Teorie automatického řízení I. studijní opory a návody. Karel Ševčík

Teorie automatického řízení I. studijní opory a návody Karel Ševčík Bakalářská práce 6

ABSTRAKT Práce je příspěvkem a podporou pedagogického procesu v předmětu Teorie automatického řízení I. Hlavním cílem jsou studijní opory, návody pro vypracování protokolů a internetová podpora předmětu formou interaktivních testů. V prvních několika kapitolách jsou vysvětleny základní teoretické pojmy předmětu. Druhou část tvoří soubor vizuální podpory v prostředí PowerPoint. Další částí jsou tři vzorové protokoly charakterizující hlavní obsah teorie automatického řízení. Vypracování protokolů je provedeno v prostředí MATLAB/SIMULINK. Pro ověření znalostí studentů slouží interaktivní test vypracovaný jako internetový protokol. Klíčová slova: Lineární systémy, Přenos, Stabilita, Regulační obvod, Stavový popis. ABSTRACT The work is a contribution and support of educational process in the field of the subject Automatic control theory. The main aim of the work is study sustenance, protocol task guide and internet interactive tests for educational verification. The first parts are devoted to theoretical background of the subject. The second part deals with slides of the subject performed in PowerPoint. Further, a set of conditioning documents are presented with the MATLAB/SIMULINK support. The last part is created by an interactive internet test covering the scope of the linear control theory. Keywords: Linear systems, Transfer functions, Stability, Feedback loops, State space descriptions.

Rád bych touto cestou poděkoval vedoucímu mé bakalářské práce prof. Ing. Romanu Prokopovi, CSc. za odborné vedení, rady a připomínky, které mi poskytoval při řešení této práce. Ve Zlíně, 6. 6. 6... podpis

OBSAH ÚVOD...7 I TEORETICKÁ ČÁST...8 TEORETICKÉ POJMY LINEÁRNÍCH SPOJITÝCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ (LSDS)...9. VNĚJŠÍ POPIS A ANALÝZA LSDS...9.. SYSTÉM A JEHO CHARAKTERISTICKÉ FUNKCE...9.. STABILITA LSDS.... SYNTÉZA LSDS..... ZPĚTNÁ VAZBA..... SPOJITÉ REGULÁTORY...4..3 REGULAČNÍ OBVODY S DOPRAVNÍM ZPOŽDĚNÍM...5.3 STAVOVÝ POPIS LSDS...7.3. PŘEVOD MEZI VNĚJŠÍM A VNITŘNÍM POPISEM SYSTÉMU A NAOPAK...8.3. VLASTNOSTI SYSTÉMŮ...8 II PRAKTICKÁ ČÁST... TVORBA PPT STRÁNEK... 3 INTERAKTIVNÍ TESTY TAŘ PRO STUDENTY... 3. POJEDNÁNÍ... 3. UKÁZKA TESTŮ...3 4 VZOROVÉ PROTOKOLY TAŘ...6 4. PROTOKOL : VNĚJŠÍ POPIS A ANALÝZA LSDS...7 4. PROTOKOL : SYNTÉZA REGULAČNÍHO OBVODU...4 4.3 PROTOKOL 3: STAVOVÝ POPIS LSDS...65 ZÁVĚR...7 SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY...73 SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ A ZKRATEK...74 SEZNAM OBRÁZKŮ...76 SEZNAM TABULEK...78 SEZNAM PŘÍLOH...79

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 7 ÚVOD Automatické řízení technických, technologických i jiných systémů bez negativní rozhodovací a nedokonalé senzorické činnosti člověka je cílem moderního průmyslu, dopravy a chodu společnosti již mnohá desetiletí. Rozvoj teorie automatického řízení podstatně ovlivnila kybernetika jako věda o obecných zákonech vzniku, přenosu a zpracování informace ve složitých systémech a v obecných zákonech řízení těchto systémů. Kybernetika představuje syntézu poznatků z mnoha vědních disciplin, teorie přenosu a zpracování informace, matematiky, fyziky, logiky atd. Teorie automatického řízení se vykrystalizovala jako důležitá součást kybernetiky, a to studiem zákonitostí a principů automatického řízení. Řízení s použitím zpětné vazby bylo nazváno regulace a v průběhu. století se stala hlavní oblastí zkoumání, teorie i aplikací. Po období klasické teorie regulace, která se opírala o popis systémů diferenciálními rovnicemi, nastal rozvoj frekvenčních a operátorových metod používajících k popisu vlastností systému a jeho jednotlivých členů frekvenční a obrazové přenosy. Při řešení nelineárních systémů začal rozvoj metod stavového prostoru použitých s úspěchem i pro popis a řešení lineárních systémů, široké uplatnění nalezla Ljapunovova teorie stability. Stochastické metody umožnily sledovat i otázky vlivu náhodně se měnících parametrů nebo signálů působících na systém. Předložená práce je věnována studijním oporám a návodům pro předmět Teorie automatického řízení I, který je přednášen v bakalářském stupni studia. Obsah tohoto předmětu představuje lineární spojité systémy, jejich popis a vlastnosti, zpětnou vazbu a regulátory, mnohorozměrné systémy a úvod do stavové teorie. Cílem bylo vytvořit komplexní multimediální podporu pro studenty prezenční i kombinované formy studia. Pro podporu studia byly vytvořeny ilustrativní prezentace, vzorové protokoly typických zadání předmětu a internetových testů. V teoretické části této práce jsou vysvětleny základní pojmy předmětu, které nejsou detailně popsány v prezentacích. Prezentace v rozsahu cca 6 listů (prostředí PowerPoint) by měly sloužit studentům jako pomůcka pro pochopení pojmů a teorie předmětu. Dalším bodem bylo vytvoření interaktivních testů, kde studenti mohou ověřit získané znalosti a vědomosti. Poslední část práce tvoří tři vzorové protokoly rozdělené podle obsahu předmětu. První protokol se zabývá analýzou jednorozměrných systémů, druhý syntézou s různými metodami nastavení regulátoru a třetí aspekty stavového popisu. Simulační ověřovací experimenty jsou provedeny v prostředí MATLAB/SIMULINK.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 I TEORETICKÁ ČÁST

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9 TEORETICKÉ POJMY LINEÁRNÍCH SPOJITÝCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ (LSDS) V této kapitole budou vysvětleny některé teoretické pojmy LSDS, které nejsou detailně popsány v protokolech. Nebude zde popsána celá teorie, protože většina je popsána v nově vytvořených prezentacích, které budou umístěny v příloze.. Vnější popis a analýza LSDS Systém je soubor prvků, mezi kterými existují vzájemné vazby a zároveň vazby na okolí. Analýza systémů popis statických a dynamických vlastností systémů... Systém a jeho charakteristické funkce LSDS jsou lineárně spojité dynamické systémy s jednou vstupní a jednou výstupní veličinou (SISO single output single input). LSDS je popsán:. Lineární diferenciální rovnicí.. Přenosovou funkcí. 3. Přechodovou funkcí. 4. Impulsní funkcí. 5. Frekvenčním přenosem. 6. Amplitudovou a fázovou logaritmickou charakteristikou. 7. Rozložením nul a pólů v komplexní rovině.. Diferenciální rovnice popisuje chování LSDS: kde, i y ( t) + a y ( t) +... + a y'( t) + a y( t) = b u ( t) +... + b u( t), () ( n) ( n ) ( m) n m a b jsou reálné koeficienty, y( t ) je výstupní veličina a () i Z podmínky fyzikální realizovatelnosti platí m u t je vstupní veličina. < n (znamená ryzost, kauzalitu systému). Dalšími způsoby jak určit vnější popis LSDS jsou přenos systému, přechodová funkce, impulsní funkce, frekvenční charakteristika, atd.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky. Přenos systému (přenosová funkce transfer function) je poměr Laplaceových obrazů výstupní veličiny ku vstupní veličině při nulových počátečních podmínkách. Přenos lze vyjádřit pomocí koeficientů z diferenciální rovnice () nebo lze popsat pomocí kořenů těchto polynomů, tedy pomocí nul a pólů ve tvaru: Gs () Y() s bs +... + bs+ b ( ) K( m) K b s n s n m m m = = = n ( n ) U( s) s + an s +... + as + a an s s s sn, () jde racionálně lomenou funkci, tj. polynom lomeno polynomem, kde póly ( si ) jsou kořeny jmenovatel a nuly ( n i ) jsou kořeny čitatele přenosu. 3. Přechodová funkce označovaná jako ht, je odezva systému na jednotkový skok (Heavisideovu funkci) při nulových počátečních podmínkách. Přechodová charakteristika je grafické znázornění přechodové funkce. Výhodou přechodových funkcí či charakteristik je to, že jsou velmi jednoduše experimentálně získány a jsou zde možnosti využití k identifikaci systémů nebo k některým metodám návrhu regulátoru. Časovou přechodovou funkci lze pomocí přenosu vyjádřit: H() s G() s G() s Gs () = Hs () = ht () = L s s s 4. Impulsní funkce označovaná jako i(t), je odezva systému na jednotkový impuls (Diracovu funkci) při nulových počátečních podmínkách. Mezi přechodovou funkcí a impulsní funkcí platí jednoduchý vztah: () h ( t) i t = (4) Impulsní charakteristika je grafické znázornění impulsní funkce. Jednotkový (Diracův) impuls je funkce, která se jeví jako nekonečně krátký impuls s nekonečně velkou amplitudou. 5. Frekvenční funkce označovaná jako G( jϖ ), je poměr Fouriérových obrazů výstupního harmonického signálu ku vstupnímu při nulových počátečních podmínkách. Frekvenční přenos je definován vztahem: (3) Y jϖ bm ( jϖ) +... + b jϖ + b G( jϖ ) = G( s) s= jϖ = = n U jϖ ( jϖ) + a ( jϖ) +... + a m n n (5)

