Bakalářská matematika I

1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I

Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A, B množina všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B; označuje se A B. Tj. je A B = {(a, b) : a A b B}.

Některé užitečné pojmy Zobrazení Definice 1.2 F je zobrazení množiny A do množiny B, zkráceně F : A B, jestliže F A B a platí a A! b B : (a, b) F. Definice 1.3 Nechť F : A B a (a, b) F. Množina A se nazývá definiční obor zobrazení F. Prvek a se nazývá vzor prvku b při zobrazení F. Prvek b se nazývá obraz prvku a při zobrazení F a označuje se F(a).

Některé užitečné pojmy Závislá a nezávislá proměnná Poznámka 1.1 Pro vztah (a, b) F se používají také zápisy a F b, F(a) = b vyjadřující výstižně závislost prvku b na prvku a. Vzhledem k tomu, že prvek a se může měnit v rámci množiny A a v závislosti na něm se mění prvek b v rámci množiny B, používá se pro symboly a resp. b označení nezávislá resp. závislá proměnná.

Některé užitečné pojmy Operace Definice 1.4 Operace nad množinami A, B je zobrazení s definičním oborem A B. Poznámka 1.2 Budeme-li pracovat s operací : A B C, budeme obraz (a, b) označovat a b. Příklady Sčítání reálných čísel + : R R R. Dělení reálných čísel / : R R \ {0} R.

Funkce Definice funkce Definice 1.5 Funkce je zobrazení jakékoliv množiny do číselné množiny. Definice 1.6 Nechť f : A B je funkce. Říkáme, že f je reálná funkce, jestliže B R. f je funkce jedné reálné proměnné, jestliže A R. f je funkce dvou reálných proměnných, jestliže A R R. f je reálná funkce jedné reálné proměnné, jestliže A R, B R. f je reálná funkce dvou reálných proměnných, jestliže A R R, B R. Úmluva Dále budeme výraz funkce používat pro reálné funkce jedné reálné proměnné, tj. pro zobrazení jedné podmnožiny R do jiné podmnožiny R.

Funkce Definiční obor a obor hodnot funkce Definice 1.7 Definiční obor funkce f je množina D f = {x R :!y R, f (x) = y}; prvek této množiny se nazývá argument funkce f. Obor hodnot funkce f je množina H f = {y R : x D f, f (x) = y}; prvek této množiny se nazývá funkční hodnota funkce f. Úmluva Vztah M D f budeme také vyjadřovat větou f je definovaná na M. Rovnost f (x 0 ) = y 0 budeme také vyjadřovat větou y 0 je funkční hodnotou funkce f v bodě x 0.

Funkce Zadání funkce podrobnosti Poznámka 1.3 Funkci budeme nejčastěji zadávat prostřednictvím tzv. explicitního předpisu, který stanoví obecný tvar proměnné y (= f (x) ) v závislosti na proměnné x. Např. f (x) = x 2. K explicitnímu předpisu budeme někdy připojovat zamýšlený rozsah proměnné x. Např. f (x) = x 2, x 1, 2.

Funkce Graf funkce Definice 1.8 Graf funkce f je množina všech bodů v rovině o (kartďż zských) souřadnicích x, f (x), kde x D f, tj. množina {[x, f (x)] E 2 : x D f }. Příklad: Jde o graf funkce? Ano. Ne.

Základní elementární funkce Konstantní funkce f (x) = c, kde c R, D f = (, ), H f = {c}. Mocnina s celým exponentem f (x) = x k, kde k Z. f (x) = x, D f = (, ), H f = (, ) f (x) = x 2, D f = (, ), H f = 0, ) f (x) = x 3, D f = (, ), H f = (, ) f (x) = 1, x D f = (, 0) (0, ), H f = (, 0) (0, ) f (x) = 1, D x 2 f = (, 0) (0, ), H f = (0, ) f (x) = 1, D x 3 f = (, 0) (0, ), H f = (, 0) (0, ) Odmocnina s přirozeným exponentem f (x) = n x, kde n N. f (x) = x, D f = 0, ), H f = 0, ) f (x) = 3 x, D f = (, ), H f = (, )

