Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1
Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí (zobrazují) objekt z jedné pozice do druhé tak, že zachovávají všechny délky v důsledku zachování délek se zachovávají i úhly, obsahy, objemy,... shodná transformace Shodnosti přímé a nepřímé rozeznáváme přímé a nepřímé shodnosti: přímé shodnosti zachovávají orientaci soustavy souřadnic (=smysl obíhání vrcholů čtyřstěnu) nepřímé shodnosti obracejí orientaci soustavy souřadnic nepřímo shodné přímo shodné 2
Shodnosti ve 3D Přímé shodnosti: Identita Posunutí (translace) Otočení (rotace) kolem osy Osová souměrnost (spec. případ rotace kolem osy) Šroubový pohyb (složení rotace kolem osy a posunutí ve směru osy) Nepřímé shodnosti: Rovinová souměrnost (zrcadlení) Posunutá souměrnost (složení zrcadlení a posunutí rovnoběžně s rovinou souměrnosti) Otočená souměrnost (složení zrcadlení a otočení rovnoběžně s rovinou souměrnosti) Středová souměrnost (spec. případ otočené souměrnosti) Shodnosti ve 3D Fa. Herold, Mödling, Austria 3
Posunutí (translace) posunutí je určeno vektorem posunutí (směr, velikost, orientace) Rovnice posunutí r t = ( a, b, c) x ' = x + a y ' = y + b z ' = z + c 4
Shodnosti ve 3D Tower Dallas, US Otočení (rotace) otočení je určeno osou otočení a orientovaným úhlem otočení 5
Rovnice otočení (speciální případy) otočení kolem osy z x ' = x cos ρ y sin ρ y ' = xsin ρ + y cos ρ z ' = z otočení kolem osy x x ' = x y ' = y cos ρ z sin ρ z ' = y sin ρ + z cos ρ otočení kolem osy y x ' = x cos ρ + z sin ρ y ' = y z ' = xsin ρ + z cos ρ Otočení (rotace) určení osy rotace pomocí vzoru a obrazu úsečky 6
Osová souměrnost speciální případ rotace pro rho=180 o ; je určena osou souměrnosti např. souměrnost podle osy z x ' = x y ' = y z ' = z Shodnosti ve 3D Cesar Pelli PETRONAS TOWERS Kuala Lumpur, Malaysia 7
Rovinová souměrnost (zrcadlení) je určena rovinou souměrnosti Rovnice zrcadlení (speciální případy) souměrnost podle roviny xy x ' = x y ' = y z ' = z souměrnost podle roviny yz x ' = x y ' = y z ' = z souměrnost podle roviny xz x ' = x y ' = y z ' = z 8
Shodnosti ve 3D Pestsäule, Karlskirche -- Vídeň Šroubový pohyb šroubový pohyb lze získat složením otočení kolem osy a posunutí ve směru osy otočení a 9
Šroubový pohyb a šroubovice při šroubovém pohybu se zobrazovaný bod pohybuje po křivce, která se nazývá šroubovice Úhel otočení ρ a příslušná velikost vektoru posunutí s jsou přímo úměrné: při otočení kolem osy o úhel ρ je velikost posunutí ve směru osy s = pρ o... osa v... výška závitu Konstantní poměr p = s/ρ se nazývá parametr šroubového pohybu. Úhlu o velikosti 2π (plné otočení) přísluší tzv. výška závituv. ρ Rovnice šroubového pohybu šroubový pohyb s osou z x ' = x cos ρ y sin ρ y ' = xsin ρ + y cos ρ z ' = z + p ρ 10
Posunutá souměrnost vzniká složením rovinové souměrnosti a posunutí ve směru rovnoběžném s rovinou souměrnosti x ' = x + a y ' = y + b z ' = z Otočená souměrnost vzniká složením rovinové souměrnosti a rotace podle osy kolmé na rovinu souměrnosti nejvýznamnější je případ rho=180 o středová souměrnost střed v počátku x ' = x y ' = y z ' = z 11
Skládání geometrických transformací Skládáním shodností vzniká opět shodnost přímá s. ο přímá s. přímá s. nepřímá s. ο nepřímá s. přímá s. přímá s. ο nepřímá s. nepřímá s. Příklad: šroubový pohyb (přímá s.) = = otočení (přímá s.) ο posunutí (přímá s.) Skládání rovinových souměrností Každou shodnost v prostoru lze vyjádřit jako složení nejvýše 4 rovinových souměrností Jsou-li 2 roviny různoběžné, vzniká rotace kolem jejich průsečnice Jsou-li 2 roviny rovnoběžné různé, vzniká posunutí Posunutá a otočená souměrnost vznikají složením 3 rovinových souměrností Šroubový pohyb vzniká složením 4 rovinových souměrností 12