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Frekvenční charakteristika je grafické znázornění frekvenčních vlastností. Pro její sestrojení rozdělíme frekvenční přenos (5) na složkový tvar komplexního čísla: jϕϖ G( jϖ ) = A( ϖ) e = Re( ϖ) + jim( ϖ) (6) 6. Amplitudově fázová frekvenční charakteristika je grafické zobrazení G( jϖ ) (Nyquistova křivka). A(ω) se nazývá amplitudová frekvenční charakteristika a φ(ω) fázová frekvenční charakteristika. Logaritmická FCH grafické znázornění A(ω), φ(ω) v dekadických logaritmických souřadnicích (Bodeho křivky). Jestliže vyloučíme mezi amplitudovou a fázovou závislostí explicitně frekvenci a zobrazíme závislost mezi nimi, nazývá se tento graf Nicholsův diagram (Nichols plot). 7. Rozložení nul a pólů stanovuje vlastnosti daného systému. Má-li systém alespoň jednu nulu v pravé části komplexní roviny, jedná se o systém s neminimální fází. V opačném případě jde o systém s minimální fází. Pokud se v čitateli přenosu systému vyskytuje pouze konstanta, je systém minimálně fázový. Řádem systému rozumíme stupeň polynomu ve jmenovateli, relativní řád systému je rozdíl mezi stupněm jmenovatele a čitatele (deg a deg b). Poloha pólů rozhoduje o stabilitě či nestabilitě systému... Stabilita LSDS Stabilita dynamického systému je schopnost vrátit se po vyvedení z rovnovážného stavu vlivem poruchy nebo vlivem změny hodnoty žádané veličiny do původního nebo jiného, ale opět rovnovážného stavu. LSDS je stabilní, jestliže všechny kořeny jmenovatele přenosu leží v levé části komplexní roviny, tzn. všechny póly mají zápornou reálnou část postačující podmínka stability. Nutnou podmínkou stability je, aby všechny koeficienty jmenovatele přenosu (polynomu) měly stejné znaménko a žádný z nich nebyl roven. Rozeznáváme algebraická kritéria: - Routh Schurovo, - Hurwitzovo, a geometrická kritéria: - Michajlovovo Leonhardovo, - Nyquistovo. Jednotlivá kritéria jsou vysvětlena v prezentaci TARa str. 5 59.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky. Syntéza LSDS Syntéza systému stanovení struktury a parametrů regulačního obvodu tak, aby byly splněny požadavky, které klademe na regulační pochod... Zpětná vazba Zpětná vazba je v současnosti nejpoužívanějším prostředkem regulace. Základní zapojení zpětnovazebního regulačního obvodu vidíme na Obr... Výstupní veličina Y( s ) je porovnávaná se žádanou veličinou W ( s ) pomocí rozdílového členu. Výsledkem je regulační odchylka E( s ), na její základě regulátor, popsaný přenosem G R s, ovlivňuje regulovanou soustavu, popsanou přenosem GS ( s ), pomocí akční veličiny U( s ). Na regulovanou soustavu působí na vstupu poruchová veličina V ( s ) a na výstupu N( s ). Obr.. Schéma uzavřeného regulačního obvodu Cílem řízení je, aby výstupní veličina byla rovna žádané hodnotě, tedy abychom v ustáleném stavu dosáhli nulové regulační odchylky: et soustavě GS ( s ) tedy hledáme regulátor GR lim =. Ke známé regulované t s tak, aby celý zpětnovazební obvod byl stabilní. Což je ekvivalentní podmínce, aby jmenovatel přenosu (charakteristický polynom) G ( s) WY, S GR s G s = byl stabilní. Tedy kořeny jmenovatele tohoto přenosu + G s G s musí ležet v levé části komplexní roviny. R S Charakteristický polynom obvodu je kromě testování stability také využíván při syntéze chování regulačního obvodu. Jde o určení hodnot nastavitelných parametrů regulátoru, které ovlivňují hodnoty koeficientů charakteristického polynomu, a tím i polohu jeho kořenů. Regulátory G R s typu PID se používají nejčastěji. Tento se skládá

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 z proporcionální, derivační a integrační části nebo jejich kombinací. Proporcionálně integrační regulátor je popsán přenosem: GR s r ks + st = = + r, (7) s u(t) r - r t Obr.. Přechodová charakteristika PI regulátoru kde r je integrační konstanta. Proporcionálně derivační regulátor je popsán přenosem: GR ( s) = = r + rs, (8) k + st kde r je derivační konstanta. Proporcionálně integrační derivační (PID) regulátor je popsán přenosem: r GR() s = kp + + TDs = r + + rs, (9) Ts I s u(t) r - r t Obr..3 Přechodová charakteristika PID regulátoru a rovnicí: t de t u() t = re() t + r e() t dt+ r. () dt

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 4.. Spojité regulátory )P proporcionální regulátor V uzavřeném obvodu pracuje s trvalou regulační odchylkou. Má dobrou stabilitu. Používá se velmi často např. na stabilizaci pevných bodů, stabilizaci napětí, proudu. Nezáleží na kvalitě. Přenos regulátoru: R G s = k = r () P u(t) k P r t Obr..4 Přechodová charakteristika P regulátoru )I integrační regulátor V uzavřeném obvodu pracuje pouze s přechodovou regulační odchylkou. Regulační pochod se ustálí tehdy, když regulační odchylka e(t) =. Nevyhoví podmínkám stability regulačního obvodu, když by měl regulovat astatickou regulovanou soustavu. Přenos regulátoru: G ( s) R = () Ts I u(t) r - t Obr..5 Přechodová charakteristika I regulátoru 3)D derivační regulátor Není schopen samostatné funkce, jako regulátor připojený k regulované soustavě, protože vstupním signálem je derivace regulační odchylky a neví tedy nic o velikosti (hodnotě)

