Vsoá šola báňsá echnicá univerzia Osrava PLÁNOVÁNÍ EXPERIMENŮ učební e Josef ošenovsý Osrava
Recenze:Ing. Radomír Perzina, Ph.D. Prof. RNDr. Alena Luasová,CSc. Název: Plánování eperimenů Auor: Josef ošenovsý Vdání: první, Poče sran: 3 Nálad: Sudijní maeriál pro sudijní obor Řízení jaosi FMMI Jazová oreura: nebla provedena. Určeno pro proje: Operační program Vzděláváním pro onurenceschopnos Název: Personalizace výu prosřednicvím e-learningu Číslo: CZ..7/../7.339 Realizace: VŠB echnicá univerzia Osrava Proje je spolufinancován z prosředů ESF a sáního rozpoču ČR Josef ošenovsý VŠB echnicá univerzia Osrava ISBN 978-8-48-59-
OBSAH. Úplný faorový eperimen se dvěma úrovněmi 7. Kódované proměnné 9. Jednofaorový plán.3 Efe faoru.4 Rozpl odhadu efeu faoru 7.5 es významnosi efeu.6 Graficé hodnocení efeu faorů.7 Regresní model eperimenu 3.8 Reziduální odchl: výpoče, vlasnosi a význam 4.9 Meoda nejmenších čverců v DOE 5. Graf inerací 7. Čásečný faorový eperimen se dvěma úrovněmi 37. Operace s faor a jejich vlasnosi 38. Nalezení zaměnielných dvojic 39.3 Sanovení poču zaměnielných faorů 46.4 Volba generáorů u sředových plánů 47.5 Projece plánu 47.6 Doplňové frace: vorba a vlasnosi 49.7 Plán eperimenu pro osm faorů 5 3. Významné bod plánu 58 4 Úplné vadraicé model 6 4. Podmín nalezení modelu 6 4. es řivosi 6 4.3 Meod nalezení vadraicého modelu 63 4.3. Kombinovaný plán 63 4.3. Výpoče opimální úrovně významných faorů 64 4.3.3 Bo Behnenův plán eperimenu 7 4.3.4 Plán pro faor se řemi úrovněmi 7 5. Blo 74 5. Konsruce bloů 75 5. Hodnocení vlivu bloů 77 6. ANOVA v DOE 8 6. Rozlad reziduálního rozplu 8 6. es Lac-of-fi 83 7. Způsob navrhování robusních výrobů 9 7. Minimalizace rozplu 9 7. Zařazení šumů do plánu eperimenu 96 8. Dnamicé plánování eperimenů 7 9. Kvaliaivní proměnné 9. Konsruce plánů s valiaivními proměnnými 9. Ja působí valiaivní proměnné v modelu 7. ANOVA 9. Jednoduché řídění 9. Dvojné řídění 37.3 rojné řídění (Lainsé čverce) 4
. Širší souvislosi plánování eperimenů 5. Regresní analýza 5.. Záladní pojm regresní analýz, meoda nejmenších čverců 5.. Předpolad regresní analýz 53..3 Vbrané vě regresní analýz 54..4 esování předpoladů regresní analýz 69..5 Zobecněná meoda nejmenších čverců 8. Časové řad 88.. Klasicá meodia analýz časových řad 89.. Bo Jeninsova meodia analýz časových řad Animace
ÚVOD Plánování eperimenů je jedním z nejúčinnějších násrojů předvýrobní eap. Umožňuje naléz faor, eré nejvýznamněji ovlivňují výrobní proces i jeho výsup a sanovi aé jejich opimální hodno. Lze ed říci, že plánování eperimenů je maemaicým prosředem, erý umožní výrobcům vanifiova významnos vsupů, eré jsou na počáu vpované jao pravděpodobně vlivné. Dále sanoví, ja vbrané vsup nasavi, ab proces dosahoval požadovaných výsupů při maimální sabiliě (ed minimální variabiliě) a odolnosi proi zv. šumům, j. nepředvídaelným negaivním vlivům na výrobní proces. Předmě plánování eperimenů vužívá poznaů maemaicé saisi i eorie pravděpodobnosi. V omo eu jsou vložen záladní pojm a vzah. Zájemci o hlubší sudium naleznou mnoho dalších poznaů např. v ciované lierauře.
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH. ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH (Full Facorial Design a wo Levels) Čas e sudiu: hodin Cílem apiol je objasni a) princip sesavení plánu eperimenu b) něoli způsobů výpoču efeu faoru c) posup při hodnocení významnosi efeů d) onsruci lineárních a vadraicých modelů eperimenu e) analýzu rozplu v plánování eperimenů f) navrhování robusních výrobů g) něeré speciální posup plánování eperimenů Výlad Dříve, než uážeme na jednoduchém příladě zálad plánování eperimenů, vsvělíme záladní pojm a cíle DOE. Pod pojmem eperimenova se dále rozumí měni obvlé pracovní podmín s cílem naléz nejlepší pracovní posup a současně zísa hlubší pozna o vlasnosech výrobu a výrobního procesu. Eperimenální posup lze rozděli na a) eperimen neplánované (živelné), b) eperimen plánované. Plánované eperimen se řídí plánem eperimenu. Plán eperimenu sanovuje 3 charaerisi ( 3P ) a) poče pousů, ze erých se eperimen sládá, b) podmín, za erých se jednolivé pous usueční, c) pořadí pousů. Z uvedeného je zřejmé, že se zde rozlišuje význam pojmů: pous zjišění hodno uazaele vali za určiých, předem plánovaných, podmíne výrob; eperimen ssém všech pousů. Formulaci nejlepší pracovní posup z úvodního odsavce lze precizova ao: Označíme-li sledovaný uazael vali (resp. uazaele vali,..., ) a faor, eré jej ovlivňují 7
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH A,B,C,D,... se mohou pohbova na různých úrovních, řeněme A,A,A 3,... pro faor A, B,B,B 3,... pro faor B ad., pa cílem plánování eperimenu je ) vanifiova míru významnosi aždého z faorů, což znamená rozhodnou, eré z faorů A,B,C,D,... rozhodujícím způsobem ovlivňují uazael vali, ) urči úrovně významných faorů a, ab blo opimální a sabilní. Přílad ( [3], upraveno). Sleduje se, oli zmáčnuí () vdrží pružina až do zničení v závislosi na ěcho faorech: L déla pružina, G loušťa dráu, p maeriálu. Má se zjisi, eré faor jsou rozhodující pro živonos pružin Řešení: Sesavíme abulu faorů a jejich uvažovaných úrovní (ab.): faor označení dolní úroveň horní úroveň - déla pružin L cm 5cm loušťa dráu G 5mm 7mm maeriál A B ab. Seznam faorů a úrovní Nní sesavíme plán eperimenu (ab.) Eisuje více způsobů ja sesavi plán, podle erého se budou provádě jednolivé pous. Mezi nejpoužívanější plán paří úplný faorový plán, erý v daném případě vpadá ao: Pous L G i 5 A 5 5 A 3 7 A 4 5 7 A 5 5 B 6 5 5 B 7 7 B 8 5 7 B i je výslede i-ého pousu. ab. Plán eperimenu 8
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH. Kódované proměnné Plán eperimenu je výhodnější psá pomocí éo smboli: Je-li aždý z faorů uvažován na dvou úrovních, pa dolní úroveň bude značena - (resp. jen - ) a horní úroveň (resp. ). abula poom bude mí var Pous L G i - - - - - 3 - - 4-5 - - 6-7 - 8 ab.3 Plán eperimenu v ódovaných proměnných Přepoče původních proměnných na ódované proměnné se může provés nejen pro rajní hodno ma ( ) a min ( -) ao: de o proměnná v původních jednoách, c ódovaná proměnná, ma horní úrověň, min dolní úroveň. c o ma ma min min () Napřílad přepoče (ódování) L pro dolní hodnou je 5 Lc 5 a pro horní úroveň G 7 bude ódovaná hodnoa 7 5 7 Gc 7 5 9
