7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text 7 Úvod do knematcké geometre v rovně V této kaptole se budeme zabývat pohybem. Slovo pohyb, které jsme použl v mnulé kaptole, používáme zcela běžně, známe ho z fyzky. Zde jsme ho záměrně prozatím uváděl v úvozovkách, protože ho lze matematcky preczovat. Návod k tomu, jak to udělat dávají kaptoly 3.3 pro pohyb v rovně a 3.4 pro pohyb v prostoru Na rozdíl od fyzky se nebudeme zabývat příčnam pohybu, tj. slam, které pohyb způsobují. Nebudou nás tedy zajímat an deformační účnky sl, budeme předpokládat, že pohybující se objekt nemění svůj tvar. Budeme se tedy zajímat jen o knematku objektů a svoj pozornost omezíme na pohyb v rovně. 7. Bodová funkce, pohyb Pokusme se nyní přesnějí specfkovat, co budeme rozumět rovnným objektem a jeho pohybem. Pohyb probíhá v čase, jeho výsledkem musí být nová poloha objektu, kterou lze z té původní získat přímou shodností.. Pohyb bodu v rovně: Podívejme se nejdříve na pohyb objektu, který fyzkové označují jako hmotný bod tedy objektu zanedbatelných rozměrů. Pohyb probíhá v čase, který lze modelovat reálným číslem t t; t. Pro každý časový okamžk musí být k dspozc přímá shodnost, která umožní ze znalost počáteční polohy X x; x; E získat aktuální polohu X ' x ' ; x' ; E. Pohybem P tedy bude množna zobrazení x ' f t f t f3 t x x ' f t f t f33 t x T tedy t T X' M X t t; t kde prvky matce M t jsou spojté funkce a pro každé t t; t je det M t. Tuto matc nazýváme matcí pohybu.. Příklad: Množna zobrazení x ' cost snt x x ' snt cost x ; t ; π je množnou všech otočení bodu x ; x ; X o úhel t ; π kolem počátku. Popsuje tedy pohyb lbovolného vlastního bodu po kružnc se středem v počátku přesněj řečeno jeho jednu otáčku. 3. Neproměnná rovnná soustava a její pohyb: Neproměnnou rovnnou soustavou Σ rozumíme lbovolný geometrcký rovnný útvar. Pohybem tohoto útvaru rozumíme množnu přímých shodností, kterou lze obecně zapsat ve tvaru ' T M T Pro každý bod X útvaru Σ tak platí rovnce. Každý bod X Σ je tedy zobrazován na body jsté křvky. Tuto křvku nazýváme dráhou příslušného bodu. 7
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text 4. Příklad: Podívejme se ještě jednou na rovnc a vypočtěme dráhu bodu r;; X : x ' cost snt r rcost x ' snt cost rsnt ; t ; π 3 To znamená, že x ' rcost x ' rsnt t ; π As nás nepřekvapí, že dostáváme známé parametrcké rovnce kružnce. Pohyby v rovně lze, jak jž bylo řečeno, sestrojovat pomocí přímých shodností. Protože každá přímá shodnost se skládá z posunutí a otočení vz kpt..5. odst., znamená to, že každou následující polohu pohybujícího se útvaru lze nalézt pomocí posunutí a otočení: 5. Okamžtý střed otáčení: Normály trajektorí všech bodů soustavy v dané poloze procházejí jedným bodem okamžtým středem otáčení. Toto tvrzení platí v případě, že se jedná o přímočarý pohyb. Trajektore bodů soustavy jsou v tomto případě totž vzájemně rovnoběžné přímky. Normály k nm jsou kolmce, které jsou rovněž vzájemně rovnoběžné střed otáčení je v tomto případě nevlastní. Známe-l tedy dráhy alespoň dvou bodů pohybujícího se útvaru, lze najít okamžtý střed otáčení, a to jako průsečík normál drah pohybujících se bodů. Na přpojeném obrázku je tato skutečnost lustrována pro pohybující se trojúhelník. V následujícím textu budeme potřebovat pojem délka oblouku křvky, který jsme doposud nedefnoval. K této defnc je totž potřeba znalostí dferencálního a ntegrálního počtu, s jehož základy se teprve budete seznamovat. V několka následujících odstavcích se tedy spolehneme na ntutvní zřejmost tohoto pojmu. V příkladech pak budeme potřebovat jen délku úsečky a kruhového oblouku, tedy délku specálních křvek, které jsou dostatečně známy. 8