Vlastnosti skládání geometrických transformací skládání není obecně komutativní (záleží na pořadí) osa otočení osa otočení vektor posunutí vektor posunutí nejprve posunutí, potom otočení nejprve otočení, potom posunutí Afinní transformace 13
Afinní transformace všechny dosud studované transformace jsou spec. případem prostorové afinní transformace dané předpisem x ' = ax + by + cz + p y ' = dx + ey + fz + q z ' = gx + hy + iz + r afinní transformace patří mezi lineární transformace (navíc zachovávají rovnoběžnost přímek) Maticový popis transformací I rovinná afinní transformace daná výše uvedeným předpisem se dá vyjádřit v maticovém tvaru x ' a b c x p x y ' = d e f y + q = A y + B y ' g h i z r z kde matice A je regulární (det(a) je nenulový) 14
Shodnosti jako afinní transformace afinní transformace daná předpisem x ' a b c x p x y ' = d e f y + q = A y + B y ' g h i z r z kde matice A je regulární (det(a) je nenulový), je shodností právě tehdy, když T T A A = A A = I, kde I je jednotková matice Maticový popis transformací II kromě výše uvedeného tvaru (matice A ab) se používá i vyjádření jedinou maticí typu 4x4 1 1 0 0 0 1 1 x ' p a b c x x = = C y ' q d e f y y y ' r g h i z z kde matice C je regulární (det(c) je nenulový) 15
Skládání transformací a maticové násobení uvažujme rotaci R a translaci T,které jsou popsány pomocí matic R a T 1 1 0 0 0 1 1 x ' 0 cos ρ sin ρ 0 x x = = R y ' 0 sin ρ cos ρ 0 y y y ' 0 0 0 1 z z složená transformace RοT X a X ' a X '' je dána maticovým vyjádřením R 1 1 0 0 0 1 1 x ' a 1 0 0 x x = = T y ' b 0 1 0 y y y ' c 0 0 1 z z 1 1 1 1 x '' x ' x x = T = T R = ( T R) y '' y ' y y z '' z ' z z T Změna měřítka na osách (dilatace) tato afinní transformace je dána středem a nenulovými faktory (násobky) původních jednotek případě, že střed je v počátku x ' = a x y ' = b y z ' = c z 16
Stejnolehlost pokud a = b = c, potom dostáváme stejnolehlost (dána středem a koeficientem) stejnolehlost patří mezi podobné transformace (podobnosti) zachovávají tvar a úhly (obecně NE délky) středová souměrnost je stejnolehlost s koeficientem -1 Shear transformation (smýknutí) tato transformace je dána rovinou a 2 úhly odpovídající body leží na přímce rovnoběžné s danou rovinou, odpovídající přímky (roviny) se protínají na dané rovině shear transformation mění tvar, ale zachovává objem 17
Shear transformation analytický popis x ' = x + c z y ' = y + f z z ' = z Puerta de Europa (Madrid) Shodné transformace a animace 18
Snímání scény režisér má k dispozici 3 možnosti uchopení scény pohybující se objekt, pevná kamera statický objekt, pohybující se kamera kombinace (pohybující se objekt i kamera) Animace a plynulý pohyb animační tvorba je založena na analogických principech jako reálné natáčení místo nahrávání na filmový pás se aplikují vhodné transformace na digitální model a/nebo virtuální kameru výstupem z CAD softwaru je sekvence drobně odlišných obrazů, které v návaznosti vytvářejí iluzi plynulého pohybu pro přesvědčivou iluzi je potřeba alespoň 30 snímků za sekundu většina CAD systémů disponuje velmi sofistikovanými nástroji pro automatické generování animačních sekvencí 19
Animace a plynulý pohyb principy animace v CAD softwaru: zadáme klíčové snímky, SW automaticky vygeneruje mezipozice určíme trajektorii objektu a/nebo kamery matematicky popíšeme polohu, parametry snímaných objektů, kamery, osvětlení, v praxi se používá kombinace všech uvedených přístupů Animace a plynulý pohyb zadání klíčových snímků 20
Animace a plynulý pohyb zadání trajektorie a typu přechodu (transfomace) 21