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 odchylky e(t). Připustí libovolně velkou ustálenou regulační odchylku. V kombinovaném regulátoru zlepšuje stabilitu regulačního obvodu. Natáčí fázi amplitudové fázové charakteristiky v komplexní rovině o +9. Informuje regulátor o změně regulační odchylky, a tedy regulátor může v "předstihu" na tuto změnu reagovat. V ustáleném stavu rozpojí regulační obvod. R G s = T s (3) D u(t) δ ( t) t r P Obr..6 Přechodová charakteristika D regulátoru = k zesílení analogového regulátoru, (4) T T I D r = integrační časová konstanta, (5) r r r = derivační časová konstanta. (6)..3 Regulační obvody s dopravním zpožděním V regulačních obvodech se často vyskytuje člen dopravního zpoždění, který představuje exponenciální výraz -Ls e. Tento člen dopravního zpoždění je zejména vlastností regulované soustavy a zhoršuje stabilitu obvodu. Dopravní zpoždění můžeme kompenzovat a to použitím zapojení, jež je nazýváno jako Smithův prediktor. Mimo kompenzace dopravního zpoždění pomocí níže uvedeného zapojení můžeme použít i klasický zpětnovazební obvod, s tím, že toto zpoždění aproximujeme. Aproximované dopravní zpoždění poté můžeme zahrnout přímo do přenosu regulované soustavy, a pro takto upravenou soustavu využít metod syntézy navržených pro nastavení parametru regulátoru pro soustavy bez dopravního zpoždění. Na obrázku je uveden způsob kompenzace dopravního zpoždění pomocí Smithova prediktoru.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 Obr..7 Smithův prediktor Přenos řízení regulačního obvodu určíme z výše uvedeného obrázku. Dostáváme tedy: G Y() s G () s G () s e W( s) G ( s) G ( s) e G ( s) G ( s) e G ( s) G ( s) (7) sl GR() s GS() s e = + G ( s) G ( s) sl R S WY, () s = = + sl sl R S R S + R S R S Charakteristická rovnice uzavřeného obvodu: + GR ( s )G S ( s ) = (8) Neobsahuje člen s dopravním zpožděním a je stejná jako u obvodu bez dopravního zpoždění. Aproximace dopravního zpoždění Existuje několik způsobů aproximace dopravního zpoždění, zde jsou uvedeny tři způsoby aproximace dopravního zpoždění: Padeho aproximace Tato aproximace je vyjádřena poměrem dvou funkcí e Ls P ( s ) n Q ( s ) n (9) kde značí P ( s) n sl n n ( n ) ( n ) s L! n ( ) ( n) n! s! n n = + L + () L

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 7 Q ( s) n sl n n ( n ) s L n! + + ( n )! ( n) n n = + + L s L () Volbou n lze ovlivnit přesnost aproximace. Nejčastěji je používána Padeho aproximace ve zjednodušeném tvaru (n = ).! sl e Ts sl + () Taylorova aproximace čitatele Tato aproximace je vyjádřena ve tvaru: n n Ls e ( Ls ) = + L ( Ls) n (3) = n! Pro n = platí: e Ls Ls (4) Taylorova aproximace jmenovatele Tato aproximace je vyjádřena ve tvaru: e Ls = e Ls = ( + Ls + L) n= n! ( Ls) n (5) Pro n = platí: e Ls + Ls (6).3 Stavový popis LSDS Stavový popis znamená přepis diferenciální rovnice n tého řádu na n diferenciálních rovnic. řádu. Stavový popis není jednoznačný jednomu přenosu odpovídá mnoho stavových popisů. Vnitřní popis chování systémů v časové oblasti vede na tzv. stavový model.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 Stavovým popisem (modelem) LSDS budeme rozumět čtveřicí reálných matic S={A, B, C, D}, které jsou svázány stavovými rovnicemi: &x(t) = Ax(t) + Bu(t) (7) y(t) = Cx(t) + Du(t), (8) kde A stavová matice, B matice řízení, C matice výstupní, D matice převodová (l počet výstupů, m počet vstupů, n stupeň diferenciální rovnice), u vstupy, y výstupy, x stavové veličiny. Rovnice (7) se nazývá stavová a (8) výstupní. Matice D je nulová pro striktně ryzí systémy (stupeň čitatele < stupeň jmenovatele), nenulová pro systémy s relativním řádem (stupeň čitatele = stupeň jmenovatele). Pro SISO systémy platí: A (n n); B (n ); C ( n); D ( )..3. Převod mezi vnějším a vnitřním popisem systému a naopak Převod stavového popisu na přenos (SS => TF state space => transfer function): je jednoznačný a je definován vztahem: b s G() s = C( si A) B+ D = (9) a s nebo: G() s = adj( si A) B C+ D (3) det( si A) Převod přenosu na stavový popis (TF => SS): není jednoznačný a záleží na definici stavových veličin. Obvyklou volbou je n stavových veličin pro systém popsaný diferenciální rovnicí n-tého stupně a to tak, že stavy definujeme jako výstupní veličinu y (t) a (n-) jejích derivací. Existují tři metody pro převod přenosu na stavový popis: A. Diferenciální rovnice bez derivace na pravé straně, B. Diferenciální rovnice s derivací na pravé straně, C. Metoda postupné integrace. Jednotlivé metody jsou detailně popsány v protokolu 3..3. Vlastnosti systémů Pro studium vztahu mezi vstupem a stavem slouží pojmy řiditelnost a dosažitelnost a pro studium vztahu mezi výstupem a stavem pojmy pozorovatelnost a rekonstruovatelnost.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9 Obr..8 Řiditelnost a dosažitelnost systému Řiditelnost a dosažitelnost Řiditelnost a dosažitelnost jsou vlastnosti matic A a B. Lineární spojitý dynamický systém je řiditelný, existuje-li vstupní signál u(t) a časový interval ;t tak, že ho převede z libovolného nenulového počátečního stavu x() do stavu x(t ) =. Lineární spojitý dynamický systém je dosažitelný, existuje-li vstupní signál u(t) a časový interval ;t tak, že ho převede z nulového počátečního stavu x() = do libovolného nenulového stavu x(t ). Pro LSDS platí řiditelnost dosažitelnost. Pozorovatelnost a rekonstruovatelnost Pozorovatelnost a rekonstruovatelnost jsou vlastnosti matic A a C. Lineární spojitý dynamický systém je pozorovatelný, jestliže lze z průběhu výstupní veličiny y(t) (z jejích budoucích hodnot) pozorovat všechny stavové veličiny. Lineární spojitý dynamický systém je rekonstruovatelný, jestliže lze z průběhu výstupní veličiny y(t) (z jejích minulých hodnot) rekonstruovat všechny stavové veličiny. I tady platí pro LSDS pozorovatelnost rekonstruovatelnost.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky II PRAKTICKÁ ČÁST

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky Tvorba ppt stránek Prvním z úkolů této bakalářské práce bylo vytvoření elektronické prezentace do předmětu Teorie automatického řízení I. Doposud byly přednášky prezentovány promítáním textu na ručně psaných fóliích. Obsah fólií byl přepsán pomocí programu Word, tím vzniklo cca 6 stránek. Prezentace byly rozděleny podle náplně předmětu na tři části: A. TAŘa vnější popis a analýza LSDS, B. TAŘb syntéza LSDS, C. TAŘc vnitřní popis LSDS. Prezentace byly tvořeny v programu PowerPoint. Obsah přednášek tvoří přepsaný text z fólií doplněn o obrázky a simulace z programu MATLAB/SIMULINK. Text byl psán písmem stylu Garamond s velikostí 8. Na obrázku je ukázka jednoho z listů prezentace. Obr..Ukázka jednoho z listů prezentace Jednotlivé prezentace mají náplň TAŘa 75 listů, TAŘb 48 listů a TAŘc 38 listů, což je dohromady 6 listů. Prezentace jsou v současnosti umístěny na školních internetových stránkách, kde by měly napomoci studentům k výuce tohoto předmětu.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 INTERAKTIVNÍ TESTY TAŘ PRO STUDENTY Dalším úkolem bylo vytvoření nových internetových testů v již existujícím konverzačním systému. Stávající testy obsahovaly teoretickou náplň pro předměty Řízení technologických procesů, Teorie automatického řízení I, Teorie automatického řízení II. Z důvodů zrušení Řízení technologických procesů byl jeho obsah přesunut do Teorie automatického řízení I. Proto bylo nutné tyto testy přepracovat. 3. Pojednání Testy byly tvořeny pomocí skript a přednášek z předmětu Teorie automatického řízení I. Prostředím pro tvorbu testů byla již existující databáze [7] na internetové stránce www.testy.utb.cz. Tyto stránky umožňují vytvářet, vkládat a používat již vytvořené testy. Prvním z kroků bylo testy ŘTP a TAŘ I smazat a vytvořit nové, které by obsahovaly náplň obou předmětů. Obr. 3. Ukázka stránky pro testy Pro vkládání testů je nutné se přihlásit jako správce.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 Obr. 3. Přihlášení správce 3. Ukázka testů Prvním krokem bylo vytvoření testu, tzn. jeho název, přístupové heslo, počet otázek, odpovědi a hodnocení. Po vyplnění těchto údajů je test vytvořen a můžou se vkládat jednotlivé otázky a odpovědi. Každý z celkem 6 testů má 5 otázek. Jednotlivá otázka má své 4 odpovědi, z nichž pouze jedna je vždy správná. Obr. 3.3 Definování testu Pokud bylo potřeba k nějaké otázce či odpovědi vložit obrázek, bylo nutné ho nejprve převést do formátu GIF nebo JPEG. Vkládání se provádí pomocí tlačítka vložit obrázek. Pro potřeby WWW je výhodnější používat formát GIF. Je zde zavedenější a podporují jej všichni klienti pracující v grafickém režimu. Po vytvoření všech otázek je test hotov. Pak jej lze uvolnit, což znamená učinit test volně přístupný pro všechny návštěvníky této stránky nebo jej nechat zamknutý. Je-li zamknutý, mohou jej používat vyučující pro zkou-