Základní elementární funkce Exponenciální funkce f (x) = a x, kde a > 0, a 1. f (x) = e x, D f = (, ), H f = (0, ) Logaritmické funkce f (x) = log a x, kde a > 0, a 1. f (x) = log x, D f = (0, ), H f = (, ) (= log 10 x... dekadický logaritmus ) f (x) = ln x, D f = (0, ), H f = (, ) (= log e x... přirozený logaritmus ) Goniometrické funkce f (x) = sin x, D f = (, ), H f = 1, 1 f (x) = cos x, D f = (, ), H f = 1, 1 f (x) = tg x, D f = R \ { π + kπ : k Z}, 2 H f = (, ) f (x) = cotg x, D f = R \ {kπ : k Z}, H f = (, ) Cyklometrické funkce f (x) = arcsin x, D f = 1, 1, H f = π π 2 2 f (x) = arccos x, D f = 1, 1, H f = 0, π f (x) = arctg x, D f = (, ), H f = ( ) π π 2 2 f (x) = arccotg x, D f = (, ), H f = (0, π)

1. přednáška 2. přednáška Podrobnosti Základní elementární funkce Grafy základních elementárních funkcí http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/prehled funkci.pdf

Operace s funkcemi Sčítání, odčítání Definice 1.9 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g je neprázdná. Řekneme, že f, g jsou si rovny na M, zkráceně f = g na M, jestliže f (x) = g(x), x M. Součet funkcí f, g na M je funkce (f + g) : M R definovaná předpisem (f + g)(x) := f (x) + g(x), x M. Rozdíl funkcí f, g na M je funkce (f g) : M R definovaná předpisem (f g)(x) := f (x) g(x), x M.

Operace s funkcemi Násobení, dělení Definice 1.10 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g je neprázdná. Součin funkcí f, g na M je funkce (f g) : M R definovaná předpisem (f g)(x) := f (x) g(x), x M. Je-li g konstantní funkce o hodnotě c R, potom součin funkcí f, g se nazývá c-násobek funkce f a označuje se cf. Nechť n N. n-tá mocnina funkce f je funkce f n : D f R definovaná předpisem f n (x) := ( f (x) )n, x D f. Definice 1.11 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := D f D g \ {x D g : g(x) = 0} je neprázdná. Potom podíl funkcí f, g na M je funkce (f /g) : M R definovaná předpisem (f /g)(x) := f (x) g(x), x M.

Operace s funkcemi Skládání Definice 1.12 Nechť f, g jsou funkce a nechť množina M := {x D f : f (x) D g} je nepr. Funkce (g f ) : M R definovaná předpisem (g f )(x) := g ( f (x) ), x M, se nazývá funkce složená z funkcí f, g. V této situaci se funkce g nazývá vnější funkce a funkce f se nazývá vnitřní funkce.

Elementární funkce Elementární funkce podrobnosti Definice 1.13 Elementární funkce jsou funkce, které lze vytvořit ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu operací sčítďż ní (+), odčítání ( ), násobení ( ), dělení (/) a skládání ( ).

Elementární funkce Polynomy Definice 1.14 Nechť n N {0}, a 0,... a n R, a n 0. Potom funkce f (x) = a nx n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, x R, je polynom stupně n. Speciálně: Polynom stupně 2 je kvadratická funkce, Polynom stupně 1 je lineární funkce. Poznámka 1.4 Definiční obor libovolného polynomu je množina R. Polynom stupně 0 je konstantní funkce.

Elementární funkce Příklady polynomů a) f (x) = 2x 2 8 b) f (x) = 2x + 3 parabola přímka c) f (x) = x d) f (x) = 6 osa 1. a 3. kvadrátu rovnoběžka s osou x

Elementární funkce Přímka a graf funkce Poznámka 1.5 Přímku p, která není rovnoběžná s osou y, lze vyjádřit jako graf nějaké lineární popř. konstantní funkce. Používá se zápis p : y = ax + b popř. p : y = c Přímku p, která je rovnoběžná s osou y, nelze vyjádřit jako graf funkce. Prochází-li tato přímka na ose x bodem c, používá se zápis p : x = c.