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Pro valiaivní proměnné se vzorec () nepoužívá: ao proměnná nabývá jen dvou hodno, aže nemá smsl počía ( ma min )/ a ani se nemůže vsnou problém s deódováním jiné hodno než resp. -. Poče pousů, ze erých je sesaven úplný eperimen, se vpočíá při faorech pomocí vzahu (poče variací -é říd ze dvou prvů s opaováním) n, aže zde, při 3 faorech, je poče pousů (řádů) n 3 8. Proo má abula 8 řádů. Graficým znázorněním plánu eperimenu je zv. CPLO. Pro dva faor je o čverec, pro ři faor rchle se sředem v počáu souřadné sousav. Souřadnice vrcholů odpovídají jednolivým pousům (podrobně a grafic viz ap.3).. Jednofaorový plán Jinou možnosí sesavení plánu je jednofaorový plán, při erém se u jednoho faoru mění úroveň z dolní na horní a u osaních se drží na sřední úrovni, erá je průměrem dolní a horní úrovně a značí se smbolem. V našem případě b jednofaorový plán vpadal ao: Pous L G - 3 4-5 6 - ab.4 Jednofaorový plán Poče pousů je u ohoo pu plánu n., zde ed n.3 6 pousů (řádů). Další možnosí sesavení plánu je čásečný faorový plán,o erém je pojednáno v apiole. Jesliže je plánem eperimenu sanoveno, za jaých podmíne se provádí jednolivé pous, je možné provés celý eperimen a zaznamena hodno sledovaného uazaele. V našem případě bl aždý pous opaován dvará. Výsled jsou v abulce 5: pous faor výslede průměr L fg ýld - - - 77 8 79 - - 98 96 97 3 - - 76 74 75 4-9 94 9 5 - - 63 65 64 6-8 86 84 7-7 74 73 8 9 88 9 ab.5 Výsled opaovaných pousů
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Sesavením abul 5 sončil přípravné a eperimenální práce. Dále následují už jen výpoč. Jejich cílem bude sanovi, eré z faorů ovlivňují významným způsobem živonos pružin. Vzhledem omu, že něeré faor nemusí bý samosaně významné, zaímco v součinnosi s jiným faorem (zv. ineraci) už významné jsou, doplní se ab. 5 o všechn možné inerace. eprve poom se počíá významnos faorů a inerací. Znaména ve sloupcích LG, L, G, LG se zísají jao součin znaméne v odpovídajících sloupcích (ab.6). pous L G LG L G LG - - - - 79 - - - - 97 3 - - - - 75 4 - - - - 9 5 - - - - 64 6 - - - - 84 7 - - - - 73 8 9 ab.6 Faor a jejich inerace Dále se bude počía zv. efe (vliv) jednolivých faorů..3 Efe faoru Efeem faoru se rozumí změna uazaele vali, erou způsobí přechod ohoo faoru z dolní úrovně (-) na horní úroveň (). Výpoče efeu faoru se může provés různými způsob. Uvedeme posupně 5 způsobů, eré jsou v různých siuacích užiečné: a) průměr rozdílů b) rozdíl průměrů c) znaménová meoda d) aesova meoda e) polovina regresních oeficienů Průměr rozdílů Výpoče uážeme např. pro efe faoru L. Podle definice je o změna při přechodu L z úrovně - na, přičemž osaní faor se nemění. aové přechod jsou možné čři s efe: 97 79 8 9 75 7 84 64 9 73 7
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Za efe L vezmeme průměr z ěcho hodno Efe faoru L označíme ef (L) 8. [(97 79) (9 75) (84 64) (9 73)] 8 4 Podobně se vpočíá efe faoru G. Efe jsou Průměr ěcho hodno je efe G: 75-79 -4 9 97-5 73 64 9 9 84 6 ef ( G) ( 4 5 9 6),5 4 Efe faoru : Jsou 4 možné přechod z úrovně - na s efe 84 97-3 64 79-5 9 9-73 75 - Průměr ěcho hodno je efe faoru (značí se l ): Rozdíl průměrů ef ( ) ( 3 5 ) 8 4 Přesupením hodno v závorce při výpoču L můžeme výraz upravi na var (97 4 9 84 9) (79 75 64 73) 4 V prvé závorce jsou hodno pro faor na horní úrovni. Podobně ve druhé závorce jsou hodno, dž je faor na své dolní úrovni. Při výpoču efeu meodou průměr rozdílů se nejprve počíal rozdíl hodno na úrovni a - a z nich pa průměr. Je možné posupova v opačném pořadí: nejprve vpočía průměrné na horní úrovni ( ) resp. dolní úrovni ( ) a poom jejich rozdíl. Např. pro faor L 97 9 84 9 9,75 4
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH 79 75 64 73 7,75 4 ef ( L) 9,75 7,75 8 Meoda rozdíl průměrů je užiečná a) při odvození rozplu odhadu efeů faorů (ap..4) b) při onsruci grafu efeu hlavních faorů (viz obr.) Graf efeů faorů L,G a Nejprve vpočíáme průměrné pro dolní (-) a horní () úrovně, poom sesrojíme graf: L G - - - 79 - - 97 - - 75-9 - - 64-84 - 73 9 7,75 8 85,75 9,75 8,5 77,75 Např. pro faor L je (79 75 64 73) 7, 75 4 a (97 9 84 9) 9, 75. 4 Efe L lze vpočía jao rozdíl a, j. rozdíl v oncových bodech grafu: ef(l) 9,75-7,75 8. Úhel úseč s osou uazuje velios efeu: nulový efe odpovídá úsečce rovnoběžné s osou. Směr rosoucí znamená, že přechodem z dolní na horní úroveň faoru vzrose efe, směr lesající znamená naopa poles efeu. Daa pro onsruci grafu: Faor - 7,75 9,75 Úsečový graf pro faor L: pro L na dolní úrovni je 3
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH 7,75 a pro L na horní úrovni 9,75. 9 8 7 6 5 4 3 -,5 - -,5,5,5 Faor G - 8 8,5 8,6 8,4 8, 8 8,8 8,6 8,4 8, 8 8,8 -,5 - -,5,5,5 Faor - 85,75 77,75 4
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH 87 86 85 84 83 8 8 8 79 78 77 -,5 - -,5,5,5 Proože se maimalizuje (je o živonos), jsou opimální úrovně L, G, -. Pozn.:. Vžd se odečíá od ef( ) efe ef( ).. V apiole o regresních modelech eperimenu uvidíme, že u lineárních modelů se hledá opimální úroveň faorů uvedeným způsobem, zaímco u vadraicých modelů se opimální hodnoa faoru vpočíá. Znaménová meoda Meoda výpoču pomocí průměru z rozdílů je při věším poču faorů obížně použielná. Jednodušší algorimus zísáme (např. při výpoču efeu ) ao: dosaďme za -3, -5, - a - výše uvedené rozdíl: ef ( ) [(84 97) (64 79) (9 9) (73 75)] 8 4 Seřadíme-li čísla v závorce a, ja jsou uvedena v abulce 5 (ovšem i se znamén), máme ef ( ) ( 79 97 75 9 64 84 73 9) 8 4 Posloupnos ěcho čísel a příslušných znaméne odpovídá výsledům pousů, opařených znamén ve sloupci faoru. Znaméno mínus znamená, že zvěšováním se zmenšuje. Obecný návod je ed eno: sečou se hodno ve sloupci, přičemž aždá hodnoa má znaméno, odpovídající znaménu u příslušného faoru v odpovídajícím řádu. Souče se vdělí n/, de n poče pousů. Napřílad pro faor L bude L (/4)(-7997-759-6484-739) 8. 5