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text 6. Odvalování křvky po křvce: Uvažujme dvě rovnné křvky p t ; h t. Sestrojme posloupnost křvek h; h;...; h n pro stručnost vynecháváme označení parametru, a to následujícím způsobem: Na křvce p sestrojme posloupnost bodů P; P;...; P n a na křvce h posloupnost H; H;...; H n tak, aby pro každé ;;...; n platlo PP HH. + + Křvku h pak sestrojíme následujícím způsobem: Křvku h zobrazíme v rotac R se středem H a úhlem α, který je roven úhlu směrových vektorů P P p P ; H H h H křvek p ; h v bodech T ; H na přpojeném obrázku provedeno pro. Křvku h', kterou takto obdržíme, posuneme o vektor v HP. Pro ;;...; n je tedy Z T v R H ; α ; ; p P ; h H v HS α Z : h h Křvky h;h se nyní dotýkají tj. mají společnou tečnu v bodě P. Takto sestrojenou posloupnost křvek h; h;...; h n nazýváme odvalováním křvky h po křvce p. 7. Pevná a hybná polode: Předpokládejme nyní, že známe dráhy dvou bodů pohybující se soustavy Σ. Podle odstavce 5 můžeme pro každou polohu soustavy sestrojt okamžtý střed otáčení. Množnou všech okamžtých středů otáčení soustavy př jejím rovnném pohybu je 9
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text rovnná křvka p, kterou nazýváme pevná polode. Sestrojme soustavu je množna všech bodů křvka, kterou nazýváme hybná polode. Σ ' Σ h tak, že h H t, které se v jstém okamžku stanou středem otáčení. Množna h je Platí následující důležtá věta: 8. Věta o popsu rovnného pohybu, vratný pohyb: Každý pohyb v rovně lze popsat odvalováním hybné polode po polod pevné. Pohyb P, který vznkne z pohybu P záměnou polodí, nazýváme vratným pohybem k pohybu P. polod hybné zaměníme pevnou a hybnou polod. Pohyb P vratný k pohybu P tedy získáme tak, že pevnou polod pohybu P necháme odvalovat po 7. Cyklody a evolventy Nejdůležtějším rovnným pohyby jsou pohyby cyklcké. Jsou to pohyby, kdy obě polode jsou kružnce, nebo jedna je kružnce a druhá přímka.. Cyklodální pohyb je pohyb, jehož hybnou polodí h je kružnce, pevnou polodí p může být lbovolná křvka. Trajektorem bodů pohybující se soustavy jsou křvky, které se nazývají cyklody. Trajektorí bodu A h je prostá cykloda, trajektorí vntřního vnějšího bodu kružnce je zkrácená prodloužená cykloda. Zde ukážeme specální případ, kdy pevnou polodí je přímka. Syntetcké konstrukce: Prostá cykloda: Sestrojíme hybnou a pevnou polod - kružnc, k O r a její tečnu p. Na kružnc zvolíme dostatečný počet bodů na přpojeném obrázku body H ; H ; H 3 ;... vymezují oblouky příslušné středovým úhlům 6π. Tyto oblouky naneseme po rektfkac na rovnoběžku s přímkou p jdoucí středem kružnce body O ; O ; O 3 ;... - středy valící se k O, r - valící se kružnce. Jejch průsečíky s příslušným kružnce. Sestrojíme kružnce rovnoběžkam s p jdoucím body H;...; H jsou body ABC ; ;... hledané cyklody.
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text Prodloužená a zkrácená cykloda: Konstrukce středů O;...; O je stejná jako v předchozím případě, body však hledáme pomocí kružnce soustředné s k, která má poloměr větší prodloužená cykloda č menší zkrácená cykloda než r. Analytcká konstrukce: Hybnou polod kružnc a pevnou polod přímku zvolíme tak, aby složení translace a rotace bylo co nejjednodušší. Tedy h + cos ; sn ; x y r r t r t p y r, bod S v počátku vz obrázek. Valvý pohyb se skládá z rotace o úhel t a posunutí o vektor v rt;; neboť délka příslušného oblouku je r t. Jeho matce je tedy rt cos t sn t cost snt rt M T t sn t cos t snt cost v R Spojíme-l tedy s valící se kružncí bod A ; a;, obdržíme jeho dráhu ve tvaru A ' T M A T a' cost snt rt a' snt cost a a' asnt+ rt a' acost Je-l a r, jedná se o prostou cyklodu v tom případě je totž A h, je-l a< r a > r, jedná se o zkrácenou prodlouženou cyklodu, neboť bod A leží uvntř vně h.. Evolventní pohyb je pohyb vratný k pohybu cyklodálnímu, tj. pohyb, jehož pevnou polodí p je kružnce a hybnou polodí h je lbovolná křvka. My se omezím na případ, kdy hybnou polodí je přímka Trajektorem bodů pohybující se soustavy jsou křvky zvané evolventy. Přtom trajektorí bodu A h je prostá evolventa, trajektorí bodu ležícího v polorovně určené tečnou a normálovým vektorem křvky resp. vektorem opačným je prodloužená zkrácená evolventa. Opět ukážeme specální případ, kdy pevnou polodí je kružnce.