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 4 šení studentů, člověk neznalý hesla se k testu nedostane. Vytvořené testy nejsou vloženy mezi volné testy je nutno uvést jejich název a heslo. Přístup pro volné testy je jednoduchý. Na hlavní straně stačí kliknout na volné testy a z nich si pak vybrat, ten který si chci vyzkoušet. U zamknutého testu, pak kliknout na psát test a po vyplnění názvu a přístupového hesla je možné test vyzkoušet. Stránka pro psaní testů vypadá takto: Obr. 3.4 Ukázka menu testu Obr. 3.5Ukázka hotového testu Po vyplnění všech základních údajů (jméno, skupina, ročník, ) můžete psát test. Po zaškrtnutí odpovědí můžeme odevzdat test. Systém hned vyhodnotí výsledky a poukáže i známku, kterou byste byli ohodnoceni.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 Obr. 3.6 Odpovědi a jejich správnost Zde je ukázán systém hodnocení a výpis vytvořených testů: Obr. 3.7 Vyhodnocení testu Obr. 3.8 Výpis testů Testy pro Teorie automatického řízení I. jsou označeny jako tar. tar.6.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 4 VZOROVÉ PROTOKOLY TAŘ Závěrečným úkolem této bakalářské práce bylo vytvoření vzorových protokolů k předmětu Teorie automatického řízení I. Protokoly byly rozděleny na tři části stejně jako nově vytvořené prezentace. Obsahem těchto protokolů je náplň seminárních cvičení. Teorie je popsána v první kapitole této práce a místy i v samotných protokolech. Ty byly tvořeny v programu Word. Každý protokol má své zadání, k němuž jsou nejprve vysvětleny teoretické pojmy a následně proveden výpočet, který je nejprve napsán obecně. V prvním protokolu bylo možné některé výpočty znázornit graficky, k tomu byly použity programy EXCEL a MATLAB 6.5. Tyto grafy jsou umístěny pod sebou, aby bylo možné jejich porovnání. Grafy z programu EXCEL jsou vytvořeny dosazením do dané vypočtené rovnice. Grafy z programu MATLAB jsou vykreslovány pomocí příkazů, kterou jsou vždy umístěny pod příslušným grafem písmem Courier New velikostí. V druhém protokolu byla provedena syntéza regulačního obvodu. Pomocí níže uvedených metod byly vypočteny parametry regulátoru. Pro ověření správnosti výpočtů bylo nutné provést simulace regulačního obvodu pro dané vypočtené parametry. Pro simulace bylo použito programu MATLAB/SIMULINK, který umožňuje nákres vlastních schémat a jejich simulaci. Tyto simulace jsou vkládány jako grafy z programu MATLAB. Má verze MATLABu nepodporuje diakritiku, z toho důvodu bude nyní nadefinováno značení legendy, které bude použito v grafech: w žádaná veličina, u akční zásah, y regulovaná veličina. Pro druhý protokol bylo použito čtyř simulačních schémat, která jsou umístěny před daným grafem. Názvy simulačních schémat jsou opět napsány písmem Courier New velikostí a budou také v příloze na CD. U DOF a DOF struktury byla provedena kontrola výpočtu matic v MATLABu. Zdrojový kód je v dané kapitole napsán písmem Courier New velikostí 8. Třetí protokol obsahuje stanovení vnitřního popisu LSDS, zde nebylo nutné žádné simulace provádět. Každý z protokolů je ukončen závěrem, ve kterém jsou zhodnoceny cíle a získané výsledky daného zadání. Tyto protokoly jsou nutnou podmínkou k získání zápočtu z tohoto předmětu a budou umístěny na školních internetových stránkách, kde bude umožněno jejich stažení.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 7 4. Protokol : Vnější popis a analýza LSDS Je dán LSDS svojí diferenciální rovnicí: ay + ay + ay = bu y = y = Zadání: a =, a = 3, a =,, b = 6 Jednorozměrný lineární spojitý dynamický systém je dán diferenciální rovnicí: () () 3 (), 6 (),,, y t + y t + y t = u t Úkoly:. Napište přenos.. Určete: a) nuly a póly, b) řád a relativní řád. 3. Rozhodněte: a) o fázovosti, b) o stabilitě. 4. Vypočtěte a znázorněte: a) přechodovou funkci, b) impulsní funkci. 5. Vypočtěte a znázorněte: a) frekvenční charakteristiku, b) logaritmickou frekvenční charakteristiku..,,, Z diferenciální rovnice = = G s y () t + 3 y () t +,y t = 6 u() t vyplývá přenos: Y b U a s + as+ a

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 8 6 6 Gs () = = + 3 +, +,93 +, 68 G s s s s s k = = ( Ts+ )( Ts+ ) ( 4, 66s+ )(,34s + ) 3. a) T = 4, 66 T =,34 k = 3 Nuly jsou kořeny čitatele: Nemá konečné nuly Póly jsou kořeny jmenovatele: s s, + 3s+, 3± 9 4, s = = s = -,938 = -,68 Kontrola pomocí programu MATLAB: p=[ 3.]; roots(p) sys=tf(6,[ 3.]); zero(sys). b) - relativní řád stupeň ve jmenovateli stupeň v čitateli ( =) plyne z toho, že má nekonečné nuly. - řád je dán stupněm jmenovatele (). 3. a) - nekmitavý systém póly přenosy jsou na reálné ose (neleží na imaginární ose). - minimální fázový systém pozná se podle polohy nul, jestliže má alespoň nulu v pravé části reálné osy (je kladný), v čitateli je konstanta. 3. b) - stabilní systém všechny póly leží v komplexní rovině, tzn. v levé části.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 9 s = -,938 s = -,68 4. a) Přechodová funkce Přechodová funkce je odezva systému na jednotkový skok (Heavisideovu funkci) při nulových počátečních podmínkách. Přechodová charakteristika je potom grafické zobrazení této funkce. G s H( s) = sg( s), neboli h( t) = L s I)Výpočet rozkladem na parciální zlomky 6 A B C ht () = L L = + + ss ( + 3s+, ) s s+,938 s+, 68 úprava na parciální zlomky a určení koeficientů ABC,, : 6 A B C = + + ss + s+ s s+ s+ ( 3, ),938, 68 6 ( 3, ), 68,938 = As + s+ + B s + s + C s + s s A B C s A B C s := + + : = 3 +, 68 +,938 :6=,A A= 3 B=, 747 C = 3, 7 pomocí Laplaceova slovníkupřevedeme obraz na originál,938,68 () 3, 747 t t = + 3, 7 ht e e II)Výpočet pomocí residuí st,kde:s = p i póly funkce F(s) i s= pi () f t = res F s e pro n násobný pól platí: d res F s e s p F s e! ds ni st ni st lim n ( i ) = = s p i i ( n )