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Znaméno plus znamená, že zvěšováním L se zvěšuje. Podobně se posupuje u inerací, napřílad pro ineraci LG znaménovou meodou bude LG (/4)(79-97-75964-84-739) -. Znaménovou meodu lze aé definova jao součin dvou veorů, spočívající ve vnásobení (řádového) veoru znaméne hodnoceného faoru se sloupcem (veorem) výsledů pousů, např.pro faor L je o součin veorů 79 97 75 9 ef ( L) (,,,,,,,). 8 4 64 84 73 9 erý se dělí polovinou poču pousů. Efe faorů a jejich inerací doplníme do abul 7. čís. L G LG L G LG efe faor - - - - 79 8,75 () - - - - 97 8, L 3 - - - - 75,5 G 4 - - - - 9 -, LG 5 - - - - 64-8, 6 - - - - 84,5 L 7 - - - - 73 6, G 8 9 -,5 LG ab.7 Efe faorů a inerací aesův algorimus Další možnosí výpoču efeu faorů je aesův algorimus. Posupuje se a, že ve sloupci () je souče. a. řádu, poom souče 3. a 4. řádu, 5. a 6. řádu, 7. a 8. řádu, následuje rozdíl. a. řádu, 4. a 3. řádu, 6. a 5, řádu, 8 a 7 řádu. Sejně se posupuje ve sloupci () a (3). Číslovaných sloupců je oli, oli je faorů. Efe je roven podílu čísla v posledním číslovaném sloupci a "děliele". Posloupnos faorů a 6
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH inerací v posledním sloupci je pevná a nelze ji změni. Odud aé pochází seřazení faorů v posledním sloupci abul 7. () () (3) děliel efe faor 79 76 343 654 8 8,75 průměr 97 67 3 7 4 8, L 75 48 35 6 4,5 G 9 63 37-4 4 -, LG 64 8-9 -3 4-8, 84 7 5 4,5 L 73-4 4 6, G 9 7-3 - 4 -,5 LG Zde se posupuje a, že ve sloupci () je souče. a. řádu, poom souče 3. a 4. řádu, 5. a 6. řádu, 7. a 8. řádu, následuje rozdíl. a. řádu, 4. a 3. řádu, 6. a 5, řádu, 8 a 7 řádu. Sejně se posupuje ve sloupci () a (3). Číslovaných sloupců je oli, oli je faorů. Efe je roven podílu čísla v posledním číslovaném sloupci a "děliele". Posloupnos faorů a inerací v posledním sloupci je pevná a nelze ji změni. Odud aé pochází seřazení faorů v posledním sloupci abul 7..4 Rozpl odhadu efeu faoru Výsled jednolivých pousů,, n jsou náhodné veličin. Veor (,, n ) je enýž jao v regresní analýze ( X.β ε ). Pro veor blo doázáno: ~ N( E, var ) ; předpoládá se, že var σ I což znamená, že všechn náhodné veličin i mají - normální rozdělení - sejný rozpl σ Předpolad normali je významný: vužívá se dále a) při odvození rozplu odhadu efeu s e, b) při graficém hodnocení významnosi efeu. Nesplnění normali znamená, že není vhodný lineární model. Hledá se ed vadraicý, de se jina se počíají oeficien (veor b), jejich rozpl a jejich esování. S vužiím výpoču efeu jao rozdílu průměrů můžeme zísa charaerisi efeu. Jesliže aždá náhodná veličina i má rozdělení pa pro jejich průměr plaí i ~ N ( μ, σ ), σ ~ N( μ, ) n 7
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH a aé efe faoru ( neboť je lineární ombinací paramer a ) má normální rozdělení s ef ef ~ N( μ, σ ). e e Sřední hodnoa μ e μ E( ) μ. Odhad rozplu efeu σ e (sejný pro všechn faor) bude: 4 σ n. s e () de n je celový poče pousů (včeně opaování). Rozplu odhadu efeu vpočíáme ao: D ( efeu) s D( ) D( ) D( ) Máme ed σ n σ n σ n 4 e 4σ ef ~ N(, ) n σ n Rozpl odhadu efeu se použije esování významnosi efeu faorů. Poznáma: Při výpoču charaerisi efeu bl použi vlasnosi disperze náhodné veličin D (.X). D (X) a věa o jednom výběru z normálního rozdělení Xi N (μ,σ ) X N (μ, ); i,,...,n. n V případě opaovaných pousů se σ odhadne pomocí veličin s, erá se vpočíá σ ν n, i i n i je poče opaování i-ého pousu, s je vážený rozpl. s ν. s... ν. ν... ν s s i je rozpl v i-ém pousu. (3) Poud se jednolivé pous neopaují, je odhad σ prováděn různými způsob, např. 8
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH a) pomocí zv. cenrálních bodů (ap.3), b) jao průměr druhých mocnin efeů nejvšších inerací. Napřílad budou-li sledován čři faor, označené,,3,4, použije se efe jejich nejvšších inerací ao: nejvšší inerace efe druhá mocnina efeu 3 -,75,565 4,5,5 34 -,5,65 34 -,75,565 34 -,5,65 souče,5 5 Odud rozpl s,5/ 5,3.. V daném případě, proože se aždý z pousů opaoval dvará, je možné z dvojic výsledů, vpočía rozpl v aždém pousu. Rozpl lze při dvou opaováních vpočía snadněji (než s použiím definice rozplu) pomocí vzahu neboť s i ( ) (4) s ( ) ( ) ( ) Po výpoču efeu faorů je pořeba provés vhodnocení významnosi zísaných hodno, neboť např. není jasné. Je-li ef(l) dosaečná hodnoa,abchom L prohlásili za vlivný faor. Používají se různé meod hodnocení významnosi efeů, napřílad a) esem b) grafic (normální resp. poloviční normální p-sní graf) c) pomocí ANOVA Dále se budeme zabýva esem a grafem pro hodnocení významnosi efeů. 9
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH.5 es významnosi efeu Výhodou opaování pousů je možnos esova významnos efeů nebo provádě analýzu reziduí. Nevýhodou opaování je zvšování poču pousů a ím náladů. Jiné možnosi umožňující oéž bez opaování a ed při nižších náladech jsou napřílad a) zdvojení měření, b) zařazení cenrálních bodů do eperimenu, c) projece plánu. Zdvojení měření znamená, že při jednom pousu se provádí více měření. Zdvojené měření není oéž co opaované měření. O cenrálních bodech a projeci plánu je pojednáno v dalších apiolách. V éo apiole uvedeme všechn bod esu významnosi efeu. es významnosi efeů. Nulová hpoéza H o : efe faoru je bezvýznamný Alernaivní hpoéza H : efe faoru je významný.esovací rierium 3. Kriicá hodnoa efe s e n n n n... ( α ) (5) (6) de n,...,n jsou poč opaování pousů, zde n i ; n je poče pousů bez opaování, zde n 8. 4. Závěr esu: pro > n... ( ) n α n n se zamíá nulová hpoéza což znamená, že efe (a ed faor) je významný. V příladě Pružina je ( n... ) 6 (,5),36 n n n α 8 Rozpl s 8 8 8 8 8 5
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH a 4. s 4.5 s e,5 ; s e, n 6 Výpoč jsou uspořádán opě v abulce čís. - s efe efe/s e i 77 8-4 8 98 96 L 8 6,7 3 76 74 G,5,34 4 9 94-4 8 LG -, -,89 5 63 65 - -8, -7,4 6 8 86-4 8 L,5,45 7 7 74 - G 6, 5,36 8 9 88 4 8 LG -,5 -,45 ab.8 esování významnosi efeu Kriicou hodnou převšuje v absoluní hodnoě esovací rierium faorů L, a inerace G. Osaní faor ed nemají vliv na živonos pružin.6 Graficé hodnocení efeu faorů Poud se neprovádí opaování jednolivých pousů, bývá používána graficá meoda určování významných faorů, onréně normální pravděpodobnosní graf. V grafu se na vodorovnou osu vnáší efe a na svislou osu relaivní umulaivní čenos ( i,5) Pi, m (7) de i,,..., m, m je poče faorů a inerací. Za významné se považují faor, eré se nacházejí výrazně mimo hlavní linii (znázorněné něd přímou, erá předsavuje Gaussovu řivu na normálním pravděpodobnosním papíře). Při použií graficé meod je užiečné sesavi do pomocné abul o údaje: Číslo 3 4 5 6 7 Efe -8, -, -,5,5,5 6, 8 Faor LG LG L G G L P i 7,4,4 35,7 5 64,9 78,57 9,86 ab. 9 Graficé hodnocení významnosi efeu (Pružina) Efe ve druhém řádu jsou uspořádané vzesupně.