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text Syntetcké konstrukce: Prostá evolventa: Na kružnc opět zvolíme dostatečný počet bodů na přpojeném obrázku body P ; P ; P ;... opět vymezují oblouky příslušné středovým úhlům π 6. Sobotkovou rektfkací vz kpt..3. příklad 6b tohoto oblouku obdržíme úsečku PQ. V bodech P; P; P 3;... sestrojíme tečny kružnce, na které postupně nanášíme úsečky p PB ; p PC ; p3 PD 3.. tak že pk k PQ. Body A P ; BC ; ;... pak leží na hledané evolventě. Analytcká konstrukce: Polode opět zvolíme tak, aby složení translace a rotace bylo co nejjednodušší. Tedy cos ; sn ; p x + y r r t r t ; x r h, bod S v počátku vz obrázek. Valvý pohyb se skládá z rotace o úhel t a posunutí o vektor v, který má směr t r t r t p ' sn ; cos ; tedy a velkost v rt neboť délka příslušného oblouku je opět r t. Matce tohoto pohybu je rt cost snt rt snt M Rt T sn t cost rtcost v cost sn t rtsn t cost sn t rtsn t sn t cost rt cost sn t cost rt cos t Spojíme-l s valící se kružncí bod A a;;, obdržíme jeho dráhu ve tvaru A ' T M A T a' cost snt rtsnt a a' snt cost rtcost a' acost+ rtsnt a' asnt rtcost
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text Je-l a r, jedná se o prostou evolventu, je-l a > r a< r, jedná se o prodlouženou zkrácenou evolventu. V případě a dostáváme tzv. Archmedovu sprálu. 7. 3 Epcyklody a hypocyklody. Epcyklodální pohyb: pevnou polodí p hybnou polodí h jsou kružnce, přčemž jejch dotyk je vnější. Trajektore tohoto pohybu se nazývají epcyklody. Trajektore středu O hybné polode je kružnce soustředná s p. Vntřní vnější body hybné polode h opsují zkrácené prodloužené epcyklody. Body kružnce h vytvoří prostou epcyklodu. Syntetcké konstrukce: Prostá epcykloda: Sestrojíme pevnou a hybnou polod - kružnce p SR, a h Or, s vnějším dotykem. Na kružnc p zvolíme dostatečný počet bodů na přpojeném obrázku body P; P; P ;... vymezují oblouky příslušné středovým úhlům π. Jeden z těchto oblouků zrektfkujeme a opakovaně navneme na kružnc h vz poznámka 7. v kpt.. 3. - získáme tím body H; H; H ;... Lze samozřejmě postupovat obráceně zvolt body H; H; H ;... a příslušné oblouky hybné polode navnout na polod pevnou. V případech, kdy poloměry kružnc jsou celočíselným násobky, není rektfkace nutná v případě na našem obrázku má pevná polode dvakrát větší poloměr, je tedy rozdělena na dvojnásobný počet dílů. Dále sestrojíme posloupnost h O; r kružnc, kde body O leží na polopřímce opačné k SP, a posloupnost k S; r, kde r SH. Body A hledané epcyklody jsou průsečíky kružnc k ; h vybíráme jen jeden z nch, a to s ohledem na skutečnost, že bod dotyku se po pevné polod pohybuje ve stejném smyslu, v jakém se otáčí polode h. Analytcká konstrukce: Střed pevné polode p umístíme do počátku. Oblouk hybné polode h příslušný středovému úhlu α se odvalí po oblouku pevné polode, který přísluší úhlu β. V zájmu co nejjednoduššího analytckého popsu zvolíme střed hybné polode h rovněž v počátku. Polod h otočíme kolem počátku o úhel α, střed takto otočené polode h posuneme o vektor v R+ r;;, čímž j zobrazíme na polod h. Tu je pak třeba otočt opět kolem počátku, tentokrát o úhel. Matce epcyklodálního pohybu je tedy 3