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 f() t = lims s s,938 6 s+,938 s+, 68 s ( s ) + lim +,938 s,68 ( s ) + lim +, 68 = 3 +, 747e 3, 7e 6 s( s+,938) ( s +, 68) 6 s( s+, 68) ( s +,938),938t,68t e st + e e st st + = Určení počáteční a koncové hodnoty: y () =?, y ( ) =? Limitní věty: Dosazením: G s 6 6 y = lims lims s s = s s s s = = ( + 3 +,) G s 6 6 y( ) = lim s = lim s = = 3 s s s s s s, ( + 3 +,) y = 3 +, 747 3, 7 =, 5 = & y = 3 +,747 3,7 = 3 3 5 Amplituda 5 5 3 4 5 6 7 8 9 t [s] Obr. 4. Přechodová funkce z programu EXCEL

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 3 Step Response 5 Amplitude 5 5 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) Obr. 4. Přechodová funkce z programu MATLAB MATLAB: step(sys) 4. b) Impulsní funkce (je derivace přechodové funkce) Impulsní funkce je odezva systému na jednotkový impuls (Diracovu funkci) při nulových počátečních podmínkách. Grafem je impulsní charakteristika. I)Impulsní funkce je derivace přechodové funkce () = h ( t) i t i t = h t = + e e = e,938t,68t,938t () () ( 3, 747 3, 7 ), 747 (,938) 3, 7e, 68 =, 95e +, 95e,68t,938t,68t II)Výpočet rozkladem na parciální zlomky 6 A B it () L { G( s) } L L = = = + s + 3s+, ( s+,938) ( s+, 68)

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 3 úprava na parciální zlomky a určení koeficientů AB, :{} 6 A = + s + s+ s+ s+ ( 3,),938,68 s A B s A B 6 = As ( +,68) + B s+,938 := + : 6 =,68 +,938 A=,95 B=,95 B pomocí Laplaceova slovníku převedeme obraz na originál () i t t =,95e +,95e,938,68t III)Výpočet pomocí residuí s,938 ( s ) f( t) = lim +,938 s,68 ( s ) + lim +, 68 6 ( s +,938) ( s +, 68) 6 ( s +, 68) ( s +,938),938t,68t () =, 95 +, 95 i t e e e st e st + Určení počáteční a koncové hodnoty: y () =?, y ( ) =? Limitní věty: Dosazením: 6 LH 6 6 y = lim s G( s) = lim s = lim = = s s s s + 3 ( s + 3s+,) 6 = lim = lim = =, y s G s s s s s s y =,95 +,95 = ( + 3 +,) y =,95 +,95 =

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 33,8,6,4 Amplituda,,8,6,4, 3 4 5 6 7 8 9 t [s] Obr. 4.3 Impulsní funkce z programu EXCEL Impulse Response.8.6.4. Amplitude.8.6.4. 3 4 5 6 7 8 9 Time (sec) Obr. 4.4 Impulsní funkce z programu MATLAB MATLAB: impulse(sys)

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 34 5. a) Frekvenční charakteristika FCH je grafické zobrazení frekvenčního přenosu G(jω) v komplexní rovině pro (ω <, ). Tzv. amplitudová fázová frekvenční charakteristika, Nyquistova křivka. ( ϖ) ( ϖ) ( ϖ ) Y j b ( jϖ ) +... + b y G j G s e A e m m jϕ jϕϖ ( ϖ) = = = = ( ϖ), s= jϖ n n U jϖ ( jϖ) + an ( jϖ) +... + a u kde Y j, U j jsou tzv.fourierovyobrazy vstupních a výstupních signálů. GS () s = s 6 + 3s+, 6 6 ω 3jω+, ( jω) + 3jω+, ω + 3jω+, ω 3jω+, G( jω) = =. = 6ϖ 8jϖ +, 6ϖ +, 8ϖ = = + j 4 4 4 ϖ 8,6ϖ +,4 4444443 ϖ + 8,6ϖ +,4 4444443 ϖ + 8,6ϖ +,4 Re Im Amplituda: A Fázový posun: ( ϖ) Re ( ϖ) Im ( ϖ) 4 4 36ϖ + 34ϖ +, 44 36ϖ + 34ϖ +, 44 4 4 ( ϖ + 8,6ϖ +,4) 6ϖ +, 8ϖ 4 4 = + = + = ϖ + 8,6ϖ +,4 ϖ + 8,6ϖ +,4 = = ϖ + 8,6ϖ +,4 8ϖ 4 Im( ϖ) ϖ + 8, 6ϖ +,4 8ϖ ϕϖ = arctg = arctg = arctg Re( ϖ) 6ϖ +, 6ϖ, 4 ϖ + 8, 6ϖ +,4 Tab. 4. Vypočtené hodnoty frekvenční charakteristiky ω 5 Re 3 -,498 -,45 -,77 -,55 Im -,867 -,74 -,7 -,7 A(ω) 6 6,3 6,94 6,36 6, φ(ω) 75,7 57,65 3,6 6,73

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 35 Im 5 5-5 5 5 5 3 35-5 - -5 - Re Obr. 4.5 Frekvenční charakteristika (Nyquistova křivka) z programu EXCEL Nyquist Diagram 5 5 Imaginary Axis -5 - -5 - -5 5 5 5 3 35 Real Axis Obr. 4.6 Frekvenční charakteristika (Nyquistova křivka) z programu MATLAB MATLAB: nyquist(sys)

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 36 5. b) Frekvenční charakteristika (v logaritmických souřadnicích) Výhodou logaritmických souřadnic je zjednodušení výpočtu charakteristických složených systémů a jejich jednoduché sestrojování. Násobení přenosu při sériovém zapojení systému se v logaritmických charakteristikách zjednodušuje na sčítání charakteristik. jϕϖ ln G( jϖ) jarg G( jϖ) G jϖ = A ϖ e zlogaritmováním ln G jϖ = ln A ϖ + jϕ ϖ = = + - logaritmická amplitudová charakteristika: ( ϖ ) = ( ϖ) ( ϖ)[ ] = ( ϖ) A G j A db log G j - logaritmická fázová charakteristika: = arg G( jϖ) ϕ ϖ Přenos lze také rozepsat: 6 k 3 GS () s = = = + 3 +, + + 4, 66 +,34 + s s Ts Ts s s T = 4, 66 T =,34 k = 3 ( ϖ ) G j ( ϖ ) G j [ ] [ ] k ( Tjϖ + )( Tjϖ + ) k = e T ϖ + T ϖ + j arctan = arctan ( T ) arctan ( T ) = arctan ( 4, 66ϖ) arctan (,34ϖ ) ( ϖt) arctan( ϖt) AdB = log k log Tϖ + log Tϖ + AdB = log 3 log 4, 66 ϖ + log,34 ϖ + ϕ ϖ ϖ ϕ = + Tab. 4. Vypočtené hodnoty frekvenční charakteristika v log. souřadnicích ω 5 A(ω) 9,54 5,7 -,47-3,68-4,79 φ(ω) 67,7 53,76 9,6 5,95

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 37 4 Amplituda [db] - -4-6 -8,,, Frekvence [rad/sec] -45 Fáze [ ] -9-35 -8,,, Frekvence [rad/sec] Obr. 4.7 Frekvenční logaritmické charakteristiky (Bodeho křivky) z programu EXCEL

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 38 4 Bode Diagram Magnitude (db) - -4-6 -8-45 Phase (deg) -9-35 -8-3 - - Frequency (rad/sec) Obr. 4.8 Frekvenční logaritmické charakteristiky (Bodeho křivky) z programu MATLAB MATLAB: bode(sys) 4 Amplituda [db] - -4-6 -8-36 -3-4 -8 - -6 Fáze [ ] Obr. 4.9 Nicholsův diagram z programu EXCEL