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Graf (normal probabili plo), sesrojený z údajů ve druhém řádu (vodorovná osa) a ve čvrém řádu (svislá osa) je na obr.. Hodno P i se vnáší na normální pravděpodobnosní papír, aže máme normální pravděpodobnosní graf. V grafu je vidě, že mimo hlavní linii jsou faor, u erých esovací rierium přeročilo riicou hodnou. Jsou o bod L (nejvýrazněji), a G. Obr. Graficé určení vlivných faorů ( pružina) Alernaivou omuo grafu je poloviční normální pravděpodobnosní graf (half- normal probabili plo), de se jeho sesrojení použijí absoluní hodno efeů: Číslo 3 4 5 6 7 Efe,5,5,,5 6, 8, 8 Faor L LG LG G G L P i 7,4,4 35,7 5 64,9 78,57 9,86
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH 9 8 7 6 5 4 3 5 5 Obr. Poloviční pravděpodobnosní graf (half- normal probabili plo).7 Regresní model eperimenu Po nalezení vlivných faorů lze sesavi model eperimenu. Dále budeme rozlišova o model ( pro dva faor ): a) lineární model b b b eno model je posačující pro modelování malých oblasí. b) úplný vadraicý model b b b b b b Je časo dosačují i pro popis ompliovaných varů závislosi, jeho oeficien se snadno naleznou, je propracovaná snadná lasifiace pů ěcho modelů a eisují vzorce pro výpoče opimální úrovně proměnných, eré figurují v ěcho modelech. c) neúplný vadraicý model b b b b Výpoče regresních oeficienů u jednolivých modelů: U modelu a) a c) se oeficien mohou počía různými způsob, např. ) Pomocí efeů, de b o, b ; b,, b je polovinou příslušného efeu, např.,5.ef( ) b. ) Meodou nejmenších čverců 3
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Pro model b) nelze použí efeů ani MNČ. Používají se např. o způsob výpoču: ) Kombinovaný plán ) říúrovňový plán 3) Bo - Behnenův plán Neúplný vadraicý model v příladě Pružina bude 8,75 9.L -4. 3.G. Přepoče na původní proměnné bude (vzorec ) L 8.75 9. o.5 G 6 o 4 3...5 Po úpravě vchází 36,75 3,6L o 3 G o Model lze vuží výpoču eoreicých hodno. Napřílad pro L G - bude ˆ 8,75 9.( ) 4.( ) 3.( ).( ) 79,75 Poznáma: U neódovaných proměnných je problém při dosazování za valiaivní proměnné, zde např. p maeriálu: nelze je dosadi. Problém se řeší se zavedením speciálních proměnných, viz ap.9..8 Reziduální odchl: výpoče, vlasnosi a význam Rozdíl empiricé hodno ( výslede pousu ) a eoreicé hodno ˆ je reziduální odchla (residual error): e ˆ. i i i eoreicé e (rezidua).pous.pous hodno.rezidua.rezidua 77 8 79,75 77-79,75 -,75 8 79,75,5 98 96 97,75,5 -,75 76 74 73,75,5,5 9 94 9,75 -,75,5 63 65 65,75 -,75 -,75 8 86 83,75 -,75,5 7 74 7,75,5,5 9 88 89,75,5 -,75 4
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Rezidua b měla bý u správného modelu a) nezávislá, a) normálně rozdělená (nenormalia rezidují znamená, že lineární model není vhodný), b) s onsanním rozplem. Např. pro faor L v příladě Pružina máme ao rezidua: L G LG L G LG Res - - - - -,75 - - - - -,75 - - - -,5 - - - -,5 - - - - -,5 - - - -,5 - - - -,5,5 Pro faor L bude graf reziduí vers. úrovně faoru:,7 Plo of Col_3 vs Col_4,7 Col_3 -,3 -,3 -,3 - -,6 -,,,6 Col_4 Rezidua mají pro dolní úroveň faoru L věší rozpl než pro horní úroveň. Neonsanní rozpl znamená, že variabilia je ovlivňována úrovní faorů a musí se vzí v úvahu. aový graf se sesrojí pro všechn faor L,G a..9 Meoda nejmenších čverců v DOE Koeficien v regresním modelu lze vpočía aé MNČ pomocí známého vzorce b (X X) - X. Jeho použií uážeme na jednoduchém příladě. Přílad Mějme plán. Plán eperimenu pa bude: 5
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH 6 Pous A B AB - - - - 3 - - 4 Výpoče regresních oeficienů provedeme dle vzahu b (X X) - X, de maice X a další pořebné maice jsou: X 4 4 4 4 X X ( ) I X X 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 4 b (X X) - X 4 3. 4 4 IX 4 3 4 3 4 3 4 3 4 V prvém řádu dosáváme průměr z i, v dalších řádcích souče výsledů (i) se sejnými znamén jao u znaménové meod, ale čvrinu míso očeávané polovin (obecně n/). Je o proo, že zde počíáme oeficien, dežo u znaménové meod efe. Napřílad efe prvního faoru je,5(-3-4), zde ale máme oeficien,5. (-3-4). Jeliož oeficien efe /, bude oeficien,5 [,5 (-3-4)],5 (-3-4). Pozn.: U úplného vadraicého modelu jsou sloupce b a b lineárně závislé, proo b výpoče vůbec neproběhl. K čemu slouží regresní model eperimenu: ) výpoču pro libovolnou úroveň faoru ) určení směru dnamicého plánování eperimenů 3) výpoču opimálních hodno faorů (u vadraicých modelů lineární nemají erém) 4) výpoču eoreicých hodno
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH 5) výpoču reziduálních odchle. Graf inerací Pro významné inerace se sesrojují graf, umožňující disusi o opimální úrovni jednolivých faorů v závislosi na druhém faoru. Výsledná opimální úroveň může bý diamerálně odlišná od é, erá se sanovila individuálně. a napřílad pro významnou ineraci G sesrojíme graf vlivu G na uazael vali v závislosi na faoru : V abulce 6 nalezneme G průměr - - 79 97 88-75 9 83,5 G průměr - 64 84 74 73 9 8,5 ab. Určení rajních bodů grafu inerací 88-83,5 74 5 7 G 8,5 Obr.3 Vliv G na v závislosi na Na vodorovné ose je první faor z inerace G, ed G, na svislé vžd. Sesrojí se rajní bod grafu; mají souřadnice - 88 83,5-74 8,5 V prvém případě blo záporné, ve druhém ladné. Proo jsou graf označené resp.. Z grafu je vidě, že pro maimalizaci je nejlepší na dolní úrovni 7
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH (-) a že změna G neovlivňuje výrazně. Přílad 3 Sesroje graf efeu úrovní faoru B pro plán A B - - 3-5 - Průměr (5)/ 3 ()/.5 Průměr - (3)/.5 (35)/ 4 Efe A meodou rozdíl průměrů ef(a) 3 -.5.5. Efe faoru B je ef(b).5-4 -.5 3, 3,9,8,7,6,5,4 -,5 - -,5,5,5 Obr.4 Graf efeu úrovní faoru A Shrnuí apiol Záladní informace éo apiole jsou: ja sesavi plán eperimenu a vpočía vliv jednolivých faorů. Jeliož vpočíané hodno faorů nelze hodnoi subjeivně, eisuje eaní meoda es významnosi efeů. Je aé možné použí graficou meodu hodnocení. Nalezené významné faor jsou použi sesavení modelu eperimenu. en může bý lineární nebo vadraicý. Při jejich sesavování jsou významné rozdíl a je proo vhodné nejprve rozhodnou, je li vadraicý model pořeba. Kvadraicý model je přesnější a umožní naléz ideální nasavení významných paramerů. Dalším zlepšením modelování procesu je použií dnamicého plánování. Všechn o pozna bl objasněn v prvé apiole. Jejich zvládnuí si ověře pomocí onrolních oáze a úloh procvičení. 8