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text cos β sn β R+ r cosα snα M Rβ T α sn β cos β snα cosα v R cos β sn β R+ r cos β cosα snα sn β cos β R r sn β snα cosα + cos βcosα sn βsnα cos βsnα sn βcosα R+ r cos β sn βcosα cos βsnα sn βsnα cos β cosα R r sn β + + + + + R+ r R r cos α β sn α β cos β sn α β cos α β sn β + + + Ještě je třeba dořešt vztah mez úhly α; β. Ty musí být voleny tak, aby s délky příslušných oblouků byly rovny. Můžeme tedy položt např. α t, pak by bylo β Rr t. Volba t ; π pak znamená, že hybná polode projede celý obvod pevné polode. Opačná volba dává β t; α rr t. Volba t ; π pak znamená, že hybná polode provede jednu otáčku. Zvolme druhou možnost. Pak je + + + cos Rr t t sn Rr t t R r cost M sn Rr t+ t cos Rr t+ t R+ r sn t Spojíme-l s valící se kružncí bod A a;;, obdržíme jeho dráhu ve tvaru A ' T M A T + + + ' cos Rr t t sn Rr t t R r cost a a a' sn Rr t+ t cos Rr t+ t R+ r sn t a' acos Rr t+ t + R+ r cost a' asn Rr t+ t + R+ r snt Je-l a r, jedná se o prostou epcyklodu, je-l a < r a > r, jedná se o zkrácenou prodlouženou epcyklodu chceme-l valt bod A vyznačený na obrázku, musíme volt a <. Prostá epcykloda, pro kterou je Rr Rr se nazývá kardoda nefroda. 4
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text. Hypocyklodální pohyb: pevnou polodí p hybnou polodí h jsou kružnce, přčemž jejch dotyk je vntřní. Trajektore tohoto pohybu se nazývají hypocyklody. Trajektore středu O hybné polode je kružnce soustředná s p. Vntřní vnější body hybné polode h opsují zkrácené prodloužené hypocyklody. Body kružnce h vytvoří prostou hypocyklodu. Konstrukce hypocyklody: je zcela analogcká konstrukc epcyklody, a to jak syntetcky, tak analytcky. Rozdíl je ve velkost středné kružnc p ; h - u epcyklody byla R + r, u hypocyklody je to R r. Dále je třeba mít na pamět, že pohyb bodu dotyku po pevné polod se děje v opačném smyslu než v jakém se otáčí polode hybná. V syntetcké konstrukc je třeba tento fakt zohlednt př hledání příslušných průsečíků kružnc k ; h, v konstrukc syntetcké je třeba změnt znaménko u jednoho z úhlů α; β. Matce hypocyklodálního pohybu je tedy cos Rr t t sn Rr t t R r cost M sn Rr t t cos Rr t t R r sn t parametrcké vyjádření pak obdržíme ve tvaru A ' T M A T a' acos Rr t t + R r cost a' asn Rr t t R r snt Je-l a r, jedná se o prostou hypocyklodu, je-l a < r a > r, jedná se o zkrácenou prodlouženou hypocyklodu Prostá hypocykloda, pro kterou je Rr 3 to je případ našeho obrázku se nazývá Stenerova hypocykloda, pro Rr 4 obdržíme asterodu. 7. 4 Softwarové modelování rovnných pohybů Př předchozím odvozování matc technckých pohybů jsme byl lmtován ručním výpočty. Pohyby jsme skládal tak, aby násobení matc bylo pro ruční výpočty co možná nejjednodušší, a tak skládání ep- a hypocyklod bylo dost krkolomné. Př strojovém zpracování se nemusíme ohlížet na pracnost mechanckého počítání to můžeme zcela přenechat počítač. Navíc můžeme sestrojovat valící se kružnce a přímky v pohybu, a to naprosto přrozeným způsobem. 5
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text Uvažujme znovu cyklodální pohyb. Naším cílem tentokrát nebude matce tohoto pohybu an jeho parametrcké rovnce. Cílem bude vymodelování valící se kružnce a znázornění dráhy některých jejch bodů. Celý pohyb v čase t t ; tn rozložíme na snímky stuací v okamžcích t ; ;;...; n. Předpokládejme, že máme snímek v okamžku t a potřebujeme sestrojt stuac v okamžku následujícím vz obrázek. Hledáme tedy zobrazení Z, které zobrazí bod H + na bod S + a bod O na O +. Zobrazení Z je tedy třeba složt z rotace R O; α kolem bodu O o úhel α a posunutí T v o vektor v - směrový vektor pevné polode o velkost v rα. Matc posunutí máme k dspozc vz kpt. 3.4., rotac však známe jen jako rotac kolem počátku. Bod O počátkem není, rotac kolem tohoto bodu musíme tedy složt. Bod, který má rotovat kolem bodu S s; s; rotace splynul s počátkem, tj. posunout ho o vektor s s ; s ;, je třeba nejdříve posunout tak, aby střed. Takto posunutý bod může rotovat kolem počátku o požadovaný úhel, poté