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 39 4 Nichols Chart.5 db.5 db db db - db Open-Loop Gain (db) - -4 3 db 6 db -3 db -6 db - db - db -4 db -6-6 db -8 db -8-36 -35-7 -5-8 -35-9 -45 Open-Loop Phase (deg) Obr. 4. Nicholsův diagram z programu MATLAB MATLAB:nichols(sys) ngrid Závěr: Zadaný LSDS je jednorozměrný, stabilní, minimálně fázový s nekmitavou přechodovou a,,, impulsní charakteristikou. Z diferenciální rovnice y () t + 3 y () t +,y() t = 6 u() t byl určen přenos 6 G ( s) =, z něhož bylo dále určeno:že nemá konečné nuly, póly jsou s + 3s +, s = -,938 s = -,68, relativní řád je a řád. Dále byla z přenosu vypočtena pře-,938,68 chodová funkce () 3,747 t t ht = + e 3,7e, impulsní funkce,938,68 (),95 t t,95 i t = e + e, frekvenční charakteristika a frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích. Tyto byly následně znázorněny v programu EXCEL. Kontrola byla provedena v programu MATLAB. Totožné grafy jsou umístěny pod sebou, aby bylo možné jejich srovnání.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 4 4. Protokol : Syntéza regulačního obvodu Jednorozměrný lineární spojitý dynamický systém je dán diferenciální rovnicí:,,, y ( t) + 3y ( t) +,y = 6u( t) Tomu odpovídá přenos: G ( s) = s 6 + 3s +,. Pomocí kritéria stability navrhněte spojitý PI regulátor a simulačně ověřte jeho funkčnost. Pomocí Routh-Shurova kritéria stability určíme stabilitu systému: Postup spočívá v redukci koeficientů zleva tak, že každý druhý koeficient podepíšeme pod jeho levého souseda a příslušným odečtením tohoto řádku vynulujeme nejvyšší koeficient. Postupuje se až do posledních tří koeficientů. Polynom je stabilní, pokud jsou poslední tři koeficienty kladné. Vyskytne-li se v průběhu výpočtu nekladný koeficient, je polynom nestabilní. 6 b Přenos soustavy: GS ( s) = = + + s 3s, a qs+ q rs+ r q s s p Přenos regulátoru: GR ( s) = = = r = q, r = q Přenos řízení: G ( s) GG 6rs + 6r = = + GG s + 3s +,+ 6r s+ 6r R S WY, 3 R S Chrakteristický polynom: d = ap+ bq a 64748 p } } b 64748 d = ( s + 3s+,) s+ 6( qs+ q ) 3 d = s + 3 s + (,+ 6 q) s+ 6q q Routh Schurovo schéma a první redukce mají tvar: 3,+ 6q 6q 3 6q 6 3,+ 6q q 6q 3 3

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 4 6 Pro stabilitu musí platit: a)6q > b), + 6q q > 3 q = = r q >,3 q = = r Stabilizujících PI regulátorů může být nekonečně mnoho. Byly vybrány tyto:,5,3,5 () GR ( s) = + () GR( s) =,5 + (3) GR3( s) = + (4) GR4( s) =,5+ s s s s Zadana hodnota q.s+q s Regulator b(s) a.s +a.s+a Rizena soustava Dopravni zpozdeni w, u, y W U 4 T Y To Workspace To Workspace Clock To Workspace3 To Workspace Obr. 4. Simulační schéma z programu MATLAB/SIMULINK uro.mdl 3.5 w y pro () y pro () y pro (3) y pro (4) w(t),y(t).5.5 5 5 5 3 35 4 t Obr. 4. Simulace řízení systému pomocí kritéria stability v uro.mdl

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 4. Libovolnými dvěma klasickými metodami navrhněte spojitý regulátor, který zajistí stabilní regulační pochod a sledování žádané veličiny. Řízení systému simulujte. a) Naslinova metoda Předpokládáme charakteristickou rovnici uzavřeného regulačního obvodu ve tvaru: K n cs n + + cs + cs + c = Pokud pro koeficienty platí nerovnosti: i α i i + c c c,proi =,, K, n. Potom maximální přeregulování Δy max [%] (velikost překmitu) závisí na hodnotě α podle následující tabulky. Tab. 4.3 Závislost y max [%] na α dle Naslina α,75,8,9,,4 y max 6 8 5 3 Pro charakteristický polynom d platí následující nerovnice: pro i = a koeficient α = odpovídá překmit y max 5% (viz Tab. 4.3) d = c s + c s + cs+ c = d = s + 3 s + (,+ 6 q ) s+ 6q = 3 3 3 c αc c i i i+ Pro i = : c α c c (, + 6 q ) 6q 3 Pro i = : c α c c 3 3 (,+ 6 q ) Z podmínky pro i = vypočteme q, využijeme mezního případu rovnosti: ( q ) 9=,+ 6 9=,4+ q q =,76

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 43 Dosadíme do podmínky pro i = : (, + 6 q ) = 6q 3, = 36q q =,56, 76s +,56 Přenos regulátoru () : GR ( s) = s Pro charakteristický polynom d platí následující nerovnice: pro i = a koeficient α =,4 odpovídá překmit y max % (viz Tab. 4.3) Pro i = : c α c c (, + 6 q ),4 6q 3 Pro i = : c α c c 3 3,4 (,+ 6 q ) Z podmínky pro i = vypočteme r, využijeme mezního případu rovnosti: ( q ) 9=,4,+ 6 9=,48+ 4,4q q =,59 Dosadíme do podmínky pro i = : (, + 6 q ) =,4 6q 3 4,6 = 43,q q =,36,59s +,36 Přenos regulátoru ( ): GR ( s) = s Pro charakteristický polynom d platí následující nerovnice: pro i = a koeficient α =,8 odpovídá překmit y max % (viz Tab. 4.3) Pro i = : c α c c (, + 6 q ),8 6q 3 Pro i = : c α c c 3 3,8 (,+ 6 q )

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 44 Z podmínky pro i = vypočteme r, využijeme mezního případu rovnosti: ( q ) 9=,8,+ 6 9=,36+,8q q =,8 Dosadíme do podmínky pro i = : (, + 6 q ) =,8 6q 3 5 = 3,4q q =,77,8s +, 77 Přenos regulátoru ( 3 ): GR ( s) = s 3.5 w y pro () y pro () y pro (3) w(t),y(t).5.5 5 5 5 3 35 4 t Obr. 4.3 Simulace řízení systému pomocí Naslinovy metody v uro.mdl Ověřili jsme, zda překmity uvedené v Tab. 4.3 odpovídají skutečným:

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 45 Tab. 4.4 Srovnání skutečných překmitů s uvedenými v tabulkách Překmity uvedené v tabulkách Odpovídající skutečné překmity y max % y max = 3,% y max 5% y max =4,% y max % y max = 48% Z uvedené tabulky je vidět, že Naslinova metoda není zcela přesná. Mohlo to být také způsobeno velkým zesílením soustavy 3. Naslinova metoda je použitelná pro soustavy se zesílením. Čím více se zesílení liší od jedné, tím více je metoda nepřesná. b) Ziegler Nicholsova (Z N) metoda nastavení z přechodové charakteristiky Nejprve je třeba určit parametry ze známé přechodové charakteristiky (T n doba náběhu, T u doba průtahu, K zesílení). To určíme konstrukcí tečny v inflexním bodě. Obr. 4.4 Určení doby náběhu a průtahu pomocí tečny v inflexním bodě obecně Určení inflexního bodu: () () ht = 3 +,747e 3,7e = A+ Be + Ce h t =,938Be,68Ce,938t,68t,938t,68t,938t,68t h () t Be Ce e D Ee D ln D e,8636t = E = tinf tinf =, 3s E,8636,938t,68t,938t,8636t =,938,68 443 + 443 = + 443 D E tinf

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 46 3 y(t) 5 5 5 3 4 5 6 7 8 9 t Obr. 4.5 Určení T u, T n pomocí tečny v inflexním bodě pro zadaný přenos Tn T u =,84 T n = 6,3 K = 9,9969 γ = = 58,76 T u Tab. 4.5 Přepočtové vztahy pro výpočet parametrů dle metody Ziegler Nichols k p Parametry regulátoru: kp =, 755 TI =,984 r =, 755 r = =, 748 T ( s), 748 s Přenos regulátoru: GR =,755 + =,755 +,984 s I

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 47 3.5 w u y.5 w(t),u(t),y(t).5 -.5-5 5 5 3 35 4 t Obr. 4.6 Simulace řízení systému pomocí metody Z N v uro.mdl 3. Navrhněte regulátor pomocí polynomiální syntézy pro DOF i DOF strukturu řízení vždy pro tři různé hodnoty násobného pólu m v charakteristickém polynomu uzavřeného regulačního obvodu a simulačně ověřte funkčnost. Vykreslete regulační pochod pro DOF i DOF konfiguraci a výsledky porovnejte. a) DOF Obr. 4.7 Systém řízení s jedním stupněm volnosti (DOF) Kde w, u, y, e, v, n jsou v pořadí žádaná, akční a výstupní veličina. Dále pak regulační odchylka a porucha na vstupu a výstupu.