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Oáz e apiole. Do eré výrobní eap zejména paří DOE. Jaé jsou cíle DOE 3. Co obsahuje plán eperimenu 4. Co je pous a co eperimen 5. Napiše vzorec pro ódování proměnné 6. Definuje efe faoru 7. Vjmenuje 5 způsobů výpoču efeu faoru 8. Ja se sesrojí graf efeu faoru 9. K čemu slouží graf efeu faoru. Ja se vpočíá poče pousů v úplném plánu. Ja se vpočíá rozpl odhadu efeu faoru. Ja se odhadne rozpl veličin 3. Napiše vzorec pro vážený rozpl 4. Ja se počíá rozpl odhadu efeu faoru u neopaovaných pousů 5. Napiše jednoduchý vzorec pro rozpl dvou veličin 6. Napiše všechn bod esu významnosi efeu 7. Napiše abulu pořebnou e graficému hodnocení efeů 8. Co je na osách při graficém hodnocení efeů 9. Ja se poznají významné faor při graficém hodnocení. Ja se rozdělují regresní model eperimenu. Ja se počíají oeficien v lineárním modelu. Ja se počíají oeficien v úplném vadraicém modelu 3. K čemu slouží regresní model eperimenu 4. Ja se počíají reziduální odchl 5. K čemu složí reziduální odchl 6. Jaé vlasnosi musí mí reziduální odchl 7. Uaže použií MNČ v DOE 9
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Řešené úloh e apiole Přílad. Napiše do abul poloviční plán pro faor A,B,C: A B C efe faor A 7 B AB. Výsled pousů v rchlových bodech jsou,,7,. Urči efe A, B a C. 3. Napsa lineární model pro eno plán. 4. Nají eoreicou hodnou pro A,B a C na dolní úrovni. 5. Doplni eno plán o hvězdicové bod 6. Doplni do plánu ři cenrální bod a urči pure error S PE, jsou li výsled v cenrálních bodech 6, 8 a 3. Přílad Sesave úplný plán pro faor E,F,G. Výsled pousů jsou 5,5,4,5,3,,3,. Vpočíeje efe faorů a inerací dvojic a rojice. Sesave abulu, pořebnou pro onsruci grafu pro hodnocení významnosi efeů. Přílad 3 Napiše úplný plán pro faor A,B,C. Vpočíeje ef(a) a ef(c), jsou li výsled jednolivých pousů,6,7,7,4,5,6,3. Napiše abul pořebné pro graf inerací. Proveďe náres grafu. Jaá je opimální úroveň, dž se minimalizuje? Přílad 4 Pro faor,c,k a) napiše úplný plán b) vpočíeje efe c) oesuje efe d) vhodnoťe efe grafic e) napiše neúplný vadraicý model f) sesroje úsečové graf a vpočíeje efe jao rozdíl průměrů g) vpočíeje rezidua Výsled pousů při dvou opaováních jsou: 59 6 74 7 5 58 69 67 5 54 8 85 46 44 79 8 3
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Přílad 5 Použije aesův algorimus určení efeu da v abulce, zísaných úplným faorovým plánem 3. 3 - - - 3 - - - - 9-5 - - - 8-9 7 KLÍČ K ŘEŠENÍ Řešení(): A B C - - - - - - 7 -,4,4 -,4,44 -,4,4 6 8 3 ef(a), ef(b) -, ef(c) 3;,5A B,5C (,, ),5,5 9 S PE 8 Řešení(): E F G efe faor - - - 5 - - 5 -,5 E 3 - - 4 -,5 F 4-5 EF 5 - - 3 -,5 G 6 - - EG 7-3 FG 8 -,5 EFG 3
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH i 3 4 5 6 7 Efe -,5 - -,5 -,5 -,5 Faor G EG E F EFG EF FG Pi 7,4,43 35,7 5 64,9 78,57 9,86 P i ( i,5) 7 Řešení(3): A B C - - - - - 6 - - 7-7 - - 4-5 - 6 3 5,5 4,5 Opimální úroveň pro C je horní úroveň. abul pro onsruci grafu inerací A C Průměrné - 6;7 6,5 - - ;7 4,5 A C Průměrné 5;3 4-4;6 5 Řešení(4): Poče pousů: n 3 8 pous C K C K CK CK - - - - 59 6 6 - - - - 74 7 7 3 - - - - 5 58 54 4 - - - - 69 67 68 5 - - - - 5 54 5 6 - - - - 8 85 83 7 - - - - 46 44 45 8 79 8 8-5,75 66,75 63,5 75,75 6,75 65 64,5 3
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Výpoče efeů pomocí znaménové meod es významnosi efeů ) Sanovení hpoéz: H : efe faoru je bezvýznamný H : efe faoru je významný Pous s i 8 3 3 4 5 8 6 8 7 8 Např.: ) esovací riérium: faor 6,63 C -3,536 K,6 C,6 K 7,7 CK CK,354 Významné faor jedna inerace 33
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH 3) Kriicá hodnoa: K 8 (,5),36 4) Poud je esovací riérium v absoluní hodnoě věší, než riicá hodnoa, zamíáme H. Významné faor jsou vznačen červeně. Jsou o, C a K. Graficé hodnocení efeu Číslo 3 4 5 6 7 Efe -5,5,5,5 3 Faor C CK CK K C K P i 7,43,43 35,7 5 64,86 78,57 9,857 Obr. Graf hodnocení efeu Významné efe leží mimo hlavní linii: C, K,. Neúplný vadraicý model b b b C C b K K 64,5,5,5C 5K Úsečový graf pro efe ef() - - 75,75-5,75 3 34
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Obr. Úsečový graf pro efe Úsečový graf pro efe C ef(c) - - 6,55 66,75-5 Obr. 3 Úsečový graf pro efe C Úsečový graf pro efe K ef(k) - - 65 63,5,5 35
ÚPLNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN NA DVOU ÚROVNÍCH Obr. 4 Úsečový graf pro efe K Výpoče reziduí C K - - 6,5 6,5 - - 73,5 7,5-55,5 54,5-68,5 68,5 - - - 5,5 5 -,75-83,5 83,5 - - 45,5 45,5 78,5 8 -,75 e i Řešení(5): aesův algorimus: () () (3) děliel efe faor 3 3 4 38 73 8 9,5 průměr - - - 4 35-4 -,75 - - 9 9-6 -3 4-3,5 - - 5 6-5 - 4 -,5, - - - -3 4 -,75 3 - - 8-4 -3 4,5,3-9 -3-7 4,75,3-7 - 3 4,75,,3 36
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI. ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI (Fracional Facorial Design a wo Levels) Čas e sudiu: hodin Cílem druhé apiole je objasni zejména: a) ja lze sníži poče pousů v eperimenu b) jaé problém přináší snížení poču pousů a ja se řeší Výlad V úplném faorovém eperimenu se sesavuje plán eperimenu pro aždý faor. U čásečného faorového eperimenu se plán sesaví jen pro něoli faorů. budeme nazýva hlavní faor. Osaní faor, eré nazveme vedlejší faor, se vjádří pomocí hlavních. ím se dosáhne snížení poču pousů. Označení hlavní a vedlejší nija nesouvisí s veliosi jejich vlivu na sledovaný uazael. en ani nelze na počáu eperimenu vmezi, neboť se vchází z oho, že o vlivu faorů se nic neví. Poud jde o způsob vjádření vedlejších faorů pomocí hlavních, je významné, ja se provede. omuo problému se budeme věnova později. Je-li označení pro úplný eperimen, poče úrovní faorů, poče faorů, p pa je označení pro čásečný faorový eperimen, p supeň snížení. Chceme-li napřílad v plánu 7, erý předsavuje n 8 pousů, sníži poče pousů na polovinu, j. 7 7, dosáváme čásečný faorový eperimen, erý předsavuje 7 n 64 pousů, ed p o l o v i n u. Je o nejmenší možné snížení poču pousů. Plán se snížením poču pousů na polovinu se nazývají poloviční plán. Supeň snížení p může bý i všší než, napřílad 7 4, 37
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI de bude jen n 8 pousů. o je pro 7 faorů nejvšší možné snížení. U zv. lineárních plánů (plánů prvního řádu), sloužících nalezení modelů, eré obsahují jen faor bez jejich ombinací nebo mocnin, vchází nejvěší možné snížení z pravidla, podle erého poče pousů nesmí bý menší než poče paramerů v regresním modelu, což je zde oožné s počem faorů. Musí ed plai n. Pro vadraicé plán, eré jsou určené nalezení vadraicých modelů, je podmíne více, ja uvidíme ve čvré apiole. Plán s nejvěším snížením jsou saurované (nascené) plán. V uvedeném případě 7 a n 7-4 8, aže p 4 je nejvšší možný supeň snížení. Napřílad pro 5 faorů je nejvšší možné snížení 5-, neboť poče pousů je při p roven n 6 a poče faorů je 5. Poud bchom provedli ješě všší snížení, např. 5-, poom 5, ale n 8, aže n <. Mezi polovičními a nascenými plán může bý ješě řada možnosí snížení. Plán se supněm snížení mezi maimálním a minimálním se nazývají sředové plán. Napřílad mezi 7- a 7-4 jsou sředové plán 7- a 7-3. Čásečné faorové plán lze ed rozděli do ří supin: a) plán s nejnižším snížením (poloviční) b) plán s nejvšším snížením (saurované) c) sředové plán. Operace s faor a jejich vlasnosi Označme I faor, obsahující jen úrovně. aový faor se nazývá jednoový. Pro operace s faor plaí o zřejmé vzah A.A I A.I I.A A (A.B).C A(B.C) A.B B.A (8) (9) () () Při vhodnocování čásečných plánů se používá něoli důležiých pojmů, eré objasníme v následujícím obecném příladě. Přílad A,B,C,D,E jsou faor, pro eré se má sesavi poloviční plán. 38