Elementární funkce Příklad 1.1 Určete definiční obor funkce (f zadané explicitně) a vyjádřete jej ve tvaru sjednocení komponent. a) f (x) = x 7 + 3x 5 2x + 7 b) f (x) = x+2 x 2 +x 2 c) f (x) = x 2 + 5x + 6 + 3 x 1 d) f (x) = cos x + cotg 2x e) f (x) = log(x + 6) f) f (x) = arccos(x 2)

Další funkce Absolutní hodnota f (x) = x, D f = (, ), H f = 0, ). x = { x, je-li x 0, x, je-li x < 0. Signum f (x) = sgn x, D f = (, ), H f = { 1, 0, 1}. 1, je-li x > 0, sgn x = 0, je-li x = 0, 1, je-li x < 0. Celá část f (x) = [x], D f = (, ), H f = Z. podrobnosti

Vlastnosti funkcí Průsečíky s osami Definice 1.15 Průsečík grafu funkce f s osou x je bod [x 0, 0], kde x 0 je řešení rovnice f (x) = 0. (1) Průsečík grafu funkce f s osou y je bod [0, y 0 ], kde y 0 = f (0). Poznámky: Jestliže rovnice (1) nemá řešení, potom neexistuje průsečík s osou x. Jestliže 0 D f, potom neexistuje průsečík s osou y. Průsečík s osou y může být nejvýše jeden; průsečíků s osou x může být až nekonečně mnoho.

Vlastnosti funkcí Známénko funkce Definice 1.16 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je kladná na M, jestliže x M : f (x) > 0. záporná na M, jestliže x M : f (x) < 0. kladná záporná na (0, 1) kladná na (1, ).

Vlastnosti funkcí Ohraničenost Definice 1.17 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je ohraničená shora na M, jestliže h R, x M : f (x) h. ohraničená zdola na M, jestliže d R, x M : f (x) d. ohraničená na M, je-li na M ohraničená shora i zdola. ohraničená shora ohraničená zdola ohraničená

Vlastnosti funkcí Monotónnost Definice 1.18 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je rostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) < f (x 2 ). klesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) > f (x 2 ). neklesající na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). nerostoucí na M, jestliže x 1, x 2 M : x 1 < x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ). konstantní na M, jestliže x 1, x 2 M : f (x 1 ) = f (x 2 ). monotónní na M, jestliže má na M některou z předchozích vlastností. ryze monotónní na M, jestliže je na M rostoucí nebo klesající. rostoucí klesající

Vlastnosti funkcí Extrémy funkce Definice 1.19 Nechť f je funkce a x 0 M D f. Potom řekneme, že funkce f nabývá na množině M minima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) f (x 0 ), ostrého minima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) > f (x 0 ), maxima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) f (x 0 ), ostrého maxima v bodě x 0, jestliže x M \ {x 0 } = f (x) < f (x 0 ). Dodatky Nastane-li v definici 1.19 situace M = D f, hovoříme o globálním (ostrém) minimu resp. o globálním (ostrém) maximu. Nabývá-li funkce f na množině M (ostrého) lokálního minima nebo maxima v bodě x 0, řekneme, že funkce f nabývá na množině M (ostrého) lokálního extrému v bodě x 0.

Vlastnosti funkcí Konvexnost, konkávnost Definice 1.20 Nechť f je funkce a nechť M D f. Potom f je konvexní na M, jestliže pro všechna x, x 1, x 2 M platí x 1 < x < x 2 = f (x) < f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ). konkávní na M, jestliže pro všechna x, x 1, x 2 M platí x 1 < x < x 2 = f (x) > f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ).

není prostá je prostá je prostá není monotónní Vlastnosti funkcí Prostota Definice 1.21 Funkce f je prostá, jestliže x 1, x 2 D f : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Věta 1.1 Každá funkce ryze monotónní na svďż m definičním oboru je prostá. důkaz Poznámka 1.6 Opačné tvrzení neplatí: funkce prostá nemusí být (ani) monotónní na svďż m definičním oboru.

Vlastnosti funkcí Sudost, lichost Definice 1.22 Funkce f je sudá, jestliže x D f : x D f f ( x) = f (x). lichá, jestliže x D f : x D f f ( x) = f (x). sudá lichá

Vlastnosti funkcí Sudost, lichost Příklad 1.2 Určete, zda je funkce sudá nebo lichá. a) f (x) = x 3 + tg x b) f (x) = x 2 2x + 5 c) f (x) = x2 +1 x 2 1 d) f (x) = x + 3

Vlastnosti funkcí Periodicita Definice 1.23 Funkce f je periodická, existuje-li T > 0 takové, že x D f : x + T D f f (x + T ) = f (x). V této situaci se číslo T nazývá perioda funkce f. Existuje-li nejmenší perioda funkce f, nazývá se základní perioda funkce f. T = 2π T = 2

