Prvoúhlý trojúhelník goniometrické funkce V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce úhlu : sin, cos, tg, cotg tkto: sin c cos c tg cot g protilehlá odvěsn ku přeponě přilehlá odvěsn ku přeponě protilehlá odvěsn ku přilehlé odvěsně přilehlá odvěsn ku protilehlé odvěsně C B. c A Výpočet strn prvoúhlého trojúhelník pomocí goniometrických funkcí Příkld: Vypočti chyějící strny B c = 12cm Známe přeponu, proto použijeme funkci, která je definován pomocí přepony tj. sin neo cos. α = 60 C A Výpočet strny sin 60 = Urči hodnotu sin 60 dosď do rovnice. 0,866 = / 12 10,39 = = 10,39 cm Výpočet strny cos 60 = Urči hodnotu cos 60 dosď do rovnice. 0,5 = / 12 6 = = 6 cm Strnu je možné vypočítt i pomocí Pythgorovy věty.
Příkld: Vypočti přeponu Znám přilehlou odvěsnu, chci vypočítt přeponu použiji funkci cosinus. x 72 6 cm cos 72 = x 6 6 0, 309 = / x x 0,309 x = 6 /: 0,309 x = 19,42 cm Výpočet úhlů prvoúhlého trojúhelník pomocí goniometrických funkcí Příkld: Vypočti velikosti ostrých úhlů v prvoúhlém trojúhelníku Výpočet úhlu α Známe přeponu protilehlou odvěsnu (vzhledem k úhlu α) použijeme funkci sinus. 6,8 sin α = 12 sin α = 0,5667 α = 34 31 12 cm α β 6,8 cm Výpočet úhlu β Znám přeponu přilehlou odvěsnu (vzhledem k úhlu β) použiji funkci cosinus. 6,8 cos β = 12 cos β = 0,5667 β = 55 29
(Úhel β ylo možné dopočítt i jko třetí úhel v trojúhelníku α + β + γ = 180 34 31 + β + 90 = 180 ) Prktické úlohy 1. Ze dvou oken, která jsou nd seou v udově stojící přímo u řeky, je vidět ve směru kolmém n tok řeky místo n protějším řehu řeky pod hloukovými úhly,. Vypočtěte šířku řeky. Řešíme trojúhelník : : : : Trojúhelník ACDje určen podle věty AC 8, 8 sin 7710 sin 640 AC 8, 8 sin 640. sin 77 10 Řešíme prvoúhlý trojúhelník ABC Velikost úhlu při vrcholu C 90 - = 90-6 10 =83 50 Šířk řeky je 73,5 m.
2. Z míst ležícího ve výšce nd vodorovnou rovinou procházející ptou věže je vidět vrchol věže pod hloukovým úhlem o velikosti ptu věže pod hloukovým úhlem. Určete výšku věže. Řešíme : Řešíme : : Trojúhelník je určen podle věty Výšk věže je.
3. Jký je úhel stoupání cesty, pokud n doprvní znčce, která o tom informuje, je npsáno Jký výškový rozdíl uto překonlo n dráze Úhel stoupání cesty je. Auto překonlo výškový rozdíl si 4. Jk vysoko vystoupá letdlo letící rychlostí z minut, stoupá-li pod úhlem?.... ------------------------------------------------- Letdlo vystoupá do výšky.
Dlší úlohy o prvoúhlém trojúhelníku 1. V prvoúhlém trojúhelníku DEF je dán velikost přepony d = 8 cm, velikost úhlu u vrcholu F, = 62 40. Určete velikosti všech strn vnitřních úhlů. [ = 27 20 ; f = 7,11 cm ; e = 3,67 cm ] 2. Nosník má vodorovné rmeno délky d = 95 cm. Určete délku x šikmého rmene, svírá - li s vodorovným směrem úhel = 50. [ 148 cm ] 3. Vypočtěte délku strn rovnormenného trojúhelníku ABC, je - li v c = 8,4 cm, úhel při zákldně = 32 10. [ c = 26,66 cm, = 15,77 cm ] 4. N hmotný od půsoí dvě síly téže velikosti F 1 = F 2 = 36 N., které svírjí úhel = 65. Určete velikost výslednice F. [ 60,7 N ] 5. Vzdálenost dvou železničních stnic je 4000 m. Stoupání železniční trti je 8. Vypočtěte výškový rozdíl stnic úhel stoupání. [ = 0 27, d = 32 m ] 6. Schodiště s 50 schody má výšku 9 m sklon 24. Vypočtěte výšku v šířku c jednoho schodu. [ v = 0,18 m ; c = 0,404 m ] 7. Vypočtěte výšku vodárenské věže, je - li měřící přístroj od její pty vzdálen 85 m je-li výškový úhel = 18 30. [ 28,44 m ] 8. Vypočtěte výškový rozdíl dvou stnic lnovky, jestliže její stoupání je 67% délk jednoduchého ln 930 m. [ 62,2 m ] 9. N hmotný od půsoí síl o velikosti F = 35 N, která svírá s osou y úhel = 25 40. Rozložte tuto sílu n složky F x F y. [ F x = 15,16 N ; F y = 31,55 N ] 10. Štít střechy má tvr rovnormenného trojúhelníku. Šířk je 12,8 m, sklon střechy 38. Vypočtěte výšku štítu. [ 5 m ] 11. Štít n domě 12,5 m širokém má tvr rovnormenného trojúhelník o výšce 4 m. Jký úhel svírjí oě části střechy? [ 114 46 ] 12. Vrchol věže stojící n rovině vidíme z určitého míst té roviny ve výškovém úhlu 39 25. Přilížíme-li se k ní o 50m, vidíme vrchol věže V pod úhlem 58 42. Jk vysoká je věž? [ 82,1 m ] 13. Z vrcholu phorku ležícího 75 m nd vodní hldinou je vidět přesně z seou 2 lodičky pod hloukovými úly = 64, = 48. Určete jejich vzdálenost. [ 31 m ] 14. Úhel nkloněné roviny je 18 30. Jk velká síl udrží v rovnováze řemeno půsoící tíhovou sílou 520 N, půsoí-li rovnoěžně s nkloněnou rovinou? [ 165 N ] 15. Úhel nkloněné roviny je 18 30. Jk velká síl udrží v rovnováze řemeno půsoící tíhovou sílou 520 N, půsoí-li rovnoěžně se zákldnou nkloněné roviny? [ 174 N ] 16. V jké zeměpisné šířce vrhá svislá tyč vysoká 2,5 m v doě rovnodennosti v poledne n vodorovnou rovinu stín 3,6 m dlouhý? [ 55 13 ] 17. Z okn ležícího 8 m nd horizontální rovinou vidíme vrchol věže ve výškovém úhlu 53 20, její ptu v hloukovém úhlu 14 15. Jk vysoká je věž? [ 50,3 m ] 18. Dvě kolmé síly F 1 = 12N F 2 = 5 N půsoí v jednom odě. Jká výslednice má stejný účinek jko oě tyto síly jké úhly svírá se směry sil F 1 F 2? [ 13 N, 22 31, 67 29 ]