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Posupujeme a, že určíme 4 hlavní faor (napřílad A,B,C,D), pro eré se sesaví úplný plán a zbývající (vedlejší) faor E se vjádří jao jejich ombinace, napřílad E ABCD () Každá ombinace faorů voří slovo. Slovo se sládá z písmen (faorů). Poče písmen ve p slově je déla slova. Vzah () se nazývá generáor. V plánu je p vedlejších faorů, z nichž aždý musí bý vvořen (generován) pomocí hlavních, proo je aé p generáorů. Vnásobením generáoru () levou sranou, j. faorem E, a s použiím vzahů (8) () dosáváme E.E E. ABCD I ABCDE. (3) Slova, erá jsou rovna jednoovému faoru I, se nazývají definiční rovnice, napřílad (3). Ja uvidíme dále, definičních rovnic může bý i více než jedna. Déla nejrašího slova v definičních rovnicích je zv. řešení plánu (resoluion of he design) a zapisuje se pu 5 plánu římsou číslicí jao inde. Zde např. V. Z ohoo zápisu čeme: faor jsou na dvou úrovních, poče faorů je 5, vedlejší faor je jeden, jedná se o poloviční plán a supeň řešení je V. Řešení plánu je V proo, že slovo v definiční rovnici (3) má délu (poče písmen) 5.. Nalezení zaměnielných dvojic Pomocí definiční rovnice lze nají dvojice faorů (resp.inerací), eré voří sejné posloupnosi znaméne a eré se nazývají zaměnielné dvojice. Napřílad zaměnielnou ineraci DE nalezneme vnásobením definiční rovnice ouo inerací I ABCDE / DE Podle (8) a (9) dosáváme DE.I DE.ABCDE Praicé použií ilusruje následující přílad. DE ABC Přílad ([3], upraveno) Sleduje se množsví barviva, eré zůsane na láce po absolvování esů (ve srovnání se sandardním vzorem), v závislosi na faorech: A ph, B eploa, C oncenrace, D doončovací eploa, E doončovací čas. Faor a jejich dvě úrovně jsou v abulce. 39
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Faor Smbol - PH A 4.5 5.5 eploa B 7 C 8 C oncenr. C g/l 3g/l do.eploa D 7 C 9 C do.čas E 5s. 7s. ab. Faor a jejich úrovně Má se sesroji úplný plán a naléz nejvýznamnější faor, sesroji poloviční plán, naléz nejvýznamnější faor a porovna výslede polovičního plánu s úplným plánem. Řešení: Úplný faorový plán 5 Čís. A B C D E DE ABC ACDE - - - - - 3. - - - - - 9.9-3 - - - - 8. 4 - - - 7.5 - - 5 - - - - 9. - 6 - - - 9. - 7 - - - -. - - 8 - - -. 9 - - - -.6 - - - - - - 8. - - - -. - - - -. - - 3 - - - 5. - 4 - - 9.7 - - - 5 - - 4. - - 6 -.9 - - 7 - - - - 6.4 - - 8 - - - 9.8-9 - - - 9. - - - - 6.6 - - - - - 4.9 - - - 5.3 - - - 3 - - -5. - - 4 - -3.7 - - 5 - - - 7.3-6 - -.7-7 - -.9 8-3.7 - - 9 - -.4-3 -.4-3 - 3.8 - - 3 4. Efe faorů v úplném plánu, vpočíaný znaménovou meodou, jsou: 4
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Faor A B C D E Efe -. -4.5-6. 4..3 Fa. AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE Ef...9 -.. -3.5.4 -.5.6 -.8 3. Fa. ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE Ef. -.6.3..3 -.3 -.7.4 -.5 -.5. Fa. ABCD ABCE ABDE ACDE BCDE ABCDE Ef. -..8... -.4 Určíme významné faor. Proože se jednolivé pous neopaují, nelze použí esu (bez opaovaní není možné vpočía směrodanou odchlu, erá je součásí esovacího rieria). V aových případech se používá graficá meoda. Bod, eré leží mimo hlavní linii, jsou zde C(efe -6., Pi.67), B(-4.5,5), BC(-3.5,8.33), DE(3.,95), D(4.,98.33), (obr.). Obr. Graficé určení vlivných faorů v úplném plánu Nní sesavíme poloviční plán 5-. a) Jao hlavní faor jsou sanoven A,B,C,D, vedlejší je E. en bude vjádřen pomocí hlavních. Generáor volíme E ABCD. 4
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Pous A B C D E úplný ABCD plán - - - - 7 6,4 - - - - 9,9 3 - - - - 3 8, 4 - - 6,6 5 - - - 5 9, 6 - - 5,3 7 - - 3-5, 8 - - 8 -, 9 - - - - 9,6 - - 6,7 - - 7,9 - -, 3 - - 9,4 4 - - 4 9,7 5 - - 5 4, 6 3 4, ab. Poloviční plán (záladní frace) Poloviční plán ed má 6 pousů, ale nioli prvních 6 z úplného plánu. Keré pous úplného plánu jsou zde obsažen, je parné z předposledního sloupce ( úplný plán ), de jsou čísla řádů plánu 5. Druhou polovinu úplného plánu, erou nazýváme doplňovou fraci, j. zbývajících 6 pousů nalezneme, zvolíme-li generáor E - ABCD: č. A B C D -ABCD E úplný plán - - - - - 3, - - - 8 9,8 3 - - - 9 9, 4 - - - 4 7,5 5 - - - 4,9 6 - - - 6 9, 7 - - - 7 -, 8-4 -3,7 9 - - - 5 7,3 - - - 8, - - -, - 8 3,7 3 - - - 3 5, 4-3,4 5-3 3,8 6-6,9 ab.3 Poloviční plán (doplňová frace) 4
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Výpoče efeu faorů pro poloviční plán, se počíá opě znaménovou meodou. Výsled jsou v abulce 4: prvé dva sloupce pro první polovinu, druhé dva sloupce pro duhou polovinu plánu. Faor Efe v.fraci Faor Efe ve.fraci ABCDE, A-BCDE -,4 BACDE -4,4 B-ACDE -4,6 CABDE -5, C-ABDE -7, DABDE 4,8 D-ABDE 3, EABCD -,8 E-ABCD,4 ABCDE, AB-CDE -, ACBDE -,6 AC-BDE,4 ADBCE -,6 ADBCE,4 AEBCD,5 AE-BCD -,3 BCADE -4, BC-ADE -,8 BDACD, BD-ACD,7 BEACD -, BE-ACD -,8 CDABE,7 CD-ABE,5 CEABD -,5 CE-ABD -, DEABC,4 DE-ABC 3,6 ab.4 Efe faorů v obou polovičních plánech Vpočíaným efeům vša neodpovídá faor, ale dvojice faorů. V dalším budeme řeši, proč dvojice a eré faor voří dvojici. Nejprve vša provedeme graficé vhodnocení významnosi efeů. Je na obrázu. Obr. Graficé určení vlivných faorů v polovičním plánu 43
