze si vysvětlíme kreslení harakteristik různýh druhů na jednoduhém příkladu: Mějme sestavu nehmotná pružina a nehmotný viskózní tlumič (hydrauliký tlumič s pružinou. Vypočítejte průběh polohy x jako odezvu na jednotkový vstupní skok síly. Provedeme-li řešení v LT získáme: (t (t - síla [N] b - N tuhost pružiny m 0 x b - N viskózní tlumení m s x + b x do LT (pb + X(p (p Přenos: x pb + Tp + b. p + obeně se jedná o proporionální člen se zpožděním prvního řádu. obeně zesílení - rozměr v našem případě je m N T časová konstanta rozměr (s b T [ s] Jedná se o lineární prvek (soustava. statiká harakteristika je závislost výstupní veličiny na vstupní v ustáleném stavu: x[m] / [N] Přivedeme-li na vstup jednotkový skok síly (v automobilu nájezd na hodník získáme řešením tohoto příkladu odezvu: závislost dráhy x na čase. Toto jsou časové harakteristiky x (m (N t 0 x( t 0 ( e T 63%.o 0 t 0 T t jednotkový skok odezva na jednotkový skok členu
Řešením vypočítáme z přenosu x.(p. S použitím slovníku najdeme: obraz jedn. skoku (t 0 0 (p a dosadíme do výsledné rovnie p 0 a x ( p a opět s využitím slovníku převedeme x(p do x(t: p Tp + p( p + a viz vzore u obrázku odezvy (přehodové harakteristiky. e at Odezva je dynamiká harakteristika v našem případě členu. řádu (velikost a T. Můžeme-li změřit odezvu můžeme získat dynamiké vlastnosti soustavy (dlužno říi, že pro vyšší řády získávání těhto vlastností se ztěžuje, je mnoho programů, metod jež toto řeší. Odezva. řádu je praktiky ustálená za dobu 3 až 5T, podle požadavku přesnosti (5% až %. Ve frekvenční oblasti si musíme uvědomit, že velikost přenosu je závislá na frekveni : pro ω 0 jedná se o statiké stavy a při vyššíh frekveníh se řeší dynamika. Provedeme-li převod signálu z časové oblasti do frekvenční a znázorníme-li velikost signálu na frekveni získáme frekvenční spektrum vlastnost signálu. Provedeme-li převod přenosu členu z časové oblasti do frekvenční získáme frekvenční harakteristiku členu vlastnost členu. Pro převod signálu z časové do frekvenční oblasti slouží zejména ourierovy řady, ourierova transformae (T, Laplaeova transformae (v operátorovém přenosu nahradíme p parametrem j ω. (p T p +,A( ω, y.5 0.5 + ω T ( j. e j artg ωt jωt + ( jωt + ω T + ω T ωt j + ω T R( ϕ ( -artgωt A( B( ω Průběhy amplitudovýh harakteristik našeho příkladu v závislosti na frekveni v lineárníh souřadniíh 0 3 4 5 6 7 8 9 x - 0.5 - kde R ( ( j; A( Re{ ( j }; B( Im{ ( j } Znázorníme-li velikost vektoru R (, A( a B( do grafu získáme amplitudovou harakteristiku a obdobně ϕ( získáme fázovou harakteristiku.
Překreslením výše uvedeného j B( obrázku do komplexní roviny ω A( získáme frekvenční harakteristiku 0 ϕ ( ω 0 v komplexní rovině : křivka je R( určena parametriky (ω je parametrem ω Jisté potíže při kreslení frekvenčníh harakteristik jsou při použití logaritmikýh souřadni. Tyto harakteristiky jsou v praxi velmi oblíbené, protože je zde dobrá rozlišitelnost ve víe dekádáh a jednoduhé sestrojování. Prinip : provedeme logaritmus frekvenčního přenosu ve tvaru (j R. e jϕ ln (j ln ( jω + B( j ϕ ( ω ln R( + j artg A( Na svislou osu nejčastěji vynášíme deibely (db, ož je 0. log ( jω - amplitudová harakteristika. Na vodorovnou osu vynášíme log ω, úhel ϕ( se vynáší na svislou lineární osu, v našem případě je ( jω + ω T, ϕ( - artg ω T Při kreslení amplitudové harakteristiky do log. souřadni používáme často deibely. (Definie P deibelu db 0log kde P a P jsou vstupní a výstupní výkony. Ale používají se základní P signály U, I, p, aj., kde se výkon vypočítá např. pro I je P R.I po dosazení do vzore pro deibely pozmění se vzore na db 0 log U /U. Amplitudová harakteristika má tvar: viz. následujíí obrázek 0log ( jω 0log 0log 0log + ω T + ω T skládá se ze dvou složek: z konstanty : 0log (, tato vytváří posun po svislé ose, a funke: - 0log + ω T tvoří průběh harakteristiky v log. souřadniíh. Průběh funke si pro vysvětlení rozdělíme na dva úseky (dělíí bod se nazývá bod zlomu : ω T >> a ω T <<. ω T >> -0log ωt ( 0log + ω T ω T ω z /T bod zlomu ω T << - 0log 0 (3
Bod, který jsme neuvažovali je ω T -0log + - 3 db. Tomuto bodu se říká bod zlomu, kde ω /Τ a protože polopřímky ( a (3 jsou vlastně asymptotami amplitudové harakteristiky (čárkovaná čára, můžeme nakreslit graf. 0 db ( 0. 0log ω 0 0 log ω -0 ( -3 db (+(3-0 (3-0 db/dek Výsledná har. je dána součtem přímky ( a polopřímky (3; asymptota ( je stále nulová, asymptota (3 je polopřímka se sklonem 0dB/dekádu.( Důkaz, že je (3 přímka je patrné z následujíího: y -0log ωt -0log ω - 0log T x+q. Výsledný průběh (přesný se nahrazuje přímkovými úseky maximální nepřesnost je 3 db v bodě zlomu. Stačí tedy zjistit z přenosu body zlomu a výsledná amplitudová harakteristika se narýsuje z částí přímek. ázová frekvenční har. v log. souřadniíh se dá z amplitudové odvodit proto ji často nekreslíme (!! platí jen pro lineární systémy obvody s minimální fází!!.