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 48 Přenos soustavy: b s b 6 GS () s = = =, a s a s + as+ a s + 3s+, kde a(s), b(s) jsou nesoudělné polynomy, uvažujeme, že deg b deg a, (přenos G(s) je ryzí). Přenos regulátoru: q s q qs + qs+ q Qs () = = = p s fp% s( ps+ p ), kde q(s), p(s) jsou nesoudělné polynomy a polynom f(s) je dělitelný současně všemi jmenovateli přenosu w(s), v(s) a n(s) (nebo všemi polynomy f w, f v a f n ). w s v s n s ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) hw = = referenčnísignál f w hv = = porucha na vstupu f v hn = = porucha na výstupu f n Na obvod nepůsobní žádná porucha. W(s)=/s V(s)=N(s)= f = s f = f = hledáme nejmenší společný násobek těchto tří polynomů. NSN(f)=s w v n Určení stupňů jednotlivých polynomů: degq dega+ degf + degp% dega degd dega+ degf + 4 q= q s + qs+ q p% = ps+ p d = s + d s + d s + d s+ d 4 3 3 d = afp% + bq= s + d s + d s + d s+ d 4 3 3 d = ( s + 3s+,) s( ps+ p ) + 6 ( q s + qs+ q ) = s + d s + d s + d s+ d M 4 3 3 ps + ( p + 3 p) s + (3p +, p) s +,ps+ 6qs + 6qs+ 6q = d s + 4 3 4 4 + ds + ds + ds+ d 3 3

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 49 d deg 4 4 3 3 4 d = s+ m = s+ m = s + 4ms + 6m s + 4m s+ m s : p 4 3 s : 3p + p s :,p + 3p + 6q s :,p + 6q s : + 6q = d 4 = d = d 3 = d = d 3 A =, 3 6, 6 6 X p p = q q q B d 4m 3 = d 6m = 3 d 4m d m 4 X = inv( A) B X p 7 p 4 3 5,55 m q 6, 4667,5,667 m 8 3 q,, 333, 735,667 4m 4 q,667 m = = Kontrola výpočtu v MATLABU: A=[ ; 3 ;. 3 6 ;. 6 ; 6]; det(a); B=inv(A); m=; %volitelné (.5 ) E=[; 4*m; 6*m^; 4*m^3; m^4]; F=B*E; p=f(); p=f(); q=f(3); q=f(4); q=f(5);

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 Pro m = X =,4667,6333,667 Q q s + s+ = = fp % s ( s + ),4667,6333,667 Pro m =,5 X 3 =,767,5,8438 Q q s + s+ = = fp % s ( s + 3),767,5,8438 Pro m = X 5 =,4667 5,667,667 Q q s + s+ = = fp % s ( s + 5),4667 5,667,667 Zadana hodnota q.s +q.s+q p.s +p.s Regulator b(s) a.s +a.s+a Rizena soustava w, u, y W U 4 T Y To Workspace To Workspace Clock To Workspace3 To Workspace Obr. 4.8 Simulační schéma z programu MATLAB/SIMULINK DOF.mdl

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5.5 w y pro parametr m= y pro parametr m=.5 y pro parametr m=.5 w(t),y(t).5 5 5 5 3 35 4 t Obr. 4.9 Simulace řízení systému DOF obvodu pro různé m v DOF.mdl b) DOF Obr. 4. Systém řízení se dvěma stupni volnosti (DOF) Kde w, u, y, v, n, jsou v pořadí žádaná, akční a výstupní veličina. Dále pak porucha na vstupu a výstupu. Q je zpětnovazební část regulátoru a R je přímovazební část regulátoru. Přenos soustavy: b s b 6 GS () s = = =, a s a s + as+ a s + 3s+,

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 5 kde a(s), b(s) jsou nesoudělné polynomy, uvažujeme, že deg b deg a, (přenos G ryzí). S s je Přenos zpětnovazební části regulátoru: q s q s qs + q Qs () = = = p s f s p% s ps % + p% Přenos přímovazební části regulátoru: R( s) = r s r s r p s = f s p% s = ps % + p% kde q(s), p(s), r(s), p(s) jsou nesoudělné polynomy a polynom f(s) je dělitelný současně všemi jmenovateli přenosu w(s), v(s) a n(s) nebo všemi polynomy f w, f v a f n. w s v s n s ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) ( s) hw = = referenčnísignál f w hv = = porucha na vstupu f v hn = = porucha na výstupu f n f = s f = f = hledáme nejmenší společný násobek těchto tří polynomů. w v n NSN: f = f = s na obvod neposobní žádná porucha. W(s) = /s V(s) = N(s) = Určení stupňů jednotlivých polynomů Nejdříve se určí pomocná konstanta K (vyjde-li jeho hodnota < volíme K=): K = deg f deg f deg a= = K = degq= dega+ degf = + = q s = qs+ q degp% = dega + K = + = p% s = ps+ p degd = dega+ degf + K = + + = 3 d s = s + d s + d s+ d 3 degr = degf = r s = r t = d f = = t s = ts + ts+ t deg deg deg 3 Dosazením do diofantických rovnic d = afp% + bq a d = br+ tfdostaneme:, d = ( s + 3s+,) ( ps+ p ) + 6 ( qs+ q ) = ps + ( p + 3 p ) s + (3p +, p ) s+ 3 +, p + 6qs+ 6q = s + d s + d s+ d 3

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 53 d = 6 r + ( t s + t s+ t ) s= 6r + t s + t s + t s= s + d s + d s+ d 3 3 d deg 3 3 3 d, = s+ m = s+ m = s + 3s m+ 3sm + m Soustava rovnic : s : p = 3 s : 3p + p = d s :,p + 3p + 6q = d s :,p + 6q = d Soustava rovnic : s : t = 3 s : t = d s : t = d s : 6r = d Soustavu nemusíme celou řešit, neboť jediný parametr, který nás z hlediska regulace zajímá je r a pro něj z poslední rovnice vyplývá: r = d = m. 3 /6 /6 3 A =, 3 6, 6 X p p = q q d 3m B = = d 3m 3 d m X = inv( A) B X p 7 p 3 5,5 3m q,4667,5,667 3m 8 3 q,,333,7,667 m = = Kontrola výpočtu v MATLABU:

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 54 A=[ ; 3 ;. 3 6 ;. 6]; B=inv(A); m=; %volitelné (.5 ) E=[; 3*m; 3*m^; m^3]; F=B*E; p=f(); p=f(); q=f(3); q=f(4); r=e(4)/b; Pro m = X 6 6, =, 4667,667 r =,667 qs+ q, 4667s +,667 = = 6 + 6, Q ps p s R r,667 ps+ p s 6, = = 6 Pro m =,5 X, 5 =,347,55 r =,565 qs+ q,347s +,55 = = + +, 5 Q ps p s R r,565 ps+ p s+, 5 = = Pro m = X 3 =, 4667, 333 r =,333 qs+ q, 4667s +, 33 = = + + 3 Q ps p s R r,333 ps+ p s+ 3 = =