je třeba celou stuac posunout zpět, tj. o vektor s s; s;. Rotace R S, α tedy vznkne složením RS, α T s Rα T s a její matce je tvaru RS, α T s Rα T s. Příslušný krok C cyklodálního pohybu tedy dostaneme tak, že kružnc h otočíme kolem bodu O o úhel α, a pak j posuneme o vektor v, tedy Matce tohoto zobrazení je C T v R. O, α C T R T T R T v O, α v o α o Lze také kružnc h nejdříve posunout do kružnce h + a tu pak rotovat o potřebný úhel, tedy C R T O +, α v C R T T R T T O α α +, v o+ o+ v Pozor! Neznamená to ovšem, že jsme prostě zaměnl pořadí posunutí a otočení! V prvním případě jsme totž rotoval kolem bodu O, ve druhém kolem bodu O + Takové řešení je samozřejmě pro ruční počítání neúnosné jednak je třeba násobt čtyř matce, což je velm pracné, ale hlavně matce potřebné v jednotlvých krocích jsou pro každý krok jné rotujeme totž pokaždé kolem jného středu. Pro každý krok je tedy třeba výpočet opakovat. Pro smulace na počítač je však naopak tento způsob skládání velm výhodný mechancké výpočty zde nepředstavují žádný problém součn matc je programátorsky zcela rutnní záležtost a sestavování pohybů tímto přrozeným způsobem je velm výhodné. 6
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text Navíc umožňuje sestrojování drah pohybů nejrůznějších bodů: zvolíme počáteční polohu A, poté jednoduše sestrojíme posloupnost A+ C A. Tímto způsobem jsme schopn sestrojt dráhu bodu A, anž bychom explctně znal její rovnc ta je skryta v matcích C. Navíc je možné sestrojt valící se kružnc. Aby bylo poznat, že se kružnce skutečně valí a nkol jen posouvá, je dobré spojt s jejím obvodem nějakou pevnou a vdtelnou konstrukc, např. dva na sebe kolmé průměry. I k jejch sestrojení je možné využít výše uvedeného skládání zobrazení zvolíme jeden bod na obvodu, který valíme s kružncí, další body získáme v každém snímku otočením o π úhel kolem středu aktuální kružnce. Zcela analogcky můžeme vymodelovat pohyb epcyklodální a hypocyklodální. Krok E epcyklodálního pohybu složíme z rotace kolem středu O kružnce h o úhel α a z rotace kolem středu pevné polode který můžeme volt v počátku o úhel β. Úhly α ; β je třeba volt tak, aby délky odpovídajících s kruhových oblouků s byly rovny. Je tedy M Rβ R O, α, popř. podobně jako v předchozím případě M RO +, α R β, matce tohoto kroku tedy je popř. M R R R T R T β O, α β o α o M R R T R T R O α β α β +, o+ o+ U hypocyklodálního pohybu je stuace analogcká. Matc pohybu je sestavena naprosto stejně, jen střed hybné polode je třeba volt s ohledem na vntřní dotyk a u jednoho z úhlů α ; β je třeba změnt znaménko.. Příklad: Stanovme dráhu hypocyklodálního pohybu, je-l R r a a a.5 r b a.5 r; c a r Řešení: Vymodelujeme-l dráhu způsobem naznačeným v předchozím odstavc, můžeme vyslovt hypotézu, že v případech a b je hledanou dráhou elpsa, v případě c průměr pevné polode. Tyto hypotézy ověříme pomocí rovnc odvozených v odst.. Jsou-l parametrcké rovnce hypocyklody a' acos Rr t t + R r cost a' asn Rr t t R r snt je v případě a a',5 r cos rr t t + r r cost.5 r cost+ r cost.5 r cost a',5 r sn rr t t r r sn t.5 r sn t r sn t,5 r sn t Jedná se o parametrcké vyjádření elpsy s poloosam a, 5 r; b,5 r. 7
7 Úvod do knematcké geometre v rovně ÚM FSI VUT v Brně Studjní text V případě b zcela analogcky dostaneme a'; a'.5 r cos t;,5 r snt V případě c je a' r cos rr t t + r r cost r cost+ r cost a' r sn rr t t r r sn t r sn t r sn t r sn t což je skutečně úsečka s krajním body A[ ; r] pro t π ; [ ; ] 3π B r pro t ; Relatvně snadné skládání navíc umožňuje modelování složtějších pohybů tak, jak je demonstrováno na dalších obrázcích. 8