8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy technické praxe. Skriptum VŠB-TU, Ostrava 2001 (2) Doležal, M. - Poláček, J. - Tůma, M.: Sbírka řešených příkladů z DG a KG, díl 5. - Rotační a šroubové plochy. Ostrava, VŠB TU 1995. Pojmy: matematická (analytická) a empirická (grafická) plocha, algebraické a transcendentní plochy, přímkové plochy rozvinutelné a nerozvinutelné (zborcené), cyklické plochy, translační, rotační a šroubové plochy 8.1 Vytvoření a rozdělení ploch Plocha vznikne např. spojitým pohybem křivky, která není trajektorií tohoto pohybu. Z tohoto pohledu je tedy plocha jednoparametrickou soustavou křivek. Každá z tvořících křivek plochy je, jak již víme, jednoparametrickou soustavou bodů. Plochu tedy můžeme považovat za dvouparametrickou soustavu bodů v prostoru. Dělení ploch: - podle výtvarných zákonů: matematické (analytické) : a) algebraické (rovnicí je polynom o proměnných x, y, z) b) transcendentní (nelze popsat polynomem, ale jinak) empirické (grafické) topografické plochy - podle tvořících křivek: přímkové plochy: a) rozvinutelné v každém bodě tvořící přímky je stále stejná tečná rovina (válec, kužel, plocha tečen prostorových křivek - např.šroubový torzus) b) nerozvinutelné (zborcené) - v každém bodě tvořící přímky je jiná tečná rovina cyklické plochy (řídící křivka je kružnice) - podle druhu pohybu: translační ( vznikají posunutím řídící křivky ) rotační ( rotací řídící křivky) šroubové (šroubováním řídící křivky ) 1
Druhy rovnic matematických ploch: parametrické: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), kde u a v jsou parametry. Pro v = konst. se při spojité změně parametru u vytvoří u-křivka, při u = konst. vznikne v-křivka explicitní: z = f(x,y) implicitní: F(x,y,z) = 0 8.2 Tečná rovina a normála plochy Definice: Tečny všech křivek plochy v jejím regulárním bodě T leží v jedné rovině tečné rovině τ. Tečna plochy je každá přímka tečné roviny τ procházející bodem dotyku T. Vlastní tečná rovina v nevlastním bodě dotyku je asymptotická rovina. Normála plochy je kolmice tečné roviny v bodě dotyku T. Normální rovina je každá rovina obsahující normálu plochy (její řez plochou je normální řez). Příklad V bodě T plochy Φ sestrojte její tečnou rovinu a normálu. 8.3 Zobrazení ploch Průmětem plochy je množina průmětů všech jejích bodů. Mohou nastat tyto případy: průmětem plochy je celá průmětna průmětem plochy je část průmětny (skutečný obrys plochy, jeho průmětem je zdánlivý obrys plochy). 8.4 Šroubové plochy Pojmy: helikoid, závit, hrdelní, rovníková a hraniční šroubovice, vývrtková plocha, schodová plocha 8.4.1 Vytvoření, rozdělení, základní vlastnosti Šroubová plocha (helikoid) vznikne šroubovým pohybem tvořící křivky k, která je různá od trajektorie šroubového pohybu. Osa šroubové plochy je osa zvoleného šroubového pohybu; podle orientace šroubového pohybu je plocha pravo- či levotočivá. Pokud tvořící křivka protíná osu, pak je plocha uzavřená, v opačném případě otevřená. Na šroubové ploše existují dvě význačné soustavy křivek: šroubované polohy tvořící křivky k, 2
šroubovice, které při šroubování vytvoří jednotlivé body tvořící křivky k (mají stejné v a v 0, ale různý poloměr nosného válce). Každým bodem T na šroubové ploše prochází po jedné křivce z každé soustavy, tečny k těmto křivkám určují tečnou rovinu plochy v bodě T. Meridián je řez šroubové plochy rovinou ρ procházející osou. Všechny meridiány jsou shodné křivky, hlavní meridián leží v rovině rovnoběžné s průmětnou, polomeridián je část meridiánu ležící v jedné polorovině vymezené osou. Každý polomeridián lze považovat za tvořící křivku; skládá se z nekonečně mnoha shodných částí posunutých o výšku závitu v. Za tvořící křivku můžeme také považovat normální řez (tj.řez rovinou kolmou k ose). Další pojmy závit, hrdelní, rovníková a hraniční šroubovice jsou analogické s pojmy na rotačních plochách resp. šroubovici.. 8.4.2 Přímkové šroubové plochy Přímkové šroubové plochy vznikají šroubováním přímky. Podle vzájemné polohy osy šroubového pohybu a tvořící přímky dělíme tyto plochy na: uzavřené (řídící přímka p protíná osu šr. pohybu o), otevřené (řídící přímka neprotíná osu šr. pohybu, mají hrdelní šroubovici), pravoúhlé (přímé p o), kosoúhlé (šikmé neboli kosoúhlé neboli klinogonální). V případě otevřené kosoúhlé šroubové plochy by tvořící přímka mohla být tečnou hrdelní šroubovice, pak by vzniklá plocha byla rozvinutelná. Všechny ostatní přímkové šroubové plochy jsou zborcené. Příklad 8.4.2a Zobrazte část levotočivé kosoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy (vývrtkové plochy), kterou vytvoří úsečka AB. V libovolném bodě T plochy sestrojte tečnou rovinu a sestrojte normální řez rovinou ρ. [ A (5;6;0), B (0;6;2,5), v = 12, B o, ρ (,, v/3) ] 3
4
Příklad 8.4.2b Zobrazte levotočivou vývrtkovou plochu vytvořenou úsečkou AB.[A (-4,5,0), B (4,5,v/2), v 0 = 1,5 ] 5
Příklad 8.4.2c Zobrazte pravotočivou kosoúhlou přímkovou šroubovou plochu, která vznikne šroubovým pohybem úsečky AB. V bodě T plochy sestrojte její tečnou rovinu. [ S ( 0; 5; 0), v 0 = 1,5,A ( -4; 5; 0 ), B (0;3;3 ),T ( 1,5;?; v/3 )] 6
Příklad 8.4.2d V kolmé axonometrii zobrazte pravoúhlou uzavřenou přímkovou šroubovou plochu ( jinak též schodovou plochu nebo přímý šroubový konoid ). 7
8.4.3 Cyklické šroubové plochy Vznikají šroubovým pohybem kružnice nebo její části. V praxi se používají tyto tři typy: plocha vinutého sloupku (normální cyklická plocha) rovina řídící kružnice je kolmá na osu šroubového pohybu. osová cyklická šroubová plocha - rovina řídící kružnice obsahuje osu šroubového pohybu. Archimedova serpentina plochu lze vytvořit šroubovým pohybem kulové plochy o středu S a poloměru r. Archimedova serpentina je obalovou plochou těchto kulových ploch. 8
Osová cyklická šroubová plocha plocha sv. Jiljí Příklad 8.4.3 V MP zobrazte jeden závit cyklické šroubové plochy vinutého sloupku, který vznikne pravotočivým šroubovým pohybem kružnice k(s;r) π kolem osy o. V jeho bodě T (dán T 1 ) sestrojte tečnou rovinu. [ o π, O o, O(0; 7; 0), S (4; 7; 0), r = 2, v = 12, T(-2,5; 10;?) ] 9
10