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Z porovnání grafů na obr. a obr. je zřejmé, že poloviční plán dává sejné hodnocení jao úplný plán. Znamená o ed, že snížením poču pousů na polovinu nedošlo e zráě informací a ím e změně výsledů. Porovnáme-li vša efe faorů a jejich inerací v úplném a v polovičním plánu je vidě, že nejsou přesně sejné. Navíc, ja blo uvedeno, jsou v abulce 4 uváděn efe pro s o u č, napřílad A BCDE, B ACDE apod. Souč jsou ve sloupci faor v abulce 4 uveden proo, že snížením poču pousů dochází omu, že něeré posloupnosi znaméne u inerací faorů jsou sejné. Napřílad (podle ab.) ABC - - - - - - - - DE - - - - - - - - Jsou-li u inerací ABC a DE sejné posloupnosi znaméne je jasné, že aé efe (zde počíaný znaménovou meodou) je sejný. Vpočíaný efe paří oběma ineracím, proo jsou v souču. Neznamená o ale, že na aždou připadá polovina! Kdbchom, pouze eoreic, nalezli oba poloviční plán, můžeme vpočía, oli z celového efeu připadá na jednolivé inerace v souču (eno výpoče se v prai samozřejmě neprovádí). V abulce 4 je napřílad efe B ACDE - 4,4 a B ACDE - 4,6. Řešením ěcho dvou rovnic dosáváme efe připadající na B: -4,5 a na ineraci ACDE:,. Z ěcho výsledů je vidě dva důležié pozna: a) čisý efe B je přesně shodný s efeem B v úplném plánu, b) na ineraci připadá zanedbaelně malý podíl celové hodno efeu. Obecně plaí, že čím delší je slovo, ím menší má efe. Za bezvýznamný je považován efe (inerace) o délce slova alespoň 3. Vsvěluje se aé, proč efe B ACDE - 4,4 není shodný s efeem B v úplném plánu (B:- 4,5). Je o proo, že efe B je onaminován efeem inerace ACDE. Blo již řečeno, že při sesavování polovičních plánů se jeden z faorů vjádří jao inerace osaních. Říáme-li osaních neznamená o, že nuně všech osaních. a napřílad při pěi faorech A,B,C,D,E je možné vjádři E mnoha způsob. Porovnejme o dva: a) E AB, b) E ABCD Příslušné definiční rovnice jsou a) I ABE b) I ABCDE 44
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI 5 V případě a) máme plán 5 III, v případě b) plán V. eno druhý plán je lepší, neboť má řešení plánu V což znamená, při hledání zaměnielných dvojic budou v souču ráá a dlouhá slova; napřílad A, máme a) A BE b) A BCDE V případě b) voří zaměnielnou dvojici s A inerace více faorů, erá má proo menší podíl na celovém efeu, u více než dvou faorů doonce a malý, že se zanedbává a pracuje se jen s ráým slovem, zde s faorem A. ím se usnadňuje disuse vpočíanému efeu. Opimální volb generáorů pro různé poč faorů () a různé supně řešení jsou uváděn v abulách. Jednu z nejraších navrhl L.W.Robinson (ab.5). V abulce jsou 4 šip: např. pro 3 a s.řešení IV: má li bý řeš. IV, musí se uděla úplný plán. učně jsou uveden poč pousů pro dané a supeň řešení. Pro až 5 nejsou uveden generáor. Supeň řešení III IV V 3 3. 4 Full 8 4 4..3 8 Full 6 5 4. 8 5..3.4 6 5.3 6 6.3 5..3 6 6..3.4.5 3 6..4 7 7..3 7.3.4 7..3.4.5.6 64 8 8.3.4 7..3.4 64 8..5.6 9 5..3 6 6..3 3 8..3.4.5 8 6..4 7..4 9..3.6.7 7.3.4 8..5 8.3.4 9.3.4.5 9..3.4..3.4.5.4.5.6.3 6..3 3.4.6.7 7..4 8..5 9.3.4.3.5.4.5.4.3.4 56 3 3.3 3.3.5 4 4.4 4.4.5 5 5 3.4 5 3.4.5 ab.5 Opimální volb generáorů (L.W.Robinson, QE 5, No3, 3, s.43-46) 45
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Poznáma Je vžd lepší uděla poloviční plán a pa, na záladě analýz, ho případně doplni (o další fraci), než děla ihned úplný plán. Sejné zásad jao u polovičních plánů plaí pro sředové a saurované plán. Saurované plán jsou, de poče paramerů (p) poče pousů (n) Saurovaný plán lze definova pomocí p (poče paramerů modelu) nebo pomocí (poče faorů). U lineárních modelů je saurovaný plán en, de n p neboli n, proože p..3 Sanovení poču zaměnielných faorů V plánu -p je p vedlejších faorů. Proo je pořeba p generáorů a z nich lze vvoři p p p... p (4) definičních rovnic (dané definiční rovnice součin dvojic, erých je p nad dvěma; součin rojic, erých je p nad řemi ad.). Výraz (4) lze zapsa ve varu ( p p p p resp. resp. p p p p. ) ( ) p Poče definičních rovnic v plánu -p je p -. Z aždé definiční rovnice lze vvoři danému faoru zaměnielný faor, aže v plánu p je poče zaměnielných faorů roven poču definičních rovnic daný faor (plus jedna) Poče zaměnielných faorů v plánu -p je p. ( p -) p Přílad 3 (nalezení definičních rovnic) Uvažujme siuaci, d je sledováno 7 faorů A,B,C,D,E,F,G, ovlivňujících uazael vali 7 4. Jesliže se sesavuje saurovaný plán, jsou vbrán hlavní faor A,B,C, pro eré bude sesaven úplný plán. Zbývající 4 faor (D,E,F,G) jsou vedlejší. Generáor jsou volen napřílad ao (jejich poče je p j. 4): D AB, E AC, F BC, G ABC. 46
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI p Definiční rovnice budou (jejich poče je 4 5 ): ABD ACE BCF ABCG (součin dvou)bcdeacdfcdgabefbeg AFG (součin ří) DEF ADEG BDFG CEFG (součin čř) ABCDEFG Proože míso 7 8 pousů jich bude jen 7 4 8, je aždý plán frací, erá je plánu, aže eisuje 6 frací a v aždé je 6 zaměnielných faorů. Napřílad pro faor A máme uo supinu zaměnielných faorů ABDCEABCFBCGABCDECDFACDGBEFABEG FGADEFDEGABDFGACEFGBDCEFG p (jejich poče je 4 6 ) Z nich má smsl ponecha jen inerace dvou, aže pro A o bude ABDCEFG 4 celého.4 Volba generáorů u sředových plánů Sředové plán b měl spojova dobré vlasnosi polovičních a nascených plánů. Mezi sředovými plán se hledá aový plán, erý má méně pousů než poloviční a poud možno nejvýhodnější supin zaměnielných faorů. Připomeňme, že za nejlepší zaměnielnou ineraci se považuje a, erá je vořena nejvěším počem faorů. Sladba zaměnielných faorů souvisí s volbou generáorů. Přílad 4 Porovna výslede různé volb generáorů u sředového plánu a) Generáor: E ABCD, F ABC, G BCD Definiční rovnice budou I ABCDE ABCF BCDG DEF AEG ADFG BCEFG 7 3 Supeň řešení plánu je zde III: b) Generáor: E ABC, F BCD, G ACD, III 7 3 s faor A,B,C,D,E,F,G. Definiční rovnice I ABCE BCDF ACDG ADEF BDEG CEFG ABFG, de 7 3 supeň řešení je IV:.5 Projece plánu IV. Má-li něerý z faorů nevýznamný efe, je možné ho vnecha. Zísá se a plán s opaováním. Např. pro ři faor A,B,C má úplný plán 3 var 47
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI A B C - - - - - 3 - - 4-5 - - 6-7 - 8 Vnecháním faoru C vznil plán s opaováním. Obecně plaí, že máme li úplný plán bez opaování a jesliže v něm vnecháme h (h < ) faorů, vznine úplný plán pro h faorů s počem opaování h. Vnechá-li se v polovičním plánu faor, vznine úplný plán. Přílad 5 Mějme plán 3- s faor A,B a C AB. Vnecháním C vznine úplný plán. Podobně vnecháním B vznine úplný plán A B C AB - - - - - - A B C AB - - - - - - Vnecháme-li např. v polovičním plánu 5- faor A a E, vznine čásečný plán pro B,C a D se dvěma opaováními: č. A B C D -ABCD E úplný plán - - - - - 3, - - - 8 9,8 3 - - - 9 9, 4 - - - 4 7,5 5 - - - 4,9 6 - - - 6 9, 7 - - - 7 -, 8-4 -3,7 9 - - - 5 7,3 - - - 8, - - -, - 8 3,7 3 - - - 3 5, 4-3,4 5-3 3,8 6-6,9 48
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Obecně vnechá-li se d faorů v plánu -p bez opaování, vznine buď úplný plán nebo čásečný plán s opaováním. Vznilý plán má éž definiční rovnice, eré ale neobsahují vnechané faor. Při analýze čásečných plánů vzniají ompliace v důsledu souču faorů, erým náleží vpočíaný efe. Při navrhování čásečných plánů je proo snaha, ab v souču a) bla ráá a dlouhá slova b) blo co nejméně slov. První cíl lze řeši správnou volbou generáorů; a způsobí v onečném důsledu všší supeň řešení; jao přílad jsme uvedli porovnání generáorů E AB resp. E ABCD, eré vedl 5 plánům 5 III resp. V, ed supňům řešení III resp. V..6 Doplňové frace: vorba a vlasnosi Jednou z možnosí ja dosáhnou cíle b) je doplnění záladní frace plánu o další, zv. doplňové frace, ed slučování frací (sequence). Doplňová frace u polovičních plánů Přílad 6 5 Mějme faor,, 3, 4, 5 a poloviční plán. Generáor má var 5 34. S ímo generáorem se vvoří první polovina (první frace) úplného plánu. Spolu se všemi ineracemi dvou faorů je plán v abulce: 3 4 5 3 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Poračování 5 3 4 5 34 35 45 - - - - 56-53 - - - 63 - - - - 65 - - - 53 - - - - 55 - - - - 67 - - - - - 6 - - - 69 49