Vlastnosti funkcí Periodicita Příklad 1.3 Určete periodu funkce. a) f (x) = sin x b) f (x) = sin 2x c) f (x) = sin(2x + 1) d) f (x) = 3 sin(2x + 1)

Vlastnosti funkcí Invertibilita Definice 1.24 Nechť f je funkce. Potom funkce f 1 : H f R taková, že x D f, y H f : f 1 (y) = x y = f (x), se nazývá inverzní funkce k funkci f. Poznámka 1.7 Grafy funkcí f a f 1 jsou souměrné podle osy 1. a 3. kvadrantu. Platí D f 1 = H f, H f 1 = D f.

Vlastnosti funkcí Invertibilita Věta 1.2 (o existenci inverzní funkce) Nechť f je funkce. Potom f 1 existuje právě tehdy, když f je prostá. Příklad 1.4 Určete funkci inverzní k zadané funkci. a) f (x) = x + 2 b) f (x) = x 2 c) f (x) = 10 x+1

Rozšíření definice kartézského součinu zpět Definice 1.1 Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A, B množina všech uspořádaných dvojic (a, b), kde a A, b B; označuje se A B. Tj. je A B = {(a, b) : a A b B}. Nechť n N a A 1,..., A n jsou neprázdné množiny. Kartézský součin množin A 1,..., A n je množina všech uspořádaných n-tic (a 1,..., a n), kde a i A i pro každé i {1,..., n}; označuje se A 1 A n. Je-li A 1 = = A n = A, potom kartézský součin A 1 A n se nazývá n-tá kartézská mocnina množiny A ; označuje se A n.

Způsoby zadání funkce zpět Analyticky explicitně: rovností y = f (x), např. y = 2x 2 (nebo též f (x) = 2x 2 ), implicitně: rovnicí F(x, y) = 0, např. xy 2 e y = 0, parametricky: rovnicemi } x = φ(t) t D, y = ψ(t) např. } x = 1 + t y = t 2 + t t R. Grafem Tabulkou např. Odpracované roky 0 1 2 3 4 plat v tis. Kč 15 21 29 41 57 Slovně např. Číslo zadání studentova domácího programu je dáno zbytkem po celočíselném dělení posledního dvojčíslí jeho osobního čísla dvaceti zvětšeným o jedničku.

Funkce celá část, operace div, mod zpět Věta Pro každé x R existuje jediné k Z takové, že k x < k + 1. Číslo k Z odpovídající číslu x R podle přechozí věty se označuje [x]. Funkce [ ] : R Z definovaná předpisem se nazývá celá čast (reálného čísla). x [x] Operace div : R + R + Z definovaná předpisem [ x div y = se nazývá celočíselné dělení. x y ], (x, y) R + R +, Operace mod : R + R + R definovaná předpisem [ x mod y = x se nazývá zbytek po celočíselném dělení. x y ] y, (x, y) R + R +,

Klasifikace elementárních funkcí zpět Algebraické funkce jsou všechny elementďż rnďż funkce vytvořené výhradně z funkcí f (x) = c, f (x) = x, f (x) = n x. Polynomy jsou všechny algebraické funkce vytvořené bez použití funkce n x a operace /. Racionální jsou všechny algebraické funkce vytvořené bez použití funkce n x. Iracionální jsou všechny ostatní algebraické funkce. Transcendentnďż jsou všechny ostatní elementární funkce. Nižší, např. exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické. Vyšší, např. e x2 dx. Příklady a) f (x) = x 7 + 3x 5 2x + 7 b) f (x) = x+2 x 2 +x 2 c) f (x) = x 2 + 5x + 6 + 3 x 1 d) f (x) = cos x + cotg 2x

Věta 1.1 s důkazem zpět Věta 1.1 Každá funkce ryze monotónní na svďż m definičním oboru je prostá. Důkaz (přímý): Nechť f je rostoucí. Nechť x 1, x 2 D f a x 1 x 2. Je-li x 1 < x 2, potom z definice 1.18 plyne, že f (x 1 ) < f (x 2 ). Je-li x 1 > x 2, potom z definice 1.18 plyne, že f (x 1 ) > f (x 2 ). V obou případech tedy f (x 1 ) f (x 2 ).

Konec (1. Funkce)