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 55 r Zadana hodnota p.s+p Primovazebni cast regulatoru q.s+q p.s+p Zpetnovazebni cast regulatoru b(s) a.s +a.s+a Rizena soustava w, u, y W 4 T U Y To Workspace Clock To Workspace3 To Workspace To Workspace Obr. 4. Simulační schéma z programu MATLAB/SIMULINK DOF.mdl.5 w y pro parametr m= y pro parametr m=.5 y pro parametr m=.5 w(t),y(t).5 5 5 5 3 35 4 t Obr. 4. Simulace řízení systému DOF obvodu pro různé m v DOF.mdl

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 56.5 w y pro parametr m= y pro parametr m=.5 y pro parametr m=.5 w(t),y(t).5 5 5 5 3 35 4 t Obr. 4.3 Porovnání DOF a DOF struktury pro různé m Na tomto obrázku je znázorněno srovnání DOF a DOF struktury. Výstupní veličiny s překmitem odpovídají DOF struktuře a bez překmitu DOF struktuře. Systém řízení se strukturou DOF poskytuje regulační pochody s redukovanými překmity, dále je také patrné z grafu, že zvyšováním parametru m je dříve dosáhnuto žádané veličiny (u DOF je dosáhnuto i vyššího překmitu). 4. Přidejte k přenosu dopravní zpoždění Θ, a simulujte průběh regulačního pochodu uzavřeného regulačního obvodu bez Smithova prediktoru a se Smithovým prediktorem pro již určené parametry regulátoru, které byly získány jednou vybranou klasickou metodou syntézy (viz. Bod 3). Poté dopravní zpoždění aproximujte a navrhněte regulátor pomocí libovolné metody. Simulačně ověřte funkčnost a dosažené výsledky porovnejte. Přenos soustavy s dopravním zpožděním: 6 GDZ () s = e s + 3s+, s a) se Smithovým prediktorem

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 57 Přenos řízení: 6 s qs + q e GG R S s + 3s+, s 6qs + 6q GW / Y= = = 3 + GG 6 R S s qs+ q + e s + 3 s + (,+ 6 q) s+ 6q s + 3s+, s d = c s + c s + cs+ c = 3 3 3 d s s q s q = + 3 + (,+ 6 ) + 6 = Naslinova metoda volba překmitu 5% >> α = viz Tab. 4.3 c αc c i i i+ Pro i = : c α c c (, + 6 q ) 6q 3 Pro i = : c α c c 3 3 (,+ 6 q ) q =, 76 q =,56, 76s +,56 Přenos regulátoru: GR ( s) = s Zadana hodnota q.s+q s Regulator b(s) a.s +a.s+a Rizeny system Dopravni zpozdeni w, u, y b(s) a.s +a.s+a MODEL Rizeneho systemu MODEL Dopravniho zpozdeni W U 4 T Y To Workspace To Workspace Clock To Workspace3 To Workspace Obr. 4.4 Simulační schéma z programu MATLAB/SIMULINK smithuv_prediktor.mdl

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 58.5 x 7 w u y.5 w(t),u(t),y(t) -.5 - -.5 - -.5-3 5 5 5 3 35 4 t Obr. 4.5 Simulace řízení systému s dopravním zpožděním v uro.mdl.5 w u y.5 w(t),u(t),y(t).5 -.5 5 5 5 3 35 4 t Obr. 4.6 Simulace řízení systému s dopravním zpožděním v smithuv_prediktor.mdl

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 59 b) bez Smithova predoktoru Je nutné provést aproximaci dopravního zpoždění.. Taylorova aproximace jmenovatele. řádu () e Ls + Ls Aprox. přenos soustavy: G SP 6 6 b () s = = = + + + + + + 3 s 3s, s s 7s 3,4s, a Přenos regulátoru: () qs+ q q r GR s = = = r + s p s Přenos řízení: G GG (6qs+ 6 q) = = + GG s + 7s + 3,4s + (,+ 6r) s+ 6r R SP WY, 4 3 R SP 4 3 Charakteristický polynom: d = s + 7s + 3,4s +,+ 6r s+ 6r Naslinova metoda Pro charakteristický polynom d platí následující nerovnice: pro i = a koeficient α = odpovídá překmit y max 5% (viz Tab. 4.3). d = c s + c s + c s + cs+ c = 4 3 4 3 c αc c i i i+ Pro i = : c α c c (, + 6 r ) 6r 3,4 Pro i = : c α c c 3 + r 3, 4 (, 6 ) 7 Pro i = 3: c α c c 3 4 i = 7 3, 4 podmínka 3 je splněna Z podmínky pro i = vypočteme r, využijeme mezního případu rovnosti:,56 = (, + 6 r ) 7 8, 76 = 84r r =,4

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 Dosadíme do podmínky pro i = : (, + 6 r ) = 6r 3,4,68 = 4,8r r =,67,4s +, 67 Přenos regulátoru: GR ( s) = s. Taylorova aproximace čitatele. řádu () e Ls Ls 6 6 s b = = = + + + + Aprox. přenos soustavy: G () s ( s) SP s 3s, s 3s, a Přenos regulátoru: () qs+ q q r GR s = = = r + s p s Přenos řízení: Charakteristický polynom: G = (6 s) ( q s+ q ) WY, 3 s + ( 3 r) s + (,+ 6r r ) s+ 6r d = s + (3 r ) s + (, + 6r r ) s+ 6r 3 Pomocí Routh-Shurova kritéria určíme stabilitu systému. Routh Schurovo schéma a první redukce mají tvar: 3 r, + 6r r 6r 3 r 6r 6r 3 r, + 6r r 6r 3 r 3 r Pro stabilitu musí platit: a r b r c r r )6 > )3 > ),+ 6 > 3 r r = q =.5 r >, 5 q =,3 = r, > 6r,5 Jeden ze stabilizujících PI regulátorů může mít přenos: GR ( s) =,3 + s

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 3. Padeho aproximace (. řádu) e Ls sl sl + Aprox. přenos soustavy: 6 s 6 6s b GSP () s = = = 3 s + 3s+,+ s s + 4s + 3,s+, a Přenos regulátoru: () qs + q q r GR s = = = r + s p s (6 6 s) ( rs+ r ) Přenos řízení: GWY, = 4 3 s + 4 s + (3, 6 r ) s + (,+ 6r 6 r ) s+ 6r Charakteristický polynom: d = s + 4 s + (3, 6 r ) s + (,+ 6r 6 r ) s+ 6r 4 3 Naslinova metoda Pro charakteristický polynom d platí následující nerovnice: pro i = a koeficient α = odpovídá překmit y max 5% (viz Tab. 4.3). d = c s + c s + c s + cs+ c = 4 3 4 3 c αc c i i i+ Pro i = : c α c c (,+ 6r 6 r ) (3, 6 r ) 6r Pro i = : c α c c 3 (3, 6 r ) (, + 6r 6 r ) 4 Pro i = 3: c α c c 3 4 4 (3, 6 r ) Z podmínky pro i = 3 vypočteme r, využijeme mezního případu rovnosti: 6 = (3, 6 r ) 6 = 6, 4 r r =,8

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 6 Dosadíme do podmínky pro i = : (3, 6 r ) = (, + 6r 6 r ) 4 37,4 = 48r r =,779 Záporné hodnoty nemají z fyzikálního hlediska vliv, proto bereme pouze kladné hodnoty. Stabilní regulace nám vyšla pro následující parametry regulátoru.,8s +, 779 Přenos regulátoru: GR ( s) = s 3.5 w Padeho aproximace Taylorova aproximace () Taylorova aproximace () w(t),u(t),y(t).5.5 3 4 5 6 7 8 9 t Obr. 4.7 Regulační pochody systému s aprox. dopr. zpožděním v uro.mdl Závěr: Pro zadaný přenos byl pomocí kritéria stability navržen spojitý PI regulátor. Bylo použito Routh Shurova kritéria, díky němu bylo získáno nekonečně mnoho stabilizujících PI regulátorů. Byly zvoleny 3, které splňovaly podmínku stability a jeden, který tuto podmínku nesplňoval. Jejich simulace byly porovnány v jednom grafu. Další úkolem bylo libovol-