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Efe jednolivých faorů vchází: - - - - 45 - - - - 78 - - - - - 93 - - - - 49 - - - - - 6 - - - 95 8-4 -,75,5 5,5 3 3,5 4,5 4,75 5-6,5 5,5,5 34,5 3,5 35,5 45-9,5 V omo plánu mají něeré inerace sejné posloupnosi znaméne a proo i sejný efe, např. 3 a 45. Efe inerace 45 je ef(45) 9,5. Proože je o společný efe s inerací 3, píšeme ef(45) -9,5 45 3 Druhá polovina (druhá frace) plánu 5- má generáor aže I - 345 5-34 Zaměnielný faor např. je v první fraci 345 a ve druhé fraci - 345. Efe faoru je v první fraci a ve druhé fraci ef(),5 345 ef() 8,5 345 Čisý vliv faorů a 345 b se vpočíal jen při znalosi obou frací. Jeliož je dispozici jen jedna frace, nelze čisý efe počía. Je proo žádoucí, ab v zaměnielných dvojicích s faor bl co nejdelší inerace. oho se dosáhne ehd, je-li vsoý supeň řešení. U polovičních plánů, sleduje-li se faorů,, 3,,, je nejlepší eno posup: a) sesavi úplný plán pro faor,,, - b) -ý faor vjádři pomocí faorů,,3,, (-):..3.. (-) 5
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Doplňové frace u sředových a saurovaných plánů V plánu 7-4 budou dispozici o generáor pro vvoření všech 6 frací (aždá frace je vořena 8 pous) D ±AB, E ± AC, F ± BC, G ± ABC. Plán 7-4 a výsled pousů (pro generáor s ladnými znamén) jsou v abulce: A B C D AB E AC F BC GABC - - - - 69 - - - - 5 3 - - - - 6 4 - - - - 83 5 - - - - 7 6 - - - - 5 7 - - - - 59 8 88 Druhou fraci plánu 7-4 vvoříme napřílad ao: D -AB, E AC, F BC, G ABC, aže jen u faoru D se změnilo znaméno. Plán éo frace a výsled pousů jsou v následující abulce: A B C D -AB E AC F BC G ABC Pous 9 - - - - - 47 - - - 74 - - - 84 - - - - - 6 3 - - - - - 53 4 - - - 78 5 - - - 87 6-6 U prvé frace je napřílad efe faoru A a zaměnielné dvojice ef ( A) 3. 5 A BD CE FG U druhé vchází ef ( A).75. Zaměnielné dvojice u druhé frace se zísají z první a, že se změní znaména v definičních rovnicích am, de je faor D 5
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI ef ( A). 75 A BD CE FG. Efe faoru A i zaměnielné dvojice ve spojeném plánu lze zísa jao průměr z obou frací ( ef ( A) ef ( A)) (3.5.75) [( A BD CE FG) ( A BD CE FG)] A CE FG,5 (ověře výpočem ef(a) z celého plánu) Zdůvodnění je jednoduché:... 8 9... 6... ( ) 4 4 8 6 Výraz vlevo je průměr. frace a. frace, výraz vpravo je efe počíaný z obou (sloučených) frací..7 Plán eperimenu pro osm faorů Další cesou e zrácení plánu při jednoduché analýze výsledů je onsruce speciálních plánů. Napřílad pro 8 faorů je možné sesavi speciální plán v ěcho rocích: a) prvních osm pousů naplánova sejně jao pro plán 7 4 s ím, že osmý sloupec je vořen jen znamén plus b) dalších osm pousů (j. pous 9 6 ) voří doplňovou fraci s opačnými znamén Výhod ohoo posupu: a) nejméně pousů b) počíá čisý efe ( bez součů) Po 3 4 5 6 7 8. - - - - 4, - - - - 6,8 3 - - - - 5, 4 - - - - 5,4 5 - - - - 7,6 6 - - - - 4, 7 - - - - 7,4 8,6 9 - - - -,3 - - - - 7, - - - -,5 - - - - 7,5 3 - - - - 5,9 4 - - - -,9 5 - - - - 6,7 6 - - - - - - - -,3 5
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Na závěr éo apiol uvedeme doporučení pro vorbu čásečných plánů: a) plán začí s omezeným počem faorů, eré sačí řízení procesu b) generáor voli podle doporučení v abulách c) po výpoču efeů vnecha nevýznamné faor (projece) d) přida podle pořeb vhodné doplňové frace e) na začáu plánování neděla úplný plán ani plán s opaováním f) u věšího poču faorů, pořebných hned v úvodu, hleda speciální plán Shrnuí druhé apiol ao apiola je rozšířením poznaů z prvé apiol. Přináší zejména informace o om, ja sníži poče pousů a eré problém vedle výhod oo snížení přináší. Oáz e apiole. Ja značíme čásečný faorový eperimen. Ja sanovíme poče pousů v čásečném eperimenu 3. Proč se provádí čásečný faorový eperimen 4. Ja rozdělujeme čásečné faorové eperimen 5. Co je jednoový faor 6. Uveďe vlasnosi operací s faor 7. Ja se sanoví maimální supeň snížení 8. Co je generáor, definiční rovnice a supeň řešení 9. Co jsou a ja se naleznou zaměnielné dvojice. Co ovlivní volba generáoru. Ja se zjisí opimální volba generáoru. Ja se sanoví poče generáorů a poče definičních rovnic 3. Ja se sanoví poče zaměnielných faorů 4. Jaý je opimální generáor u polovičního plánu 5. Co je projece plánu 6. Co způsobí projece u úplného plánu 7. Co způsobí projece u polovičního plánu 8. K čemu slouží doplňové frace 9. Napiše doplňovou fraci polovičnímu plánu s 5 faor. Ja se snadno sanoví zaměnielné faor a efe při sloučení dvou frací. Vsvělee onsruci plánu pro 8 faorů 53
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Úloh e apiole Přílad Napiše čásečný plán 5- pro faor A,B,C,D,E, jsou li výsled pousů posupně při prvém provedení 7,6,8,5,7,3,8,9, a při druhém provedení 6,8,7,6,9,3,8,8. A B C D E 7 6 6 8 3 8 7 4 5 6 5 7 9 6 3 3 7 8 8 8 9 8 Dále: a) vpočíeje efe b) určee všechn možné zaměnielné faor Přílad Uděleje čásečný plán 5- pro faor A,B,C,D,E, Vpočíeje efe a sesroje abulu pořebnou e graficému hodnocení efeů. Generáor vole: D AB a E AC Plán a výsled pousů jsou v abulce: A B C D E - - - 8,5 - - - - 3 - - - 5 4 - - 8,5 5 - - - 9,5 6 - - 7 - - - 7 8 7,5 54
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Klíč řešení ap. Řešení(): Čásečný plán je A B C AB D E ABD - - - - 7 6 6,5 - - - 6 8 7 3 - - - 8 7 7,5 4 - - 5 6 5,5 5 - - 7 9 8 6 - - - 3 3 3,5 7 - - - 8 8 8 8 9 8 8,5 a) výpoče efeů: ef (A) 5,375 ef (B) -,65 ef (CAB) -,5 ef (D) 7,5 ef (EABD),5 Generáor jsou: Definiční rovnice: E ABD C AB Zaměnielné faor: I ABDE ABC CDE A BC B AC C AB DE D CE E CD AD BE BD AE 55
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Řešení(): Definiční rovnice: I ABD, I ACE, I BCDE Zaměnielné faor: Zaměnielné faor s A: A BD CE ABCDE Zaměnielné faor s B: B AD ABCE CDE Zaměnielné faor s C: C ABCD AE BDE Zaměnielné faor s D: D AB ACDE BCE Zaměnielné faor s E: E ABDE AC BCD Efe: ef(a) (-8,5-58,5-9,5-77,5) / 4-3 ef(b) (-8,5-58,5-9,5-77,5) / 4 ef(c) (-8,5--5-8,59,577,5) / 4,5 ef(d) (8,5--58,59,5--77,5) / 4 5 ef(e) (8,5-5-8,5-9,5-77,5) / 4 - abula pro graficé určení významnosi faorů: 3 4 5 Efe -3 -,5 5 Faor A E C B D P i 3 5 7 9 56
ČÁSEČNÝ FAKOROVÝ EXPERIMEN SE DVĚMA ÚROVNĚMI Významnými faor jsou faor A a D 57